Este trabajo contiene un resumen de notas de cátedras dictadas en la UNNE en la Facultad de Ciencias Económicas durante 1977. Se sube en Formato de Word para que cada uno lo pueda editar y adaptarlo a sus necesidades educativas específicas si estas no tienen mucha exigencia.

1. 1

2. 2
ÍNDICE
TEOREMA DE CONFRONTACIÓN ENTRE LÍMITES...................................................................12
2. LIMITE DE LA SUMA.....................................................................................................12
3. LIMITE DE UN PRODUCTO............................................................................................13
INFINITÉSIMOS...................................................................................................................14
ORDEN DE INFINITÉSIMOS..................................................................................................14
INFINITESIMOS EQUIVALENTES...........................................................................................14
PROPIEDADES DE LOS INFINITESISMOS................................................................................15
LÍMITES NOTABLES.............................................................................................................16
CONTINUIDAD....................................................................................................................17
DERIVADAS........................................................................................................................20
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA ................................................................21
REGLA GENERAL DE LA DERIVACIÓN....................................................................................21
FORMULAS DE DERIVADAS .................................................................................................23
DIFERENCIALES...................................................................................................................33
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES ...........................................................................38
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN ...........................................................40
PRIMER METODO...............................................................................................................41
CONCAVIDAD.....................................................................................................................43
PUNTOS DE INFLEXIÓN.......................................................................................................44
CURVA REGULAR................................................................................................................46
TEOREMA DE LAGRANGE....................................................................................................47
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL.............................................................49
TEOREMA DE CAUCHY ........................................................................................................49
REGLA DE HOPITAL.............................................................................................................51
FUNCIONES DE VARIASVARIABLES......................................................................................52
Breve repaso de algunas figuras en el espacio:.................................................................52
FUNCIONES DE DOS VARIABLES.......................................................................................57
FUNCION DE n VARIABLES...............................................................................................57
DERIVADAS PARCIALES....................................................................................................57
DERIVADAS PARCIALES SUCESIVAS ..................................................................................59
DIFERENCIAL TOTAL........................................................................................................60
DERIVADA DE UNAFUNCIÓN COMPUESTA .......................................................................60

3. 3
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLICITA...........................................................................61
MAXIMOS Y MÍNIMOS ....................................................................................................62
IINTEGRALES......................................................................................................................64
Integrales indefinidas......................................................................................................64
METODOS GENERALES DE INTEGRACIÓN.........................................................................66
i) INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN.............................................................................66
ii) INTEGRAL POR PARTES ............................................................................................67
iii) INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES ..............................................................69
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS...........................................................72
INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES CIRCULARES................................................74
INTEGRALES DEFINIDAS..................................................................................................76
INTEGRALES PARAMETRICAS .........................................................................................78
INTEGRALES DOBLES.......................................................................................................80
INTEGRALES TRIPLES.......................................................................................................80
APLICACIONES A LA ECONOMÍA..........................................................................................82
NOCIONES DE SERIES .......................................................................................................83
CRITERIO CLASICO DE CONVERGENCIA.............................................................................87
SERIE DE POTENCIAS.......................................................................................................89
FORMULA DE MC LAURIN PARA POLINOMIOS......................................................................91
NOCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES.........................................................................96
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS .......................................................................... 102

4. 4
MATEMATICA II
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO
Enla memoriadeaquellos grandes pioneros anónimos
que hicierongrande nuestra universidad vaya este
humilde homenaje….
AnálisisMatemático Iparaalumnosdel primercurso,transcripto de notasde cátedrade
MatemáticaII Facultadde Ciencias EconómicasUNNEaño1977.
No se pudorescatar la parte práctica de este trabajo,aquel que disponga que loagregue y
complete afinde completarel trabajo. Transcripto de uncuadernode notasde cátedras de la
teoría de MatemáticaII. En un AnálisisMatemáticoincompleto muy elemental paraunasola
materiapero que exhibe muchoesfuerzode síntesis porparte de susautores.
Se agregaron algunosejerciciossencillos,aplicacionesyresolucionesconel programaWolfram
mathematica.
Este es un trabajo para completar.
Recopilaciónrealizadaporel ProfesorFernandoArauz
Fernandoarauz09@gmail.com
Formosa diciembre2020

5. 5
MATEMATICA II TEORICO
LÍMITES
CONCEPTOS PREVIOS
Ampliacióndel campode losnúmerosrealesen + ∞ 𝑦 − ∞.
PROPIEDADES
∀ 𝑥 ∈ 𝑅 ∶ −∞ < 𝑥 < +∞
Donde +∞ Significaque el conjuntode númerosRrealescrece ytiende al infinito
𝑎) ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑥 > 0 ∶ 𝑥. (+∞) = (+∞).𝑥 = +∞ ; 𝑥.(−∞) = (−∞).𝑥 = −∞
𝑏) ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑥 < 0 ∶ −𝑥 . (+∞) = −∞ ; −𝑥.(−∞) = +∞
𝑐) ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑥 + (+∞) = ∞ ∴ 𝑥 + (−∞) = −∞
𝑑) ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 ∶
𝑥
−∞
=
𝑥
+∞
= 0
VALORABSOLUTO
Definición:Llamamosvalorabsolutode unnúmeroreal Ral númeroque se indica |𝑎| y se
define de lasiguiente manera:
|𝑎| = {
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≤ 0
Ejemplo
|8| = 8
|−3| = −(−3) = 3
PROPIEDADESDEL VALORABSOLUTO
a) |𝑎| ≥ 0
b) |𝑎| = 0 ↔ 𝑎 = 0
c) |𝑎. 𝑏| = |𝑎| . |𝑏|
d) |
𝑎
𝑏
| =
|𝑎|
|𝑏|

6. 6
e) Propiedadtriangular
|𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
Ejemplo
Sea{
𝑎 = 5
𝑏 = 3
(
|𝑎+𝑏| = |5+3| = |8|= 8
|𝑎|+|𝑏|=|5|+|3|=5+3=8
) igual
Sea{
𝑎 = −10
𝑏 = 4
(
|𝑎+𝑏| = |−10+4| = |−6|= 8
|𝑎|+|𝑏|=|−10|+|4|=10+4=14
) menor
INTERVALOS
Intervaloscerrados
[𝑎; 𝑏] ={ x/x ∈ 𝑅 ^ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 }
Amplitud = b-a
1) |𝑥| ≤ 𝑎 → −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 ( incluye los límites a )
2) |𝑥| < 𝑎 → −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 ( no incluye los límites)
Vemosque (1) y (2) poseenlacaracterística de que ambosposenal cerocomo puntomedio.
ENTORNO DE UN PUNTO
Definición: se llamaentornode unpunto x0 de amplitud ∝ al conjuntode puntosque
satisfacenlasiguientedesigualdad:
|𝑥 − 𝑥0| ≤ ∝ o |𝑥 − 𝑥0| < ∝
|𝑥 − 𝑥0| ≤ ∝  − ∝≤ 𝑥 − 𝑥0 ≤ +∝  𝑥0− ∝≤ 𝑥 ≤ 𝑥0+∝

7. 7
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 𝑥0+∝ −(𝑥0−∝) = 𝑥0+∝ −𝑥0+∝ = 𝟐 ∝
Llamaremos a ∝ semi amplitud.
Ejemplo
Sea 𝑥0 = 5 ∝ = 3
|𝑥 − 𝑥0| ≤ ∝ → |𝑥 − 5| ≤ 3 → −3 ≤ 𝑥 − 5 ≤ 3 → 5 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 3 + 5 → 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟖
Amplitud=8-2 = 6
O tambiénAmplitud=2∝ = 2 .3 = 6
ENTORNO REDUCIDO
Es el entorno donde no se considera el valor de x0 y su notación es aí
0 < |𝑥 − 𝑥0| < ∝
No se considera el punto en cuestión x0 pero si lo otros cualquiera que estén entre
𝑥0 − ∞ y 𝑥0 + ∞.
COTAS
1. COTA SUPERIOR: un número k es una cota superior del conjunto Real S si se
verifica que todo elemento de S es menor o igual que k.
K es una cota superior de 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∶ 𝑥 < 𝑆

8. 8
Aquí M es la menor de las cotas superiores.
EXTREMO SUPERIOR (M) Es la menor de todas las cotas superiores. Si el extremo
superior pertenece al conjunto recibe el nombre de elemento máximo.
2. COTA INFERIOR K
Vemos que m el el valor mayor de todas la cotas inferiores y si ese punto m es el
extremo de un conjunto se llama elemento mínimo.
Ejemplo en el siguiente intervalo
[𝑎:𝑏] existe elemento mínimo y máximo.
[𝑎; 𝑏[ Aquí existe elemento mínimo pero no máximo pero si cota superior.
[𝑎; +∞[ Existe elemento mínimo pero no elemento máximo ni cota superior.
PUNTO DE ACUMULACIÓN
El punto x0 de un conjunto A es un punto de acumulación si en todo entorno
reducido del punto x0 existe elementos del conjunto A.
Analicemos la siguiente recta de número enteros
En el punto 2 no es punto de acumulación ya que no tendré elementos en el campo
Z.

9. 9
En el campo de los R entre un punto y otro existen infinitos números. El extremo
superior de un intervalo de números R es siempre un punto de acumulación.

10. 10
LIMITES
Definición: El número L es el límite de una función f en un punto x0 ( punto de
acumulación) si para todo 𝜀 > 0 existe un 𝛿 > 0/ cuando x pertenece al dominio
de la función y a un entorno reducido del punto x0 de semi amplitud 𝛿 entonces la
diferencia entre la función f y el límite L en valor absoluto resulta menor que 𝜀.
lim
𝑥→ 𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ ∀𝜀 > 0/ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ^ 0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿
⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
Sea la función f(x) = 2x
Supongamos que la variable x tiende a un x0 es decir un número f(x) tendera hacia otro
número ese número será el límite de la función. Ejemplo. Vamos suponer que x tiende
( se acerca a 4)
Vemos en la tabla que a medida que x tiende a 4, x  4 (x se
acerca más a 4), entonces la función f(x) tiende a un número en
esta caso se acerca cada vez más a 8.
En ese caso se dirá que 8 es límite para esa función cuando x 4
Cuando una variable tiende a un límite finito puede tener un
límite finito. La aproximación un x0 puede ser por izquierda o derecha como
podemos ver en la figura 11.
𝛿 |𝑥 − 𝑥0| 𝜀 |𝑓(𝑥) − 𝐿|
0.1 0.2
0.01 0.02
0.001 0.002
0.0001 0.0002
x f(x)
3.9 7.8
3.99 7.98
3.999 7.998
3.9999 7.9998

11. 11
Entonces los límites pueden ser por derecha (exceso) o por izquierda (defecto)
pero el límite será el mismo.
lim
𝑥→4
2𝑥 = 8 {
lim
𝑥→4−
2𝑥 = 8
lim
𝑥→4+
2𝑥 = 8
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
PROPIEDADE DE LOS LÍMITES
1. LIMITE DE UNA CONSTANTE
Es la misma constante.
lim
𝑥→𝑘
𝑘 = 𝑘
Ejemplo
lim
𝑥→3
5 = 5

12. 12
TEOREMA DE CONFRONTACIÓN ENTRE LÍMITES
Si en un intervalo A se verifica 𝑓1(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓2(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 lim
𝑥→𝑥0
𝑓1(𝑥) = 𝐿
𝑦 lim
𝑥→𝑥0
𝑓2(𝑥) = 𝐿 𝑦 𝑥0 ∈ 𝐴 entonces existe el límite de f(x) cuando x  x0 y su valor es
L. [*]
2. LIMITE DE LA SUMA El límite de una suma de funciones es igual a la suma
de los límites.
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝟎
(𝒇𝟏(𝒙) + 𝒇𝟐(𝒙)) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝟎
𝒇𝟏(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝟎
𝒇𝟐(𝒙) = L1 + L2
𝐻) lim
𝑥→𝑥0
𝑓1(𝑥) = 𝐿1 lim
𝑥→ 𝑥0
𝑓2(𝑥) = 𝐿2
T) lim
𝑥→𝑥0𝑥
(𝑓1(𝑥)+ 𝑓2(𝑥)) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓1(𝑥) + lim
𝑥→ 𝑥0
𝑓2(𝑥) = 𝐿1 + 𝐿2
D) Por hipótesis sabemos que el límite
i) lim
𝑥→𝑥0
𝑓1(𝑥) = 𝐿1 ⇔ ∀𝜀 > 0 ∋ 𝛿1 > 0 ⋰ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓1 0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿1 ⇒
|𝑓1(𝑥)− 𝐿1| < 𝜀 (1)
ii) lim
𝑥→𝑥0
𝑓2(𝑥) = 𝐿2 ↔ ∀𝜀 > 0 ∋ 𝛿2 > 0 ⋰ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓2 0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿2 ⇒
|𝑓2(𝑥)− 𝐿2| < 𝜀 (2)

13. 13
Sumando (1) y (2) tendremos
|𝑓1(𝑥)− 𝐿1| + |𝑓2(𝑥) − 𝐿2| < 2𝜀 = 𝜀′
|(𝑓1(𝑥) + 𝑓2(𝑥)) − (𝐿1 + 𝐿2)| = |(𝒇𝟏(𝒙) − 𝑳𝟏) + (𝒇𝟐(𝒙) − 𝑳𝟐)|
Aplicando la propiedad triangular con la expresión de la derecha tendremos:
|(𝒇𝟏(𝒙)− 𝑳𝟏) + (𝒇𝟐(𝒙)− 𝑳𝟐)| ≤ |𝑓1(𝑥) − 𝐿1| + |𝑓2(𝑥)− 𝐿2| ≤ 𝜀′
Por carácter transitivo resulta
|𝑓1(𝑥) − 𝐿1| + |𝑓2(𝑥) − 𝐿2| ≥ |(𝑓1(𝑥) − 𝐿1) + (𝑓2(𝑥)− 𝐿2)| < 𝜀′
𝑦 𝑠𝑖 𝑥𝜖𝐷𝑓1+ 𝑓2 ^ 𝛿 = min{𝛿1 + 𝛿2} ;0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 ⇒ lim
𝑥→𝑥0
[𝑓1(𝑥) +
𝑓2(𝑥)] = 𝐿1 + 𝐿2
3. LIMITE DE UN PRODUCTO
El límite de un producto es igual al producto de los límites de dichas funciones.
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝟎
(𝒇𝟏(𝒙).𝒇𝟐(𝒙)) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝟎
𝒇𝟏(𝒙) . 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝟎
𝒇𝟐(𝒙) = L1 . L2
lim
𝑥→𝑥0
𝑓1(𝑥) = 𝐿1 lim
𝑥→𝑥0
𝑓2(𝑥) = 𝐿2
lim
𝑥→𝑥0
(𝑓1(𝑥).𝑓2(𝑥)) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓1(𝑥) . lim
𝑥→𝑥0
𝑓2(𝑥) = 𝐿1 .𝐿2
5) LÍMITE DE LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN Es igual a la inversa del límite siempre
que dicho límite sea distinto de cero.
H) lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿 ^ 𝐿 ≠ 0
T) lim
𝑥→ 𝑥0
1
𝑓(𝑥)
=
1
𝐿
D) Por hipótesis
lim
𝑥→𝑥0
𝑓1(𝑥) = 𝐿1 ⟺ ∀𝜀 > 0 ∃𝛿1 > 0 ⋰ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓1 0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿1 ⇒
|𝑓1(𝑥)− 𝐿1| < 𝜀

14. 14
|
1
𝑓(𝑥)
−
1
𝐿
| = |
𝐿−𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)𝐿
| =
|𝐿−𝑓(𝑥)|
|𝑓(𝑥)||𝐿|
<
𝜀
|𝑓(𝑥)||𝐿|
= 𝜀′ ⇒ |
1
𝑓(𝑥)
−
1
𝐿
| < 𝜀′^
𝑥𝜖 𝐷𝑓^0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 ⇒ lim
𝑥→𝑥0
1
𝑓(𝑥)
= 𝐿
INFINITÉSIMOS
Definición: llamamos infinitésimos a una función cuyo límite tiende a cero
cuando x tiende a un valor cualquiera (que puede ser o no cero)
𝑓(𝑥) es una función infinitésimo ⟺ lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0 ⇔ ∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 ^0 <
|𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥)| < 𝜀
La función puede hacerse tan pequeña como se quiera (𝜀)
NOTACION
𝛿(𝑋), 𝛽(𝑋) para los infinitésimos.
Ejemplo
a) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥);𝑥 → 0 ; lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0 (es Infinitésimo)
b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥); 𝑥 →
𝜋
2
, lim
𝑥→
𝜋
2
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 1 (No es un infinitésimo)
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑒 ;𝑥 → 𝑒 ; lim
𝑥→𝑒
(𝑥 − 𝑒) = 0 (es infinitésimo)
ORDEN DE INFINITÉSIMOS
Sean f(x) y g(x) dos infinitésimos:
1) Se dice que f(x) y g(x) tienen el mismo orden si lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝑘 ≠ 0
2) Se dice que el orden de f(x) es mayor a g(x) si lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 0
3) Se dice que el orden de f(x) es menor que el de g(x) si lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= ∞
4) Cuando no existe lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
se dicen que los infinitésimos no son comparable.
INFINITESIMOS EQUIVALENTES
Se dice que dos infinitésimos f(x) y g(x) son equivalentes cuando

