El concepto de limite y sus teoremas

1. EL CONCEPTO DE LÍMITE
MATEMÁTICO Y SUS TEOREMAS CON UN EJEMPLO CADA
UNO DE ELLOS.
LUNA CRUZ CLAUDIA
RAMOS AGUILAR BRYAN ALEXIS
TOVAR ÁLVAREZ NAYELI
JIMÉNEZ GUTIÉRREZ ERNESTO

2. LÍMITE MATEMÁTICO
El concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto
concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan
a un determinado valor. En el análisis los conceptos de series convergentes, derivada e integral definida se
fundamentan mediante el concepto de límite.
En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos
fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de
límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase
de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.
El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la
misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de
categorías.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se
representa mediante la flecha (→) como en an → a

3. TEOREMA 1: LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE. SEA F(X)=K (CONSTANTE), ENTONCES:
LÍM F(X) =X A
LÍM K =K
X A
Límite de f(x)=x cuando x a
Sea f(x)=x. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando x a, para a=4 .
Por la izquierdaPor la derecha
x f(x) x f(x)
3.75 3.75 4.25 4.25
3.9375 3.9375 4.0625 4.0625
3.984373.984374.015624.01562
3.996093.996094.003914.00391
3.999023.999024.000984.00098

4. TEOREMA 2: LÍMITE DE F(X)=SEA F(X)=X. ENTONCES:
LIM F(X) =X A
LIM X = A X A
Límite de una función multiplicada por una constante
Sea k una constante y f(x) una función cualquiera. En la siguiente tabla evaluaremos dos límites: en la columna izquierda evaluaremos Lim k f(x) y en la derecha evaluaremos k Lim f(x), ambos cuando x tiende a a=-1. En este ejemplo, k=2 y f(x)=3x-2. Compara los valores de las
dos columnas.
x [k f(x)] k [f(x)]
-1.25 -11.5 -11.5
-1.0625 -10.375 -10.375
-1.01563 -10.0937 -10.0937
-1.00391 -10.0234 -10.0234
-1.00098 -10.0059 -10.0059

5. TEOREMA 3: LÍMITE DE UNA FUNCIÓN MULTIPLICADA POR UNA CONSTANTE. SEA K UNA CONSTANTE Y F(X) UNA FUNCIÓN DADA.
ENTONCES:
LIM K F(X) =X A
KLIM F(X)=X A
Límite de una suma, diferencia, producto y cociente de funciones Sean f(x) y g(x) dos funciones cuyos límites existen cuando xtiende aa. En la siguiente tabla observaremos los valores de f, g, f+g, f-g, fg y f/g cuando x se acerca a un número a. En este ejemplo, f(x)=x2+1,
g(x)=x+2, a=2
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)f(x)g(x) f(x)/g(x)
5.84 4.2 10.04 1.64 24.528 1.39048
5.0804 4.02 9.1004 1.0604 24.42321.26378
5.008 4.002 9.01 1.006 20.042 1.25138
5.0008 4.0002 9.001 1.0006 20.00421.25014
5.000084.000029.0001 1.0000620.00041.25001

6. TEOREMA 4: LÍMITE DE UNA SUMA, DIFERENCIA, PRODUCTO Y COCIENTE DE FUNCIONES SUPÓNGASE
QUE
LIM F(X) = L1 Y LIM G(X) = L2
X A X A
El límite de una potencia
A continuación calcularemos valores de f(x)=xn para n entero positivo conforme xtiende aa. En la tabla, a=2 y n=3.
x xn an
1.75 5.359378.0
1.9375 7.273198.0
1.984377.813968.0
1.996097.953228.0
1.999027.988298.0

7. TEOREMA 5: LÍMITE DE UNA POTENCIA.SEA N UN ENTERO POSITIVO, ENTONCES:
LIM X𝑛2
= 𝐴𝑛2
Este teorema lo que nos dice es que el límite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los límites de cada
una de las funciones.
Ejemplos:
A continuación calcularemos valores de f(x)=xn para n entero positivo conforme xa. En la tabla, a=2 y n=3.
xxnan1.755.359378.01.93757.273198.01.984377.813968.01.996097.953228.01.999027.988298.0

8. TEOREMA 6: LÍMITE DE UN POLINOMIO. EL LÍMITE DE UN
POLINOMIO. SEA F(X) UNA FUNCIÓN POLINOMIAL, ENTONCES:
Teorema de límite6:
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces

9. TEOREMA 7: LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RACIONAL. SEA
F(X)=P(X)/Q(X) UN COCIENTE DE POLINOMIOS, ENTONCES:
Límite de una función que contiene un radical
A continuación calcularemos valores de la raíz-n de x, es decir, x(1/n) conforme xtiende aa. Si a>0 entoces n puede ser cualquier entero positivo, pero si a<0, n debe ser un entero impar.En la tabla, a=3 y n=2.
x x(1/n) a(1/n)
2.75 1.658311.73205
2.9375 1.713911.73205
2.984371.727531.73205
2.996091.730921.73205
2.999021.731771.73205

10. TEOREMA 8: LÍMITE DE UNA FUNCIÓN QUE CONTIENE UN RADICAL. SI A>0 Y N ES CUALQUIER ENTERO POSITIVO, O SI
A<0 Y N ES UN ENTERO POSITIVO IMPAR, ENTONCES:
El límite de una función compuesta
La inmensa mayoría de las funciones pueden ser vistas como composiciones de funciones más simples. Los teoremas que hemos "descubierto" se refieren a un pequeño grupo de funciones importantes. Trataremos de intuir las propiedades del límite de una función compuesta
(fog )(x) = f[g(x)]. En la próxima tabla, calcularemos valores de g(x) conforme xtiende aa, y los compararás con el número f(L), donde L=Lim g(x). En este ejemplo, f(x) = x1/2, g(x) = x2 + 4, y a = 3.
x g(x) f[g(x)] f(L)
2.75 11.56253.400373.60555
2.9375 12.62893.553723.60555
2.9843712.90653.592563.60555
2.9960912.97663.6023 3.60555
2.9990212.99413.604743.60555

11. TEOREMA 9: EL
LÍMITE DE UNA
FUNCIÓN
COMPUESTA. SI F
Y G SON
FUNCIONES
TALES QUE:
Ejemplo C
Considera f(x)=1x+1 , g(x)=−1 . Encuentra limx→−1(f∘g)(x) .
Veamos lo que sucede cuando se usa la regla de límites para funciones compuestas:
limx→−1(f∘g)(x)=limx→−1f(g(x))=f(limx→−1g(x))=f(g(−1))=f(−1)…Undefined=10