2. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
INTRODUCCIÓN
En algunas ocasiones se observa que dos puntos materiales o
más no pueden moverse independientemente, sino que el
movimiento de uno depende en cierto modo del movimiento
del otro. Una dependencia o ligadura corriente consiste en
que los partículas están unidos por una cuerda de longitud
fija. Por lo tanto, el movimiento esta restringido por la
longitud constante de la cuerda
Ambos partículas estén animados de movimiento rectilíneo,
no tienen porque moverse a lo largo de la misma recta, y sus
posiciones deben medirse con respecto a un origen fijo.
3. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
Consideremos el caso de dos cuerpos A
y B interconectados, aunque se sabe
que la velocidad de A es el doble de la
velocidad de B. Con este ejemplo
ilustraremos un método que nos
permitirá resolver situaciones más
complicadas. El movimiento de B es el
mismo que el del centro de su polea,
por lo que las coordenadas de posición
x e y deben ser medidas desde una
referencia adecuada.. La longitud total
del cable es
2
1
2
2
r
L x y r b
4. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
donde L, 𝒓𝟏 , 𝒓𝟐 y b son constantes, las dos derivadas
temporales de la ecuación L= x + 2y dan
x + 2y = cte
0 = 𝒗𝑨 + 2𝒗𝑩 0 = 𝒂𝑨 + 2𝒂𝑩
Las dos ecuaciones de ligadura de la velocidad y la
aceleración indican que para las coordenadas elegidas, el
signo de la velocidad de A debe ser opuesto al de la velocidad
de B y lo mismo para las aceleraciones. Las ecuaciones de
ligadura son válidas para el movimiento del sistema en uno u
otro sentido.
Como el resultado no depende de las longitudes ni de los
radios de las poleas, podemos analizar el movimiento sin
considerar esos parámetros.
5. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
En este otro ejemplo se presenta un
sistema de dos grados de libertad, es
decir, la posición del cilindro inferior
depende de los valores independientes de
las dos coordenadas 𝒚𝑨 e 𝒚𝑩 . Las
longitudes de los cables de los cilindros A
y B pueden escribirse
2
( )
2
A A D
B B C C D
B B C D
L y y cte
L y y y y cte
L y y y cte
6. MOVIMIENTO
RELATIVO
MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTÍCULAS.
Considere dos partículas A y B que se mueven a lo largo de la
misma línea recta. Sus coordenadas de posición 𝒙𝑨 y 𝒙𝑩 sr
miden desde el mismo origen fijo O, la diferencia 𝒙𝑨 - 𝒙𝑩
define la coordenada de posición relativa y se denota por 𝒙𝑩/𝑨
𝒙𝑩/𝑨 = 𝒙𝑨 - 𝒙𝑩
𝒙𝑩 = 𝒙𝑨 + 𝒙𝑩/𝑨
7. MOVIMIENTO
RELATIVO
La razón de cambio de 𝒙𝑩/𝑨 se conoce como la velocidad
relativa de B con respecto a A y se denota por 𝒗𝑩/𝑨
𝒗𝑩/𝑨 = 𝒗𝑩 - 𝒗𝑨
La razón de cambio de 𝒗𝑩/𝑨 se conoce como la aceleración
relativa de B con respecto a A, 𝒚 𝒔𝒆 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒕𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒂𝑩(𝑨
𝒂𝑩/𝑨 = 𝒂𝑩 - 𝒂𝑨
Es decir, la velocidad del punto B medida con relación al
punto A es la diferencia de sus velocidades absolutas de los
puntos A y B. Análogamente, la aceleración del punto B
medida con relación al punto A es la difrencia entre sus
aceleraciones absolutas de los puntos A y B.
8. MOVIMIENTO
RELATIVO
MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTÍCULAS AL
USAR EJES EN TRASLACIÓN
Hemos utilizado el movimiento
absolutos al estudiar el movimiento
de una partícula por medio de un
marco de referencia fijo. Hay
situaciones en las que el
movimiento de una partícula se
complica, por lo que se hace
necesario estudiar el movimiento
en partes por medio de dos o más
marcos de referencia.
9. MOVIMIENTO
RELATIVO
Por ejemplo, queremos analizar el movimiento de una
partícula que esta localizada en la punta de la hélice de un
avión en vuelo. Observamos primero el movimiento del avión
desde una referencia fija y luego superponemos el movimiento
circular de la partícula medido con respecto a una referencia
fija al avión. Los marcos de referencia que usaremos en el
análisis son maracos de referencia trasladantes.