15. 15
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 1
PROPIEDADES DE LOS INFINITESISMOS
A) La suma de dos infinitésimos es otro infinitésimo (todos con x  x0).
B) El producto de un infinitésimo por una constante o por otra función acotada es
otro infinitésimo.
LIMITES INDETERMINADOS
Se presentan en los siguientes casos:
0
0
;
∞
∞
; ∞ − ∞ ; 0.∞ ; 1∞
Caso :
0
0
{
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0
lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = 0
} lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
0
0
cuando se presenta este caso debemos recurrir a artilugios matemáticos a los
efectos de salvar la indeterminación. Ejemplo
𝑓1(𝑥) = 𝑥2
− 4 y 𝑓2(𝑥) = 𝑥 − 2 con 𝑥0 = 2
lim
𝑥→2
𝑥2
− 4
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)
= lim
𝑥→2
(𝑥 + 2) = 4
Donde 4 es el veredero valor de la función en el punto x0
x 𝑥2
− 4
𝑥 − 2
X+2
0 2 2
1 3 3
2 0/0 4

16. 16
3 5 5
4 6 6
LÍMITES NOTABLES
lim
𝑋→𝑋0
𝑆𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
= 1 y lim
𝑋→𝑋0
𝑇𝑔(𝑥)
𝑥
= 1
Superficie
∆
𝑂𝑃𝑀
≤
sup 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
∆
𝑂𝑇𝑀
≤
sup
∆
𝑂𝑇𝑁
𝑂𝑃. 𝑃𝑀
2
≤
𝑂𝑇. 𝑇𝑀
2
≤
𝑂𝑇. 𝑇𝑁
2
[1]
𝑂𝑃 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 [2]
𝑃𝑀 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 [3]
𝑂𝑇 = 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 = 1 [4]
𝑇𝑀 = 𝑥 ( 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜) [5]
𝑇𝑁 = 𝑇𝑔 𝑥 [6]
Reemplazando [2] a [6] en [1]
tendremos:
𝐶𝑜𝑠 𝑥 .𝑆𝑒𝑛 𝑥
2
≤
1 .𝑥
2
≤
1 .𝑇𝑔 𝑥
2
[7]
Multiplicando todo por 2 tendremos: 𝑆𝑒𝑛 𝑥 .𝐶𝑜𝑠 𝑥 ≤ 1 .𝑥 ≤ 1. 𝑇𝑔 𝑥 [8]
Para demostrar que lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1 se divide [7] por 𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥.𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
≤
𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
≤
𝑇𝑔 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
[8] como
𝑇𝑔 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
=
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
=
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
[9]
De reemplazar [9] en [8] queda 𝐶𝑜𝑠 𝑥 ≤
𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
≤
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
[10]

17. 17
Tomando la inversa de la desigualdad
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
≥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥
≥ 𝐶𝑜𝑠 𝑥 [11]
Pasando todo a límite tendremos:
lim
𝑥→0
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
≥ lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥
≥ lim
𝑥→0
𝐶𝑜𝑠 𝑥 [12]
lim
𝑥→0
1
cos 𝑥
= 1 [13] , lim
𝑥→0
𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 1 [14]
De [13] y [14] en [12]
1 ≥ lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥
≥ 1
Por el teorema de confrontación de límites [*] tendremos
lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1 [15.1]
De la misma forma podemos demostrar que:
lim
𝑥→0
𝑇𝑔 𝑥
𝑥
= 1 [15.2]
Otro caso de indeterminación de límite es;
lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)𝑥
= 𝑒 = 2.718281828… (base de los logaritmos neperianos)
log10 𝑎 = 𝑏 → 10𝑏
= 𝑎
ln 𝑎 = 𝑐 → 𝑒𝑐
= 𝑎
CONTINUIDAD
Definición de función continúa: Una función f(x) es continua en el punto x0 si se
verifica:
1. Existe f(x0)
2. Existe límite cuando 𝑥 → 𝑥0 .
3. lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)
Si alguno de estos ítem no se cumple aparecen las funciones discontinuas. Ejemplo
a) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
−4
𝑥−2
𝑒𝑛 𝑥0 = 2

18. 18
lim
𝑥→2
𝑥2
−4
𝑥−2
=
22
−4
2−2
=
0
0
Es una indeterminación, pero si hacemos
lim
𝑥→2
𝑥2
− 4
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)
= lim
𝑥→2
(𝑥 + 2) = 4
Este tipo de discontinuidad se llama evitable, ya que realizando algunas
operaciones la podemos evitar (ver Figura 15).
CASOS DE DISCONTINUIDAD NO EVITABLE
Vamos a suponer que una función tenga dos límites una por izquierda y otra por
derecha.
lim
𝑥→0+
𝑓( 𝑥) = −1 𝑦 lim
𝑥→0−
𝑓( 𝑥) = +1
Aquí el límite por izquierda y derecha son diferentes 𝐿𝑑 ≠ 𝐿𝑖
En este caso no se puede evitar la discontinuidad en el punto x=0
A medida que nos acercamos por la
izquierda tiende a -1 y a medida que nos
acercamos por la derecha tiende a 1.
Tenemos dos límites que no coinciden
cuando x tiende a cero 0.
EJERCICIOS LÍMITES
Calcularlossiguientes límites:
1. lim
𝑥→2
[(𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)] 𝑅𝑡𝑎:9
2. lim
𝑥→2
[ln(𝑥 − 1)]] 𝑅𝑡𝑎:0
3. lim
𝑥→1
[√3𝑥 − 2
3
+ ln(2𝑥 − 1) + 6] 𝑅𝑡𝑎:6
4. lim
𝑥→−1
[
𝑥3−2
𝑥−1
] 𝑅𝑡𝑎: 3/2
5. lim
𝑥→0
[𝑠𝑒𝑛 𝑥 + √6𝑥 –cos2𝑥] 𝑅𝑡𝑎:−1

19. 19
6. lim
𝑥→0
[ (𝑥−1)2+(𝑥+2) ]
4cos𝑥
𝑅𝑡𝑎:1/2
7. lim
𝑥→0
[𝑒𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 − cos2𝑥 ] 𝑅𝑡𝑎:0
8. lim
𝑥→0
[√𝑥 − 1
3
− (2 + 𝑥2)2𝑥 − ln(𝑥 + 1)] 𝑅𝑡𝑎:−2
9. lim
𝑡→0
[(2𝑡 + 3)(𝑡 − 2) − 2𝑡−2] 𝑅𝑡𝑎:−10
10. lim
𝑥→1
[√
𝑥+1
8𝑥+3
] 𝑅𝑡𝑎:
√2
3
11. lim
𝑡→−2
[𝑡−2] 𝑅𝑡𝑎:
1
4
12. lim
𝑥→2
[𝑥−3] 𝑅𝑡𝑎:
1
8
13. lim
𝑥→0
[
2𝑥2+𝑒3𝑥3+3−𝑥
𝑒2+2𝑥
] 𝑅𝑡𝑎: 𝑒

20. 20
DERIVADAS
Analicemosel siguiente gráfico:
Donde:
∆x = incremento
de la variable x
∆y = Incremento
de la función.
∆y /∆x =
Cociente o razón
incremental una
idea del
incremento de la
función.
En el triángulo
∆
𝐴𝐵𝐶
resulta 𝐴𝐵
̅̅̅̅ = ∆𝑥 ,𝐵𝐶
̅̅̅̅ = ∆𝑦 ,
𝑇𝑔 𝛼 =
𝐵𝐶
̅̅̅̅
𝐴𝐶
̅̅̅̅
=
∆𝑦
∆𝑥
El cociente incrementa, es igual a la tg trigonométrica del ángulo de
la recta secante que forma con él.
Otra forma de escribir
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥0+∆𝑥)− 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
[18]
CONCEPTO DE DERIVADA
Cuando ∆x  0
lim
∆𝑥→𝑥0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→𝑥0
𝐹(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
Como podemos ver en la figura 19 a
medida que ∆x se va acercando a cero
la recta t se va cambiando de dirección
hasta volverse totalmente tangente a la

21. 21
curva en el punto A, allí el cociente incremental será la derivada de la función en el
punto X0. En esto consiste básicamente la definición de derivada.
Derivada definición: llamamos derivada de la función y=f(x) y la notamos y’=f’(x) a la
función cuyo dominio es el conjunto de los elementos del dominio f(x) para los cuales
existe el siguiente límite que se da por la regla de correspondencia de la función.
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→ 0
𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)
∆𝑥
[19]
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICADE LA DERIVADA
Observando el grafico de la figura 19
𝑆𝑖 ∆𝑥 → 0 ,𝐵 → 𝐴 , ⇒ 𝛼 → 𝜑 , 𝑡𝑔𝛼 → 𝑡𝑔 𝜑 , 𝑠𝑖 𝑡𝑔𝜑 =
∆𝑦
∆𝑥
⇒
⇒ 𝑡𝑔𝜑 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= 𝑓′
(𝑥)
La derivada de la función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la
curva en dicho punto.
REGLA GENERAL DE LA DERIVACIÓN
Seala función y= f(x) [20]
Posee 4 pasos que se aplica siempre:
1) Incrementar la variable
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) [22] (Función incrementada)
2) Se halla el incremento de la función. Se resta [22] –[20]
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥 )
− 𝑦 = 𝑓(𝑥)
______________________________
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
3) Se halla el cociente incremental dividiendo ambos miembros por ∆X

22. 22
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
[23] (cociente incremental)
4) Se calcula el límite del cociente incremental cuando ∆x tiende a cero).
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
= 𝑓′(𝑥) 𝑜 𝑦′
Ejemplo
Sea y = 2x2
-5x calculemos su derivada siguiendo la regla:
1) Paso:
𝑦 + ∆𝑦 = 2(𝑥 + ∆𝑥)2 − 5(𝑥 + ∆𝑥)
𝑦 + ∆𝑦 = 2(𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2) − 5(𝑥 + ∆𝑥)
𝑦 + ∆𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥∆𝑥 + 2∆𝑥2 − 5𝑥 − 5∆𝑥
2) Segundo paso se halla el incremento de la función
𝑦 + ∆𝑦 − 𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥∆𝑥 + 2∆𝑥2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 − (2𝑥2 − 5)
𝑦 + ∆𝑦 − 𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥∆𝑥 + 2∆𝑥2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 − 2𝑥2 + 5
∆𝑦 = 2∆𝑥2 + 4𝑥∆𝑥 − 5∆𝑥
3) Tercer paso hallamos el cociente incremental:
∆𝑦
∆𝑥
=
4𝑥∆𝑥
∆𝑥
+
2(∆𝑥)2
∆𝑥
−
5∆𝑥
∆𝑥
∆𝑦
∆𝑥
= 4𝑥 + 2∆𝑥 − 5
4) Cuarto paso tomamos límites tendiendo a cero
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
4𝑥 + 2∆𝑥 − 5
𝑦′
= 4𝑥 − 5 Es el valor de la función derivada.
Ejemplo2
Hallarla pendientede larectatangente a la parábola 𝑦 = 𝑥2 enel puntox0 =1/2.
Le asignamosunosvaloresax para determinarlospuntos
X y
0 0
±1 1
±2 4
Y = X2 Y’= 2X
Y’(1/2) = 2.(1/2)=1 ⇒ 𝑡𝑔𝜑 = 1 ⇒ 𝜑 = 45°

23. 23
±3 9
Si hacemos x0=0
tendríamos la derivada
en ese punto es
𝑦′(0) = 2.0 = 0 ⇒ 𝜑 = 0
FORMULAS DE DERIVADAS
1. DERIVADA DE UNA CONSTANTE
La derivadade unaconstante siempre escero.
𝑦 = 𝑘 ⇒ 𝑦′ = 0 [ 24]
2. DERIVADA DE LA VARIABLE X
𝑦 = 𝑥 ⇒ 𝑦′ = 1 [25]
3. DERIVADA DE LA SUMA DE DOS FUNCIONES
𝑦 = 𝑢 + 𝑣 − 𝑤 ⇒ 𝑢′ + 𝑣′ − 𝑤′ [26]
Siendo 𝑢 = 𝑓(𝑥), 𝑣 = 𝑔(𝑥) 𝑦 𝑤 = ℎ(𝑥)
4. DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN
𝑦 = 𝑘 . 𝑢 ⇒ 𝑦′
= 𝑘 .𝑢′
[27]
Siendo k la contante y u la función 𝑢 = 𝑓(𝑥)
5. DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL

24. 24
𝑦 = 𝑥𝑛
⇒ 𝑦′
= 𝑛. 𝑥𝑛−1
[28]
Obtengamos la fórmula aplicando la definición y el desarrollo de Newton que
es
(𝑎 + 𝑏)𝑛
= 𝑎𝑛
+ (
𝑛
1
)𝑥𝑛−1
. 𝑏 + (
𝑛
2
)𝑥𝑛−2
. 𝑏2
+ (
𝑛
3
) 𝑥𝑛−3
. 𝑏3
. . .
a) 𝑦 = 𝑥2
𝑦 + ∆𝑦 = (𝑥 + ∆𝑥)𝑛
= 𝑥𝑛
+ (
𝑛
1
) 𝑥𝑛−1
. ∆𝑥 + (
𝑛
2
) 𝑥𝑛−2
. ∆𝑥2
+ (
𝑛
3
)𝑥𝑛−3
. ∆𝑥3
…
𝑦 + ∆𝑥 − 𝑦 = 𝑥𝑛
+ (
𝑛
1
) 𝑥𝑛−1
. ∆𝑥 + (
𝑛
2
)𝑥𝑛−2
. ∆𝑥2
+ (
𝑛
3
) 𝑥𝑛−3
. ∆𝑥3
− (𝑥𝑛
)
∆𝑥 = (
𝑛
1
)𝑥𝑛−1
. ∆𝑥 + (
𝑛
2
)𝑥𝑛−2
. ∆𝑥2
+ (
𝑛
3
) 𝑥𝑛−3
. ∆𝑥3
Hacemos el cociente incremental:
∆𝑦
∆𝑥
=
(𝑛
1
)𝑥𝑛−1
. ∆𝑥 + (𝑛
2
)𝑥𝑛−2
. ∆𝑥2
+ (𝑛
3
)𝑥𝑛−3
. ∆𝑥3
∆𝑥
Realizando operaciones
∆𝑦
∆𝑥
=
(𝑛
1
)𝑥𝑛−1
. ∆𝑥
∆𝑥
+
(𝑛
2
)𝑥𝑛−2
. ∆𝑥2
∆𝑥
+
+(𝑛
3
)𝑥𝑛−3
. ∆𝑥32
∆𝑥
+ ⋯
∆𝑥𝑛
∆𝑥
∆𝑦
∆𝑥
= 𝑛𝑥𝑛−1
+ 𝑛(𝑛 − 1)𝑥𝑛−2
∆𝑥 + 𝑛(𝑛 − 3)𝑥𝑛−3
∆𝑥2
… ∆𝑥𝑛−1
lim
𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
𝑥→0
(𝑛𝑥𝑛−1
+ 𝑛(𝑛 − 1)𝑥𝑛−2
∆𝑥 + 𝑛(𝑛 − 3)𝑥𝑛−3
∆𝑥2
…∆𝑥𝑛−1
)
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
∆𝒚
∆𝒙
= 𝒏𝒙𝒏−𝟏
6. DERIVADA DE UNA RAIZ CUADRADA
𝒚 = √𝒙 ⇒ 𝒚′
=
𝟏
𝟐√𝒙
[29]
Demostración
𝑦 = √𝑥 = 𝑥
1
2
𝑦′
=
1
2
𝑥
1
2
−1
=
1
2
𝑥
−
1
2 =
1
2√𝑥

