Tính toán tấm composite cốt hạt có tính đến sự truyền nhiệt.pdf

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nghiêm Thị Thu Hà
Tính toán tấm composite cốt hạt có tính đến
sự truyền nhiệt
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Ngành: Cơ học vật thể rắn
Người hướng dẫn: PGS. TSKH Nguyễn Đình Đức
Hà Nội - 2011

2. Mục lục
Lời cảm ơn 1
Lời mở đầu 4
Chương 1. Các hệ thức cơ bản 6
1.1. Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Liên hệ ứng suất - chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Lực dãn, lực tiếp, mômen uốn và mômen xoắn . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Phương trình cơ bản xác định uốn tấm . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 2. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng 19
2.1. Modun đàn hồi và hệ số dãn nở nhiệt của composite cốt hạt . . . . . . 19
2.2. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng . . . . . . . . . . 21
2.3.1. Mặt giữa không biến dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Tính toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chương 3. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng 30
3.1. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng . . . . . . . 30
3.1.1. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Tính toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Kết luận chung 43
Những kết quả nghiên cứu của luận văn đã được công bố 45
Tài liệu tham khảo 46
Phụ lục 48
Phụ lục 1: Sự phân bố nhiệt độ khi có truyền nhiệt dừng 48
Phụ lục 2: Độ võng của tấm khi có truyền nhiệt dừng 50
Phụ lục 3: Giải phương trình siêu việt bằng phương pháp chia đôi 54
Phụ lục 4: Sự phân bố nhiệt độ khi có truyền nhiệt không dừng 55
Phụ lục 5: Độ uốn của tấm tại t = 1200s 58
Phụ lục 6: Độ uốn của tấm tại điểm giữa 61
3

4. Lời mở đầu
Vật liệu composite là vật liệu được chế tạo tổng hợp từ hai hay nhiều vật liệu thành
phần khác nhau, nhằm tạo ra một vật liệu mới có tính năng ưu việt hơn hẳn những vật
liệu thành phần ban đầu, khi những vật liệu này làm việc riêng rẽ. Vì vậy, nó có nhiều
tính năng ưu việt nổi trội như nhẹ, bền, đáp ứng được những đòi hỏi khắt khe của kĩ
thuật và công nghệ hiện đại.... Và nhờ những ưu điểm nổi bật đó mà chúng ngày càng
được ứng dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp hiện đại như ngành chế tạo máy,
hàng không, vũ trụ, tên lửa, xây dựng, ô tô, chế tạo tàu thuyền,... và trong đời sống. Ví
dụ tấm composite được ứng dụng trong làm bảng biển, pano trong ngành quảng cáo,
trang trí nội thất, ngoại thất trong các công trình xây dựng, ốp mặt nền nhà, làm trần
nhà, mái vòm, hay ốp nội thất cho ô tô, tàu thuyền,....
Trong những năm gần đây, ứng xử của tấm dưới tác dụng của tải nhiệt được nhiều
tác giả nghiên cứu. Shariyat M. [14] đã nghiên cứu giải tích uốn nhiệt của tấm nhiều
lớp composite hình chữ nhật có tính chất của vật liệu biến đổi với nhiệt độ dưới sự
tăng nhiệt độ đều nhưng sử dụng lý thuyết tấm lớp lớn, xác định được nhiệt độ uốn,
từ đó nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số tính chất hình học và cơ học của tấm
composite vào nhiệt độ uốn. Shiau, Kuo và Chen [15] đã sử dụng phương pháp phần
tử hữu hạn nghiên cứu chi tiết ứng xử uốn nhiệt của tấm composite nhiều lớp. Wu
Lanhe [10] dựa trên lý thuyết biến dạng trượt cấp một suy ra phương trình cân bằng
và ổn định của tấm dày vừa phải hình chữ nhật tựa bản lề được làm từ FGM dưới ảnh
hưởng của hai loại tải nhiệt là sự tăng nhiệt đều và gradient nhiệt thông qua bề dày
của tấm, suy ra nhiệt độ uốn, thảo luận ảnh hưởng của tỉ số hướng, sự dày tương đối
và chỉ số gradient và trượt ngang vào nhiệt độ uốn. Trong [11, 13], các tác giả trình
bày giải tích uốn nhiệt của tấm chức năng hình chữ nhật nhưng trong [11], các tác giả
nghiên cứu tấm dưới tác dụng của nhiệt riêng trong mặt phẳng và sự tăng nhiệt đều
thông qua bề dày của tấm, đánh giá ảnh hưởng của tính không đồng nhất vật liệu, tỉ

5. số hướng và khoảng nhiệt vào nhiệt độ uốn tới hạn, còn trong [13], với lý thuyết tấm
cổ điển suy ra các phương trình cân bằng, ổn định, tương thích của tấm FGM không
hoàn hảo dưới tác dụng của ba loại tải nhiệt như sự tăng nhiệt đều, sự tăng nhiệt phi
tuyến thông qua bề dày của tấm, và sự tăng nhiệt dọc trục, thu được các nghiệm hoàn
toàn cho sự biến đổi nhiệt độ uốn tới hạn.
Trong luận văn, tác giả nghiên cứu độ võng của tấm composite hình chữ nhật có
độn các hạt hình cầu tựa bản lề tại các cạnh khi chịu ảnh hưởng của quá trình truyền
nhiệt dừng và không dừng. Tác giả đã thu được biểu thức nghiệm giải tích uốn tấm
khi có truyền nhiệt dừng và không dừng. Trên cơ sở nghiệm giải tích tìm được, tác
giả tính toán số để nghiên cứu ứng xử uốn của tấm được làm từ vật liệu composite
nền PVC cốt hạt Titan, qua đó làm rõ vai trò các hạt. Hiện nay, Vật liệu composite
polyme độn các hạt Titan được ứng dụng rộng rãi ở Việt Nam cũng như trên thế giới.
Ở Việt Nam, composite polyme hạt Titan được ứng dụng rộng rãi trong công nghiệp
đóng tàu, trong ống dẫn dầu khí, hóa chất và gần đây là các chíp sinh học cũng như
sử dụng trong các vật liệu phát quang OLED. Các hạt Titan có vai trò cải thiện đáng
kể tính năng cơ lý của vật liệu. Lưu ý là bài toán truyền nhiệt không dừng cho các ống
kỹ thuật bằng composite độn các hạt Titan đã được nghiên cứu trong [3].
Luận văn gồm:
Chương 1: Các hệ thức cơ bản.
Chương 2: Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng.
Chương 3: Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng.
Kết luận chung.
Mặc dù đã rất cố gắng trình bày vấn đề một cách mạch lạc và cô đọng nhưng chắc
chắn luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả mong nhận được
sự nhận xét, đánh giá và góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn
thiện.
5

6. Chương 1
Các hệ thức cơ bản
1.1. Phương trình truyền nhiệt
Tính truyền nhiệt trong môi trường đàn hồi đẳng hướng tuân theo định luật truyền
nhiệt Fourier [1]:
cj = −kT, j (1.1)
trong đó, cj( j = 1,2,3) là các thành phần của vectơ dòng nhiệt, k là hệ số truyền nhiệt
của môi trường, nó phải dương để bảo toàn tốc độ sản entropi dương. Quá trình nhiệt
đàn hồi là quá trình thuận nghịch, nên phương trình năng lượng có dạng:
du =
1
ρ
σi jdεi j +dq, (1.2)
và định luật thứ hai nhiệt động lực học có dạng
dq = Tds, (1.3)
ở đây tốc độ dòng nhiệt trên một đơn vị khối lượng môi trường bằng
dq
dt
= −
1
ρ
cj, j. (1.4)
Kết hợp (1.2) và (1.3), ta thu được:
du =
1
ρ
σi jdεi j +Tds, (1.5)
Đưa vào hàm năng lượng tự do Helmholz f(εi j,T) xác định bởi hệ thức f = u−sT
với sự biến đổi trạng thái vô cùng nhỏ của môi trường, d f là vi phân toàn phần:
d f = du−sdT −Tds, (1.6)