POSICIÓN
Consideremos dos partículas A y B, las cuales se están
desplazando en trayectorias arbitrarias . Sus posiciones
absolutas son 𝐫𝐀 y 𝐫𝐛 medidas desde el marco de referencia
fijo (Oxyz).
10. MOVIMIENTO
RELATIVO
Enlazado con la partícula A elegimos un segundo marco de
referencia (O´x´y´z´), el cual se mueve junto con la partícula.
Los ejes de este marco se trasladan solo con respecto al marco
fijo, el vector de posición relativa 𝐫𝐁/𝐀 denota la posición de B
medido con respecto a A
𝐫𝐀 + 𝐫𝐁/𝐀 = 𝐫𝐁
VELOCIDAD
Como las posiciones absolutas y relativas dependen del
tiempo, tomamos las derivadas con respecto al tiempo de la
ecuación anterior. Por lo tanto
11. MOVIMIENTO
RELATIVO
𝒗𝑨 + 𝒗𝑩/𝑨 = 𝒗𝑩
Donde 𝒗𝒂 y 𝒗𝑩 son las velocidades absolutas medidas desde el
marco de referencia fijo, mientras que 𝒗𝑩/𝑨 se observa desde
el marco en movimiento de traslación. Debemos tener
presente que mientras los ejes x´, y´, z´ se trasladan los
componentes de 𝒓𝑩/𝑨 no cambian de dirección
ACELERACIÓN
Si derivamos la velocidad con respecto al tiempo, la derivada
proporciona una relación entre la aceleración absoluta y
relativa de las partículas A y B.
12. MOVIMIENTO
RELATIVO
𝒂𝑨 + 𝒂𝑩/𝑨 = 𝒂𝑩
Donde 𝒂𝑩/𝑨 es la aceleración de B vista por un observador
ubicado en A. que se traslada con el marco de referncia móvil.
Cada piloto en su avión vuela cerca del otro y no deben de
perder de vista sus posiciones y velocidades relativas en todo
momento para evitar colisionar.
13. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
El bloque A se mueve a la izquierda con
una velocidad constante de 6 m/s.
Determine a) la velocidad del bloque B,
b) la velocidad del punto D del cable, c)
la velocidad del punto C con respecto a
D.
14. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
El elevador mostrado parte del reposo,
y se mueve hacia arriba con una
aceleración constante. Si el contrapeso
W se desplaza 30 ft en 5 s, determine
a) la aceleración del elevador y la
velocidad del punto C del cable, b) la
velocidad del elevador después de 5 s.
15. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
El collarín A parte del reposo y se mueve hacia
arriba con aceleración constante. Sabiendo que
después de 8 s la velocidad del collarín A con
respecto a B es de 24 in/s, determinar a) la
velocidad de A y B, b) la velocidad y el
cambio de posición de B después de 6 s.
16. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
Una persona jala la cuerda al
retroceder para subir al muchacho
hasta la rama del árbol C. Si
comienza a retroceder desde el
reposo cuando 𝑥𝐴 = 0 con una
aceleración constante de 0.2
m/ 𝑠2
. Determine la rapidez del
muchacho cundo 𝑥𝐵 = 4 m. Cuando
𝑥𝐴 = 0, 𝑦𝐵= 8 m, de modo que A y
B coinciden. Es decir que la cuerda
es de 16 m.
17. MOVIMIENTO RELAYIVO
El carro A viaja a una rapidez
constante de 65 mi/h. Cuando
en la posición mostrada para t
= 0, el carro B tiene una
rapidez de 25 mi/h y acelera a
una razón constante de 0.1g a
lo largo de su camino hasta
que alcanza una rapidez de 65
mi/h, después viaja con una
rapidez constante. Cual es la
posición de A respecto de B.
18. MOVIMIENTO RELAYIVO
Un hombre camina a 5 km/h
en la dirección de un viento de
20 km/h. Si las gotas de lluvia
caen e 7 km/h en aire
tranquilo, determine la
dirección en la cual las gotas
parecen caer con respecto al
hombre. Suponga que la
rapidez horizontal de las gotas
de lluvia es igual a la
velocidad del viento.