25. 25
7. DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES
𝑦 = 𝑢 . 𝑣 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑣 = 𝑔(𝑥)
𝒚 = 𝒖. 𝒗 ⇒ 𝒚′
= 𝒖′
. 𝒗 + 𝒖. 𝒗′ [30]
𝒚 = 𝑢. 𝑣
𝑦 + ∆𝑦 = ( 𝑢 + ∆𝑢).(𝑣 + ∆𝑣) = 𝑢. 𝑣 + 𝑢. ∆𝑣 + 𝑣. ∆𝑢 + ∆𝑢. ∆𝑣
𝑦 + ∆𝑦 − 𝑦 = 𝑢. 𝑣 + 𝑢.∆𝑣 + 𝑣. ∆𝑢 + ∆𝑢. ∆𝑣 − 𝑢𝑣
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑢. ∆𝑣
∆𝑥
+
𝑣. ∆𝑢
∆𝑥
+
∆𝑢. ∆𝑣
∆𝑥
Multiplicamos y dividimos por ∆𝑥 /∆𝑥
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
(
𝑢. ∆𝑣
∆𝑥
+
𝑣. ∆𝑢
∆𝑥
+
∆𝑢. ∆𝑣 . ∆𝑥
∆𝑥.∆𝑥
)
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= 𝑢. lim
∆𝑥→0
∆𝑣
∆𝑥
+ 𝑣. lim
∆𝑥→0
∆𝑢
∆𝑥
+ lim
∆𝑥→0
∆𝑢
∆𝑥
. lim
∆𝑥→0
∆𝑣
∆𝑥
. lim
∆𝑥→0
∆𝑥
𝑦′
= 𝑢. 𝑣′
+ 𝑣. 𝑢′
+ 𝑢′
. 𝑣′
. lim
∆𝑥→0
∆𝑥
𝒚′
= 𝒖. 𝒗′
+ 𝒗.𝒖′
[31]
FORMULA PARA TRES FUNCIONES
𝑦 = 𝑢. 𝑣. 𝑤 ⇒ 𝒚′
= 𝒖′
. 𝒗. 𝒘 + 𝒖.𝒗′
. 𝒘 + 𝒖. 𝒗.𝒘′ [32]
8. Derivada del cociente de dos funciones
𝒚 =
𝒖
𝒗
⇒ 𝒚′
=
𝒖′
.𝒗−𝒖.𝒗′
𝒗𝟐
[33]
Donde 𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑣 = 𝑔(𝑥)
𝑦 + ∆𝑦 =
𝑢 + ∆𝑢
𝑣 + ∆𝑣

26. 26
𝑦 + ∆𝑦 − 𝑦 =
𝑢 + ∆𝑢
𝑣 + ∆𝑣
−
𝑢
𝑣
=
𝑣(𝑢 + ∆𝑢) − 𝑢(𝑣 + ∆𝑣)
𝑣(𝑣 + ∆𝑣)
𝑣. 𝑢 + 𝑣. ∆𝑢 − 𝑢. 𝑣 − 𝑢. ∆𝑣
𝑣. (𝑣 + ∆𝑣)
=
𝑣. ∆𝑢 − 𝑢. ∆𝑣
𝑣(𝑣 + ∆𝑣)
Hallamos el cociente incremental
𝑣.∆𝑢
∆𝑥
−
𝑢.∆𝑣
∆𝑥
𝑣(𝑣+∆𝑣)
∆𝑥
Tomando límites tendremos
lim
𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
=
v .lim
∆𝑥→0
∆𝑢
∆𝑥
− 𝑢 . lim
∆𝑥→0
∆𝑣
∆𝑥
𝑣 lim
𝑥→0
(𝑣 + ∆𝑣) ∗
∆𝑥
=
𝑢′
. 𝑣 − 𝑢. 𝑣′
𝑣2
*Nota
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ∆𝑥 → 0 lim
∆𝑥→0
(𝑣 + ∆𝑣)
∆𝑥
→ 𝑣
𝒚 =
𝒖
𝒗
⇒ 𝒚′
=
𝒖′
. 𝒗 − 𝒖. 𝒗′
𝒗𝟐
9. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE FUNCIÓN
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑣 = 𝑔(𝑥) (ambas funciones dependen solamente de x)
Pero podemos tener el siguiente caso
𝑦 = 𝑓(𝑣) ; 𝑣 = 𝑔(𝑢) 𝑢 = ℎ(𝑥) En este caso la f es una función que depende de
v pero v a su vez depende de la función g y esta depende de h que finalmente depende
de x.
La derivada de y tendrá la siguiente forma:
𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑣
.
𝑑𝑣
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
[34]
Sea una función de función como 𝑦 = 𝑓[𝑔(𝑥)] donde:
𝑦 = 𝑓(𝑣) 𝑦 𝑣 = 𝑔(𝑥)
donde vemos que la función f a su vez depende de la función g y esta depende de la
variable x su derivada tendrá la siguiente forma:
𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑣
.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
[35]
A esto se lo conoce comúnmente como regla de la cadena y se lo aplica en los casos en
la que debemos derivar una función de función.

27. 27
10. Derivadas de funciones inversas
𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = 𝑔(𝑦) Son funciones inversas
Las derivadas de dos funciones inversas también son funciones inversas.
𝑦′
= 𝑓′(𝑥) ; 𝑥′
= 𝑔′(𝑦)
𝑓′(𝑥) .𝑔′(𝑥) = 1 ⇒ {
𝑓′(𝑥) =
1
𝑔′(𝑥)
𝑔′(𝑦) =
1
𝑓′(𝑥)
[36]
11. Derivada de funciones circulares:
a) Derivada de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Se aplica la regla general de la derivación
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + ∆𝑥)
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + ∆𝑥)
∆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛𝑥
(aplicando propiedades trigonométricas para la suma y resta de dos ángulos)
𝛼 = 𝑝 + 𝑞
𝑏 = 𝑝 − 𝑞 +
____________________
𝛼 + 𝛽 = 𝑝 + 𝑝 = 2𝑝
Donde resulta 𝑝 =
𝛼+𝛽
2
[37]
Ahora si restamos
𝛼 = 𝑝 + 𝑞
𝛽 = 𝑝 − 𝑞
____________________
𝛼 − 𝛽 = 𝑞 − (−𝑞)
𝑞 =
𝛼−𝛽
2
[38]
Aplicando la fórmula del seno de la suma de dos ángulos
𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝑝 + 𝑞) = 𝑠𝑒𝑛𝑝. cos𝑞 + 𝑐𝑜𝑠 𝑝 .𝑠𝑒𝑛 𝑞 -
𝑆𝑒𝑛 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛(𝑝 − 𝑞) = 𝑠𝑒𝑛 𝑝 .cos𝑞 − cos𝑝 .𝑠𝑒𝑛 𝑞
_______________________________________________________________________
𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑠𝑒𝑛 𝑝 .cos𝑞 – 𝑠𝑒𝑛 𝑝.cos𝑞 + cos𝑝. 𝑠𝑒𝑛 𝑞 + cos𝑝 . 𝑠𝑒𝑛 𝑞
𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑠𝑒𝑛𝛽 = cos𝑝 𝑠𝑒𝑛 𝑞 + cos𝑝 . 𝑠𝑒𝑛 𝑞

28. 28
𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2cos 𝑝 . 𝑠𝑒𝑛 𝑞 [39]
Reemplazando [37] y [38] en [39] tendremos
𝑆𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2 𝑐𝑜𝑠
𝛼+𝛽
2
. 𝑠𝑒𝑛
𝛼−𝛽
2
[40]
Ahora aplicando la regla de la derivación tendremos
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + ∆𝑥)
𝑦 + ∆𝑦 − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛𝑥
Haciendo 𝛼 = (𝑥 + ∆𝑥) ; 𝛽 = 𝑥 y reemplazando en [40] tendremos
∆𝑦 = 2cos
𝑥 + ∆𝑥 + 𝑥
2
. 𝑠𝑒𝑛
𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥
2
∆𝑦 = 2 cos(
2𝑥
2
+
∆𝑥
2
) 𝑠𝑒𝑛
∆𝑥
2
Realizando el cociente incremental
∆𝑦
∆𝑥
= 2cos(𝑥 +
∆x
2
).
𝑠𝑒𝑛
∆𝑥
2
∆𝑥
= cos(𝑥 +
∆𝑥
2
).
𝑠𝑒𝑛
∆𝑥
2
∆𝑥
2
𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆x→0
cos(𝑥 +
∆𝑥
2
) . lim
∆x→0
𝑠𝑒𝑛
∆𝑥
2
∆𝑥
2
(∗).
Como (*) es igual a 1 por [15.1] tendremos
𝑦′
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆x→0
cos(𝑥 +
∆𝑥
2
) . 1
𝑦′
= 𝑐𝑜𝑠(𝑥).1
𝑦′
= 𝑐𝑜𝑠(𝑥) [41]
Es la derivada de la función seno.
12. DERIVADA DE
𝑦 = cos𝑥 𝑦′
= −𝑠𝑒𝑛 𝑥 [42]
Hacemos nuevamente:
𝑦 + ∆𝑦 = cos( 𝑥 + ∆𝑥)
∆𝑦 = cos(𝑥 + ∆𝑥)− cos𝑥
Luego consideramos nuevamente
𝑝 =
𝛼+𝛽
2
de [37] y 𝑞 =
𝛼−𝛽
2
de [38]
y

29. 29
𝛼 = 𝑝 + 𝑞 y 𝛽 = 𝑝 − 𝑞
Tenemos que
cos𝛼 = cos(𝑝 + 𝑞) = cos𝑝 . cos𝑞 − 𝑠𝑒𝑛 𝑝.𝑠𝑒𝑛 𝑞
− cos𝛽 = cos(𝑝 − 𝑞) = cos𝑝 . cos𝑞 + 𝑠𝑒𝑛 𝑝 .𝑠𝑒𝑛 𝑞
cos𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = −2 𝑠𝑒𝑛 𝑝.𝑠𝑒𝑛 𝑞
Se transforma en un producto de la diferencia de 2 cosenos
𝐶𝑜𝑠 𝛼 − cos 𝛽 = −2 𝑠𝑒𝑛 (
𝛼 + 𝛽
2
) . 𝑠𝑒𝑛 (
𝛼 − 𝛽
2
)
∆𝑦 = −2 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥 + ∆𝑥 + 𝑥
2
). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥
2
)
∆𝑦 = −2 𝑠𝑒𝑛 (
∆𝑥 + 2𝑥
2
). 𝑠𝑒𝑛
∆𝑥
2
Haciendo el cociente incremental tendremos
∆𝑦
∆𝑥
= − 𝑠𝑒𝑛(
2𝑥
2
+
∆𝑥
2
).
𝑠𝑒𝑛
∆𝑥
2
∆𝑥
2
= − 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
∆𝑥
2
).
𝑠𝑒𝑛
∆𝑥
2
∆𝑥
2
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= − lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
∆𝑥
2
). lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛
∆𝑥
2
∆𝑥
2
= −𝑠𝑒𝑛(𝑥). 1
𝑦 = cos𝑥 ⇒ 𝑦′
= −𝑠𝑒𝑛 𝑥
13. DERIVADA DE LA TANGENTE
𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
[43]
𝑦′
=
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
= 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 [44]
Si aplicamos la regla para la derivada de un cociente
Se lo obtiene aplicando a [43] la regla de la derivada de un cociente [33] de esta
manera tendremos
𝑦′
=
cos𝑥 .cos𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .( −𝑠𝑒𝑛 𝑥)
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2
𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
Por teorema de Pitágoras (𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = 1)
𝑦′
=
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
14. DERIVADA DE UN LOGARITMO NATURAL
𝑦 = ln 𝑥 , 𝑦′
=
1
𝑥
[45]

30. 30
Se aplica la regla general de la derivación
𝑦 = ln 𝑥
𝑦 + ∆𝑦 = ln(𝑥 + ∆𝑥)
𝑦 + ∆𝑦 − 𝑦 = ln(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑙𝑛𝑥
Por propiedades de los logaritmos
∆𝑦 = ln
(𝑥 + ∆𝑥)
𝑥
= ln(1 +
∆𝑥
𝑥
)
Obtenemos el cociente incremental
∆𝑦
∆𝑥
=
1
∆𝑥
ln (1 +
∆𝑥
𝑥
)
Trabajando algebraicamente
∆𝑦
∆𝑥
=
1
∆𝑥
.
𝑥
𝑥
. 𝑙𝑛 (1 +
∆𝑥
𝑥
) =
1
𝑥
. ln (1 +
∆𝑥
𝑥
)
𝑥
∆𝑥
Tomando límites a ambos miembros
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
1
𝑥
. ln lim
∆x→0
(1 +
∆𝑥
𝑥
)
𝑥
∆𝑥
( caso interesante y peculiar )
Resulta que si ∆𝑥 → 0 el exponente de la potencia
𝑥
∆𝑥
→ ∞ entonces se
transforma en un límite peculiar
lim
∆x→0
(1 +
∆𝑥
𝑥
)
𝑥
∆𝑥
= lim
∆x→0
(1 +
1
𝑥
∆𝑥
)
𝑥
∆𝑥
= lim
n→∞
(1 +
1
n
)
n
= e
Tendremos entonces vemos que
lim
∆x→0
(1 +
∆𝑥
𝑥
)
𝑥
∆𝑥
= e de esta forma
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
1
𝑥
. ln lim
∆x→0
(1 +
∆𝑥
𝑥
)
𝑥
∆𝑥
=
1
𝑥
ln𝑒 =
1
𝑥
. 1 =
1
𝑥
Si 𝑦 = ln 𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦′
=
1
𝑥
METODOS DE DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
Sea 𝑦 = 𝑥√𝑥
𝑦′
−
𝑥√𝑥
2√𝑥
(2 + ln𝑥) [45]
Tomamos 𝑦 = 𝑥√𝑥
Y aplicamos logaritmos m. a. m

31. 31
ln 𝑦 = ln 𝑥√𝑥
⇒ ln 𝑦 = √𝑥 ln x Derivamos
(ln 𝑦)′ = (√𝑥 . ln 𝑥)
′
=
1
𝑦
. 𝑦′
=
1
2√𝑥
𝑙𝑛𝑥 + √𝑥.
1
𝑥
= 𝑦′
= 𝑦 (
1
2√𝑥
𝑙𝑛𝑥 + √𝑥.
1
𝑥
)
𝑦′
= 𝑥√𝑥
.(
1
2√𝑥
𝑙𝑛𝑥 + √𝑥.
1
𝑥
) = 𝑥√𝑥
(
𝑥. ln 𝑥 + √𝑥. 2√𝑥
2𝑥√𝑥
) = 𝑥√𝑥
.𝑥 (
ln 𝑥 + 2
𝑥. 2√𝑥
)
= 𝑥√𝑥
(
ln 𝑥 + 2
2√𝑥
) =
𝑥√𝑥
2√𝑥
(2 + ln 𝑥)
15. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL
𝑦 = 𝑒𝑥
𝑦′
= 𝑒𝑥
[46]
15.a) Sea un 𝑦 = 𝑎𝑥
con a = k ( a igual a una constante)
Aplicando logaritmos tendremos
ln𝑦 = ln𝑎𝑥
⇒ 𝑦′
.
1
𝑦
= 𝑥′
.𝑙𝑛𝑎 + 𝑥 .(ln 𝑎)′ = 1. ln 𝑎 + 𝑥. 0 = y. (ln 𝑎 + 0)
= 𝑎𝑥
(ln 𝑎)
Caso particular a = e (base de los logaritmos naturales
1
𝑦
. 𝑦′
= (𝑥 .ln 𝑒)′ = 𝑥′.ln 𝑒 + 𝑥. (lne )′ = 1. ln 𝑒 + 𝑥. 0 ; Como ln 𝑒 = 1
tendremos
𝑦′
.
1
𝑦
= ln 𝑒 + 𝑥. 0 = 𝑦. (ln 𝑒 ) = 𝑒𝑥
. 1 = 𝑒𝑥
16. DERIVADA DE FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS
Sea la función 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 (arco seno del valor de x).
Si 𝑦 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑦 [47]
o sea que si elevamos al cuadrado tendremos
𝑥2
= 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 [48]
Si derivamos [47] m.a.m tendremos:

32. 32
𝑥′
= (𝑠𝑒𝑛 𝑦)′
= cos𝑦 que podemos escribir así cos𝑥 = √1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑦
𝑥′
= cos𝑥 = √1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑦
Por [48] podemos reemplazar y tendremos
x′
= √1− 𝑠𝑒𝑛2 𝑦 = √1 − 𝑥2
𝑥′
= √1 − 𝑥2 [48]
Como son funciones inversas
𝑦′
=
1
𝑥′
[49]
Reemplazando [48] en [49] tendremos
𝑦′
=
1
√1 − 𝑥2
17. Caso 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cos𝑥
El procedimiento es similar al anterior
𝑥 = cos𝑦 [50]
donde también podemos hacer 𝑥2
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑦 [51]
Derivando m.a.m
𝑥′
= (cos𝑦)′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑦
Donde – 𝑠𝑒𝑛 𝑦 podemos escribir como 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = √1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑦
Como son funciones inversas
𝑦′
=
1
𝑥′
[49]
𝑥′
= −𝑠𝑒𝑛 𝑦 = −√1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑦 = −√1 − 𝑥2 por [51]
𝑥′
= −√1 − 𝑥2 [52]
Reemplazando [52] en [49] queda
𝑦′
= −
1
√1−𝑥2

