Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
PONTOS NOTÁVEIS

2. PONTOS NOTÁVEIS
1
01. (Col. naval 2017) Analise as afirmativas a seguir.
I. Sejam a, b e c os lados de um triângulo, com c b a.
> ≥ Pode-se afirmar que 2 2 2
c a b
= + se, e somente se, o
triângulo for retângulo.
II. Se um triângulo é retângulo, então as bissetrizes internas dos ângulos agudos formam entre si um ângulo de 45°
ou 135 .
°
III. O centro de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo está sobre um dos catetos.
IV. O baricentro de um triângulo retângulo é equidistante dos lados do triângulo.
Assinale a opção correta.
a) Somente I e II são verdadeiras.
b) Somente II e III são verdadeiras.
c) Somente I e IV são verdadeiras.
d) Somente I, II e IV são verdadeiras.
e) As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras.
02. (Efomm 2020) Seja ABC um triângulo inscrito em uma circunferência de centro O. Sejam O' e E o incentro do
triângulo ABC e o ponto médio do arco BC que não contém o ponto A, respectivamente. Assinale a opção que
apresenta a relação entre os segmentos EB, EO' e EC.
a) EB EO' EC
= =
b) EB EO' EC
< =
c) EB EO' EC
> >
d) EB EO' EC
= >
e) EB EO' EC
< <
03. (Esc. Naval 2016) Um triângulo inscrito em um círculo possui um lado de medida 4
2 3 oposto ao ângulo de 15 .
°
O produto do apótema do hexágono regular pelo apótema do triângulo equilátero inscritos nesse círculo é igual a
a) 3( 3 2)
+
b) 4(2 3 3)
+
c) 8 3 12
+
d) 2(2 3 3)
+
e) 6( 2 1)
+
04. (Epcar 2016) Um terreno com formato de um triângulo retângulo será dividido em dois lotes por uma cerca feita
na mediatriz da hipotenusa, conforme mostra figura.
Sabe-se que os lados AB e BC desse terreno medem, respectivamente, 80 m e 100 m. Assim, a razão entre o
perímetro do lote I e o perímetro do lote II, nessa ordem, é
a)
5
3
b)
10
11
c)
3
5
d)
11
10

3. PONTOS NOTÁVEIS
2
05. (Epcar 2016) As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em
P, conforme figura abaixo.
Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC 6 3 km,
=
então CP é, em km, igual a
a) 6 3
+
b) ( )
6 3 3
−
c) 9 3 2
−
d) ( )
9 2 1
−
06. (Ita 2014) Em um triângulo isósceles cuja área mede a razão entre as medidas da altura e da
base é igual a Das afirmações abaixo:
I. As medianas relativas aos lados e medem
II. O baricentro dista 4 cm do vértice A;
III. Se é o ângulo formado pela base com a mediana relativa ao lado então
é (são) verdadeira(s)
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas III.
d) Apenas I e III.
e) Apenas II e III.
07. (Col. naval 2011) Em um triângulo acutângulo não equilátero, os três pontos notáveis (ortocentro, circuncentro e
baricentro) estão alinhados. Dado que a distância entre o ortocentro e o circuncentro é 'k', pode-se concluir que a
distância entre o circuncentro e o baricentro será
a)
5k
2
b)
4k
3
c)
4k
5
d)
k
2
e)
k
3
ABC, 2
48cm , AP
BC
2
.
3
AB AC 97 cm;
α BC BM, AC,
3
cos ,
97
α =

4. PONTOS NOTÁVEIS
3
08. No triângulo ABC exibido na figura a seguir, AD é a bissetriz do ângulo interno em A, e AD DB.
=
O ângulo interno em A é igual a
a) 60 .
°
b) 70 .
°
c) 80 .
°
d) 90 .
°
09. Num mapa, uma estrada retilínea passa sucessivamente pelas cidades A, B e C e uma cidade D, distante 120 km
de A, está localizada de tal forma que o ângulo 𝐷𝐷𝐴𝐴
̂𝐵𝐵 mede 36 .
° Um viajante fez o trajeto AB, BD e DC, percorrendo
em cada trecho a mesma distância. Se ele tivesse ido diretamente de A até C, teria percorrido uma distância de
a) 120 km
b) 60 3 km
c) (120 cos 36 ) km
⋅ °
d)
120
km
cos 36°
e) 140 km
10. Observe a figura.
Sabendo que os segmentos BC e DE são paralelos, que o ponto I é incentro do triângulo ABC e que o ângulo BIC

é igual a 105 ,
° então o segmento AC mede
a) 5 2
b)
10 2
3
c) 20 2
d) 10 2
e)
20 2
3

5. PONTOS NOTÁVEIS
4
11. Considere um triângulo ABC cuja base AB mede 27dm. Traçando-se uma reta “t”, paralela à base, ela determina
sobre os lados AC e BC, respectivamente, os pontos D e E. Sabe-se que DC mede 14dm, BE mede 8dm e DE mede
18dm.
Assinale a alternativa verdadeira.
a) O triângulo ABC é equilátero, logo, ele pode ser inscrito em uma circunferência.
b) O triângulo ABC é um polígono regular, logo, ele pode ser inscrito em uma circunferência.
c) O triângulo ABC é escaleno, mesmo assim ele pode ser inscrito em uma circunferência.
d) O raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 9 3 dm.
e) O apótema da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 4,5 3 dm.
GABARITO
1 - A 2 - A 3 - A 4 - D 5 - B
6 - A 7 - E 8 - C 9 - A 10 - D
11 - C