7. Thay (1.5) vào (1.6) ta có:
d f =
1
ρ
σi jdεi j −sdT, (1.7)
mặt khác:
d f =
∂ f
∂εi j
+
∂ f
∂T
dT (1.8)
So sánh hai hệ thức của d f, suy ra
σi j = ρ
∂ f
∂εi j
, s = −
∂ f
∂T
Gọi F = ρ f,S = ρs là hàm năng lượng tự do và entropi trên một đơn vị thể tích, các
hệ thức tên có thể viết dưới dạng
σi j =
∂F
∂εi j
, S = −
∂F
∂T
. (1.9)
Định luật cơ bản của nhiệt đàn hồi tuyến tính có dạng [1]:
εij =
1+ν
E
σij −
ν
E
σkkδij +α∆Tδij, (1.10)
trong đó,
∆T = T −T0 , (1.11)
với T0 là nhiệt độ tuyệt đối của tấm ở trạng thái tự nhiên.
từ đây, ta biểu thị ngược lại ứng suất qua biến dạng:
σij = λεkkδij +2µεij −(3λ +2µ)α∆Tδij. (1.12)
Từ hệ thức đầu của (1.9) và (1.12) ta tính biểu thức của hàm năng lượng tự do
F =
λ
2
(εkk)2
+ µεijεij −(3λ +2µ)α∆Tεkk +F0 ,
F0 chỉ là hàm của T. Thay F vào hệ thức thứ hai của (1.9) ta tính entropi
S = (3λ +2µ)αεkk −
dF0
dT
. (1.13)
Đặt i = j = k trong (1.10) ta được
εkk =
σkk
(3λ +2µ)
+3α∆T ,
7

8. rồi đem thay vào (1.13), kết quả nhận được biểu thức khác của entropi
S = ασkk +3(3λ +2µ)α2
∆T −
dF0
dT
. (1.14)
Nhờ biểu thức (1.12) và (1.13) của entropi có thể tính tỉ nhiệt Cv khi biến dạng
không đổi và tỉ nhiệt Cp khi ứng suất không đổi.
Kết hợp (1.3) và (1.4) ta được
−
1
ρ
cj, j = T
ds
dt
,
mặt khác
ds
dt
=
∂s
∂εi j
dεi j
dt
+
∂s
∂T
dT
dt
,
suy ra
−cj, j = T
∂S
∂εi j
dεi j
dt
+
∂S
∂T
dT
dt
(1.15)
từ đây suy ra khi biến dạng không đổi dεi j = 0 thì T ∂S
∂t xác định tỉ nhiệt Cv.
Vậy,
Cv = T
∂S(εi j,T)
∂T
= −T
d2F0
dT2
và tương tự
Cp = T
∂S(σi j,T)
∂T
= 3(3λ +2µ)α2
T −T
d2F0
dT2
.
Xem rằng Cv,Cp,α cũng như λ,µ là hằng số của vật liệu không phụ thuộc nhiệt dộ,
từ hệ thức của Cv tìm được biểu thức của F0
F0 =
T
Z
T0
T
Z
T0
Cv
T
dTdT
Đặt kết quả này vào (1.13) ta nhận được biểu thức của entropi
S = (3λ +2µ)αεkk +Cvln
T
T0
. (1.16)
Dùng các biểu thức của cj theo (1.1) và của S, ta đưa phương trình (1.15) về dạng
kT, j j = Cv
∂T
∂t
+(3λ +2µ)α
∂εkk
∂t
T .
8

9. hay
k∇2
T = Cv
∂T
∂t
+(3λ +2µ)α
∂εkk
∂t
T . (1.17)
Phương trình (1.17) được gọi là phương trình truyền nhiệt và là phương trình cơ bản
tham gia trong bài toán biên của lý thuyết đàn hồi nhiệt.
Nếu trong phương trình (1.17), ta bỏ qua số hạng ∂εkk
∂t , thì khi đó phương trình có
dạng
k∇2
T = Cv
∂T
∂t
.
Phương trình trên có thể thu được nhờ điều kiện cân bằng nhiệt. Lượng nhiệt hấp
thụ trên đơn vị thể tích của vật thể trong một đơn vị thời gian là bằng Cρ ∂T
∂t trong đó
C là nhiệt dung riêng của vật liệu, ρ là mật độ khối.
Mặt khác, lượng nhiệt mất trên một đơn vị thể tích vật thể trong một đơn vị thời
gian là div c, trong đó c là vectơ dòng nhiệt.
Giả thiết nguồn nhiệt trong vật thể sinh ra nhiệt c0 trên một đơn vị thể tích và đơn
vị thời gian, và tính đến phương trình (1.1), điều kiện cân bằng nhiệt cung cấp phương
trình truyền nhiệt
div(k gradT)+c0 = Cρ
∂T
∂t
(1.18)
Khi hệ số dẫn nhiệt k là hằng số, (1.18) dẫn tới
∇2
T +
c0
k
=
1
a1
∂T
∂t
(1.19)
trong đó, a1 = k/(Cρ) là độ khuếch tán nhiệt. Nếu không có nguồn nhiệt (c0 = 0),
phương trình (1.19) trở thành
∇2
T =
1
a1
∂T
∂t
(1.20)
Nghiệm của (1.20) xác định trường nhiệt độ không dừng. Với trường nhiệt độ dừng,
phương trình (1.20) đưa về phương trình Laplace
∇2
T = 0 , (1.21)
Để nghiệm của phương trình (1.19) là duy nhất, các điều kiện biên và đầu cần
được đưa vào. Các điều kiện biên thường được kết hợp với sự trao đổi nhiệt phức trên
9

10. bề mặt của vật thể nơi cả ba loại truyền nhiệt (dẫn nhiệt, đối lưu, bức xạ) có thể xảy
ra đồng thời.
Trong lý thuyết dẫn nhiệt ta sử dụng các điều kiện biên sau [9, 19]:
1. Nhiệt độ bề mặt xác định
T (xk,t) = f (xk,t) , (1.22)
trong đó xk là một điểm trên bề mặt của vật thể và f (xk,t) là hàm đã cho.
Ví dụ: Hình 1.1, điều kiện biên là
T(0,t) = 1500
C,
T(L,t) = 700
C.
2. Dòng nhiệt qua mặt vật thể xác định
c(xk,t) = −k
∂T (xk,t)
∂n
, (1.23)
trong đó n là pháp tuyến ngoài từ bề mặt ngoài của vật thể tại điểm xk.
Ví dụ: Như hình 1.2, với tấm có bề
dày L, dòng nhiệt đều là 50K/m2 từ hai
phía của tấm, khi đó ta có
−
∂T (0,t)
∂x
= 50, −k
∂T (L,t)
∂x
= 50
Trong trường hợp cụ thể c = 0, ta có điều kiện biên đoạn nhiệt cho vật thể mà được
cách ly trao đổi nhiệt bên ngoài
∂T (xk,t)
∂n
= 0, (1.24)
Ví dụ: Hình 1.3, điều kiện biên sẽ là
∂T (0,t)
∂x
= 0, T(L,t) = 600
C
10

