BSc final thesis. Mathematical approach to the use of pulsating emitters, located at a finite distance from the observer, in order to define a completely-relativistic navigation system. Based on Professor Angelo Tartaglia research and works.

1. TESI DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE
Anno Accademico 2011/2012
Alessandro Rosati

2. Le Pulsar
Stelle di neutroni caratterizzate da radiazione elettromagnetica sotto
forma di impulsi emessi a intervalli estremamente regolari.
Il fascio di onde radio emesso dalla stella è causato dall'azione
combinata del campo magnetico e della rotazione.

3. Spazio-tempo piatto ed Emission Coordinates
Lo spazio-tempo, concetto fisico frutto della
relatività ristretta, stabilisce un’equivalenza
fra spazio e tempo.
Definito piatto o di Minkowski se descrive
sistemi fisici senza considerare le forze
gravitazionali.
Evento: punto dello spazio-tempo a cui
corrisponde un fenomeno.
Emission Coordinates: quaterne di valori
numerici indipendenti che possono essere
usati come coordinate nello spazio-tempo.
Corrispondono ai tempi di emissione dei
segnali elettromagnetici, rilevati da un
apposito ricevitore.

4. Posizionamento con N=4 sorgenti
Esempio di grigliato.
Ogni fronte d’ondaω è associato ad
un valore numerico relativo alla sua
emissione.
I nodi della griglia sono identificati
da set di quattro valori: le
coordinate di emissione.
Intersezione fra linea di universo
dell’utente e fronte d’onda identifica
evento di ricezione di corrispondente
impulso.
Si conteggiano gli arrivi consequenziali
degli impulsi e si misurano gli intervalli
temporali fra gli uni e gli altri per
ricostruire la traiettoria dell’utente.

5. Utilizzo di N>4 sorgenti
Criterio:
Si ricavano tutte le possibili quadruple di sorgenti contenute
in N.
Si calcolano e si mediano le soluzioni relative ad ogni
quadrupla.
Vantaggi:
① Smorzamento degli effetti dei disturbi casuali connessi
all’emissione dei segnali;
② Prosecuzione del calcolo della posizione nel caso in cui
una sorgente venga meno (ad es. eclissi).

6. Simulazione numerica in MATLAB
L’orbita ideale e nota
Obiettivo: data orbita nota, simulazione di ricezione degli impulsi di 15
millisecond pulsar e ricostruzione della traiettoria del punto materiale.
Moto ellittico uniforme sul piano (x,y), percorso ad una velocità angolare
costante.

7. Simulazione numerica in MATLAB
Le orbite ricostruite
Scostamenti su z dipendono dalla bontà effettiva delle pulsar e delle quaterne
scelte.
Fattori geometrici influenti: disposizione delle pulsar su piano galattico.
Le orbite relative alle quaterne scelte sono fedeli alla traiettoria ideale sul
piano (x,y). Si hanno scostamenti su z.

8. Simulazione numerica in MATLAB
Mediazione delle soluzioni
Scostamenti osservati su z portano, tramite interpolazione, ad un errore ad
andamento sinusoidale di piccola ampiezza.
Mediazione effettuata tramite interpolazione di primo grado delle funzioni x(t),
y(t) e z(t) di ogni quaterna.
Scelta come base temporale di riferimento quella relativa alla quaterna con
scala di periodo minore.
x (t) y (t)
z (t)

9. Simulazione numerica in MATLAB
Orbita finale ricostruita
Si notano due orbite perché l’algoritmo procede alla raccolta dei tempi di arrivo
per un tempo totale pari a due periodi di rivoluzione del punto materiale.
Piccolo scostamento finale sull’asse
z, come atteso.
Tale errore può essere minimizzato
tramite:
 scelta più accurata delle
sorgenti, in funzione della loro
disposizione geometrica;
 selezione solo delle migliori
quaterne.

10. Simulazione numerica in MATLAB
Analisi dell’errore spaziale
Quesito: all’aumentare delle quaterne migliora l’accuratezza del calcolo?
Errore spaziale non varia
all’aumentare delle quaterne
considerate.
L’insieme di combinazioni non
rappresenta un insieme
statistico.
Al fine di minimizzare l’errore, non
conta la quantità delle quaterne
ma la bontà delle stesse.

11. Conclusioni
Il modello di calcolo qui descritto rappresenta, al netto di errori e di
incertezze, un passo importante verso un sistema di posizionamento
completamente autonomo e relativistico nello spazio-tempo.
Vantaggi:
① Non richiede sincronizzazione fra i segnali provenienti dalle diverse
sorgenti;
② Non richiede stesse frequenze.
Svantaggi:
① Essendo i segnali delle pulsar molto deboli, vi è la necessità di
dispositivi all’avanguardia, ingombranti e costosi;
② Il posizionamento viene effettuato rispetto ad un’origine arbitraria: per
essere assoluto, questa deve essere nota.