Rome, November 11, 2010 - B.Sc. Physics final degree presentation (in italian

1. +
Stringhe Relativistiche Classiche
Gabriele Pompa
11/11/2010

2. +
UNIFICARE
 1819 - Oersted: Campo orientante generato da
spira percorsa da corrente.
 1831 - Faraday: Campo magnetico variabile nel
tempo genera campo elettrico.
Ridurre più cose o parti a un tutto unico, riunirle insieme in un tutto omogeneo
(fonte: Enciclopedia Treccani)
 1865 - Maxwell: Equazioni della
Elettrodinamica.
 Primi del ‘900 - Einstein:  Spazio e Tempo: Nozioni correlate.
 E = mc2 Energia  massa
 Anni ‘20 - Meccanica Quantistica: Osservabili  Operatori
 Oggi:
 Modello Standard
 Gravità classica
versione quantistica della gravità per:
 Universo primordiale
 Buchi neri

3. +
UNA PROPOSTA
 Unico ente fondamentale: Stringa ⇒ particelle ≡ modi vibrazionali
 Non contiene parametri variabili
 Dimensionalità spazio - tempo dedotta: 10-D a bassa energia: 4-D
 Predice esistenza gravità: gravitone è un modo vibrazionale.
 MA: (ad oggi) non esistono verifiche sperimentali
La Teoria delle Stringhe

4. +
SOMMARIO
1. Nozioni di geometria differenziale
2. Linguaggio relativistico
3. Elettrodinamica relativistica
4. Meccanica lagrangiana
5. Foglio - universo
6. Invarianza di Lorentz
7. Azione di Nambu-Goto
8. Invarianza per riparametrizzazione
9. Equazioni del moto
10. Condizioni al bordo
11. Gauge statico
12. Stringa statica

5. +
NOZIONI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE
 varietà M, d-dim carta ( Up,f ) locale: Up x ( x1, …, xd ) Ad Rd
ATLANTE( domini ricoprono Md )
 struttura differenziabile: diffeomorfismo CAMBIO di COORDINATE di classe
C∞: y = y ( x1, …, xd ) =1,…,d
 SUPERFICI:
 sub-varietà 2-dim immersa in spazio d-dim: foglio-universo
 equazioni cartesiane regolarità da: rg = 2
 SPAZIO TANGENTE:TpM vettori tangenti in p
 FIBRATO TANGENTE: TpM = TM campo vettoriale: x M dX T
 Linee coordinate , vettori X e X’ tangenti in p: rg( J ) = 2 p { X, X’} base
puntuale su TpM:
dX = X d + X’ d = — d
f
X0 = X0 ( , )
Xd = Xd ( , )
…
∂ X0 ∂ Xd
∂ X0 ∂ Xd
…
…
P M
.
. .
. ∂X
∂

6. +
LINGUAGGIO RELATIVISTICO
 Estensione formalismo di Einstein a spazio-tempo (1+9) – dim
 Sistemi inerziali: vale primo principio dinamica
 Trasformazione di Lorentz
• c: costante universale indipendente da S.I.
• trasformazioni unitarie: preservano norma di
Minkowski: ∆s2 = - ( c∆t )2 + ∑ ( ∆xi )2
 Invarianza di Lorentz della distanza tra punti rispetto a S.I. scelto per misurarla
 Tensore metrico: = diag ( -1, 1, 1, 1 ) ds2 = dx dx
 Suddivisione causale spazio-tempo: quadri-vettori genere
i
tempo ( c∆t )2 > ∑ ( ∆xi )2
luce
spazio
i

7. +
ELETTRODINAMICA RELATIVISTICA
 Sistema di Heaviside-Lorentz: c = h = 1 L = T = E-1
 Equazioni di Maxwell: omogenee non omogenee
 Campi derivabili da potenziali: 4-vettore potenziale: A = ( - , A )
 Tensore elettromagnetico: F = ∂ A - ∂ A
 Eq. omogenee in forma covariante T = ∂ F + ∂ F + ∂ F = 0
identicamente soddisfatte da A
 T totalmente anti-simmetrico: = 4 eq. indipendenti: le eq. di Maxwell
omogenee
 Densità di corrente J = ( , J ) ∂ F = — J
 Estensioni di E e B a più dimensioni
× E = - — —
·B = 0
1
c
∂B
∂t
·E =
× B = — J + — —
1
c
∂E
∂t
1
c
4
3
1
c

8. +
MECCANICA LAGRANGIANA
 Sistema puntiforme
 Lagrangiana: L { x , ∂tx } = 0, …, d
 = { x ( ) } : linea-universo orientamento: futuro
 Azione: S = ∫ L ds = ∫ L {x , ∂tx } d
 Variazioni del cammino: nulle agli estremi temporali
 Principio di Hamilton: moto fisico S = 0 { x } soddisfa equazioni moto
i
f

9. +
FOGLIO - UNIVERSO
 topologicamente: striscia / tubo
 stringa: X0 = cost
 localmente: piano tangente
• direzioni space-like: definiscono stringa
(eventi simultanei in un S.I.)
• direzioni time-like: definiscono direzione moto fisico
impossibile tracciare traiettoria singoli punti
 esistenza direzioni space-/time-like in ogni punto: condizione moto fisico
- = ( X · X’ )2 - ||X||2||X’||2 > 0
. .