11. 3. Nhiệt độ môi trường xác định ϑ và luật trao đổi nhiệt đối lưu giữa bề mặt và
môi trường xung quanh
−k
∂T (xk,t)
∂n
= β [T (xk,t)−ϑ] (1.25)
trong đó β là hệ số truyền nhiệt bề mặt
(hay độ dẫn biên). Hệ số truyền nhiệt bề
mặt β phụ thuộc vào các đặc trưng nhiệt
dộ và vật lý của bề mặt và môi trường
xung quanh.
Ví dụ: Hình 1.4
1.2. Liên hệ ứng suất - chuyển vị
Giả thiết Kirchhoff [1, 16]:
1. Pháp tuyến với mặt giữa trước khi biến dạng sẽ trở thành pháp tuyến của mặt
giữa sau khi biến dạng (giả thiết về pháp tuyến thẳng).
2. Ứng suất pháp theo hướng trực giao với mặt giữa nhỏ so với các thành phần ứng
suất khác, nên có thể bỏ qua.
Ta gọi bản hay tấm mỏng là một vật thể có chiều cao h nhỏ so với các kích thước
của mặt đáy. Mặt phẳng song song với mặt đáy và chia đôi bề dày h của bản gọi là mặt
11

12. giữa. Chọn hệ trục tọa độ như sau: trục Ox, Oy nằm trong mặt giữa, còn trục z thẳng
góc với mặt giữa.
Đối với tấm mỏng, ta có trạng thái ứng suất phẳng suy rộng nên σzz = 0 tại mọi
nơi còn σxz = σyz = 0 tại z = ±h
2 và các thành phần khác theo (1.12) ta có:
σxx = λ (εxx +εyy +εzz)+2µεxx −(3λ +2µ)α∆T
σyy = λ (εxx +εyy +εzz)+2µεyy −(3λ +2µ)α∆T
σzz = λ (εxx +εyy +εzz)+2µεzz −(3λ +2µ)α∆T
σxy = 2µεxy
Vì σzz = 0 nên ta có
λ (εxx +εyy +εzz)+2µεzz −(3λ +2µ)α∆T = 0
suy ra:
εzz = −
λ
λ +2µ
εxx −
λ
λ +2µ
εyy +
3λ +2µ
λ +2µ
α∆T
thay vào các hệ thức của σxx,σyy ta được:
σxx =
4µ (λ + µ)
λ +2µ
εxx +
2µλ
λ +2µ
εyy −
2µ (3λ +2µ)
λ +2µ
α∆T,
σyy =
4µ (λ + µ)
λ +2µ
εyy +
2µλ
λ +2µ
εxx −
2µ (3λ +2µ)
λ +2µ
α∆T,
σxy = 2µεxy.
(1.26)
12

13. với µ = E
2(1+ν), λ = Eν
(1+ν)(1−2ν), (1.26) có thể viết lại như sau:
σxx =
E
1−ν2
(εxx +νεyy −(1+ν)α∆T) ,
σyy =
E
1−ν2
(εyy +νεxx −(1+ν)α∆T) ,
σxy =
E
1+ν
εxy .
(1.27)
Theo công thức Cauchy, tính biến dạng của tấm [8, 9]:
εxx =
∂u
∂x
−z
∂2w
∂x2
,
εyy =
∂v
∂y
−z
∂2w
∂y2
,
εxy =
1
2
∂u
∂y
+
∂v
∂x
−z
∂2w
∂x∂y
.
(1.28)
trong đó, u,v,w các chuyển vị của các điểm tại mặt giữa theo trục x,y,z tương ứng.
Thay (1.28) vào (1.27), ta được liên hệ giữa ứng suất và chuyển vị:
σxx =
E
1−ν2
∂u
∂x
+ν
∂v
∂y
−z
∂2w
∂x2
+ν
∂2w
∂y2
−(1+ν)α∆T
,
σyy =
E
1−ν2
∂v
∂y
+ν
∂u
∂x
−z
∂2w
∂y2
+ν
∂2w
∂x2
−(1+ν)α∆T
,
σxy =
E
2(1+ν)
∂u
∂y
+
∂v
∂x
−2z
∂2w
∂x∂y
.
(1.29)
1.3. Lực dãn, lực tiếp, mômen uốn và mômen xoắn
Ta có
Nx =
h/2
Z
−h/2
σxxdz, Ny =
h/2
Z
−h/2
σyydz, Nxy =
h/2
Z
−h/2
σxydz (1.30)
Thay (1.29) vào (1.30), tích phân, ta được biểu thức xác định các lực
Nx =
Eh
1−ν2
∂u
∂x
+ν
∂v
∂y
−
NT
1−ν
,
Ny =
Eh
1−ν2
∂v
∂y
+ν
∂u
∂x
−
NT
1−ν
,
Nxy =
Eh
2(1+ν)
∂u
∂y
+
∂v
∂x
.
(1.31)
13

14. Các lực Nx,Ny biểu thị lực dãn, còn Nxy = Nyx biểu thị lực tiếp trên một đơn vị dài.
Tương tự, thay (1.29) vào các biểu thức sau
Mx =
h/2
Z
−h/2
σxxzdz, My =
h/2
Z
−h/2
σyyzdz, Mxy =
h/2
Z
−h/2
σxyzdz (1.32)
rồi thực hiện tích phân, ta được các biểu thức xác định mômen
Mx = −D
∂2w
∂x2
+ν
∂2w
∂y2
−
MT
1−ν
,
My = −D
∂2w
∂y2
+ν
∂2w
∂x2
−
MT
1−ν
,
Mxy = −D(1−ν)
∂2w
∂x∂y
.
(1.33)
trong đó,
NT = αE
h/2
Z
−h/2
∆Tdz , MT = αE
h/2
Z
−h/2
z∆Tdz , D =
Eh3
12(1−ν2)
. (1.34)
Các mômen Mx,My gọi là mômen uốn, còn Mxy = −Myx là mômen xoắn trên một đơn
vị dài. D gọi là độ cứng trụ khi uốn.
1.4. Phương trình cơ bản xác định uốn tấm
Ta thiết lập phương trình cân bằng của phân tố tấm dưới tác dụng của lực cắt ngoài
q(x,y) và các lực trong [1, 7].
Tổng hình chiếu các lực lên trục x:
Nx +
∂Nx
∂x
dx
dy−Nxdy+
Nxy +
∂Nxy
∂y
dy
dx−Nxydx = 0,
suy ra
∂Nx
∂x
+
∂Nxy
∂y
= 0. (1.35)
tương tự theo trục y ta có
∂Nxy
∂x
+
∂Ny
∂y
= 0. (1.36)
14

15. Phương trình các mômen theo đường nằm trong mặt phẳng bên phía trái và song song
với trục y:
Mx +
∂Mx
∂x
dx
dy−Mxdy+
Mxy +
∂Mxy
∂y
dy
dx−
−Mxydx−qdxdy
dx
2
−
∂Qy
∂y
dydx
dx
2
−
Qx +
∂Qx
∂x
dx
dxdy = 0
Bỏ qua số hạng nhỏ bậc cao, ta nhận được
∂Mx
∂x
+
∂Mxy
∂y
−Qx = 0. (1.37)
Tương tự, theo chiều song song với trục x
∂Mxy
∂x
+
∂My
∂y
−Qy = 0. (1.38)
Khi chiếu các lực lên trục z ta cần chú ý đến độ võng của tấm. Xét uốn bản trong
mặt phẳng xz, hình chiếu của lực Nx lên trục z có giá trị khác không; với chú ý sin α ≈
tg α = ∂w
∂x , cosα ≈ 1, thành phần lực này lên trục z bằng
−Nxdy
∂w
∂x
+
Nx +
∂Nx
∂x
dx
∂w
∂x
+
∂2w
∂x2
dx
dy
bỏ qua số hạng nhỏ bậc cao dẫn đến
Nx
∂2w
∂x2
dxdy+
∂Nx
∂x
∂w
∂x
dxdy .
Lập luận tương tự, ta nhận được hình chiếu của lực Ny
Ny
∂2w
∂y2
dxdy+
∂Ny
∂y
∂w
∂y
dxdy .
15

