3. Geometri Empat Titik
•Aksioma 1: terdapat tepat empat titik.
•Aksioma 2: sebarang dua titik berbeda, pada
tepat satu garis.
•Aksioma 3: setiap garis pada tepat dua titik.
5. Definisi
Dua garis pada titik yang sama dikatakan berpotongan dan dua garis
itu disebut garis-garis berpotongan.
Contoh:
k dan g, l dan g, l dan m, m dan n, n dan g, h dan l, h dan m, k dan n
adalah garis-garis berpotongan. Sedangkan garis h dan k tidak
berpotongan.
6. Definisi
Dua garis yang tidak berpotongan dikatakan sejajar.
Contoh:
garis h sejajar k, l sejajar n, dan m sejajar g.
7. Teorema 1
Jika dua garis berbeda berpotongan maka mereka mempunyai satutitik
sekutu.
Bukti:
Menurut definisi dua garisberpotonganmempunyai minimal satutitiksekutu.
Sebut garis itu g dan h, dantitiksekutu ituA. Berarti A pada g dan A pada h.
Andai ada satu titik sekutulain sebut titikB, berarti B padag danB pada h.
berarti melalui A dan B terdapat lebih dari satu garis, hal ini kontradiksi
dengan aksioma 2. Jadi pengandaiansalah . Terbukti 2 garis berpotongan
mempunyai tepat satu titiksekutu.
8. Teorema 2
Terdapat enam garis.
Bukti:
Menurut aksioma 1: ada empat titik.
Menurut aksioma 2: sebarang dua titik berbeda terdapat
satugaris, sehingga dari kedua aksioma ini didapat
banyaknya garis ada kombinasi 2 dari 4, yaitu 6 garis.
9. Teorema 3
Setiaptitikpadatepat tiga garis.
Bukti:
Menurut aksioma1 ada tepat4 titik, sebuttitik-titik itu A, B, C, dan D. Menurut
aksioma2: dua titik berbedamenentukantepat satugaris. Berarti dari satutitik ada
minimal 3 garis. Andaikanada garis keempat, menurut aksioma 3 setiapgaris pada
tepat 2 titik. Berarti garis keempatpasti melalui satu dari ketiga titik lainnya,
sehingga ada dua titik berbeda yang mempunyai lebih dari satu garis pad keduanya.
Hal ini kontradiksi denganaksioma2. Jadi tidak ada garis keempat, terbukti ada
tepat 3 garis.
10. Teorema 4
Setiapgaris mempunyai tepat satugaris yang sejajar dengannya.
Bukti:
Menurut aksioma1: ada tepat empat titik, sebut P, Q, R, dan S. Menurut aksioma2:
melalui sebarang titikQ dan R ada tepat satugaris, sebut l. Sedangkanmenurut
teorema 3, setiaptitik ada tepattiga garis, berarti di suatu titik P tidak padal ada
tepat 3 garis. Dua dari tigagaris ini pasti memotong l (aksioma2). Andaikangaris
ketigamemotong l makaperpotongannya adalah satu titik. Titik ini pasti berbeda
dengandua titik pada l (karena aksioma 2), berarti ada titik yang ketiga. Kontradiksi
denganaksioma3, sehingga pengandaiansalah. Terbukti ada tepat satugaris yang
sejajar l.
11. Geometri Fano
Inisiatif pertama dalammempelajari geometri finite datang dari GinoFano. Padatahun
1892, fano menemukan geometri finite3 dimensi yangmempunyai 15 titik, 35 garis,dan 15
bidang. Satudari bidang-bidang tersebut adalahgeometri fano. Sebagai undefinedterms
ditetapkan titik, garis, dan pada. Aksioma-aksiomanyaadalah:
Aksioma 1: terdapat minimal satu garis
Aksioma 2: terdapat tepat tigatitikpada setiap garis
Aksioma 3: tidak semuatitiksegaris
Aksioma 4: terdapat tepat satu garis pada sebarangdua titikberbeda
Aksioma 5: terdapat minimal satu titik padasebarang dua garis berbeda
12. Penyajian dari Suatu Model Geometri Fano
A A A B C C E
B G E G G F B
C F D D E D F
l1 l2 l3 l4 l5 l6 l7
13. Teorema 1 Fano
Dua garis berbeda mempunyai tepat satutitik sekutu
Bukti:
Menurut aksioma ke 5 terdapat minimal satu titikpada sebarang dua garis
berbeda.
Sebut garis itu k dan g dengan titik sekutuP, andaikanada titik sekutulain yaitu
Q maka:
P pada k dan Q pada k, demikian pula P pada g dan Q pada g.
Berarti untukdua titik berbeda P dan Q terdapat dua garis.
Hal ini kontradiksi denganaksioma ke 4. Jadi dua garis berbeda mempunyai tepat
satutitik sekutu.