33. 33
DERIVADAS SUSESIVAS
𝑦 = 𝑓(𝑥) ; 𝑦′
= 𝑓′(𝑥) ; 𝑦′′
= 𝑓′′(𝑥) ; 𝑦′′′
= 𝑓′′′(𝑥)
Ejemplo
i) 𝑦 = 𝑒𝑥
; 𝑦′
= 𝑒𝑥
; 𝑦′′
= 𝑒𝑥
; 𝑦′′′
= 𝑒𝑥
ii) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ; 𝑦′
= cos𝑥 ; 𝑦′′
= −𝑠𝑒𝑛 𝑥 ; 𝑦 ′′′
− cos 𝑥
iii) 𝑦 = 3𝑥4
+ 2𝑥2
− 8 ; 𝑦′
= 12𝑥3
+ 4𝑥 ; 𝑦′′
= 36𝑥2
+ 4 ; 𝑦′′′
= 72𝑥
DIFERENCIALES
Definición: se llama diferencial de una función al producto de la derivada de dicha
función por el incremento de la variable independiente.
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥).∆𝑥 [52]
Partiendo de una propiedad de los límites 𝑓(𝑥) = 𝐿 + 𝜀1(𝑥) (límite + el infinitésimo)
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= 𝑓′(𝑥) ⇒
∆𝑦
∆𝑥
= 𝑓(𝑥) + 𝜀(𝑥) [53]
Con 𝜀(𝑥) → 0 cuando ∆𝑥 → 0
En [53] haciendo pasaje de término de ∆x tendremos
∆𝑦 = 𝑓(𝑥).∆𝑥 + 𝜀(𝑥).∆𝑥
Entonces si 𝑓′(𝑥) ≠ 0 ⇒ 𝑓′(𝑥).∆𝑥 = diferencial de la función.
EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL DIFERENCIAL
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥).𝑑𝑥 Expresión analítica de la diferencial.
Ejemplo 1
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ; 𝑦′
= cos𝑥 𝑑𝑦 = cos𝑥. 𝑑𝑥
Ejemplo 2
𝑦 = 3𝑥2
+ 5𝑥
𝑦′
= 6𝑥 + 5

34. 34
𝑑𝑦 = (6𝑥 + 5)𝑑𝑥
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL DIFERENCIAL
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥).∆𝑥 [54]
𝑓′
(𝑥) = 𝑡𝑔𝛼 =
𝐶𝑄
̅̅̅̅
𝐴𝐶
̅̅̅̅
[55]
Reemplazando [55] en
[54] tendremos
𝑑𝑦 =
𝐶𝑄
̅̅̅̅
𝐴𝐶
̅̅̅̅
. ∆𝑥
Como ∆𝑥 = 𝐴𝐶
̅̅̅̅
𝑑𝑦 =
𝐶𝑄
̅̅̅̅
𝐴𝐶
̅̅̅̅
. 𝐴𝐶
̅̅̅̅
𝒅𝒚 = 𝑪𝑸
̅̅̅̅
OBSERVACIONES
𝐵𝐶
̅̅̅̅ = ∆𝑦
𝑑𝑦 < ∆𝑦 ( en este caso fig.21)
𝐵𝐶
̅̅̅̅ = ∆𝑦 𝑑𝑦 > ∆𝑦

35. 35
EJERCICIOS
1) Hallarla derivada
a) 𝑓(𝑥) = 4√𝑥 + ln𝑥 − 𝑥3 + 3 Rta: 𝑓′(𝑥) =
2
√𝑥
+
1
𝑥
− 3𝑥2
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3sen 𝑥 − 2 cos𝑥 + 𝑥 Rta:𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 3cos𝑥 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥+1
c) 𝑓(𝑥) = 3 ln𝑡 + ln 2 −
1
8
𝑡4 +
1
3
𝑡5 Rta: 𝑓′(𝑥) =
3
𝑡
−
1
2
𝑡3 +
5
3
𝑡4
2) Calcularlassiguientesderivadasde unproducto
a) 𝑦 = 𝑣.𝑤 Rta: 𝑣′.𝑤 + 𝑣. 𝑤′
b) 𝑦 = 5 𝑥 .3𝑧
c) 𝑦 = sen 𝑥 . cos𝑥
d) 𝑦 = 𝑥3.ln 𝑥 Rta: 𝑥2(3ln 𝑥 + 1)
e) 𝑦 = 𝑥2 cos𝑥 Rta: 𝑥(2 cos𝑥 − 𝑥 sin 𝑥)
f) 𝑦 = sen 𝑥.cos𝑥 Rta: cos𝑥 .𝑐𝑜𝑠𝑥 + sin 𝑥 . (−sin 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2𝑥
g) cos𝑡. √𝑥 Rta:
cos𝑡−2𝑡 sen𝑡
2√𝑡
3) Hallarla derivadade lossiguientesfuncionescocientes
a)
1−𝑥
1+𝑥
Rta: −
2
(1+𝑥)2
b)
2𝑥+1
𝑥2−𝑥+1
Rta:
−2𝑥2−2𝑥+3
(𝑥2−𝑥+1)2
c)
𝑧3
(1+𝑧)2
Rta:
𝑧2(3+𝑧)
(1+𝑧)3
4) Hallarla derivadade lassiguientesfunciones:
a) cos3𝑥 Rta: -3sen3x
b) 5sen 4𝑥 Rta: 20 cos 4x
c) sen(𝑥3 + 2) Rta: 3𝑥2 cos(𝑥3 + 2)
d) cos(1 − 𝑥) Rta: sen(1 − 𝑥)
e) √𝑥2 + cos2𝑥 + 2 Rta:
𝑥−sen2𝑥
√𝑥2+ cos2𝑥 +2
f) √(𝑡3 + 3)2 + 1 Rta:
3𝑡2(𝑡3+3)
√(𝑡3+3)2+1
g) ln(3𝑥2 + 2) Rta:
6𝑥
3𝑥2+2
5) Calcularla derivadade lassiguientesfuncionesexponenciales:
a) 𝑦 = 2𝑥
b) 𝑒2
c) 𝑒2𝑥 Rta:2𝑒2𝑥
6) Diferenciarlasiguientesfunciones
a) 𝑦 = 2𝑢 Rta: 𝑑𝑦 = 2𝑑𝑢
b) 𝑧 = 3𝑥 + 2𝑦
7) Derivarlassiguientesfuncionesde funciones
a) 𝑧 = 5𝑥2 + 2𝑥 𝑥 = 3𝑡 𝑢𝑠𝑎𝑟
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡

36. 36
8) DERIVANDO CON EL PROGRAMA WOLFRAMMATHEMATICA
Derivarlassiguientesfunciones:
a) 𝑦 = 12𝑥3 + 𝑥/5
b) 𝑦 = 3𝑥2 + 5𝑥 con 𝑥 = 5𝑡
D t esla derivadatotal.
ComoDt [t] es iigual a1
entoncesssolo queda
150𝑡 + 25

37. 37

38. 38
APLICACIONES DE LA DERIVADA
: Recta tangente y normal a un punto
𝑁 ⊥ 𝑡
𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑃1(𝑥, 𝑦)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑎( 𝑥 − 𝑥1)
a es la pendiente.
Pendiente racta tg =f’(x) en el punto
𝑃1 = 𝑦′
(𝑃1)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑦′(𝑃1).(𝑥 − 𝑥1) [56] ecuación de la recta tangente.
𝑁 ⊥ 𝑡 ⇒ 𝑝𝑒𝑛𝑑 𝑁 = −
1
𝑦′(𝑃1)
(𝑥 − 𝑥1) [57]
Donde:
𝒚 − 𝒚𝟏 = −
𝟏
𝒚′(𝑷𝟏)
(𝒙 − 𝒙𝟏) [57] es la ecuación de la tecta normal
𝑆𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑔 = 𝑇 = 𝑃1𝑅
̅̅̅̅̅
𝑆𝑒𝑔 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = 𝑛 = 𝑃1𝑆
̅̅̅̅̅
𝑆𝑒𝑔 𝑠𝑢𝑏 𝑡𝑔 = 𝑅𝑄
̅̅̅̅
𝑆𝑒𝑔 𝑠𝑢𝑏 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = 𝑄𝑆
̅̅̅̅
FUNCIONES CRECIENTES Y
DECRECIENTES
a) Funciones crecientes:

39. 39
𝑓(𝑥)𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇔ 𝑥 < 𝑥 + ∆𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥 + ∆𝑥)
𝑥 < (𝑥 + ∆𝑥) ⇒ ∆𝑥 = (𝑥 + ∆𝑥)− 𝑥 > 0 ⇒ ∆𝑥 > 0 (𝑝𝑜𝑠itivo) *
𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) ⇒ ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) > 0 ⇒ ∆𝑦 > 0 ( +)**
De * y ** tenemos que
∆𝑦
∆𝑥
> 0 ⇒ lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
> 0 ⇒ 𝑦′
> 0 [58]
Si una función es creciente en un punto, la derivada en dicho punto es positivo y
recíprocamente.
b) Funciones decrecientes
𝑓(𝑥)𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇔ 𝑥 + ∆𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥)
> 𝑓(𝑥 + ∆𝑥)
 𝑥 < (𝑥 + ∆𝑥 ) ⇒ ∆𝑥 =
(𝑥 + ∆𝑥)− 𝑥 > 0 ⇒ ∆𝑥 > 0 (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜)
 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) ⇒ ∆𝑦 =
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) < (𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)
∆𝑦 < 0 (𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)
De ambos miembros anteriores
∆𝑦
∆𝑥
< 0 ⇒ lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
< 0 ⇒ 𝑦′
< 0 ( 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)
[59]
Si una función es decreciente en un punto la derivada primera en dicho punto debe ser
negativa. Y si la derivada primera en otro punto es negativa allí la función sera
decreciente. Ejemplo:
Sea la función 𝑦 = 𝑥2
X Y
0 0
± 1 1
±2 4
±3 9

40. 40
𝑦′
= 2𝑥
𝑦′(1) = 2.1 = +2 > 0
( creciente)
𝑦′(2) = 2.2 = +4 > 0
(creciente)
𝑦′(−1) = 2. (−1) = −1 < 0
(decreciente)
𝑦′(−2) = 2. (−2) = −4 < 0
(decreciente)
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN
1) Definición de máximo relativo: la función f(x) posee un máximo relativo en el
punto x0 si existe un número 𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∀ 𝑥 ∈ al entorno reducido (𝑥 −
𝑥0) de semiamplitud 𝛿 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑓(𝑥) < 𝐹(𝑥0), o sea que
∀𝑥 ∈ 0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0) [60]
Vemosenel grafico26 que enM1 la
funciónescreciente ⇒ 𝑦′(𝑀1) > 0
Creciente positiva.
En cambioen M2 vemosque
La funciónesdecreciente oseaque
𝑦′(𝑀2) > 0 Decreciente negativa
Las derivadasprimeraspuedenser
positivasonegativasacercándose al puntoM.
MÍNIMOS RELATIVOS

41. 41
La función f(x) posee un mínimo relativo en el punto x0 si existe un número δ>0
tal que para todo x que pertenezca al entorno reducido de semiamplitud δ se
verifica que f(x) > f(x0)
∀𝑥 ∈ 0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0) [61]
En m1 fase decreciente
𝑓′(𝑚1) < 0
En cambio en m2 la
derivada primera en
creciente
𝑓′(𝑚2) > 0
Ambas se aproximan a m.
PRIMER METODO
Seala función: 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 [i]
1) El primerpasoconsiste enobtenerladerivadade lafunción:
𝑦′ = 3𝑥 − 12𝑥 + 9 [ii]
2) Se igualaa cero la funciónderivada[ii] yeneste casoparticularvemosque podemos
dividirm.a.mpor3, luegose obtienenlasraícesde laecuaciónque pasan porlos
valorescríticos:
3𝑥 − 12𝑥 + 9
3
=
0
3
Quedando: 𝑥 − 4𝑥 + 3 = 0
Luego
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
+4 ± √42 − 4.1.3
2.1
→
4 + √4
2
=
6
2
= 3 𝑥1 = 3
→
4− √4
2
=
2
2
= 1 x2 = 1
AhoraobtenemoslospuntosP1 yP2 así:
𝑥1 = 3 𝑦 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 [𝑖] 𝑦(3) = (3)3 − 6.(3)2 + 9.(3) = 0 o sea que
𝑃1(3,0)

42. 42
𝑥2 = 1 𝑦 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 [𝑖] 𝑦(1) = (1)3 − 6.(1)2 + 9. (1) = 4 o sea que
𝑃2(1,4) Los puntos P1 y P2 .
3) Se calcula el valorde la derivadaprimeraparavaloresunpoco menoresyluegoun
poco mayoresque losvalorescríticos.Si la derivadaprimeracambiade signoypasa de
positivoanegativohayunmáximo. Si cambiapasandode negativoa positivohayun
mínimo.Ejem
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥1 = 3 (
(∗) 𝑦′(2) = 12 − 24 + 9 = −𝟑 < 0
𝑦′(4) = 48 − 48 + 9 = 𝟗 > 0
) ∋ 𝑢𝑛 𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 𝑒𝑛 𝑥1 = 3
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥2 = 1 ((∗∗)
𝑦′(0) = 0 − 0 + 9 = 𝟗 > 0
𝑦′(2) = 12 − 24 + 9 = −𝟑 < 0
) ∋ 𝑢𝑛 𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝑒𝑛 𝑥2
= 1
(*) Se reemplaza los puntos 2 y 4 ( que dejan en el medio a 3) en la función derivada [ii] (3x -12x+9 )
(**) Se reemplaza los puntos 0 y 2 ( que dejan en el medio a 1) en la función derivada [ii]
Comopodemosverenel
gráfico, para el punto
P2(1,4) se pasa de 0 a 2 de
positivoanegativoesto
indicaque el medioenx
=1 hay unmáximo.
En cambioen P1(3,0)
vemos que para los
valores2 y 4 pasande
negativoapositivoestos
indicaque enel mediox =
3 existiráun mínimo.

43. 43
CONCAVIDAD
Analizandoel graficode lafig.29vemosque:
𝜑1 ∈ 2do cuadrante; 𝜑 𝑦 𝜑2 ∈ Al primercuadrante
𝜑 < 𝜑2 Tambiéntenemosque 𝑡𝑔 𝜑1 < 0 ; 𝑡𝑔 𝜑 > 0 ; 𝑡𝑔 𝜑2 > 0 (sonvalores
crecientes)
𝑡𝑔 𝜑1 < 𝑡𝑔 𝜑 < 𝑡𝑔 𝜑2
La tangente del ángulo ϕ1 = pendiente de la recta t1 por definición al valor de la
derivada y’ en el punto M1.
La tg ϕ = pendiente t y es igual al valor de de la derivada y’ en el punto M.
La tg ϕ2 = la pendiente t2 que es igual al valor de la derivada y’ en M2.
La 𝑡𝑔 𝜑1 = 𝑦′(𝑀1) ; 𝑡𝑔 𝜑 = 𝑦′(𝑀) ; 𝑡𝑔 𝜑 = 𝑦′
(𝑀2)
Entonces tenemos que:
𝑦′(𝑀1) < 𝑦′(𝑀) < 𝑦′(𝑀2) ⇒ 𝑦′
= función creciente ⇒ 𝑦′′
debe ser positiva ( >0)
CONCLUSIONES
 Si una curva tiene su concavidad hacia las y positivas entonces en ese
punto la derivada segunda es positiva ( >0) Fig.30 A.

44. 44
 Si una curva tiene la concavidad hacia las –y ( y negativas) entonces la
derivada en ese punto es negativa (<0) Fig.30 B.
PUNTOS DE INFLEXIÓN
Donde P es un punto de inflexión.
Se llama punto de inflexión al punto de una curva donde este cambia su sentido de su
concavidad.
Cada vez que aparece un punto de inflexión la tg en ese punto corta a la recta y=f(x).
En el punto de inflexión la derivada segunda es igual a cero.