16. và của lực tiếp Nxy = Nyx
2Nxy
∂2w
∂x∂y
dxdy+
∂Nxy
∂x
∂w
∂y
+
∂Nxy
∂y
∂w
∂x
dxdy.
Lực cắt trên mặt trực giao với trục x chiếu lên trục z với chú ý về góc như trên sẽ
bằng
−Qxdy+
Qx +
∂Qx
∂x
dx
dy =
∂Qx
∂x
dxdy.
Tương tự, lực cắt Qy chiếu lên trục z sẽ là
∂Qy
∂x
dxdy
và lực cắt ngoài qdxdy. Vậy, tổng các lực chiếu lên trục z
Nx
∂2w
∂x2
+
∂Nx
∂x
∂w
∂x
+Ny
∂2w
∂y2
+
∂Ny
∂y
∂w
∂y
+2Nxy
∂2w
∂x∂y
+
+
∂Nxy
∂x
∂w
∂y
+
∂Nxy
∂y
∂w
∂x
+
∂Qx
∂x
+
∂Qy
∂y
+q = 0,
hay
∂Qx
∂x
+
∂Qy
∂y
+
∂Nx
∂x
+
∂Nxy
∂y
∂w
∂x
+
∂Ny
∂y
+
∂Nxy
∂x
∂w
∂y
+
+Nx
∂2w
∂x2
+Ny
∂2w
∂y2
+2Nxy
∂2w
∂x∂y
+q = 0, (1.39)
Với chú ý (1.35) và (1.36), khi đó (1.39) trở thành
∂Qx
∂x
+
∂Qy
∂y
+Nx
∂2w
∂x2
+Ny
∂2w
∂y2
+2Nxy
∂2w
∂x∂y
+q = 0, (1.40)
Rút Qx,Qy từ (1.37) và (1.38) và thay vào (1.40) dẫn đến phương trình sau:
∂2Mx
∂x2
+
∂2Mxy
∂x∂y
+
∂2My
∂y2
+Nx
∂2w
∂x2
+2Nxy
∂2w
∂x∂y
+Ny
∂2w
∂y2
+q = 0. (1.41)
Phương trình (1.41) chính là phương trình cơ bản để nghiên cứu bài toán cân bằng
bản và ổn định của tấm.
Trong trường hợp không có cắt ngoài q, phương trình (1.41) có dạng
∂2Mx
∂x2
+2
∂2Mxy
∂x∂y
+
∂2My
∂y2
+Nx
∂2w
∂x2
+2Nxy
∂2w
∂x∂y
+Ny
∂2w
∂y2
= 0 . (1.42)
16

17. Thế (1.33) vào (1.42), ta được
∂2
∂x2
−D
∂2w
∂x2
+ν
∂2w
∂y2
−
MT
1−ν
−2D(1−ν)
∂4w
∂x2∂y2
+
+
∂2
∂y2
−D
∂2w
∂y2
+ν
∂2w
∂x2
−
MT
1−ν
+Nx
∂2w
∂x2
+2Nxy
∂2w
∂x∂y
+Ny
∂2w
∂y2
= 0 .
hay
D
∂4w
∂x4
+2
∂4w
∂x2∂y2
+
∂4w
∂y4
+
1
1−ν
∂2MT
∂x2
+
∂2MT
∂y2
−
−Nx
∂2w
∂x2
−2Nxy
∂2w
∂x∂y
−Ny
∂2w
∂y2
= 0. (1.43)
phương trình (1.43) có thể viết lại như sau:
D∇2
∇2
w+
1
1−ν
∇2
MT −Nx
∂2w
∂x2
−2Nxy
∂2w
∂x∂y
−Ny
∂2w
∂y2
= 0. (1.44)
trong đó ∇2 là toán tử Laplace
∇2
=
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
.
1.5. Điều kiện biên
Xét một số trường hợp đơn giản về điều kiện biên thường gặp trong các bài toán
đối với tấm hình chữ nhật
1. Biên tựa bản lề: (Hình 1.8) chẳng hạn cạnh y = 0 tựa tự do, khi đó điều kiện
biên là
(w)y=0 = 0,
(My)y=0 = 0.
(1.45)
hay
(w)y=0 = 0,
−D
∂2w
∂y2
+ν
∂2w
∂x2
−
MT
1−ν
y=0
= 0
(1.46)
17

18. Hệ thức (1.45) có thể viết lại như sau
−D
∂2w
∂y2
−
MT
1−ν
y=0
= 0 (1.47)
2. Biên bị ngàm: (Hình 1.9) ví dụ cạnh y = 0 bị ngàm, thì điều kiện biên sẽ là
(w)y=0 = 0,
∂w
∂y
y=0
= 0. (1.48)
3. Biên tự do: giả sử cạnh y = 0 tự do. Theo Poisson, điều kiện biên sẽ là
(My)y=0 = 0, (Mxy)y=0 = 0, (Qy)y=0 = 0. (1.49)
Nhưng theo Kirchhoff, tại cạnh đó điều
kiện biên sẽ là
(My)y=0 = 0,
Qy +
∂Mxy
∂x
y=0
= 0.
(1.50)
Thay (1.33) vào (1.37) và (1.38), ta
được biểu thức xác định lực cắt như sau
Qx = −D
∂3w
∂x3
+
∂3w
∂x∂y2
−
1
1−ν
∂MT
∂x
,
(1.51)
Qy = −D
∂3w
∂y3
+
∂3w
∂x2∂y
−
1
1−ν
∂MT
∂y
.
(1.52)
Khi đó,(1.50) trở thành
−D
∂2w
∂y2
+ν
∂2w
∂x2
−
MT
1−ν
y=0
= 0,
−D
∂3w
∂y3
+(2−ν)
∂3w
∂x2∂y
−
1
1−ν
∂MT
∂y
y=0
= 0.
(1.53)
18

19. Chương 2
Uốn tấm composite mỏng khi có truyền
nhiệt dừng
2.1. Modun đàn hồi và hệ số dãn nở nhiệt của composite cốt hạt
Giả thiết tấm composite có độn các hạt hình cầu có độ dài hai cạnh là a,b, chiều
dày h, tấm tựa bản lề tại các cạnh. Ta xét trường hợp tấm có sự trao đổi nhiệt đối lưu
ổn định trên bề mặt z = ±h
2, và khi có sự khác nhau lớn về nhiệt độ giữa các mặt
z = ±h
2, thì có gradient nhiệt độ cao thông qua bề dày của tấm gây ra uốn nhiệt. Bài
toán đặt ra là hãy xác định độ uốn của tấm khi có truyền nhiệt dừng.
Để giải được bài toán đó cần xác định được môdun đàn hồi cho composite. Giả
thiết nền và hạt đều là vật liệu đàn hồi đồng nhất đẳng hướng, có tính đến tương tác
giữa nền và hạt. Khi đó, ta có [18]:
K = Km +
(Kc −Km)ξ
1+(Kc −Km)
Km + 4
3Gm
,
G = Gm −
15(1−νm)(Gm −Gc)ξ
7−5νm +(8−10νm)
Gc
Gm
.
(2.1)
trong đó, ξ =
N
∑
i=1
Vi
V là tỷ lệ thể tích các hạt độn. Gm,Gc tương ứng là môdun trượt của
pha nền và pha hạt; Km,Kc tương ứng là môdun kéo nén thể tích của pha nền, pha hạt;
νm,νc tương ứng là hệ số Poisson của pha nền và pha hạt.
Với αm,αc là hệ số dãn nở nhiệt của pha nền, pha hạt tương ứng, khi đó hệ số dãn
nở nhiệt của composite cốt hạt được xác định như công thức sau [4]:
α = αm +(αc −αm)
Kc (3Km +4Gm)ξ
Km (3Kc +4Gm)+4(Kc −Km)Gmξ
. (2.2)