10. +
INVARIANZA DI LORENTZ
 Equazioni del moto invarianti per trasformazioni di Lorentz:
valide in un sistema di riferimento valide sempre
 Azione scalare di Lorentz
 punto materiale ( 0 – dim ): tempo proprio dtp lunghezza propria: c dtp = ds
 Stringa ( 1 – dim ): area propria dA
Moto “fisico” in un
S.I. ( risolve eq.
del moto),
“proibito” per altro
osservatore.
ALTRIMENTI
2 osservatori d’accordo:
Azione su quella linea-universo
è stazionaria per entrambi
linea-universo soddisfa eq. del
moto in entrambi i sistemi di
riferimento
PRINCIPIO DI HAMILTON

11. +
AZIONE DI NAMBU-GOTO
 Parametrizzazione foglio-universo: ( i, f ) , ( 0, 1 )
 Punto p TpM { X, X’} su TpM parallelogramma di lati X d e X’ d
 Identifico: dA area parallelogramma = d d √ dove: =
 Tuttavia: < 0 Area propria = ∫ d d √ -
 Dimensione: [ ] = L , [ ] = T , [ ] = # [A] = L2 [Azione] = E T = # L2
 tensione di stringa: [ T0 ] = N = M #
 Azione di Nambu-Goto: SN-G = - # ∫ d d √ -
.
X · X’
X · X’
||X’||2
||X||2
.
.
.
.
L4
T2 L2
M
T
L
T2
T0
c

12. +
INVARIANZA PER RIPARAMETRIZZAZIONE
 Fisso osservatore ¿ Azione dipende da parametrizzazione ( , ) scelta?
 = det ( { } ) { } : metrica indotta su superficie del foglio-universo dalla
metrica definita nello spazio tempo
 Riparametrizzazione con matrice Jacobiana: = # , -1 = #
 { } = ( -1)T { ij } -1 = det( -1)T ’ det( -1) integrando: √- = √- ’$det( -1)|
 Elemento di superficie: d d =$det( )|d ’d ’
 ∫ d d √ - =∫ d ’d ’$det( )|√ - '$det( -1)| = ∫ d ’d ’√ - ’
Intuitivamente: NO!
SN-G Area
’ = ’( , )
’ = ’( , )
∂
∂ ’i
∂ ’i
∂

13. +
EQUAZIONI DEL MOTO
 Forma del foglio-universo tale che: SN-G = 0
 Densità di Lagrangiana: £ ( X , X’ ) = - # √- ( X , X’ ) SN-G = ∫ d ∫ d £ ( X , X’ )
 Variazioni nulle agli estremi temporali: X ( i, ) = X ( if, ) = 0
 Definisco: P = # e P = #
 SN-G = ∫ d [ X P ] + ∫ d [ X P ] - ∫ d ∫ d X # # + # #
 Equazioni del moto stringa relativistica: ## + ## = 0 = 0, …, d
T0
c 0
1
i
f
∂£
∂X
∂£
∂X’
0
1
i
f
i
f
0
1
0
1
i
f ∂ P
∂
∂ P
∂
CONDIZIONI INIZIALI E FINALI CONDIZIONI DI BORDO EQUAZIONI DEL MOTO
∂ P
∂
∂ P
∂
. . .
.

14. +
CONDIZIONI AL BORDO
 2 ( d+1 ) condizioni:
 di Dirichlet:
• Variazione nulla coordinate spaziali estremi stringa
• ≠ 0 : se varia, t varia
 ad estremi liberi:
• Non impongono alcun vincolo alla variazione degli estremi
• Coordinate temporali soggette solo a queste
 Stringhe:
 Chiuse: non hanno estremi nessuna condizione al bordo
 Aperte: condizioni di Dirichlet estremi giacciono in una D-brana
spazio d-dim: n coordinate
spaziali vincolate estremi
ancorati a una ( d-n ) - brana

15. +
GAUGE STATICO
 Azione di Nambu-Goto invariante per riparametrizzazione
 Parametrizzazione parziale:

• Stringa aperta: [ 0, 1 ]
• Stringa chiusa: [ 0, C ] : identificazione ( , ) ( , + C )

• X0 = cost : fotografa stringa a tempo t0
 Semplificazioni: X c, #
X’ 0, #
Gauge statico: due punti t – simultanei siano
immagine di due punti - simultanei
t punto del foglio-universo
∂X
∂
∂X
∂
.

16. +
LA STRINGA STATICA
 Applicazione gauge statico ( t ):
• Stringa aperta allungata lungo asse X1 tra 0 e a
• X1 ( t, ) X1 ( ) = f ( ) con:
• Statica: X2, …, Xd = 0 ( t, )
 Ulteriore semplificazione: X c, 0, 0, …, 0
d-1 indipendenti da t
X’ 0, f’, 0, …, 0
 Equazione del moto della stringa statica nel gauge statico: ## = 0 = 0, …, d
f(0) = 0
f( 1) = a
f’ > 0
Mappa invertibile tra
[ 0, a ] e [ 0, 1 ]
∂ P
∂
.

17. +
LA STRINGA STATICA CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE
 ¿ questa configurazione è fisicamente realizzabile? SI!
• Soddisfa equazioni del moto
• Soddisfa condizioni di Dirichlet: estremi ancorati ad una (d-1)-brana
 Avevamo lasciato in sospeso:
• Segno negativo davanti alla azione di Nambu-Goto
• T0 come tensione di stringa
 T = 0 L = -V - ∫ V dt
SN-G = - ∫ T0 dt
 Conclusioni:
 Segno negativo corretto, pena V < 0 : Assurdo!
 T0 dimensionalmente corretto, meccanicamente corretto :T0 a = Epotenziale
ti
tf
ti
tf V = T0 a

18. +