45. 45
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE UN MÁXIMO M Y UN
MÍNIMO m
𝑓(𝑥0) es un máximo ⇔ 𝑓′(𝑥0) = 0 𝑦 𝑓′′(𝑥0) < 0
En cambio
𝑓(𝑥0) es un mínimo ⇔ 𝑓′(𝑥0) = 0 𝑦 𝑓′′(𝑥0) > 0
Como podemos ver en la figura 32.
SEGUNDO MÉTODO
Sea la función 𝑦 = 𝑥3
− 6𝑥2
+ 9𝑥
1) Derivamos una vez
𝑦′
= 3𝑥2
− 12𝑥 + 9 [62]
2) Igualamos a cero y obtenemos las raíces :
3𝑥2
− 12𝑥 + 9 = 0
Tendremos dos raíces en este caso 𝑥1 = 1 𝑥2 = 3 que son los valores críticos
P1(1,4) y P2(3,0)
Hasta aquí iguales que el anterior método
Ahora la variante es obtener la derivada segunda de [62] y tendremos:

46. 46
𝑦′′
= 6𝑥 − 12 [63]
3) Luego se analiza el signo de la derivada cada valor crítico:
𝑦′′(1) = 6.(1) − 12 = −6 < 0 ⇒ ∃ 𝑢𝑛 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑥1=1
𝑦′′(3) = 6. (3) − 12 = 6 > 0 ⇒ ∃ 𝑢𝑛 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑥2 = 3
4) Ahora se iguala a cero la derivada segunda [63] y se resuelve la ecuación:
6𝑥 − 12 = 0
𝑥 =
12
6
= 2
De todo esto podemos concluir que:
(𝑦′′(1)=−6<0
𝑦′′(3) =6>0
) ⇒ existe un punto de inflexión en el punto 𝑥 = 2
PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR UN MÁXIMO O MÍNIMO CON EL PROGRAMA
WOLFRAM
Con la instrucción FindMaximum{ la función, el intervalo en x del dominio a buscar el
máximo, seguido de un punto de 𝑥 = 0 por donde comenzará a buscar el máximo o el
mínimo.
Es conveniente plotear la función para ver de dónde nos movemos y ver donde pueden
estar los valores. De la misma forma buscamos el mínimo.
CURVA REGULAR

47. 47
En todo arco de curva regular existe por lo menos un punto donde la recta tangente
resulte paralela a la secante 𝐴𝐵
̅̅̅̅.
TEOREMA DE LAGRANGE
El incremento de una función continua y derivable en un intervalo es igual al valor de
la derivada primera en el punto intermedio.
Vamos a demostrar el teorema de Lagrange:
H) 𝑦 = 𝑓(𝑥)es continua en el intevalo [𝑎,𝑏]
𝑦 = 𝑓(𝑥) es derivable en el intervalo ]𝑎,𝑏[
T) 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = (𝑏 − 𝑎). 𝑓′(𝜀) con 𝑎 < 𝜀 < 𝑏
D) Pendiente de 𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 𝑡𝑔 𝜑 =
𝐵𝐶
𝐴𝐶
=
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
[*]
Como 𝑡 ∥ 𝐴𝐵
̅̅̅̅ ⇒ 𝑝𝑒𝑛𝑑 𝑡 = 𝑝𝑒𝑛𝑑 𝐴𝐵
̅̅̅̅ ⇒ 𝑝𝑒𝑛𝑑 𝑡 = 𝑡𝑔 𝜑 = 𝑓′
(𝜀) [**]
Comparando [*] y [**] tendremos que:

48. 48
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
= 𝑓′(𝜀) [64]
Esto implica que 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝜀)′(𝑏 − 𝑎) con 𝑎 < 𝜀 < 𝑏 [65]
TEOREMA DE ROLLE
Si una función f(x) es
continua y derivable en el
intervalo ]a,b[ y f(a) = f(b)
entonces existe por lo
menos un punto interior al
intervalo ]a,b[ donde la
derivada primera se anula.
H) 𝑦 = 𝑓(𝑥) Continua en el intervalo [a,b] y derivable en ]a,b[
Además 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏)según el grafico 35.
T) ∃𝜀 > 0 𝜖 ]𝑎,𝑏[ / 𝑓′(𝑥) = 0
D ) Por teorema de Lagrange tenemos que 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = (𝑏 − 𝑎).𝑓′(𝜀)
Por hipótesis tenemos que: 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎) ⇒ 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 0 ⇒ (𝑏 − 𝑎). 𝑓′(𝜀) = 0
Como (𝑏 − 𝑎) ≠ 0 esto implica que 𝑓′(𝜀) = 0 con 𝑎 < 𝜀 < 𝑏
CONSECUENCIAS
Si una función f(x) tiene derivadas nulas en todos los puntos del intervalo ]a,b[
entonces dicha función es una constante.
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥)/𝑓′(𝑥) = 0 ∀ 𝑥 𝜖 ]𝑎, 𝑏[
Por el teorema de Lagrange : 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = (𝑏 − 𝑎)𝑓′(𝜀)con 𝑎 < 𝜀 < 𝑏
Pero 𝑓′(𝑥) = 0 ⇒ 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 0 ∀𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[ ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) ∀𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[ ⇒
𝑓(𝑥) = 𝑘 (constante)

49. 49
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
Si dos funcionesposeenderivadasigualesentodoslospuntosde unintervaloentonces
difierenenunaconstante.
Sea𝑓(𝑥)𝑦 𝑔(𝑥) / 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥)∀𝑥 ∈ ]𝑎,𝑏[
Construimoslafunción: 𝜑(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
Derivando:𝜑′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)
Pero𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ∀𝑥 ∈ ]𝑎,𝑏[ ⇒ 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) = 0 ⇒ 𝜑′(𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[
Esto implicaque 𝜑(𝑥) = 𝑘 ⇒ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑘 ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑘
Ejemplo:
Sea t: 𝑦 = 3𝑥 + 3
Y t’ : 𝑦 = 3𝑥 − 1
TEOREMA DE CAUCHY

50. 50
La razón entre los incrementos de dos funciones continuas y derivables en un
intervalo es igual a la razón de la derivada primera de dichas funciones en un punto
intermedio.
H) 𝑓(𝑥)𝑦 𝑔(𝑥) son continuas en [𝑎, 𝑏]y derivables en ]a,b[
T )
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)
=
𝑓′(𝜀)
𝑔′(𝜀)
con a < ε < b [66]
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑔(𝑥)−𝑔(𝑎)
=
𝑓′(𝜀)
𝑔′(𝜀)
con a< ε < b [67]
.D) Construimos: 𝜑(𝑥) = 𝑓(𝑥) − ℎ. 𝑔(𝑥) [*]
Determinar el valor de h / 𝜑(𝑎) = 𝜑(𝑏)
ℎ. 𝑔(𝑎) − ℎ.𝑔(𝑏) = 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏)
ℎ( 𝑔(𝑎) − 𝑔(𝑏) ) = 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏) multiplicando por -1 m.a.m y despejando h
ℎ =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)
[**]
Reemplazando [**] en [*] tendremos
𝜑(𝑥) = 𝑓(𝑥) −
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)
. 𝑔(𝑥)
Derivando
𝜑′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) −
𝑓(𝑏)− 𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏)− 𝑔(𝑎)
. 𝑔′(𝑥)
Pero como 𝜑(𝑎) = 𝜑(𝑏) ⇒Por teorema de Roll ∋ 𝜀 𝜖 ]𝑎,𝑏[ / 𝜑(𝜀) = 0
𝑓′(𝜀)−
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)
. 𝑔′(𝜀) = 0
Haciendo pasaje de términos
𝑓′(𝜀) =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)
. 𝑔′(𝜀)
Pasando g’(x) al otro miembro
𝑓′(𝜀)
𝑔′(𝜀)
=
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)
para a< ε < b

51. 51
Y así queda demostrado el teorema de Cauchy.
REGLA DE HOPITAL
Sean 𝑓(𝑥)𝑦 𝑔(𝑥) continuas y derivables / lim
𝑥.→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 𝑦 lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
0
0
es un indeterminación
Como 𝑓(𝑥)𝑦 𝑔(𝑥) son continuas y 𝑓(𝑎) = 0 𝑦 𝑔(𝑎) = 0
Por [67] podemos escribir:
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)
=
𝑓′(𝜀)
𝑔′(𝜀)
𝑐𝑜𝑛 𝑎 < 𝜀 < 𝑏
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
⇒ lim
𝜀 →𝑎
𝑓′
(𝜀)
𝑔′(𝜀)
=
𝑓′
(𝑎)
𝑔′(𝑎)
Y de esta manera la regla de Hopital nos permite salvar la indeterminación. Ejemplo
1) lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥
=
0
0
𝑃𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 lim
𝑥→0
( 𝑆𝑒𝑛 𝑥)′
(𝑥)′
= lim
𝑥→0
𝐶𝑜𝑠 𝑥
1
=1
2) lim
𝑥→2
𝑥2+4
𝑥−2
= lim
𝑥→2
(𝑥2+4)′
(𝑥−2)′
= lim
𝑥→2
2𝑥
1
= 2.2 = 4
EJERCICIOS

52. 52
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Breve repaso de algunas figuras en el espacio:
Donde
𝑂𝐴
̅̅̅̅̅= x Abscisas
𝑂𝐵
̅̅̅̅= y ordenada
𝑂𝐶
̅̅̅̅̅= z Cota.
Los planoscoordenados
dividenal espacioen8
octantes.
DISTANCIA DE DOS PUNTOS EN EL ESPACIO
Para calcularla distanciaentre dospuntosenel espacio:
𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅̅̅ = √(𝑥 − 𝑥1)2 + (𝑦 − 𝑦1)2 + (𝑧 − 𝑧1)2 [77]
A modode ejemploalgunassuperficiescomo:
1) El plano𝐴𝑥+ 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 [78] (Ecuacióndel planoenel espacio)

53. 53
TRAZAS:se llamanasí a la
intersecciónde unasuperficie
con losplanoscoordenados
(M, M’y M’’).
Si en [78] hacemos:
x= 0 y= 0 ⇒ 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
𝑧 = −
𝐷
𝐶
⇒ 𝑀′′( 0 ,0 ,−
𝐷
𝐶
)
Si hacemos:x =0 z=0
∴ 𝐵𝑦 + 𝐷 = 0 ⇒ 𝑦 = −
𝐷
𝐵
𝑀′(0 ,−
𝐷
𝐵
,0)
Si hacemos:y =0 y z=0 tendremos:
𝐴𝑥 + 𝐷 = 0 ⇒ 𝑥 = −
𝐷
𝐴
⇒ 𝑀 (−
𝐷
𝐴
, 0 , 0)
Ejemplo. Si tenemosunplano conla siguienteecuación:
12𝑥 + 6𝑦 + 9𝑧 − 36 = 0
𝑥 = 0 𝑦 = 0 ⇒ 9𝑧 − 36 ⇒ 𝑧 =
36
9
⇒ 𝑧 = 4 ; 𝑀′′(0 ,0 ,4)
𝑥 = 0 𝑧 = 0 ⇒ 6𝑦 − 36 ⇒ 𝑦 =
36
6
⇒ 𝑦 = 6 ; 𝑀′(0 ,6 ,0)
𝑦 = 0 𝑧 = 0 ⇒ 12𝑥 − 36 ⇒ 𝑥 =
36
12
⇒ 𝑥 = 3 ; 𝑀(3 ,0 ,0)
El gráfico tendría la siguiente forma
M’’ ( 0 , 0 , 4)
M’ ( 0 , 6 , 0 )
M ( 3, 0 , 0 )

54. 54
2) Para el caso de la esfera : 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑟2
[79] ( que pasa por el centro de
coordenadas)
Para el caculo de las trazas hacemos:
𝑧 = 0 ⇒ 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
( Circunferencia en el planos XY )
𝑦 = 0 ⇒ 𝑥2
+ 𝑧2
= 𝑟2
(Circunferencia en el plano XZ )
𝑥 = 0 ⇒ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑟2
(Circunferencia en el plano YZ )
3) Elipsoide: Su ecuación es:
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 +
𝑧2
𝑐2 = 1 [80]
Al hacer x , y o z a cero obtenemos las ecuaciones de las elipses en distintos
planos.

55. 55
4) Hiperboloide de una sola hoja.
La ecuación del hiperboloide tiene los mismos términos que la elipse pero uno de
ellos es negativo.
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 −
𝑧2
𝑐2 = 1 [81]
Buscamos las trazas: Anulando un término en [81]
𝑥 = 0 ⇒
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1 ⇒ (Hipérbola en el plano Y Z )
𝑦 = 0 ⇒
𝑥2
𝑎2
−
𝑧2
𝑐2
= 1 ⇒(Hipérbola en el plano X Z)
𝑧 = 0 ⇒
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 ⇒ (Elipse en el plano X Y )

56. 56

57. 57
FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Definición: se dice que h es una función de las variables independientes x e y si a cada
par de valores ( x, y ) perteneciente al dominio le corresponde le corresponde un solo
valor de h.
Ejemplo:
Sea ℎ = +√(1 − 𝑥2𝑦2) con 𝑥2
𝑦2
≤ 1
El dominio D será
𝐷 = { (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 /𝑥2
𝑦2
≤ 1}
FUNCION DE n VARIABLES
Sea 𝑢 = { 𝑥1,𝑥2,𝑥3, … 𝑥𝑛} decimos que u es una función de las variables
independientes 𝑥1,𝑥2, …, 𝑥𝑛 si para cada sistema de valores asignados al conjunto de
variables independientes se obtiene un único valor de 𝑢.
DERIVADAS PARCIALES
Derivadas parciales respecto a Y tendremos
i) Manteniendo constante x .
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) con ( x = constante e y = variable)
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
𝑓( 𝑥0 ,𝑦+ ∆𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)
∆𝑦
[82]
𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦) = superficie
𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ; 𝑥 = 𝑥0
En la intersección de f(x,y) con el plano x =x0
Para (𝑥=𝑥0
𝑦=𝑎
) 𝜕ℎ
𝜕𝑦
= 𝑡𝑔 𝛼 =pendiente de la recta t

58. 58
ii) Manteniendo constante y
Con respecto a x
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) con x = variable ; y = constante
𝜕ℎ
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓( 𝑥 + ∆𝑥,𝑦0)−𝑓(𝑥,𝑦)
∆𝑥
[87]
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Superficie
𝑦 = 𝑦0 Constante en el
plano.
Para 𝑦 ⇒
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑡𝑔 𝛼 =
pendiente de la recta t

59. 59
Ejemplo:
Sea 𝑧 = 2𝑥2
− 3𝑥𝑦 + 4𝑦2
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 4𝑥 − 3𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −3𝑥 + 8𝑦
DERIVADAS PARCIALES SUCESIVAS
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓′
𝑥 {
𝑓′𝑥𝑦
𝑓′𝑥𝑥
𝑓ý {
𝑓′𝑦𝑥
𝑓′𝑦𝑦
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
{
𝜕𝑧
𝜕𝑥
{
𝜕2
𝑧
𝜕𝑥2
𝜕2
𝑧
𝜕𝑥 𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
{
𝜕2
𝑧
𝜕𝑦𝑥
𝜕2
𝑧
𝜕𝑦2
Donde 𝑓′𝑥𝑦 y 𝑓′𝑦𝑥 sonlas derivadascruzadas, tendremosderivadascruzadasporderivadas
consecutivas.
Ejemplo.Sealafunción: 𝑧 = 2𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 4𝑦2 Derivemosdosveces
{
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 4𝑥 − 3𝑦
{
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2 = 4
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝑦
= −3
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −3𝑦 + 8𝑦
{
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝑥
= −3
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2 = 8
La derivadas cruzadas coinciden ( -3) .
ACLARACIÓN:
𝜕2
𝑧
𝜕𝑥2 El 2 arriba no indica una potencia, es el segundo orden de la
derivada.