20. .
2.2. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm
Do có sự trao đổi nhiệt đối lưu trên bề mặt tấm, và gradient nhiệt theo bề dày của
tấm, nên phương trình truyền nhiệt dừng (1.21) có dạng [12]:
d2T
dz2
= 0 (2.3)
Với điều kiện biên (1.25) sẽ là







k
∂T
∂z
= β1 (T −T1) tại z = −
h
2
,
−k
∂T
∂z
= β2 (T −T2) tại z =
h
2
,
(2.4)
trong đó, T1,β1 tương ứng là nhiệt độ môi trường, hệ số truyền nhiệt đối lưu tại mặt
z = −h
2; T2,β2 là nhiệt độ môi trường, hệ số truyền nhiệt đối lưu tại mặt z = h
2
tương ứng; k là hệ số dẫn nhiệt của vật liệu, và giả thiết được xác định theo công thức
[3]
k = (1−ξ)km +ξkc. (2.5)
Đặt :
γ1 =
β1
k
, γ2 =
β2
k
(2.6)
Khi đó, điều kiện biên (2.4) trở thành:







∂T
∂z
= γ1 (T −T1) tại z = −
h
2
,
−
∂T
∂z
= γ2 (T −T2) tại z =
h
2
,
(2.7)
Tích phân phương trình (2.3) ta được nghiệm T có dạng
T = C0 +C1z,
trong đó, C0,C1 là các hằng số được xác định từ điều kiện biên. Thay biểu thức nghiệm
T này vào điều kiện biên (2.7), ta được hệ gồm hai phương trình hai ẩn C0,C1









1+γ1
h
2
C1 −γ1C0 = −γ1T1
−
1+γ2
h
2
C1 −γ2C0 = −γ2T2
(2.8)
20

21. Giải hệ (2.8), ta được
C0 =
1
γ1 +γ2 +γ1γ2h
T1γ1
1+γ2
h
2
+T2γ2
1+γ1
h
2
,
C1 =
γ1γ2 (T2 −T1)
γ1 +γ2 +γ1γ2h
,
(2.9)
Với C0,C1 xác định theo (2.9), thay vào biểu thức nghiệm của T, ta thu được
T =
1
γ1 +γ2 +γ1γ2h
T1γ1
1+γ2
h
2
+T2γ2
1+γ1
h
2
+γ1γ2(T2 −T1)z
(2.10)
Khi đó, thế (2.10) vào biểu thức (1.11), dẫn tới
∆T = −T0 +
1
γ1 +γ2 +γ1γ2h
T1γ1
1+γ2
h
2
+T2γ2
1+γ1
h
2
+
+
γ1γ2(T2 −T1)
γ1 +γ2 +γ1γ2h
z. (2.11)
2.3. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng
2.3.1. Mặt giữa không biến dạng
Thay (1.31) vào (1.35) và (1.36), tương ứng ta được hệ sau









Eh
1−ν2
∂2u
∂x2
+ν
∂2v
∂x∂y
−
1
1−ν
∂NT
∂x
+
Eh
2(1+ν)
∂2u
∂y2
+
∂2v
∂x∂y
= 0
Eh
1−ν2
∂2v
∂y2
+ν
∂2u
∂x∂y
−
1
1−ν
∂NT
∂y
+
Eh
2(1+ν)
∂2u
∂x∂y
+
∂2v
∂x2
= 0
hay hệ trên có thể viết lại như sau









Eh
1−ν2
∂2u
∂x2
+
Eh
2(1+ν)
∂2u
∂y2
+
Eh
2(1−ν)
∂2v
∂x∂y
−
1
1−ν
∂NT
∂x
= 0
Eh
1−ν2
∂2v
∂y2
+
Eh
2(1+ν)
∂2v
∂x2
+
Eh
2(1−ν)
∂2u
∂x∂y
−
1
1−ν
∂NT
∂y
= 0
(2.12)
thay biểu thức ∆T ở (2.11) vào biểu thức NT ở (1.34), tích phân ta được
NT = N1 = const (2.13)
khi đó, hệ (2.12) trở thành









1
1−ν2
∂2u
∂x2
+
1
2(1+ν)
∂2u
∂y2
+
1
2(1−ν)
∂2v
∂x∂y
= 0
1
1−ν2
∂2v
∂y2
+
1
2(1+ν)
∂2v
∂x2
+
1
2(1−ν)
∂2u
∂x∂y
= 0
(2.14)
21

22. Do tấm tựa bản lề tại các cạnh nên điều kiện biên có dạng
w = v = 0; Mx = 0, tại x = 0, x = a
w = u = 0; My = 0, tại y = 0, y = b
Nghiệm u,v thỏa mãn điều kiện biên trên có dạng
u =
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1
umn cos
mπx
a
sin
nπy
b
v =
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1
vmn sin
mπx
a
cos
nπy
b
trong đó m,n là các số tự nhiên.
Thay biểu thức nghiệm của u,v vào hệ (2.14), ta có:











∞
∑
m=1
∞
∑
n=1
umn
1
1+ν
m2
(1−ν)a2
+
n2
2b2
+vmn
mn
2ab(1−ν)
cos
mπx
a
sin
nπy
b
=0
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1
vmn
1
1+ν
n2
(1−ν)b2
+
m2
2a2
+umn
mn
2ab(1−ν)
sin
mπx
a
cos
nπy
b
= 0
Do hệ đúng với mọi x,y nên ta có









umn
1
1+ν
1
1−ν
m2
a2
+
1
2
n2
b2
+vmn
1
2(1−ν)
mn
ab
= 0
vmn
1
1+ν
1
1−ν
n2
b2
+
1
2
m2
a2
+umn
1
2(1−ν)
mn
ab
= 0
(2.15)
hay hệ (2.15) có thể viết lại như sau









umn
2b2m2 +a2n2 (1−ν)
ab(1+ν)
+vmnmn = 0
umnmn+vmn
2a2n2 +b2m2 (1−ν)
ab(1+ν)
= 0
(2.16)
Từ phương trình đầu của hệ (2.16) suy ra:
vmn = −umn
2b2m2 +a2n2 (1−ν)
abmn(1+ν)
thay vào phương trình thứ hai của hệ đó, ta có
umn
mn−
2b2m2 +a2n2 (1−ν)
2a2n2 +b2m2 (1−ν)
a2b2mn(1+ν)2
#
= 0
22

23. hay
umnImn = 0, (2.17)
trong đó,
Imn = mn−
2b2m2 +a2n2 (1−ν)
2a2n2 +b2m2 (1−ν)
a2b2mn(1+ν)2
Biến đổi biểu thức Imn, ta được
Imn =
a2b2m2n2 (1+ν)2
− 2b2m2 +a2n2 (1−ν)
2a2n2 +b2m2 (1−ν)
a2b2mn(1+ν)2
=
−2(1−ν) a2n2 +m2b2
2
a2b2mn(1+ν)2
Do: −1 6 ν 6 1
2 nên Imn 0. Do đó, từ (2.17) suy ra: umn = 0
suy ra vmn = 0
Vậy u = 0,v = 0
Như vậy, khi nhiệt độ được truyền theo bề dày của tấm theo quy luật (2.10), (2.11)
thì nó không gây ra chuyển vị tại các điểm ở mặt giữa theo phương x,y nên không có
biến dạng nhiệt tại mặt giữa.
2.3.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm
Mặt giữa của tấm không bị biến dạng, khi đó, (1.31) trở thành:
Nx = −
NT
1−ν
,
Ny = −
NT
1−ν
,
Nxy = 0,
(2.18)
Thay biểu thức NT ở (2.13) vào (2.18), ta được
Nx = Ny = −
N1
1−ν
= N0 ,
Nxy = 0,
(2.19)
tương tự, thay ∆T từ (2.11) vào biểu thức của MT ở (1.34), thực hiện tích phân, ta thu
được
MT = M0 = const (2.20)
23