14. Teorema 2 Fano
Geometri Fanomempunyai tepat 7 titik dan 7 garis
Bukti:
Menurut aksioma-1, terdapat minimal1 garis, garis itu kitasebut l. Menurut aksioma-2,
pada garis l ada tepat tigatitik, sebut titikA, B, dan C.
Menurut aksioma-3, tidak semua titik padagaris l, berarti minimal 1 titik tidak padal, sebut
titikituP.
Jadi ada minimal 4 titik, yaituA, B, C, dan P.
Menurut aksioma-4, P dan setiaptitikpada l menentukan garis-garisberbeda.
Menurut aksioma-2, garis-garis ini masing-masingmemuat tigatitik. Karenauntuksetiap
dua titikhanyaada 1 garis (aksioma-4) maka 3 titik tadi pasti bukan A, B, C ataupun P.
Jadi minimalada 7 titik, A, B, C, P, Q, R, dan S.
15. Teorema 2 Fano
Andaikanada titik ke -8 yaituK, maka P dan K menentukangaris
h=garis PQ (aksioma -4).
Menurut aksioma -5, h dan l pasti berpotongan.
Titik potong h dan l pasti bukanA, B, ataupun C, karena setiap 2
titik menentukan garis tunggal.
Karena ini berarti l memuat 4 titik.
Hal ini kontradiksi dengan aksioma -2.
Jadi tidak mungkinada titik kedelapan, sehingga tepat ada 7 titik.
16. Geometri Young
Geometri Young mempunyai lima aksioma, empat
aksioma pertama sama dengan empat aksiomapertama
geometri Fano. Sedangkan aksioma ke -5 menyatakan:
”Untuk setiap garis l dan titik P tidak pada l terdapat
tepat 1 garis yang melalui P dan tidak memuat titik pada
l”.
18. Teorema 1 Young
Di setiap titik terdapat minimal 4 garis.
Bukti:
Menurut aksioma -1: ada minimal satu garis, sebut garis itu l.
Menurut aksioma -2: ada tepat 3 titik pada setiap garis.
Berarti di l ada 3 titik, sebut titik itu A, B, dan C.
Menurut aksioma -3: tidak semua titik segaris.
Berarti ada titik tidak pada l, sebut P.
19. Teorema 1 Young
Menurut aksioma -4: ada tepat satugaris pada sebarang dua titik
berbeda.
Jadi ada minimal 3 garis melalui sebarang titik P.
Menurut aksioma -5: di P tidak pada l ada satugaris yangtidak
memuat titik pada l.
Jadi ada minimal 4 garis di P.
20. Teorema 2 Young
Terdapat tepat 9 titik.
Bukti:
Berdasarkanaksioma1 dan 2 didapat ada minimal 3 titik pada garis l.
sedangmenurutaksioma3 tidak semua titik segaris,berarti ada minimal 1 titik yang tidak
pada l, sebut titik P.
sehingga ada minimal 4 titik.
Aksioma-4 menyatakansetiap 2 titik menentukangaris.
Berarti P dan titik-titikpada l menentukangaris, yaitul1, l2, dan l3.
Di setiapgarisini ada tepat 3 titik (aksioma 2).
3 titik ini pasti bukan4 titik tadi karenauntuk setiap 2 titik ada tepat 1 garis, sehingga
minimal ada 7 titik.
21. Teorema 2 Young
Terdapat tepat 9 titik.
Bukti:
Menurut teorema1: di P ada minimal 4 garis.
Menurut aksioma5: l4 tidak memotong l.
Menurut aksioma2: di l4 ada tepat 3 titik. Jadi ada minimal 9 titik.
Andai ada titik ke -10 yaituQ.
Menurut aksioma4: P dan Q menentukan 1 garis.
Titik Q pastitidakpada l, karenakalauQ pada l berarti di l ada lebihdari 3 titik.Kontradiksi
dengan aksioma2.
Sehinggadi P ada lebihdari 1 garisyang tidakmemuat titikpada l.
kontradiksi dengan aksioma5.
Jadi tidak ada titikyangke 10.
Terbukti ada tepat 9 titik.
22. Teorema 3 Young
Terdapat tepat 12 garis.
Bukti:
Menurut teorema -2 ada tepat 9 titik. Untukmemudahkan kitasebut saja titik-
titikituA, B, C, D, E, F, G, H, dan I.
Jadi di dapat:
A A A B B B C C D D G H
B D E E D F F E E H H F
C G I H I G I G F C I A
l1 l2 l3 l4 l5 l6 l7 l8 l9 l10 l11 l12
23. Geometri Insidensi
Aksioma 1: setiap dua titik berbeda pada tepat satu garis.
Aksioma 2: untuk setiap garis, minimal dua titik berbeda pada
garis itu.
Aksioma 3: terdapat minimal tiga titik berbeda.
Aksioma 4: tidak semua titik segaris.