60. 60
DIFERENCIAL TOTAL
En cuanto a losdiferencialestendremos:
Para una variable: ∆𝑦 = 𝑓(𝑥).∆𝑥 + 𝜀(𝑥) .∆𝑥
Para dos variables: 𝑎.∆𝑥 + 𝑏∆𝑦 + 𝜖1(𝑥).∆𝑥 + 𝜀2(𝑦).∆𝑦
Se demuestraque: 𝑎 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
y 𝑏 =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝒅𝒛 =
𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝒅𝒙 +
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝒅𝒚 [88]
Que es lafórmuladel diferencial total. Ejemplo:
Sea 𝑧 = 3𝑥4 − 7𝑦3
𝑑𝑧 = 12𝑥3.𝑑𝑥 + −21𝑦2.𝑑𝑦
DERIVADA DE UNAFUNCIÓN COMPUESTA
Una funcióncompuestaesunafunciónde función.Ejemplo
Si 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦) ; 𝑥 = 𝛿(𝑡) 𝑦 = 𝛾(𝑡)
Sea∆𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
. ∆𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.∆𝑦 + 𝜀1 (𝑥).∆𝑥 + 𝜀2(𝑦).∆𝑦
Si dividimosm.ampor∆t
∆𝑧
∆𝑡
=
𝜕𝑥
𝜕𝑥
.
∆𝑥
∆𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
∆𝑦
∆𝑡
+ 𝜀1 (𝑥).
∆𝑥
∆𝑡
+ 𝜀2(𝑦).
∆𝑦
∆𝑡
Tomando límitescon ∆𝑡 → 0
lim
∆𝑡→0
∆𝑧
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
[
𝜕𝑥
𝜕𝑥
.
∆𝑥
∆𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
∆𝑦
∆𝑡
+ 𝜀1 (𝑥).
∆𝑥
∆𝑡
+ 𝜀2(𝑦).
∆𝑦
∆𝑡
]
Como𝜀1(𝑥) → 0 𝑦 𝜀2(𝑦) → 0 tendremos
𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑓[𝛿(𝑡), 𝛾(𝑡)]
Y así obtenemoslaformulade derivadastotalesparaunafuncióncompuesta
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
[89]

61. 61
Ejemplo:
𝑧 = 3𝑥2
+ 𝑥𝑦 − 5𝑦3
con 𝑥 = 𝑡2
; 𝑦 = 2𝑡
Derivamos como indica [89] tendremos
𝑑𝑧 = (6𝑥 + 𝑦)2𝑡 + (𝑥 − 15𝑦2).2
Reemplazando los x e y por sus funciones
𝑑𝑧 = ( 6𝑡2
+ 2𝑡). 2𝑡 + (𝑡2
− 15(2𝑡)2
)
𝑑𝑧 = 12𝑡3
+ 4𝑡2
+ 2𝑡2
− 120𝑡2
= 12𝑡3
− 114𝑡2
𝑑𝑧 = 12𝑡3
− 114𝑡2
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLICITA
Seala funciónimplícita: 3𝑥2 + 3𝑥𝑦3 − 7𝑦 = 0
Esto equivale decir𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦) pero con 𝑧 = 0
O sea𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 esla funciónimplícita
Hagamos:
𝑦 = 𝛾(𝑥) ; 𝑥 = 𝜑(𝑥)
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Pero aquí vemos que
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 0 𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 1
0 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
. 1 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −
𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒛
𝝏𝒚
[90]
Ejemplo: Seala funciónimplícita: 3𝑥2 + 3𝑥𝑦3 − 7𝑦 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
6𝑥 + 3𝑦3
9𝑥𝑦2 − 7

62. 62
MAXIMOS Y MÍNIMOS
Condición necesaria pero no suficiente: Para que la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) posea un
máximo o un mínimo en el punto (𝑥0,𝑦0) es que se anule en dicho punto sus derivadas
parciales primeras.
En (𝑥0,𝑦0 ) ∃ un máximo o mínimo (
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=0
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=0
) en el punto (𝑥0,𝑦0)
CONDICIÓN SUFICIENTE
El hessiano debe ser mayor que cero
Llamaremos H al hessiano que se calcula de la siguiente manera:
{
𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑦
𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑦𝑦
} = 𝑓𝑥𝑥.𝑓𝑦𝑦 − 𝑓𝑦𝑥 .𝑓𝑥𝑦 > 0
Caso particulares para figuras geométricas en el espacio:
i) Caso elíptico El hesiano debe ser mayor que cero ( H > 0) además debemos
analizar si:
a) 𝑓𝑥𝑥 > 0 𝑦 𝑓𝑦𝑦 > 0 ⇒ ∃ 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 ( 𝑚 )𝑒𝑛 (𝑥0,𝑦0)
b) 𝑓𝑥𝑥 < 0 𝑦 𝑓𝑦𝑦 < 0 ⇒ ∃ 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 ( 𝑀) 𝑒𝑛 (𝑥0,𝑦0)
ii) Caso hiperbólico H < 0 . Se observa en el punto de ensilladura.

63. 63
iii) Caso H = 0 Resulta un caso dudoso y confuso.
METODO PARA CALULAR MAXIMOS Y MÍNIMOS
Ejemplo
Sea 𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 + 6𝑦 + 25
1) Se hallan las derivadas parciales primeras:
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 2𝑥 − 4 y
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 2𝑦+ 6
2) Se igualan a cero las derivadas parciales y se resuelve el sistema de ecuaciones.
Las raíces son los valores críticos.
2𝑥 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 =
4
2
⇒ 𝑥 = 2
2𝑦 + 6 = 0 ⇒ 𝑦 = −
6
2
⇒ 𝑦 = −3
El valor crítico (𝑥0,𝑦0) es de (2, −3)
Luego obtenemos el valor de z
𝑧 = 22
−32
+ 4.2 + 6. (−3)+ 25 = 12
3) Se calcular el valor del hessiano H , para ello debemos calcular las derivadas
parciales segundas y luego reemplazamos su valor crítico.
𝑓𝑥𝑥 ⇒
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 2𝑥 − 4 ⇒
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2 = 2 entonces 𝑓𝑥𝑥 = 2
𝑓𝑥𝑦 = 0 𝑓𝑦𝑥 = 0 𝑦 𝑓𝑦𝑦 = 2
𝐻 = {
𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑦
𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑦𝑦
} = {
2 0
0 2
} = 2.2 − 0.0 = 4 > 0
Entonces vemos que 𝑓𝑥𝑥 = 2 > 0 ⇒ ∃ 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (2 ,−3)

64. 64
IINTEGRALES
Integrales indefinidas
¿Qué son las integrales?
Veamos una sucesión de valores discretos 𝑋𝑖 = 1, 2,3,4,… . 𝑛. Son valores
discretos ya que ente el anterior y el siguiente hay una diferencia discreta 4-3
=1, o 2-1=1. Si quisiéramos sumar debemos hacer sumatoria de los términos
y lo expresamos así ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=0 , esto implica sumar 1 + 2 +..hasta el termino n.
Pero qué pasa si yo tengo valores continuos son aquellos valores donde un
consecutivo y su antecesor hay una diferencia muy pequeña que llamamos
diferencial. Ejemplo dx o dy. Para estos valores no podemos sumar como los
valores discretos y debemos utilizar una herramienta llamada integral.
Partes de una integral
Ejemplo
1) 𝐹(𝑥) = 3𝑥2
; 𝐹′(𝑥) = 6𝑥 ; 𝑑(𝐹(𝑥)) = 6𝑥𝑑𝑥 ; ∫ 6𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥2
2) 𝐹(𝑥) = 3𝑥2
+ 6 ; 𝐹′(𝑥) = 6𝑥 ; 𝑑(𝐹(𝑥)) = 6𝑥 𝑑𝑥 ; ∫ 6𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥2
+ 6
En general
∫6𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝑥2
+ 𝐶
Se coloca siempre C porque no se puede determinar la constante de integración
que puede ser cualquier constante.
La integración es una operación inversa a la derivada.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. Linealidad de integración
i)
∫ 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 + 𝑑𝑤 = ∫𝑑𝑤 + ∫𝑑𝑣 + ∫𝑑𝑤

65. 65
ii) ∫ 𝑘 𝑑𝑢 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑢 Siendo k una constante
Toda constante que multiplica ( en este caso) debe ser extraída fuera del signo
integral.
INTEGRAL INMEDIATA
Se aplica a los siguientes casos más comunes:
1) ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 [91]
2) ∫ 𝑥𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
[92]
Verificación
Sea 𝑦 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶
𝑦′
=
(𝑛 + 1)𝑥𝑛+1−1
(𝑛 + 1)
=
(𝑛 + 1)𝑥𝑛
(𝑛 + 1)
= 𝑥𝑛
Como 𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
3) ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥
𝑥
= ln 𝑥 + 𝐶 [93]
Ejemplo
∫
6𝑥 𝑑𝑥
3𝑥2
=
6
3
∫
𝑥
𝑥2
𝑑𝑥 =
6
3
∫
𝑥
𝑥2
=
6
3
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 [94]
y
6
3
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 =
6
3
(𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶)
Verificación
Sea 𝑦 =
6
3
(ln 𝑥 + 𝐶)
Derivamos como derivada de un producto
𝑦′
=
6
3
(
1
𝑥
) =
6
3𝑥
𝑑𝑦 =
6
3
. (
1
𝑥
)𝑑𝑥 que es igual a [94]
En realidad la integral solo queda 𝑦′
= 2 ln 𝑥
9) ∫ 𝑎𝑥
𝑑𝑥 =
𝑎𝑥
ln 𝑎
+ 𝐶 [93]

66. 66
10) ∫ 𝑒𝑥
= 𝑒𝑥
+ 𝐶 [94]
11) ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − cos𝑥 + 𝐶 [95]
12) ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = sen 𝑥 + 𝐶 [96.1]
13) ∫ 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = − ln cos𝑥 + 𝐶 [96.2]
14) ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 [97]
15) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 = −cotg𝑥 + 𝐶 [98]
16) ∫sec𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 𝑥 + 𝐶 [99]
17) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 .𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝐶 [100]
18) ∫
𝑑𝑥
1+𝑥2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 [101]
19) ∫
𝑑𝑥
√1−𝑥2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 [102]
METODOS GENERALES DE INTEGRACIÓN
i) INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN:
Se utilizanlaspropiedadesde lalinealidadylasformulasde integralesinmediatas.
Ejemplo:
∫
(2𝑥 + 3)2
2𝑥
𝑑𝑥 = ∫
4𝑥2 + 12𝑥 + 9
2𝑥
𝑑𝑥 = ∫(
4𝑥2
2𝑥
+
12𝑥
2𝑥
+
9
2𝑥
)𝑑𝑥
∫(2𝑥 + 12 +
9
2𝑥
) 𝑑𝑥 = 2∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 6 ∫𝑑𝑥 +
9
2
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 =
2 [
𝑥2
2
] + 6[𝑥] +
9
2
[ln 𝑥] + 𝐶 = 𝑥2 + 6𝑥 +
9
2
ln𝑥 + 𝐶
i) INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
Se lo utilizacuandoexistenpotencia,radicaciónofuncionestrigonométricas.
Ejemplo:
∫
3𝑥2
√5𝑥3+1
𝑑𝑥 [*] Hacemos {
𝑡 = 5𝑥3
+ 1
𝑑𝑡 = 15𝑥2
𝑑𝑥
𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑑𝑡
15
[**]
Reemplazando [**] en [*] tendremos
∫
3 𝑑𝑡
15 √𝑡
= ∫
𝑑𝑡
5√𝑡
=
1
5
∫
𝑑𝑡
𝑡
1
2
=
1
5
∫ 𝑡−
1
2 𝑑𝑡 =
1
5
[
𝑡
−
1
2
+1
−
1
2
+1
] =
1
5
[
𝑡
1
2
1
2
] =
1
5
[
√𝑡
1
2
] =
1
5
[2√𝑡
]+ C=

67. 67
=
2
5
√𝑡 + 𝐶 reemplazando t tendremos
2
5
√5𝑥3 + 1 + C
ii) INTEGRAL POR PARTES
Este método puede aplicarse para el caso de integrales de productos de
funciones, logaritmos o funciones circulares inversas.
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA
Partiendo de la derivada de un producto:
Sea la función 𝑦 = 𝑢. 𝑣 derivando
𝑦′
= 𝑢′
. 𝑣 + 𝑢. 𝑣′
Reemplazando 𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦 = (. 𝑣 + 𝑢. 𝑣′)𝑑𝑥
𝑑𝑦 = 𝑢′
. 𝑣. 𝑑𝑥 + 𝑢. 𝑣′.
𝑑𝑥
Ordenando 𝑑𝑦 = 𝑢′
. 𝑑𝑥. 𝑣 + 𝑣′
.𝑑𝑥. 𝑢 [*]
Como 𝑢′
.𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 ; 𝑣′
.𝑑𝑥 = 𝑑𝑣 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑(𝑢. 𝑣) [**]
Reemplazando [**] en [*] tendremos
𝑑(𝑢. 𝑣) = 𝑑𝑢. 𝑣 + 𝑑𝑣. 𝑢 Ordenando nuevamente
𝑑(𝑢. 𝑣) = 𝑣. 𝑑𝑢 + 𝑢. 𝑑𝑣
Integrando m. a .m tendremos
∫𝑑(𝑢. 𝑣) = ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 + ∫𝑢. 𝑑𝑣
𝑢. 𝑣 = ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 Ahora despejamos la primera integral y 𝑢. 𝑣
tendremos
− ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 = −𝑢. 𝑣 + ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 Multiplicando m.a.m por (-1) tendremos
∫ 𝑣. 𝑑𝑢 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 y así obtenemos la formula de la integral por partes.
∫ 𝒗. 𝒅𝒖 = 𝒖. 𝒗 − ∫ 𝒖. 𝒅𝒗 [103]
Ejemplo
Sea calcular ∫ lnx. 𝑥. 𝑑𝑥

68. 68
Observamos que se trata de un producto de dos funciones x y ln x.
Si hacemos
𝑣 = ln𝑥 [*] ; 𝑑𝑣 =
1
𝑥
𝑑𝑥 y 𝑑𝑢 = 𝑥. 𝑑𝑥
Para obtener u debemos integrar ∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑢 =
𝑥2
2
[**]
Ahora reemplazamos [*] y [**] en [104] tendremos
∫ ln 𝑥.𝑥. 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
. 𝑙𝑛𝑥 − ∫
𝑥2
2
.
1
𝑥
𝑑𝑥 =
𝑥2
2
. 𝑙𝑛𝑥 − ∫
𝑥2
2
.
1
𝑥
𝑑𝑥
=
𝑥2
2
. 𝑙𝑛𝑥 −
1
2
∫𝑥. 𝑑𝑥 =
∫𝑙𝑛𝑥 . 𝑥. 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
. 𝑙𝑛𝑥 −
1
2
[
𝑥2
2
] =
𝑥2
2
. 𝑙𝑛𝑥 −
𝑥2
4
+ 𝐶
También podemos escribir ∫ 𝑙𝑛𝑥.𝑥. 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
[ln 𝑥 −
1
2
] + 𝐶
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Antes de ver el próximo método debemos tener en claro algunos aspectos previos
como la descomposición factorial.
La descomposición factorial se puede aplicar a cualquier polinomio. Sea el caso de una
ecuación de segundo grado, en este caso tendremos dos raíces supongamos que los
dos sean reales:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 [∗] {
𝑥1
𝑥2
o sea que voy a tener dos raíces x1 y x2 porque la ecuación
es de segundo grado
De esta manera [*] también podemos escribir así”
𝑎(𝑥 − 𝑥1).(𝑥 − 𝑥2)
POLINOMIO DE GRADO n
Sea el polinomio: 𝑃𝑛(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1
…. 𝑎1𝑥 + 𝑎0
Donde el número de raíces coincide con el grado del polinomio
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥1).(𝑥 − 𝑥2)… . (𝑥 − 𝑥𝑛)

69. 69
Si las raíces son múltiples repetidas tendremos:
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑎𝑛( 𝑥 − 𝑥1)2
.(𝑥 − 𝑥3)… .(𝑥 − 𝑥𝑛)
Se eleva al cuadrado porque la las primeras dos raíces son iguales.
iii) INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Sea la integral del cociente de dos polinomios 𝑃(𝑥)𝑦 𝑄(𝑥)
∫
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑑𝑥 = ∫
𝑎𝑛 𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1
+ 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2
+ . . + 𝑎2𝑥2
+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0
𝑏𝑚𝑥𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥𝑚−1 + 𝑏𝑚−2𝑥𝑚−2+. . +𝑏2𝑥2 + 𝑏1𝑥 + 𝑏0
Donde tenemos que:
Grado de P gr(P) es: n y el Grado de Q gr(Q) es : m
Dependiendo de n y m tendremos los siguientes casos:
Si el gr(P ) ≥ gr(Q) se efectúa la división de polinomios obteniéndose el cociente que
resulta de integración inmediata mas una función
𝑆𝑖 𝑔𝑟(𝑃) ≥ 𝑔𝑟(𝑄) ⇒
𝑃
𝑄
+ 𝑅(𝑋) Donde R(x) es el resto si la división no es exacta.
Si gr(P) < gr(Q) tendremos que:
Se debe utilizar la descomposición factorial de Q
O sea que 𝑄𝑚 (𝑥) = 1. (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)… (𝑥 − 𝑥𝑚) con 𝑏𝑚 = 1
La expresión de P reemplazamos por letras mayúsculas de esta manera
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝐴
(𝑥−𝑥1)
+
𝐵
(𝑥−𝑥2)
+ ⋯ . +
𝑀
(𝑥−𝑥𝑚)
[*]
Obtenemos el común denominador multiplicando el producto de todos los
denominadores por A, B , C ..M y dividiendo el denominador de esa fracción
tendremos
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝐴 (𝑥 − 𝑥2)…(𝑥 − 𝑥𝑚) + 𝐵((𝑥 − 𝑥1).. 𝑀(𝑥 − 𝑥𝑚)
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2).. (𝑥 − 𝑥𝑛)
Pero como : 𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2). .(𝑥 − 𝑥𝑛) tendremos