24. Thay (2.20) vào biểu thức xác định mômen (1.33), ta được
Mx = −D
∂2w
∂x2
+ν
∂2w
∂y2
−
M0
1−ν
,
My = −D
∂2w
∂y2
+ν
∂2w
∂x2
−
M0
1−ν
,
Mxy = −D(1−ν)
∂2w
∂x∂y
.
(2.21)
trong đó, D được xác định như trong (1.34).
Thế (2.19) và (2.21) vào (1.43), ta được phương trình xác định uốn tấm trong
trường hợp có sự truyền nhiệt dừng là
D
∂4w
∂x4
+2
∂4w
∂x2∂y2
+
∂4w
∂y4
−N0
∂2w
∂x2
+
∂2w
∂y2
= 0 . (2.22)
hay
∇2
∇2
w−
N0
D
w
=0 . (2.23)
Do tấm tựa bản lề tại các cạnh, nên điều kiện biên có dạng
w = 0, Mx = −D
∂2w
∂x2
+ν
∂2w
∂y2
−
M0
1−ν
= 0, tại x = 0,x = a.
w = 0, My = −D
∂2w
∂y2
+ν
∂2w
∂x2
−
M0
1−ν
= 0, tại y = 0,y = b.
(2.24)
Phương trình (2.23) có thể được đưa về hệ gồm hai phương trình sau:





∇2
f = 0,
∇2
w−
N0
D
w = f .
(2.25)
hay cụ thể là 








∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
f = 0
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
w−
N0
D
w = f
(2.26)
Mặt khác, ta có thể xem các điều kiện biên của tựa bản lề như sau:
w = 0,
∂2w
∂y2
= 0, tại x = 0,x = a,
w = 0,
∂2w
∂x2
= 0, tại y = 0,y = b.
(2.27)
24

25. Do đó, sử dụng các điều kiện biên (2.27), ta thu được các điều kiện biên cho hàm ẩn
f:
f +
M0
D(1−ν)
= 0, tại x = 0,x = a
f +
M0
D(1−ν)
= 0, tại y = 0,y = b
Suy ra, hàm ẩn f trong phương trình đầu tiên của hệ (2.26):
f = −
M0
D(1−ν)
,
Khi đó, phương trình thứ hai của hệ (2.26) thành:
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
w−
N0
D
w = −
M0
D(1−ν)
, (2.28)
đây chính là phương trình cơ bản xác định độ võng w của tấm.
Dễ dàng thấy rằng điều kiện biên w = 0 được thỏa mãn, nếu w biểu thị qua chuỗi
Fourier [1]:
w =
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1
wmn sin
mπx
a
sin
nπy
b
, (2.29)
trong đó, m,n là các số tự nhiên. Ta cũng biểu diễn M0 dưới dạng chuỗi Fourier:
M0 =
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1
amn sin
mπx
a
sin
nπy
b
, (2.30)
trong đó,
amn =





16M0
π2mn
, m,n = 1,3,5,...
0 m,n = 2,4,6,...
(2.31)
Thay (2.29) và (2.30) vào phương trình (2.28), và do phương trình đúng với mọi x,y,
và mặt giữa khi uốn phải đối xứng, các số hạng m,n chẵn tương ứng với độ võng
không đối xứng do đó chúng bằng 0, nên suy ra:
wmn =







amn
D(1−ν)
.
1
m2π2
a2 + n2π2
b2 + N0
D
m,n = 1,3,5,...
0 m,n = 2,4,6,...
25

26. Vậy, ta được nghiệm giải tích của bài toán xác định độ uốn của tấm khi có truyền
nhiệt dừng là:
w = ∑
m=1,3,5,...
∑
n=1,3,5,...
amn
D(1−ν)
.
1
m2π2
a2 + n2π2
b2 + N0
D
sin
mπx
a
sin
nπy
b
. (2.32)
trong đó,
amn =
16M0
π2mn
, D =
Eh3
12(1−ν2)
,
N0 = −
αE
1−ν
h/2
Z
−h/2
∆Tdz = −
αE
1−ν
N∗
T , M0 = αE
h/2
Z
−h/2
z∆Tdz = αEM∗
T .
(2.33)
Do tấm đang xét là tấm composite có độn các hạt hình cầu với các hằng số môdun
kéo nén thể tích K và môdun trượt G được xác định theo công thức (2.1) và hệ số dãn
nở nhiệt theo công thức (2.2), nên ta có thể biểu diễn nghiệm (2.32) theo các hằng số
K,G.
Ta có [1]
E =
9KG
3K +G
, ν =
3K −2G
6K +2G
,
thay vào biểu thức (2.33), ta được
N0 = −
18KGα
3K +4G
N∗
T , M0 =
9KGα
3K +G
M∗
T
D =
h3G(3K +G)
3(3K +4G)
, amn =
144KGαM∗
T
π2mn(3K +G)
(2.34)
Thế (2.34) vào (2.32), ta thu được dạng khác của nghiệm xác định độ võng của tấm
w = ∑
m=1,3,5,...
∑
n=1,3,5,...
wmn sin
mπx
a
sin
nπy
b
. (2.35)
trong đó,
wmn =
864KαM∗
T
π2mnh3 (3K +G)
.
1
w1
, w1 =
m2π2
a2
+
n2π2
b2
−
54KαN∗
T
h3 (3K +G)
26

27. 2.4. Tính toán số
Với biểu thức nghiệm giải tích xác định độ võng của tấm khi có truyền nhiệt dừng
(2.32), ta sẽ đi tính toán độ võng của tấm trong trường hợp cụ thể. Xét tấm composite
độn các hạt Titan được làm từ các vật liệu thành phần với các đặc trưng tương ứng
như sau [3, 4]:
Nền PVC: Em = 3.109(Pa),νm = 0.2,αm = 8.10−5/K,km = 0.16(W/m.K).
Hạt Titan: Ec = 100.109(Pa),νc = 0.34,αc = 4.8.10−6/K,kc = 22.1(W/m.K).
Giả sử, tấm có chiều dài a = 2.25m, chiều rộng b = 1.5m, bề dày h = 0.02m.
Môi trường xung quanh tấm là không khí, với hệ số truyền nhiệt đối lưu, nhiệt độ
môi trường ở mặt (z = −h
2 ) tương ứng là β1 = 60(W/m2.K), T1 = 3300K và ở mặt
(z = h
2) tương ứng là β2 = 40(W/m2.K), T2 = 3000K. T0 = 2930K.
Với các số liệu trên, thay vào biểu thức (2.11), sử dụng phần mềm Matlab 7.1 (xem
phụ lục 1), kết quả thu được là sự phân bố nhiệt độ trong tấm theo bề dày của tấm như
hình 2.1. Tương tự, thay vào biểu thức nghiệm giải tích (2.35), tác giả đã thu được độ
võng của tấm như hình 2.2. (Xem phụ lục 2). Chú ý biểu thức nghiệm xác định độ
võng của tấm (2.35) là một chuỗi kép vô hạn, nhưng chỉ cần vài số hạng đầu đã cho
ta kết quả tương đối chính xác, vì vậy ở đây luận văn chỉ xét với m,n = 1−3.
Hình 2.1 Đồ thị phân bố nhiệt độ theo chiều dày tấm.
27

