This document discusses kinematics in normal and tangential coordinates for curvilinear motion. It describes how to calculate the tangential and normal components of velocity and acceleration for a particle moving along a curved trajectory. The tangential component represents changes in speed, while the normal component represents changes in direction. Equations are provided to calculate acceleration along the tangent (at) and normal (an) directions in terms of velocity, radius of curvature, and derivatives. Examples are given for constant acceleration and trajectories defined as functions of position.

1. Cinemática en coordenadas
normales y tangenciales
Departamento de Energía y
Mecánica, Ingeniería Petroquímica
FISÍCA I
Estudiante: Carvajal Génesis

2. MOVIMIENTO
CURVILÍNEO
Se dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo cuando
su trayectoria descrita esta es una línea curva.

3. Componente Tangencial
Componente Normal
Representa la razón de
cambio de la magnitud
de la velocidad
Representa la razón de
cambio de la dirección
de la velocidad
La partícula se mueve a lo largo de la
trayectoria dad por una función. Entonces
el radio de curvatura es:

4. El movimiento de un punto a lo largo de una recta se denomina movimiento o
rectilíneo y se orienta el sistema de coordenadas de manera que el eje x coincida
con la recta de movimiento, la posición, velocidad y aceleración del punto quedarán
determinados sus componentes x:
Con un sistema de coordenadas cartesianas
rectangulares, la posición del punto se describe
mediante sus distancias a dos ejes de referencia
(ejes x e y). Las ecuaciones de la posición, la
velocidad y la aceleración son
Ecuaciones de movimiento:
Para un punto material se reduce entonces a:

5. Estas coordenadas locales permiten describir de una
manera muy natural los movimientos curvilíneos y
frecuentemente son las más directas y prácticas. Tal
como se representa, se supone que los ejes t y n se
desplazan con el punto material a lo largo de la
trayectoria desde A hacia B. El sentido de n se toma, en
todas las posiciones, dirigido siempre hacia el centro de
curvatura de la trayectoria. Como puede apreciarse en
la figura anterior. El sentido positivo de n puede
desplazarse de uno a otro lado de la trayectoria si
cambia el sentido de la curvatura.

6. Velocidad
La dirección de la velocidad v
de la partícula siempre es
tangente a ala trayectoria, y su
magnitud se determina por la
derivada con respecto al tiempo
de la función de la trayectoria ,
es decir, 𝑠 = 𝑠(𝑡) 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡

7. Aceleración
La aceleración de la partícula es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo.
Por tanto,𝑎 = 𝑣 = 𝑣𝑢𝑡 + 𝑣𝑢𝑡 .Para determinar la derivada con respecto al tiempo ,
observe que a medida que la partícula se desplaza a lo largo del arco ds en el tiempo
dt 𝑢𝑡, conserva su magnitud de la unidad, sin embargo, su dirección cambia y se
vuelve 𝑢𝑡 , se requiere 𝑢𝑡 = 𝑢𝑡 + 𝑑𝑢’𝑡 .

8. En este caso 𝑑𝑢𝑡 se extiende entre las puntas de flecha de 𝑢𝑡 𝑦 𝑢’𝑡 , las cuales
quedan en un arco infinitesimal de radio 𝑢𝑡 = 1 . Por consiguiente, tiene una
magnitud de 𝑑𝑢𝑡 = 𝑑𝜃 𝑦 𝑢𝑛define su dirección. En consecuencia,𝑑 𝑑𝑢𝑡 = 𝑑𝜃𝑢𝑛 , por
consiguiente, la derivada con respecto, al tiempo se vuelve 𝑢𝑛 = 𝜃𝑢𝑛. Como , 𝑑𝑠 =
𝜌𝑑𝜃, entonces 𝜃 =
𝑠
𝜌
.
𝑢𝑛 = 𝜃𝑢𝑛=
𝑠
𝜌
𝑢𝑛 =
𝑣
𝜌
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛:
𝑎 = 𝑎𝑡𝑢𝑡 +𝑎𝑛 𝑢𝑛
𝑎𝑡 = 𝑣
𝑎𝑡𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣
𝑎𝑛 =
𝑣2
𝜌

9. Para entender mejor estos resultados, considere los
dos casos especiales de movimiento.
La magnitud de la aceleración es el valor positivo de:
𝑎 = 𝑎𝑡
2
+𝑎𝑛
2

10. Aceleración
tangencial
La componente tangencial de
aceleración es el resultado del cambio
de la magnitud de la velocidad. Esta
componente actúa en la dirección s
positiva si la velocidad de la partícula
se incrementa o en la dirección
opuesta si la velocidad se reduce. Las
aceleraciones entre 𝑎𝑡, 𝑣, 𝑡 𝑦 𝑠 son las
mismas que las del movimiento
rectilíneo, es decir:
𝑎𝑡 = 𝑣
𝑎𝑡𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑣

11. Si es constante ,𝑎𝑡 = (𝑎𝑡)𝑐 , cuando se integran las
ecuaciones anteriores resulta:
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡.
𝑣 = 𝑣0 + (𝑎𝑡)𝑐𝑡
𝑣2
= 𝑣0
2
+ 2(𝑎𝑡)𝑐(𝑠 − 𝑠0)

12. La magnitud de esta componente se
determina como siguen:
𝑎𝑛 =
𝑣2
𝜌
Si la trayectoria se expresa como
y=f(x), el radio de curvatura en
cualquier punto de la trayectoria de
determina con la ecuación
.
𝜌 =
1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2 2/3
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
Acleración Normal

13. Conclusión Se logra determinar los componente
tangenciales y normales de la velocidad y
aceleración de una partícula que se
encuentra moviéndose en una trayectoria
curva.
Se describió el movimiento de una
partícula que viaja a lo largo de una
trayectoria curva, al expresar cantidades
en cinemáticas en coordenadas
rectangulares y tangenciales, así como
radial y transversal.

14. Referencias
R.C. Hibbeler, (2010). Ingeniería Mecánica-
Dinámina. 12 Edición
Beer| Johnston | Cornwell, (2010). Mecánica
Vectorial para ingenieros Dinámica. 9 Edición
Garcia A. Cinemática , Movimiento
curvilineo. Recuperado de: sc.ehu.es
WILLIAN F. RILEY & LEROY D. STURGES,
(1994). Ingeniería Mecánica-DINÁMICA.
Editorial: REVERTÉ, S.A. México.
LANDAULIFSHITZ, (2002). Mecánica 2da
Edición Volumen 1 (Física teórica). Editorial
REVERTÉ, S.A. (1985).
SALAS, HILLE & ETGEN, (2005). Calculus: una
y varias variables, Volumen 2. Editorial
REVERTÉ, S.A. México.
R.C HIBBELER, (2004). Mecánica vectorial
para ingenieros-Dinámica. 10 Edición.