70. 70
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝐴 (𝑥 − 𝑥2)…(𝑥 − 𝑥𝑚) + 𝐵((𝑥 − 𝑥1).. 𝑀(𝑥 − 𝑥𝑚)
𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥) = 𝐴 (𝑥 − 𝑥2)… (𝑥 − 𝑥𝑚) + 𝐵((𝑥 − 𝑥1).. + 𝑀(𝑥 − 𝑥𝑚)
Luego hacemos 𝑥 = 𝑥1
𝑃(𝑥1) = 𝐴 (𝑥1 − 𝑥2)… (𝑥1 − 𝑥𝑚) + 𝐵((𝑥1 − 𝑥1).. (𝑥1 − 𝑥𝑚) +
𝑀(𝑥1 − 𝑥1)(𝑥1 − 𝑥𝑚)
Despejando A podemos calcular el valor de A
𝐴 = 𝑘1 =
𝑃(𝑥1)
(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥2).. (𝑥1 − 𝑥𝑚)
[∗∗]
Nuevamente haciendo 𝑥 = 𝑥2 tendremos
𝑃(𝑥2) = 𝐴 (𝑥2 − 𝑥2)… (𝑥1 − 𝑥𝑚) + 𝐵((𝑥2 − 𝑥1).. (𝑥1 − 𝑥𝑚) + 𝑀(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥2 − 𝑥2).
𝑘2 = 𝐵 =
𝑃(𝑥2)
(𝑥2 − 𝑥1).. (𝑥1 − 𝑥𝑚)
[∗∗∗]
Y asi sucesivamente haciendo 𝑥 = 𝑥3 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐶 = 𝑘3 ,𝑐𝑜𝑛 𝑥 = 𝑥4 tenemos C =
𝑘4 hasta 𝑥 = 𝑥𝑚 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑀 = 𝑘𝑚 [****]
Ahora reemplazando los números [**] , [***] …[****] en [*] tendremos
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝑘1
(𝑥 − 𝑥1)
+
𝑘2
(𝑥 − 𝑥2)
+ ⋯ . +
𝑘𝑚
(𝑥 − 𝑥𝑚)
Integrando
∫
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑑𝑥 = ∫
𝑘1
(𝑥 − 𝑥1)
𝑑𝑥 + ∫
𝑘2
(𝑥− 𝑥2)
𝑑𝑥+..+∫
𝑘𝑚
(𝑥 − 𝑥𝑚)
𝑑𝑥
Integrandotendremos
∫
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑑𝑥 = 𝑘1 ln(𝑥 − 𝑥1) + 𝑘2 ln(𝑥 − 𝑥2)+..+𝑘𝑛 ln(𝑥− 𝑥𝑛)

71. 71
∫
P(x)
Q(x)
= ln[(x − x1 )k1 +(𝑥 − 𝑥2)𝑘2 + ( 𝑥 − 𝑥𝑚
)𝑘𝑚 ] + 𝐶
Ejemplo
Sea calcular la siguiente integral:
∫
2𝑥 + 3
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥
𝑑𝑥
Donde podemos observar que gr(P) < gr(Q) ( grado de P menor que el grado de Q) no
podemos dividir el polinomios, debemos proceder según el criterio anterior.
Tenemos que 𝑄(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥2
− 2𝑥 y vamos a tener tres raíces porque el polinomio
es de grado 3. Obteniendo factor común tendremos:
𝑥( 𝑥2
+ 𝑥 − 2) = 0
Ya tenemos que 𝑥1 = 0
Luego resolvemos la ecuación de segundo grado que está entre paréntesis
𝑥2
+ 𝑥 − 2 = 0
𝑥 =
−1 ± √12 − 4.1. (−2)
2.1
=
−1 ± 3
2
⇒ {
x2 = 1
x3 = −2
Ahora realizamos la descomposición factorial:
𝑄(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥2
− 2𝑥 = (𝑥 − 0).(𝑥 − 1).(𝑥 + 2) = 𝑥(𝑥 − 1).(𝑥 + 2)
Realizando la descomposición en fracciones simples
2𝑥 + 3
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
(𝑥 − 1)
+
𝐶
(𝑥 + 2)
[∗]
=
𝐴(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) + 𝐵. 𝑥. (𝑥 + 2) + 𝐶. 𝑥. (𝑥 − 1)
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
2𝑥 + 3
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥
=
𝐴(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) + 𝐵. 𝑥. (𝑥 + 2) + 𝐶. 𝑥. (𝑥 − 1)
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
=
2𝑥 + 3 = 𝐴(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) + 𝐵. 𝑥. (𝑥 + 2) + 𝐶. 𝑥. (𝑥 − 1)
Haciendo 𝑥 = 0

72. 72
2.0 + 3 = 𝐴(0 − 1)(0 + 2) + 𝐵.0. (0 + 2) + 𝐶. 0. (0 − 1)
3 = 𝐴. (−1).2 + 0 + 0 ⇒ 𝐴 = −
3
2
[∗∗]
Haciendo 𝑥 = 1 tendremos
2 .1 + 3 = 𝐴(1 − 1)(1+ 2) + 𝐵. 1. (1 + 2) + 𝐶.1. (1 − 1)
5 = 𝐵3 ⇒ 𝐵 =
5
3
[∗∗∗]
Finalmente haciendo 𝑥 = −2
2. (−2)+ 3 = 𝐴(−2 − 1)(−2 + 2) + 𝐵. (−2).(−2 + 2) + 𝐶. (−2).(−2 − 1)
−1 = 𝐶 6 ⇒ 𝐶 = −
1
6
[∗∗∗∗]
Ahora reemplazando [**] , [***] y [****] en [*]
2𝑥 + 3
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥
= −
3
2𝑥
+
5
3(𝑥 − 1)
−
1
6(𝑥 + 2)
Integrando respecto de x
∫
2𝑥 + 3
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥
𝑑𝑥 =∫ (−
3
2𝑥
+
5
3(𝑥 − 1)
−
1
6(𝑥 + 2)
)𝑑𝑥 =
= −∫
3
2𝑥
𝑑𝑥 + ∫
5
3(𝑥 − 1)
𝑑𝑥 −∫
1
6(𝑥 + 2)
𝑑𝑥 =
−
3
2
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 +
5
3
∫
1
(𝑥 − 1)
𝑑𝑥 −
1
6
∫
1
(𝑥 + 2)
𝑑𝑥 =
−
𝟑
𝟐
𝒍𝒏𝒙 +
𝟓
𝟑
𝐥𝐧(𝒙 − 𝟏) −
𝟏
𝟔
𝐥𝐧(𝒙 + 𝟐) + 𝑪
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1) ∫ 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 como 𝑡𝑔 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
∫ 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑥 [∗]
Utilizandoel métodode sustituciónhaciendo:

73. 73
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑑𝑢 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 = −
𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑛𝑥
[∗∗]
Reemplazando[**] en[*] tendremos
∫
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑢
.
−𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑛𝑥
= −∫
𝑑𝑢
𝑢
= − ln 𝑢 + 𝐶
∫ 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = −ln𝑢 + 𝐶 = −𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥+ 𝐶
2) ∫𝐶𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥 [∗]
Hacemos 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ; 𝑑𝑢 = cos 𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
cos𝑥
[∗∗]
Reemplazando [**] en [*] tendremos
∫
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑢
𝑑𝑢
cos𝑥
= ∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln 𝑢 + 𝐶 = ln𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶
∫ 𝐶𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶
3) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 Hacemos 𝑢 = 𝑎𝑥 ; 𝑑𝑢 = 𝑎 .𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑎
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑒𝑛 𝑢
𝑑𝑢
𝑎
=
1
𝑎
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −
1
𝑎
cos𝑢 + 𝐶 = −
1
𝑎
cos(2𝑎) + 𝐶
∫𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
𝑎
cos(2𝑎) + 𝐶
20) ∫ cos(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥)
𝑎
+ 𝐶 ( se emplea el mismo procedimiento
que el anterior)

74. 74
INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES CIRCULARES
4) Caso potenciaspares
∫𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥 𝑑𝑥 con 𝑚 impar 𝑚 = 2𝑘 + 1 𝑦 𝑘 = 0, 1,2, ..𝑛
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑒𝑛2𝑘+1𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑒𝑛2𝑘𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
∫(𝑠𝑒𝑛2𝑥 )𝑘.𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 [*]
De larelaciónpitagóricatenemosque
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 ⇒ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 [**]
Reemplazando[**] en[*] tendremos
∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 )𝑘.𝑠𝑒𝑛 𝑥 .𝑑𝑥
Desarrollamosel binomiode Newtonde ordenk
∫(1𝑘 − 𝑘.1. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
𝑘(𝑘 − 1)
2!
. (𝑐𝑜𝑠2𝑥)2
−
𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)
3!
. (𝑐𝑜𝑠2𝑥)3…. +(−1)𝑘.(𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑘).𝑠𝑒𝑛 𝑥 .𝑑𝑥 =
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑘 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑘(𝑘 − 1)
2!
∫(𝑐𝑜𝑠2𝑥)2.𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
−
𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)
3!
∫(𝑐𝑜𝑠2𝑥)3.𝑠𝑒𝑛 𝑥 .𝑑𝑥 + (−1)𝑘∫ 𝐶𝑜𝑠 2𝑘𝑥 .𝑠𝑒𝑛 𝑥 .𝑑𝑥
= −cos𝑥 +
𝑘
3
𝑐𝑜𝑠3𝑥+
𝑘.(𝑘 − 1)
2.5
𝑐𝑜𝑠5𝑥+ ⋯.. +
(−1)𝑘
2𝑘 + 1
𝑐𝑜𝑠2𝑘+1𝑥 + 𝐶
5) ∫𝑐𝑜𝑠𝑚𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑐𝑜𝑠2𝑘+1𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑐𝑜𝑠2𝑘𝑥.cos𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑐𝑜𝑠2)𝑘 .cos𝑥 .𝑑𝑥=
∫(1𝑘 −𝑘. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 +
𝑘(𝑘 − 1)
2!
(𝑆𝑒𝑛2𝑥)2
−
𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)
3!
.(𝑆𝑒𝑛2𝑥)3+ ..+(−1)𝑘(𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑘 ).𝑐𝑜𝑠𝑥 .𝑑𝑥 =
= ∫ cos𝑥 𝑑𝑥 − 𝑘 ∫ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥cos𝑥 𝑑𝑥 +
𝑘(𝑘 − 1)
2
∫𝑠𝑒𝑛4𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑑𝑥 −
𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)
6
∫𝑠𝑒𝑛6 .𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 + ⋯+ (−1)𝑘 ∫(𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑘.𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑘
𝑠𝑒𝑛3𝑥
3
+
𝑘(𝑘 − 1)
2 . 5
𝑠𝑒𝑛5𝑥 −
𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)
6 . 7
. 𝑠𝑒𝑛7 + …
+
(−1)𝑘
2𝑘 + 1
𝑆𝑒𝑛2𝑘+1𝑥+ 𝐶
Cálculosauxiliares
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑚+1𝑥
𝑚 + 1
+ 𝐶 ; ∫𝑐𝑜𝑠𝑚𝑥.𝑠𝑒𝑛𝑥 = −
𝑐𝑜𝑠𝑚+1𝑥
𝑚 + 1
+ 𝐶
Esto surge del métodode sustitución:

75. 75
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ; 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
cos𝑥
∫𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥 = ∫
𝑢𝑚
cos𝑥
cos𝑥 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢𝑚 𝑑𝑢 =
𝑢𝑚+1
𝑚 + 1
+ 𝐶 =
𝑠𝑒𝑛 𝑚+1𝑥
𝑚 + 1
+ 𝐶
Ejemplo:Calcular
∫𝑐𝑜𝑠7𝑥 𝑑𝑥
∫𝑐𝑜𝑠7𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑐𝑜𝑠2.3+1𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝐶𝑜𝑠2𝑥)3 .cos𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)3. cos𝑥 𝑑𝑥
Desarrollamosel binomiode cuboprefecto
= ∫(13 − 3. 12.𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3.1.(𝑠𝑒𝑛2𝑥)2 − (𝑠𝑒𝑛2𝑥)3).cos𝑥 .𝑑𝑥 =
∫𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑑𝑥 − 3 ∫𝑠𝑒𝑛2.𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑑𝑥 − 3∫ 𝑠𝑒𝑛4𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥 − ∫𝑠𝑒𝑛6𝑥.cos𝑥 .𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 3
𝑠𝑒𝑛3𝑥
3
− 3
𝑠𝑒𝑛5𝑥
5
−
𝑠𝑒𝑛7𝑥
7
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛3𝑥 −
3
5
𝑠𝑒𝑛5𝑥 −
1
7
𝑠𝑒𝑛7𝑥 + 𝐶
POTENCIAS PARES
Para terminar, vemosunejemplosencillode losmáscomunesque se presentanilustrándolo
con un ejemplo:
∫𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 𝑜 ∫𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥
Si sumamos:
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1
𝑐𝑜𝑠2𝑥− 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = cos2𝑥
2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 + cos2𝑥
O también 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 =
1+cos2𝑥
2
Si restamos no queda: 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 =
1−cos2𝑥
2
1) Sea la integral : ∫𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 = ∫(
1−cos2𝑥
2
) 𝑑𝑥 = ∫
1
2
𝑑𝑥 − ∫
cos2𝑥
2
=
=
1
2
∫𝑑𝑥 −
1
2
∫cos2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 −
1
2
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
2
=
𝑥
2
−
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
4
+ 𝐶
2) ∫𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = ∫(
1+cos2𝑥
2
) 𝑑𝑥 = ∫
1
2
𝑑𝑥 + ∫
cos2𝑥
2
𝑑𝑥 =
1
2
∫𝑑𝑥 +
1
2
∫cos2𝑥 𝑑𝑥 =
=
1
2
𝑥 +
cos2𝑥
4
+ 𝐶

76. 76
3) ∫ 𝑠𝑒𝑛4
𝑥 . 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2
𝑥. 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 . 𝑑𝑥 Se reemplaza como el caso anterior y se si
llega al resultado.
INTEGRALES DEFINIDAS
Se utilizanparala resoluciónycálculosde áreasbajo
la curva comoel caso de lafigura48.
En la Figura49 tenemosque:
𝐹(𝑥) + ∆𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥+∆𝑥
𝑎
𝐹(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
𝑎
𝑥+∆𝑥
𝑎
𝐹(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥
𝑥+∆𝑥
𝑥
Aplicandoel teoremadel valormedio
𝐹(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐹(𝑥) = ∆𝑥. 𝑓(𝑥 + ℎ. ∆𝑥) Dividiendom.a.mpor∆𝑥 tendremos
𝐹(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐹(𝑥)
∆𝑥
=
∆𝑥.𝑓(𝑥 + ℎ. ∆𝑥)
∆𝑥
𝐹(𝑥+∆𝑥)−𝐹(𝑥)
∆𝑥
= 𝑓(𝑥 + ℎ.∆𝑥) Tomando límites m.a.m
lim
∆𝑥→0
𝐹(𝑥 +∆𝑥) − 𝐹(𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝐹(𝑥 + ℎ.∆𝑥)
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪
𝒙
𝒂
[*]
Aplicandoen[*] el teoremade Barrow y haciendo 𝑥 = 𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ⇒ 𝐹(𝑎) + 𝐶
𝑎
𝑎
= 0 ⇒ 𝑪 = −𝑭(𝒂) [**]

77. 77
En [*] hacemos 𝑥 = 𝑏 y reemplazamos[**] en[*] tendremos
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ⇒ 𝑭(𝒃) + 𝑪 =
𝒃
𝒂
𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)
AREAS POSITIVAS Y NEGATIVAS
𝑆 = ∆𝑥0 (+) .𝑓(𝑥0) (+)+ ⋯+= +𝑆 𝑆 = ∆𝑥0 (+) .𝑓(𝑥0) (−)+ ⋯ += −𝑆
Así tenemos aéreas S positivas porque crecen hacia las x e y positivas. El el segundo
gráfico vemos que la curva crece hacia las x positivas pero y crece en forma negativa,
es así que tenemos áreas S negativas.
El área A se obtendrá∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥).𝑑𝑥
𝑏
𝑥1
𝑥1
𝑥0
𝑥0
𝑎

78. 78
INTEGRALES PARAMETRICAS
Es una integral que depende de un
parámetro.
Sea 𝑓(𝑥,𝑦) definida en un recinto
rectangular:
𝑅 = { (𝑥,𝑦): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ; 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 }
En este caso puede que la integral se
realice respecto de una de las variables
considerando la otra constante.
∫ 𝑓(𝑥,𝑦). 𝑑𝑥 ; 𝐶𝑜𝑛 𝑥 = variable e 𝑦 = 𝑘 constante
𝑏
𝑎
Entonces vamos a tener un 𝜑(𝑦) que se considera constante.
𝜑(𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦). 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Donde 𝜑(𝑦) es la integral del parámetro y
O también puede ser
∫ 𝑓(𝑥,𝑦). 𝑑𝑦 ; 𝐶𝑜𝑛 𝑦 = variable e 𝑥 = 𝑘 constante
𝑏
𝑎
𝛾(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦).𝑑𝑦
𝑏
𝑎
Donde 𝛾(𝑥) es la integral del parámetro 𝑥
Ejemplo