28. Bảng 2.1 Độ võng của tấm tại một số điểm
aaaaaaaaa
a
w
(x,y)
(0, 0) (0.36, 0.24) (0.9, 0.6) (1.125, 0.75) (1.8, 1.2) (2.16, 1.44)
w|ξ=0.1 0 0.0028 0.0008 0.0019 0.0027 0.0003
w|ξ=0.15 0 -0.0003 -0.0003 -0.0011 -0.0001 -0.0001
w|ξ=0.2 0 0.00027 -0.00022 -0.0007 0.0004 -0.00001
w|ξ=0.3 0 -0.0022 0.0028 0.0048 -0.0025 -0.0002
Nhận xét: Nhìn vào hình 2.1, ta thấy sự truyền nhiệt theo bề dày của tấm từ mặt
trên (z = −h
2 ) xuống mặt dưới (z = h
2 ) là tuyến tính và khi tỉ lệ thể tích hạt Titan
tăng (ξ tăng) thì sự chênh lệch nhiệt độ giữa mặt trên và mặt dưới giảm.
Từ kết quả trên hình biểu thị độ võng của tấm dọc theo chiều dài tấm với những tỉ
lệ thể tích hạt Titan nhất định dưới ảnh hưởng của sự truyền nhiệt dừng theo bề dày
của tấm (Hình 2.2), ta thấy rằng khi trộn hạt Titan với những tỉ lệ thể tích khác nhau,
các hạt Titan đã làm ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử uốn của tấm. Khi ta trộn hạt với
tỉ lệ thể tích dưới hoặc bằng 20% (ξ ≤ 0.2) thì độ võng tại các điểm của tấm giảm và
28

29. giữa các điểm là đồng đều hơn khi tăng tỉ lệ thể tích hạt. Vậy, với tỉ lệ thể tích tăng
dần (≤ 20% ), các hạt Titan đã làm tăng khả năng chống uốn, chống dạn nứt và kháng
nhiệt của tấm. Nhưng khi tỉ lệ thể tích hạt khoảng 30% (ξ = 0.3) thì ứng xử uốn của
tấm biến đổi mạnh, độ võng tại các điểm của tấm cao và giữa các điểm có sự chênh
lệch lớn. Như vậy, khi được trộn với một tỉ lệ thể tích hạt hợp lí, các hạt Titan sẽ có
vai trò quan trọng trong việc tăng khả năng chống uốn, chống dạn nứt và kháng nhiệt
của tấm.
2.5. Kết luận
Trong chương 2, luận văn đã thu được kết quả như sau:
1. Thiết lập bài toán uốn tấm khi có truyền nhiệt dừng.
2. Giải tìm được nghiệm phương trình truyền nhiệt dừng (2.10), từ đó chỉ ra rằng
mặt giữa của tấm không có biến dạng nhiệt, xác định được các hằng số (2.34) và xác
định được độ võng của tấm w.
3. Trên cơ sở nghiệm giải tích uốn tấm tìm được, tác giả tính toán số với các
composite cốt hạt Titan nền PVC, do đó thấy được sự ảnh hưởng của các hạt tới ứng
xử uốn của tấm. Khi được trộn với một tỉ lệ thể tích hạt hợp lí, các hạt Titan sẽ có vai
trò quan trọng trong việc tăng khả năng chống uốn, chống dạn nứt và kháng nhiệt của
tấm.
29

30. Chương 3
Uốn tấm composite mỏng khi có truyền
nhiệt không dừng
Xét tấm composite độn các hạt hình cầu với các hằng số đàn hồi được xác định
theo công thức (2.1)và hệ số dãn nở nhiệt theo công thức (2.2). Giả thiết tấm hình chữ
nhật có cạnh a,b, chiều dày h, tấm tựa bản lề tại các cạnh. Ta xét trường hợp có sự
trao đổi nhiệt đối lưu trên bề mặt z = ±h
2, và có sự truyền nhiệt không dừng theo
bề dày của tấm. Bài toán đặt ra là hãy xác định uốn của tấm khi có truyền nhiệt không
dừng.
3.1. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng
3.1.1. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm
Do có truyền nhiệt không dừng và gradient thông qua bề dày của tấm nên phương
trình truyền nhiệt (1.20) là [9]:
∂T
∂t
= a1
∂2T
∂z2
, (3.1)
Với điều kiện đầu và các điều kiện biên:















T = Ti tại t = 0
k
∂T
∂z
= β1(T −T1) tại z = −
h
2
−k
∂T
∂z
= β2(T −T2) tại z =
h
2
(3.2)
trong đó, a1 = k
Cρ là độ khuếch tán nhiệt của vật liệu, T1,β1 tương ứng là nhiệt độ môi
trường, hệ số truyền nhiệt đối lưu tại mặtz = −h
2; T2,β2 là nhiệt độ môi trường, hệ

31. số truyền nhiệt đối lưu tại mặt z = h
2 tương ứng; k tương ứng là hệ số dẫn nhiệt và
được giả thiết xác định theo công thức (2.5), C,ρ nhiệt dung riêng, mật độ khối của
vật liệu, và giả thiết được xác định bởi các công thức sau [3]:
ρ = (1−ξ)ρm +ξρc , C =
Cmρm (1−ξ)+Ccρcξ
ρm (1−ξ)+ρcξ
.
Đặt :
τ =
a1t
h2
, ζ =
z
h
, γ1 =
β1h
k
, γ2 =
β2h
k
. (3.3)
thì phương trình (3.1) trở thành:
∂T
∂τ
=
∂2T
∂ζ2
, (3.4)
với điều kiện đầu và các điều kiện biên (3.2) xác định như sau:















T = Ti tại τ = 0,
∂T
∂ζ
= γ1 (T −T1) tại ζ = −
1
2
,
−
∂T
∂ζ
= γ2 (T −T2) tại ζ =
1
2
,
(3.5)
Dùng phép biến đổi Laplace:
T∗
=
Z ∞
0
Te−pτ
dτ ,
suy ra
∞
Z
0
∂T
∂τ
e−pτ
dτ = pT∗
−Ti
khi đó, phương trình (3.4) và các điều kiện (3.5) tương ứng có dạng như (3.6) và (3.7):
d2T∗
dζ2
− p
T∗
−
Ti
p
= 0 , (3.6)









dT∗
dζ
−γ1
T∗
−
T1
p
= 0 tại ζ = −
1
2
,
dT∗
dζ
+γ2
T∗
−
T2
p
= 0 tại ζ =
1
2
,
(3.7)
31

32. Nghiệm của phương trình (3.6) có dạng:
T∗
=
Ti
p
+C3ch
√
pζ +C4sh
√
pζ , (3.8)
trong đó, C3,C4 được xác định từ điều kiện biên (3.7).
Thay (3.8) vào điều kiện biên (3.7), ta được hệ phương trình hai ẩn C3,C4 là