19. MOVIMIENTO RELAYIVO
El jugador de hockey A guía el
disco con su bastón en la
dirección que se indica con
una celeridad 𝑣𝐴 = 4 m/s. Al
hacer un pase a su compañero
B que esta quieto, cual debe
ser el ángulo de tiro a su visual
si lanza si lanza con una
celeridad inicial de 7 m/s
respecto a sí mismo.
20. MOVIMIENTO RELAYIVO
Un ferri se esta moviendo
hacia el este encontrándose
con un viento del suroeste de
velocidad 𝑣𝑤 = 10 m/s. El
capitán del ferri debido a su
experiencia desea minimizar
los efectos del viento sobre los
pasajeros. ¿ A que velocidad
𝑣𝐵 el capitán deberá proceder?
22. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
El vehículo que se muestra viaja a una rapidez constante 𝑣𝑇 = 6
ft/s, determine la rapidez del embalaje a cualquier ángulo 𝜃 de
la cuerda. La cuerda ves de 100 ft de largo y pasa pot una polea
de tamaño insignificante en A.
23. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
El bloque B se mueve hacia abajo con
velocidad constante de 20 mm/s. En t = 0
el bloque A se mueve hacia arriba con
una aceleración constante y su velocidad
es de 30 mm/s. Sabiendo que en t = 3 s,
el bloque deslizante C se mueve 57 mm a
la derecha, determine a) la velocidad del
bloque deslizante C en t = 0, b) la
aceleración de A y C, c) el cambio de
posición del bloque A después de 5 s.
24. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
El collarín A inicia su movimiento desde el
reposo en t = 0 y se mueve hacia abajo con
aceleración constante hacia debajo de 7
in/𝑠2. El collarín B se mueve hacia arriba con
aceleración constante y su velocidad inicial
es de 8 in/s. Sabiendo que el collarín B se a
desplazado 20 in entre t = 0 y t = 2 s,
determine a) la aceleración del collarín B y el
bloque C, b) el tiempo en que la velocidad de
C es cero, c) la distancia que se mueve C en
ese tiempo
25. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
Sabiendo que el collarín A en el
instante mostrado tiene una velocidad
de 9 in/s y una aceleración de 15 in/s
ambas dirigidas hacia abajo,
determine a) la velocidad del bloque
B, b) la aceleración del bloque B.
26. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
El bloque C inicia su movimiento desde el
reposo en t = 0 y se mueve hacia arriba con
aceleración constante de 25
mm/ 𝑠2
. Sabiendo que el bloque A se
mueve hacia abajo con una velocidad
constante de 75 mm/s, determine a) el
tiempo para el cual la velocidad del bloque
B es cero, b) la posición correspondiente
del bloque B
27. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
Los tres bloques que se mueven con
velocidades constantes, encuentre la
velocidad de cada bloque, conociendo
que la velocidad relativa del bloque A
con respecto a C es 300 mm/s hacia
arriba y que la velocidad relativa de B
con respecto a A es 200 mm/s hacia
abajo.
28. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
El sistema que se muestra parte y cada
componente se mueve con aceleración
constante. Si la aceleración relativa del
bloque C con respecto al collarín B es de 60
mm/𝑠2 hacia arriba y la aceleración relativa
del bloque D con respecto al bloque A es de
110 mm/𝑠2
hacia abajo. Determinar a) la
velocidad del bloque C después de 3 s, b) el
cambio en la posición del bloque D para
después de 5 s.
29. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
Se sabe que la velocidad del bloque B respecto al bloque A es
Ԧ
𝑣𝑅/𝐴 = 5.6 m/s
Determine las velocidades de los bloques A y B.
31. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
El bloque deslizante B se nueve hacia la derecha con una
velocidad constante de 300 mm/s. Determine a) la velocidad del
bloque deslizante A, b) la velocidad del punto C del cable, c) la
velocidad del punto C del cable, d) la velocidad relativa del
punto C del cable con respecto al bloque deslizante A.
33. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
En un cierto instante el cilindro se
mueve hacia abajo con velocidad de 0,8
m/s y una aceleración hacia arriba de 2
m/ 𝑠2. Determine la correspondiente
velocidad del cilindro B y su aceleración
36. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
Los collarines A y B se deslizan
por las barras fijas
perpendiculares y están
enlazados por una cuerda de
longitud L. Hallar la
aceleración 𝑎𝐵 del collarín B en
función de y si el collarín A esta
animado de una velocidad
ascendente constante 𝑣𝐴.
37. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
Bajo la acción de la fuerza P el bloque B esta animado de una
aceleración de 3 m/𝑠2 hacia la derecha. En el instante en que la
velocidad de B es de 2 m/s también hacia la derecha, hallar la
velocidad y la aceleración de B referidas a A y la velocidad
absoluta del punto C del cable.
38. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
El desplazamiento del cilindro A esta dado
en metros por y = 𝑡2 / 4 donde t esta en
segundos. Calcule la aceleración hacia
abajo 𝑎𝐵 del cilindro B. Identifique el
número de grados de libertad.
39. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
Si el peso W tiene una velocidad 𝑣𝐵
hacia abajo, determine la
componente vertical hacia arriba
𝑣𝐴𝑦 de A en términos de b, de la
longitud L de la barra y el ángulo 𝜃.
Asuma que el cable que soporte a A
permanece vertical.
40. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
El cable B se jala hacia abajo a 4 ft/s y la
rapidez se reduce a 2 ft/𝑠2
. Determine, la
velocidad y la aceleración del bloque A en
ese instante.
41. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
La cuerda se jala hacia el motor
M a una rapidez de 𝑣𝑀 = (5𝑡3/2)
m/s donde t esta en segundos,
determine la rapidez del cilindro
A cuando t = 1 s.
43. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
En la figura, el bloque B se mueve hacia la derecha con una
celeridad de 2 m/s la cual aumenta a razón de 0,3 m/𝑠2 y el
bloque C esta fijo. Determine la velocidad y la aceleración del
bloque B relativa a A.
44. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
En la figura, el torno T esta
devanado el cable a razón de 2 m/s.
Determine la velocidad relativa del
contrapeso con respecto al ascensor.
45. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
En la figura, el bloque A se
mueve hacia la derecha con
una celeridad de 5 m/s la cual
disminuye a razón de 0.2
m/𝑠2.
Determine la velocidad y la
aceleración del bloque B.
46. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
En la figura, el bloque B
desciende con una celeridad de 1.5
m/s la que disminuye a razón de 6
cm/𝑠2.
Determine la velocidad y la
aceleración del bloque A
47. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
Un camión remolcador tira de un automóvil que se halla en un
plano inclinado 25° utilizando poleas como se muestra. Si el
camión acelera a razón de 0.8 m/𝑠2, determine la velocidad y la
aceleración del automóvil 5 s después que el camión parte del
reposo.
48. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
Mediante un torno, se tira a la izquierda del carro C. El gancho
de la parte superior del carro esta curvado de tal forma que se
desenganche el cable cuando x = 5 cm. Si el torno esta
devanando el cablea razón constante de 60 cm/s-
a) Calcule 𝑣𝑐 y 𝑎𝑐 en
función de su posición x.
Grafique -60 ≤ 𝑥 ≤
180 𝑐𝑚.
b) Represente gráficamente
la posición para 0 ≤ 𝑡 ≤
3 𝑠.
49. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
El bloque A parte del
reposo y se desliza
hacia abajo del plano
inclinado con una
aceleración 𝑎0 = 3.7
m/ 𝑠2. Determinar el
tiempo requerido por B
para moverse una
distancia d = 0.2 m
relativa a A.
50. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
El dispositivo que se
muestra sive para levantar
un peso del suelo usando
un caballo. Si el caballo se
mueve hacia la derecha a
una velocidad de 7 ft/s,
determine la velocidad y la
aceleración de B, cuando la
distancia horizontal de B a
A es 15 ft. Excepto por la
parte de la cuerda enrollada
en el cuello .
51. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
Los collarines A y B se deslizan a lo largo de las barras fijas y
están enlazados por una cuerda de longitud L. Si el collarín A
tiene una velocidad 𝑣𝐴 = ሶ
𝑥 hacia la derecha, expresar la
velocidad 𝑣𝐵 = − ሶ
𝑠 de B.
53. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
Desprecie el diámetro de la pequeña
polea sujeta al cuerpo A y hallar el
módulo de la velocidad total de la
velocidad de B en función de la
velocidad 𝑣𝐴con que el cuerpo A se
mueve a la derecha. Se supondrá que
el cable entre B y la polea permanece
vertical y el resultado se escribirá para
cualquier valor de x.
54. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
Se puede asumir que el cuerpo A
es una partícula, esta montado por
una varilla sin peso que puede
girar en torno a O y, por tanto esta
obligado a moverse en un arco
circular de radio r. Hallar la
velocidad de A en función de la
velocidad descendente 𝑣𝐵 del
contrapeso y del ángulo 𝛼.
55. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
Para acelerar el levantado de
embalajes se usa un tractor A del
modo como se muestra. Si el
tractor avanza con una velocidad
𝑣𝐴, halle una expresión para la
velocidad ascendente B del
embalaje en función de x.
Desprecie la pequeña distancia
entre el tractor y su polea de
modo que amnos tengan la
misma velocidad.
56. MOVIMIENTO
DEPENDIENTES
La caja C esta izada por efecto del
rodillo A que se mueve hacia abajo
con velocidad constante 𝑣𝐴 = 4
m
s
a
lo largo de la guía.
Determine la velocidad y la
aceleración de la caja en el instante
en que s = 1 m. Cuando el rodillo
esta en B la caja esta en el suelo
57. MOVIMIENTO RELAYIVO
El jet de transporte B esta
volando hacia el norte a una
velocidad de 600 km/h cuando
un pequeño aeroplano A pasa
debajo del transporte dirigido
en la dirección 60° mostrada.
Un pasajero de B observa que
A vuela lateralmente y se
mueve al este. Determine la
velocidad actual de A y la
velocidad de A relativa a B.
58. MOVIMIENTO RELAYIVO
El tren A viaja con una
celeridad constante 𝑣𝐴 = 120
km/h por la via recta y plana.
El conductor del automóvil B
previendo el paso a nivel C
disminuye la velocidad de 90
km/h de su vehículo a razón de
3 m/𝑠2. Hallar la velocidad y
la aceleración del tren con
respecto al automóvil..
59. MOVIMIENTO RELAYIVO
En el instante representado, la
velocidad del automóvil A es
de 100 km/h y aumenta a
razón de 8 km/h cada segundo.
El automóvil B lleva una
velocidad de 100 km/h cuando
toma la c urva y disminuye la
velocidad a razón 8 km/h cada
segundo. Hallar la aceleración
que los pasajeros del
automóvil A aprecian en el B.
60. MOVIMIENTO RELAYIVO
El velero ciñe por babor con
viento norte. La corredera
registra una celeridad del caso
de 6. 5 nudos. El axiometro
(cordón ligero atado al
aparejo) indica que la
dirección aparente del viento
forma un ángulo de 35°con el
eje del barco. ¿Cual es la
verdadera celeridad del barco?
61. MOVIMIENTO RELAYIVO
Los satélites A y B describen
la misma orbita circular de
altura h = 1500 km. Hallar el
módulo de la aceleración del
satélite B con relación a un
observador en el satélite A.
Emplee 𝑔0 = 9.625 m/𝑠2 como
aceleración gravitatoria en la
superficie de la Tierra y R
=6371 km como radio de la
misma.
62. MOVIMIENTO RELAYIVO
El automóvil A posee una
celeridad hacia delante de 18
km/h y esta acelerando a 3
m/𝑠2. Hallar la velocidad y la
aceleración del vehículo
respecto al observador B que
esta sentado en una barquilla
no giratoria de la rueda. Esta
posee una velocidad angular
de 3 rpm.
63. MOVIMIENTO RELAYIVO
Un es capaz de navegar a 6
nudos en aguas tranquilas,
mantiene proa al este mientras
que es desviado hacia el sur
por una corriente oceánica. El
barca va de A hacia B
separándolos una distancia de
10 millas náuticas que
requieren 2 h exactamente.
Determine la celeridad 𝑣𝑐 de la
corriente y su dirección
medida en sentido horario
desde el Norte.
64. MOVIMIENTO RELAYIVO
El aeroplano A vuela
horizontalmente a velocidad
constante de 200 km/h
remolcando al planeador B
que están ganando altura. Si la
longitud del cable de remoque
es r = 60 m y 𝜃 aumenta
constantemente a razón de 5
grados/s, hallar la velocidad v
y la aceleración a del
planeador en el instante 𝜃 =
15°
65. MOVIMIENTO RELAYIVO
En el instante en que se
muestra el automóvil A viaja a
lo largo de una parte recta de
una carretera a una rapidez de
25 m/s. En ese mismo instante
el automóvil B viaja por la
parte curva de la carretera a
una velocidad de 15 m/s.
Determine la velocidad del
automóvil B con respecto al
automóvil A