Suatu geometri yang memenuhi keempat aksioma tersebut
disebut Geometri Insidensi.
24. Padanan
Geometri empat titikadalah geometri insidensi. Hal ini dapat dilihat dari
padanan berikut ini.
Jelas semua aksioma-aksioma geometri Insidensi dipenuhi oleh aksioma-
aksioma geometri 4 titik.
Jadi geometri 4 titikmerupakangeometri Insidensi.
GeometriInsidensi Geometri4 titik
Aksioma 1 Aksioma 2
Aksioma 2 Aksioma 3
Aksioma 3 Aksioma 1
Aksioma 4 Aksioma 1, Aksioma2, Aksioma 3
25. Padanan
Geometri Fano dan Young adalahgeometri insidensi. Hal ini dapat dilihat dari
padananberikut ini.
Jelas semua aksioma-aksioma geometri Insidensi dipenuhi oleh aksioma-
aksioma geometri Fano dan young.
Jadi geometri Fano merupakangeometri Insidensi.
Geometri Insidensi Geometri Fano
Aksioma1 Aksioma4
Aksioma2 Aksioma2
Aksioma3 Aksioma1, aksioma2
Aksioma4 Aksioma3
26. Padanan
Geometri Young adalahgeometri insidensi. Hal ini dapat dilihat dari padanan
berikut ini.
Jelas semua aksioma-aksioma geometri Insidensi dipenuhi oleh aksioma-
aksioma geometri Young.
Jadi geometri Young merupakangeometri Insidensi.
Geometri Insidensi Geometri Young
Aksioma1 Aksioma2, Aksioma3
Aksioma2 Aksioma2
Aksioma3 Aksioma4
Aksioma4 Aksioma1
Aksioma3, Aksioma4
27. Teorema 1 Geometri Insidensi
Jika dua garis berbedaberpotongan maka perpotongannya pada tepat satutitik.
Bukti:
Misalkan garis itu l dan m.
Jika l dan m berpotongan menurutdefinisi merekaberpotongan pada minimal
satutitik, sebut P.
Andaikan l dan m juga berpotongan di Q, maka melalui P dan Q terdapat garis
PQ, sehingga melalui P dan Q ada lebih dari garis.
Kontradiksi dengan aksioma 1 insidensi.
Terbukti l dan m berpotongan pada tepat satu titik.
28. Teorema 2 Geometri Insidensi
Untuk setiaptitik terdapat minimaldua garisyang memuat titikitu.
Bukti:
Menurut aksioma3: terdapat minimal 3 titik berbeda
Menurut aksioma4: tak semuatitik segaris
Berarti untuksetiap titikP terdapat minimal 1 garis yangtidakmemuat P.
Menurut aksioma2: setiapgaris memuat minimal 2 titikberbeda.
Sehinggagaris yang tak memuat P tadi minimal memuat 2 titikberbeda.
Menurut aksioma1, P dan titik-titikpada garistadi terdapat tepat 1 garis.
Jadi di setiaptitik P ada minimal2 garis.
29. Teorema 3 Geometri Insidensi
Terdapat tiga garis yang tidak bersekutu di satu titik
Bukti:
Menurut aksioma 3 dan 4 berarti ada 3 titik yang tidak
segaris.
Jadi minimal ada 3 garis (aksioma 1) dan garis-garis
tidak bersekutu di satu titik.
30. Kesejajaran pada Geometri Insidensi
Jika l suatu garis dan P sebarang titik tidak pada l, maka terdapat
tiga kemungkinan (alternatif) untuk aksioma kesejajaran, sebagai
berikut:
• Tidak ada garis yang melalui P sejajar l.
• Ada tepat satu garis melalui P sejajar l.
• Ada lebih dari satugaris melalui P sejajar l.
Geometri insidensi yang memenuhi alternatif ke-1 atau ke-3 disebut
geometri non Euclid, sedang yang memenuhi alternatif ke-2 disebut
geometri Euclid.
31. Kesimpulan
Geometri insidensi sebagai suatusistemaksiomatikmenetapkantitik, garis, danpada sebagai
undefiniedtermsdengan4 aksioma, yaitu:
• Aksioma 1: setiapdua titikberbeda pada tepat satu garis
• Aksioma 2: untuk setiap garis minimal 2 titikberbeda pada garis itu
• Aksioma 3: terdapat minimaltiga titikberbeda
• Aksioma 4: tidaksemua titiksegaris
Terdapat tiga alternatif kesejajaranpada geometri insidensi jikag suatugaris dan P titiktidak
pada garis g, maka:
• Tidakada garis melalui P sejajar g
• Ada tepat satugaris melalui P sejajargaris g
• Ada lebih dari satugaris melalui P sejajar garis g
Geometri insidensi yang memenuhi alternatif kesejajarani) atau iii) disebut geometri noneuclid,
danyang memenuhi alternatif iii) disebut geometri euclid.