−C3
√
psh
√
p
2
+γ1ch
√
p
2
+C4
√
pch
√
p
2
+γ1sh
√
p
2
=
γ1 (Ti −T1)
p
C3
√
psh
√
p
2
+γ2ch
√
p
2
+C4
√
pch
√
p
2
+γ2sh
√
p
2
= −
γ2 (Ti −T2)
p
Giải hệ phương trình này, ta thu được
C3 = −
γ1 (Ti −T1)
√
pch
√
p
2 +γ2sh
√
p
2
+γ2 (Ti −T2)
√
pch
√
p
2 +γ1sh
√
p
2
p
√
p
h
(p+γ1γ2)
sh
√
p
√
p +(γ1 +γ2)ch
√
p
i ,
C4 =
γ1 (Ti −T1)
√
psh
√
p
2 +γ2ch
√
p
2
−γ2 (Ti −T2)
√
psh
√
p
2 +γ1ch
√
p
2
p
√
p
h
(p+γ1γ2)
sh
√
p
√
p +(γ1 +γ2)ch
√
p
i .
(3.9)
Thế kết quả C3,C4 từ (3.9) vào (3.8), với chú ý (3.12), ta dẫn đến
T∗
=
Ti
p
+
A(p)
B(p)
(3.10)
trong đó,
A(p) = γ1 (T1 −Ti)
ch
√
p
1
2
−ζ
+
γ2
√
p
sh
√
p
1
2
−ζ
+
+γ2 (T2 −Ti)
ch
√
p
1
2
+ζ
+
γ1
√
p
sh
√
p
1
2
+ζ
B(p) = p
(p+γ1γ2)
sh
√
p
√
p
+(γ1 +γ2)ch
√
p
(3.11)
32

33. Chú ý
shx =
ex −e−x
2
, chx =
ex +e−x
2
,
shxchy =
1
2
[sh(x+y)+sh(x−y)] ,
chxshy =
1
2
[sh(x+y)−sh(x−y)] ,
shxshy =
1
2
[ch(x+y)−ch(x−y)] ,
chxchy =
1
2
[ch(x+y)+ch(x−y)] .
(3.12)
Ở đây, muốn đưa nghiệm T∗ ở (3.10) về nghiệm ban đầu T, ta vận dụng định lí
sau [9]: Ta có phép biến đổi Laplace của hàm f(s) là:
f∗
(p) =
Z ∞
0
f(s)e−ps
ds ,
Khi đó, định lí phát biểu như sau: Nếu phép biến đổi f∗(p) là tỉ lệ của các hàm siêu
việt Φ(p) và ψ(p), tức là
f∗
(p) =
Φ(p)
ψ(p)
,
thì hàm ban đầu là
f (s) =
m
∑
n=1
1
(kn −1)!
lim
p→pn
dkn−1
dpkn−1
h
f∗
(p)(p− pn)kn
eps
i
(3.13)
trong đó, pn là nghiệm của ψ(p). Nếu ψ(p) chỉ có các nghiệm đơn pn (n = 1,2,...),
thì công thức (3.13) có thể đưa về dạng
f (s) =
m
∑
n=1
Φ(pn)
ψ0
(pn)
epns
, (3.14)
trong đó
ψ
0
(pn) =
∂ψ(pn)
∂ p
.
Giải phương trình B(p) = 0 tức là
p
(p+γ1γ2)
sh
√
p
√
p
+(γ1 +γ2)ch
√
p
= 0
phương trình trên có nghiệm p1 = 0 và pn+1 = −µ2
n (n = 1,2,...) trong đó, pn+1 là
nghiệm của phương trình
(p+γ1γ2)
sh
√
p
√
p
+(γ1 +γ2)ch
√
p = 0
33
Tải bản FULL (63 trang): https://bit.ly/3FyeO3z
Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net

34. khi đó, µn = i
√
pn+1
được xác định bởi phương trình sau
tgµ =
γ1 +γ2
µ2 −γ1γ2
µ . (3.15)
với chú ý
sh(iµ) = isinµ , ch(iµ) = cosµ
Áp dụng định lí trên, ta có nghiệm T ban đầu có dạng
T = Ti + lim
p→0
d
dp
A(p)
B(p)
p2
epτ
+
∞
∑
n=1
A −µ2
n
B
0
(−µ2
n )
epn+1τ
Thực hiện tính toán, ta được
lim
p→0
d
dp
A(p)
B(p)
p2
epτ
=
A(0)
B
0
(0)
.
trong đó
A(0) = γ1(T1 −Ti)
1+γ2
1
2
−ζ
+γ2(T2 −Ti)
1+γ1
1
2
+ζ
,
B
0
(0) = γ1 +γ2 +γ1γ2 ,
(3.16)
Từ biểu thức B(p) trong (3.11) thực hiện đạo hàm theo p, ta có
B
0
(p) = (p+γ1γ2)
sh
√
p
√
p
+(γ1 +γ2)ch
√
p+
+
1
2
√
p
{[(1+γ1 +γ2) p−γ1γ2]sh
√
p+
√
p(p+γ1γ2)ch
√
p}
khi đó, với pn+1 = −µ2
n và chú ý sh(iµn) = −sinµn,ch(iµn) = cosµn, suy ra
B
0
(−µ2
n ) = −
1
2µn
(1+γ1 +γ2)µ2
n +γ1γ2
sinµn + µ2
n −γ1γ2
µn cosµn .
tương tự, thế pn+1 = −µ2
n vào biểu thức A(p) ở (3.11) suy ra
A(−µ2
n ) = γ1(T1 −Ti)
cosµn
1
2
−ζ
+
γ2
µn
sinµn
1
2
−ζ
+
+γ2(T2 −Ti)
cosµn
1
2
+ζ
+
γ1
µn
sinµn
1
2
+ζ
,
(3.17)
34
Tải bản FULL (63 trang): https://bit.ly/3FyeO3z
Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net

35. Kết quả thu được nghiệm T như sau
T = Ti +
A(0)
B
0
(0)
+
∞
∑
n=1
A(−µ2
n )
B
0
(−µ2
n )
e−µ2
n τ
, (3.18)
trong đó,
A(0) = γ1(T1 −Ti)
1+γ2
1
2
−ζ
+γ2(T2 −Ti)
1+γ1
1
2
+ζ
,
B
0
(0) = γ1 +γ2 +γ1γ2 ,
A(−µ2
n ) = γ1(T1 −Ti)
cosµn
1
2
−ζ
+
γ2
µn
sinµn
1
2
−ζ
+ (3.19)
+γ2(T2 −Ti)
cosµn
1
2
+ζ
+
γ1
µn
sinµn
1
2
+ζ
,
B
0
(−µ2
n ) = −
1
2µn
(1+γ1 +γ2)µ2
n +γ1γ2
sinµn + µ2
n −γ1γ2
µn cosµn .
Lấy T0 = Ti, khi đó, thay (3.18) vào biểu thức (1.11) ta được
∆T∗ =
A(0)
B
0
(0)
+
∞
∑
n=1
A(−µ2
n )
B
0
(−µ2
n )
e−µ2
n τ
. (3.20)
trong đó, A(0),B
0
(0),A(−µ2
n ),B
0
(−µ2
n ) xác định như (3.19).
Thay biểu thức của τ và ζ từ (3.3) vào (3.20), khi đó ta thu được biểu thức ∆T∗
biểu diễn thông qua z,t như sau
∆T∗ =
A1(0)
B
0
(0)
+
∞
∑
n=1
A1(−µ2
n )
B
0
(−µ2
n )
e−ηµ2
nt
, (3.21)
trong đó, η = a1
h2
A1(0) = γ1(T1 −Ti)
1+γ2
1
2
−
z
2
+γ2(T2 −Ti)
1+γ1
1
2
+
z
2
,
B
0
(0) = γ1 +γ2 +γ1γ2 ,
A1(−µ2
n ) = γ1(T1 −Ti)
cosµn
1
2
−
z
2
+
γ2
µn
sinµn
1
2
−
z
2
+ (3.22)
+γ2(T2 −Ti)
cosµn
1
2
+
z
2
+
γ1
µn
sinµn
1
2
+
z
2
,
B
0
(−µ2
n ) = −
1
2µn
(1+γ1 +γ2)µ2
n +γ1γ2
sinµn + µ2
n −γ1γ2
µn cosµn .
35
6812375