79. 79
Sea 𝑓(𝑥,𝑦) = 3𝑥2
𝑦
∫ 3𝑥2
𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑦
2
0
∫ 𝑥2
𝑑𝑥
2
0
= 3𝑦 [
𝑥3
3
]
0
2
=
3
3
𝑦[𝑥3
]0
2
= 𝑦 (23
− 03) = 8𝑦
O sea que 𝜑 (𝑦) = 8𝑦
Ahora
∫ 3𝑥2
𝑦 𝑑𝑦 = 3𝑥2
2
0
∫ 𝑦
2
0
𝑑𝑦 = 3𝑥2
[
𝑥2
2
]
0
2
=
3
2
𝑦[𝑥2
]0
2
=
3
2
𝑥2 (22
− 02) =
3
2
. 𝑥2
. 4
=
12
2
𝑥2
= 6𝑥2
O sea que 𝛾(𝑥) = 6𝑥2
NOTA: esto detalles parecen burdos pero es necesario tener muy en claro para la
resolución de ecuaciones diferenciales.
DERIVACIÓN BAJO EL SIGNO INTEGRAL: Regla de Leibniz
Si 𝜑(𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦). 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
está definido para todo y perteneciente al intervalo [a,b] y
el integrando permite derivada parcial respecto de y en todo el recinto 𝑅 =
{(𝑥, 𝑦); 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ; 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 } entonces la función 𝜑(𝑦) es derivable en [c,d] y su
derivada se obtiene derivando el integrando 𝑓(𝑥, 𝑦) parcialmente respecto de y.
𝑆𝑖 𝜑(𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 ⇒ 𝜑′(𝑥) = ∫
𝜕
𝜕𝑦
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 [104]
Ejemplo: Supongamos que quisiéramos derivar la siguiente función:
𝜑(𝑦) = ∫ 𝑥2
cos 𝑦𝑑𝑥 = cos𝑦 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 = cos𝑦 [
𝑥3
3
]
0
3
3
0
3
0
= cos𝑦 .
1
3
(33
− 03
) =
𝜑(𝑦) = 9cos𝑦 ⇒𝝋′(𝒚) = −𝟗 𝐬𝐞𝐧𝒙
Aplicando la regla de Leibniz
𝜑′(𝑦) = ∫
∂
∂y
(cos𝑦) .𝑥2
𝑑𝑥 = −∫ sen𝑦
3
0
3
0
. 𝑥2
𝑑𝑥 = −sen 𝑦∫ 𝑥2
𝑑𝑥 =
3
0

80. 80
= − sen𝑦. [
𝑥3
3
]
0
3
= −sen𝑦 .
1
3
(33
− 03) = − sen𝑦
27
3
= −9 sen𝑦
𝝋′(𝒚) = −𝟗 𝐬𝐞𝐧𝒚 (Por regla de Leibnitz)
INTEGRALES DOBLES
Donde:
𝑅 = { (𝑥,𝑦): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ; 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 }
∫ ∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥.𝑑𝑦
𝑅
( Integral doble )
Para calcular el valor de la integral doble se
halla el valor de una integral seguida de la
otra. Por lo general utilizamos para calcular
superficies.
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 ] 𝑑𝑥
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
𝑅
[105]
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 ] 𝑑𝑦
𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
𝑅
[106]
Ejemplo:
∫ ∫
𝑥
𝑦
𝑒
1
2
0
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 [ ∫
1
𝑦
𝑒
1
2
0
𝑑𝑦] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥.ln[𝑥]1
𝑒
2
0
= ∫ 𝑥 𝑑𝑥
2
0
(ln𝑒 − ln 1) =
∫ 𝒙 𝒅𝒙
𝟐
𝟎
(𝟏 −𝟎) = ∫ 𝒙 𝒅𝒙
𝟐
𝟎
= [
𝒙𝟐
𝟐
]
𝟎
𝟐
=
𝟏
𝟐
(𝟐𝟐 − 𝟎𝟐) =
𝟏
𝟐
.(𝟒) = 𝟐
INTEGRALES TRIPLES
Se lo utilizaparacalcular volumen, porlo
general.Tienenlasiguiente forma:

81. 81
∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝑅
[107]
∫ [ ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦,𝑧) 𝑑𝑧] 𝑑𝑦 ] 𝑑𝑥
𝑛
𝑧=𝑚
𝑑
𝑦=𝑐
𝑏
𝑥=𝑎
[108]
EJERCICIOS
1. Resolver las siguientes integrales:
a) ∫(𝑥 + 5𝑥 + 1)𝑑𝑥
b) ∫ (6𝑥2
+ 3𝑥 +
1
2
)𝑑𝑥
c) ∫(9𝑥2
+ ln𝑥 + 5) 𝑑𝑥
2. Calcular las siguientes integrales definidas y graficar:
a) La parábola 𝑦 = 𝑥2
+ 1 , el eje x entre las rectas 𝑥 = −3 𝑦 𝑥 = 2
Rta: 50/3
b) La parábola 𝑦 = −𝑥2
+ 9 , el eje x entre las rectas s 𝑥 = −2 𝑦 𝑥 = 2
Rta: 92/3
c) Parábola 𝑦 = 3𝑥2
, el eje x y las rectas 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = 3
Rta: 26
3. Integrar las siguientes funciones:
a) ∫ (𝑥 + 5𝑥2)𝑑𝑥
2
0
b) ∫ cos2𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
0
c) ∫ ((sen𝑥)2
2𝜋
0
+ (cos𝑥)2
)𝑑𝑥 Rta: 2𝜋
d) ∫ 3𝑒−𝑡
𝑑𝑡
∞
0
Rta: 3 Cuando 𝑡 → ∞ ⇒ 𝑒−𝑡
→ 0 Cuando 𝑡 = 0 ⇒
𝑒−𝑡
= 1
4. Calcular las siguientes integrales de superficies y volúmenes
a) ∫ 𝑑𝑦 ∫ ( 3𝑥 + 5𝑦
1
0
2
0
) 𝑑𝑥.
b) ∫ 𝑑𝑧 ∫ 𝑑𝑦 ∫ (6𝑥 − 3𝑥2
+ 5𝑦 + 2𝑧2)𝑑𝑥.
5
3
2
1
3
0
El último ejercicio lo resolveremos con el programa Wolfram Mathemática con el
comando Integrate (integrar) que tiene la forma:
Integrate [ Función a integrar, { x, desde, hasta},{y, desde, hasta},{z, desde, hasta} ]
pulsamos entes y abajo aparece la solución a la integral

82. 82
APLICACIONES A LA ECONOMÍA
1. Obtenerlafuncióndel costototal Ct a partir del costo marginal CMG.
Si CMG esel costo marginal , CT la funcióndel costototal costo total y q la cantidadproducida
tendremos:
𝐶𝑀𝐺 =
𝑑 𝐶𝑇
𝑑𝑞
Despejando tendremos 𝑑𝐶𝑇 = 𝐶𝑀𝐺 . 𝑑𝑞 integrando ∫ 𝑑𝐶𝑇 = ∫ 𝐶𝑀𝐺 . 𝑑𝑞
Nos queda 𝐶𝑇 = ∫ 𝐶𝑀𝐺 . 𝑑𝑞
Ejemplo sea la función costo marginal 𝐶𝐶𝑀 =
4𝑞4+ 𝑞−1
𝑞2
Operando tendremos 𝐶𝑀𝐺 = 4𝑞2
−
1
𝑞
−
1
𝑞2
𝐶𝑇 = 4∫ 𝑞2
𝑑𝑞 − ∫
1
𝑞
𝑑𝑞 − ∫
1
𝑞2 𝑑𝑞 = 4
𝑞3
3
− 𝑙𝑛|𝑞| −
1
𝑞
[109]
Ejercicios Obtener el costo total para las siguientes funciones de costo marginal.
a) 𝐶𝑀𝐺 = 𝑞 (1 + 𝑞2
) b) 𝐶𝑀𝐺 = 𝑞 (
1
2
+ 𝑞 − 1)
c) 𝐶𝑀𝐺 =
𝑒𝑞
1+𝑒𝑞
Rta: 𝐶𝑇 = ln |1 + 𝑒𝑞
| +C
2. Obtener la función ingreso medio IM para la función de ingreso marginal IMG
Si IMG es la función ingreso marginal, IT es el ingreso total y q la cantidad vendida
𝐼𝑀𝐺 =
𝑑𝐼𝑇
𝑑𝑞
⇒ 𝑑𝐼𝑇 = 𝐼𝑀𝐺 . 𝑑𝑞 ⇒ ∫𝑑𝐼𝑇 = ∫ 𝐼𝑀𝐺 .𝑑𝑞 ⇒ 𝐼𝑇 = ∫ 𝐼𝑀𝐺 .𝑑𝑞
Ejemplo sea 𝐼𝑀𝐺 =
1
2𝑞2
Entonces nuestro ingreso total será

83. 83
𝐼𝑇 = ∫ 𝐼𝑀𝐺 .𝑑𝑞 = ∫
1
2𝑞2 . 𝑑𝑞 =
1
2
∫
1
𝑞2 𝑑𝑞 =
1
2𝑞
[110]
Como el ingreso medio IM es el cociente 𝐼𝑀 =
𝐼𝑇
𝑞
𝐼𝑀 = 1/(2𝑞/𝑞) = 1/2
Calcular el ingreso medio para:
a) 𝐼𝑀𝐺 = 𝑞2
+ 1 b) 𝐼𝑀𝐺 = 𝑒𝑞
+ q
2. Hallar la función beneficio total BT sabiendo que la misma es el cociente del
ingreso total IT y el costo total 𝐵𝑇 = 𝐼𝑇 − 𝐶𝑇
Vamos a suponer que el Ingreso total de una empresa es [110] y el costo total es
[109] el beneficio total será
𝐶𝑇 = 4
𝑞3
3
− 𝑙𝑛|𝑞| −
1
𝑞
y que el ingreso total fue 𝐼𝑇 =
1
2𝑞
El beneficio total será 𝐵𝑇 = 𝐼𝑇 − 𝐶𝑇 = 4
𝑞3
3
− 𝑙𝑛|𝑞| −
1
𝑞
−
1
2𝑞
NOCIONES DE SERIES
Definición: Se llama serie a la suma de términos de una sucesión.
{𝑈𝑛} = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + … 𝑢𝑛
Ejemplo:
1 +
1
2
+
1
3
+ ⋯ +
1
𝑛
SUMA DE UNA SERIE
{𝑈𝑛} = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + … + 𝑢𝑛
SUMAS PARCIALES
𝑆1 = 𝑢1 ; 𝑆2 = 𝑢1 + 𝑢2 ; 𝑆3 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3
Suma de los términos de una serie:
𝑆 = lim
𝑛→ ∞
𝑆𝑛 [109]

84. 84
OBSERVACIONES:
𝑆𝑖 𝑆 → ∞ ⇒ La serie es divergente.
𝑆𝑖 𝑆 → 𝐿 (𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒) ⇒ La serie es convergente.
𝑆𝑖 𝑆 no tiene límite la serie es oscilante ( que puede converger o no)
Ejemplo 1: Analizar la siguiente serie y determine si es convergente.
1
1 .2
+
1
2 .3
+
1
3 .4
+ … +
1
𝑛(𝑛+1)
[*]
1
𝑛(𝑛+1)
Podemos escribir (
1
𝑛
−
1
(𝑛+1)
)
Reescribiendo [*]
(
1
1
−
1
2
) + (
1
2
−
1
3
) + (
1
3
−
1
4
) + ⋯+ (
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
) =
𝟏 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+
1
𝑛 = 4
−
𝟏
𝒏 + 𝟏
= 1 −
1
𝑛 + 1
lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
(1 −
1
𝑛 + 1
) = 1
En este caso la serie es convergente.
Ejemplo 2:
1 + 2 + 3 + 4… . . 𝑛
𝑆𝑛 = 1 + 2 + 3 + 4…
𝑛(𝑛 + 1)
2
A simple vista podemos ver que es divergente pero siguiendo el método
𝑆𝑛 = lim
𝑛→ ∞
𝑛(𝑛+1)
2
= ∞ La serie es divergente.
Ejemplo 3
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 …. +
Haciendo sumas parciales
𝑆1 = 1 ; 𝑆2 = 1 − 1 = 0 ; 𝑆3 = 1 − 1 + 1 = 1 ; 𝑆𝑛 = ?
Entonces se dice que la serie es oscilante

85. 85
CONDICIÓN NECESARIA PARA LA CONVERGENCIA
La condición necesaria pero no suficiente para determinar una convergencia es que el
término general de la serie tienda a cero cuando n tiende a infinito.
lim
𝑛→∞
𝑈𝑛 = 0 [110]
CRITERIO DE LA COMPARACIÓN
Se utiliza para determinar si una serie es convergente o divergente conociendo otra
seria.
i) Si todos los términos de una serie son menores o iguales que los
correspondientes términos de otra serie que sabemos que es convergente,
entonces la primera serie también es convergente.
{𝐴𝑛 } = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +. . + 𝑎𝑛 (Serie para analizar)
{𝑈𝑛} = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3+.. +𝑢𝑛 (Serie convergente)
Si {
𝑎1 ≤ 𝑢1
𝑎2 ≤ 𝑢2
𝑎𝑛 ≤ 𝑢𝑛
⇒ {𝐴𝑛} es convergente.
ii) PARA LA DIVERGENCIA
{𝐴𝑛 } = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +. . + 𝑎𝑛 (Serie para analizar)
{𝑈𝑛} = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3+.. +𝑢𝑛 (Serie divergente)
Si {
𝑎1 ≥ 𝑢1
𝑎2 ≥ 𝑢2
𝑎𝑛 ≥ 𝑢𝑛
⇒ {𝐴𝑛} es divergente.
SERIE GEOMÉTRICA
Definición: serie geométrica es aquella en la cual cada término se obtiene
multiplicando el anterior por una cantidad constante llamada razón de la serie.
Sea 𝑞 = 2
2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ ( se multiplica daca termino por 2 que es la razón)
ELEMENTOS

86. 86
Primer elemento = 𝑎 ; Razón = 𝑞 ;
𝑆𝑚 = 𝑎 + 𝑎. 𝑞 + 𝑎. 𝑞2
+ 𝑎. 𝑞3
+.. +𝑎. 𝑞𝑛−1
[*]
Si multiplicamos m.am por 𝑞
𝑆𝑚𝑞 = 𝑎. 𝑞 + 𝑎𝑞2
+ 𝑎. 𝑞3
+ 𝑎. 𝑞𝑛−1
+ 𝑎. 𝑞𝑛
+ 𝑎. 𝑞𝑛
[**]
Si restamos [*] a [**] tendremos
𝑆𝑚𝑞 − 𝑆𝑚 = −𝑎 + 𝑎𝑞 − 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞2
− 𝑎𝑞2
+ ⋯ . +𝑎𝑞𝑛−1
− 𝑎𝑞𝑛−1
+ 𝒂𝒒𝒏
=
𝑆𝑚𝑞 − 𝑆𝑚 = 𝑎𝑞𝑛
− 𝑎
Obteniendo factor común 𝑆𝑚 y a
𝑆𝑚(𝑞 − 1) = 𝑎(𝑞𝑛
− 1) Despejando (𝑞 − 1)
𝑆𝑚 =
𝑎(𝑞𝑛
−1)
(𝑞−1)
∀𝑞 > 1 [111]
𝑆𝑚 =
𝑎(1−𝑞𝑛)
(1−𝑞)
∀𝑞 < 1 [112]
i) |𝑞| > 1 ⇒ lim
𝑛→∞
(
𝑎(𝑞𝑛
−1
𝑞−1
) = lim
𝑛→∞
(
𝑎.𝑞𝑛
𝑞−1
−
𝑎
𝑞−1
) = ∞ Serie divergente
ii) |𝑞| < 1 ⇒ lim
𝑛→∞
(
𝑎(1−𝑞𝑛
1−𝑞
) = lim
𝑛→∞
(
𝑎.𝑞𝑛
1−𝑞
−
𝑎
1−𝑞
) = (0 −
𝑎
1−𝑞
) = 𝑘 Serie
convergente
Como 𝑞 < 1 ⇒ 𝑞𝑛
→ 0 Si 𝑛 → ∞
iii) Si 𝑞 = 1 ⇒ 𝑎 + 𝑎 + 𝑎. . = 𝑆𝑛 → ∞ La serie es divergente.
iv) Si 𝑞 = −1 ⇒ 𝑎 − 𝑎 + 𝑎 − 𝑎 + 𝑎 La serie es oscilante.
SERIE ARMÓNICA
Está formado por los inversos de los números naturales 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+. . +
1
𝑛
Tenemos que: lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0
SERIE P DE POTENCIAS INVERTIDAS
1 +
1
2𝑃
+
1
3𝑃
+
1
4𝑃
+ ⋯+
1
𝑛𝑝