العمليات الحسابية

1. ‫الصحيحة‬ ‫لألعداد‬ ‫الحسابية‬ ‫العمليات‬

2. ‫الجمع‬:
‫مجموع‬ ‫إليجاد‬
2،5،32،193،18،10،100
‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫تتبع‬ ‫كانت‬:
‫ندية‬‫له‬‫ا‬ ‫يقة‬‫ر‬‫ابلط‬ ‫امجلع‬:
‫اآلحاد‬ ‫مجموع‬=2+5+2+3+8+0+0=20
‫العشرات‬ ‫مجموع‬=3+9+1+1+0=14
‫المئات‬ ‫مجموع‬=1+1=2
‫المجاميع‬ ‫مجموع‬=360

3. ‫الجمع‬:
‫كان‬‫العرب‬‫يكتبون‬‫المجموع‬‫أعلى‬‫األعداد‬‫المجموعة‬‫كما‬
‫كانوا‬‫يستخدمون‬‫مجموع‬‫األرقام‬‫للتحقق‬‫من‬‫صحة‬
‫الناتج‬.
‫فلجمع‬‫العددين‬5687+2343‫كانت‬‫تتبع‬‫الخطوات‬‫التالي‬‫ة‬:
‫ية‬‫ب‬‫ر‬‫الع‬ ‫يقة‬‫ر‬‫ابلط‬ ‫امجلع‬:
2 8030
8
3
5687
2343

4. ‫الجمع‬:
‫ية‬‫ب‬‫ر‬‫الع‬ ‫يقة‬‫ر‬‫ابلط‬ ‫امجلع‬:
2 8030
8
3
5687
2343
‫العمود‬‫األخير‬‫يوضح‬‫طريقة‬‫التحقق‬‫بجمع‬
‫أرقام‬‫كل‬‫عدد‬‫كالتالي‬:
‫بالنسبة‬‫للعدد‬5687‫يكون‬:
7+8+6+5=26،6+2=8
‫بالنسبة‬‫للعدد‬2343‫يكون‬:
3+4+3+2=12،2+1=3
8+3=11،1+1=2
‫وبجمع‬‫أرقام‬‫المجموع‬8030:30+3+0+8=11،1+1=2
‫ولكن‬‫هذه‬‫الطريقة‬‫ليست‬‫صحيحة‬‫دائما‬

5. ‫الجمع‬:
‫ية‬‫ب‬‫ر‬‫الع‬ ‫يقة‬‫ر‬‫ابلط‬ ‫امجلع‬:
‫أخرى‬ ‫وبطريقة‬:
‫المجاميع‬ ‫تجمع‬ ‫ثم‬ ‫منفصال‬ ‫عمود‬ ‫كل‬ ‫مجموع‬ ‫فيها‬ ‫يكتب‬ ‫كان‬.
‫وكانت‬‫األعداد‬‫األكبر‬‫تكتب‬‫من‬‫أعلى‬.
‫كما‬‫كانت‬‫توضع‬‫نقاط‬‫لبيان‬‫عملية‬‫الحمل‬‫من‬‫خانة‬‫أخرى‬.
‫والمثال‬‫التالي‬‫يوضح‬‫هذه‬‫الطريقة‬.

6. ‫الجمع‬:
‫ية‬‫ب‬‫ر‬‫الع‬ ‫يقة‬‫ر‬‫ابلط‬ ‫امجلع‬:
8379
968
34
21
16
12
8
9381
‫لنجمع‬8379+968+34

7. ‫الطرح‬
2212
4311
8
2212
4311
8
‫املطروح‬ ‫العدد‬ ‫اىل‬ ‫ضافة‬‫إ‬‫ال‬‫ا‬‫و‬ ‫تالف‬‫س‬‫ابال‬ ‫الطرح‬‫منه‬:
*2–4‫ال‬‫تصلح‬.‫نستلف‬1‫من‬‫خانة‬‫العشرات‬(2)
‫ونرده‬‫إلى‬‫خانة‬‫العشرات‬‫في‬‫العدد‬‫السفلي‬‫فيص‬‫بح‬4.
*2–4‫ال‬‫تصلح‬.‫نستلف‬1‫من‬‫خانة‬‫المئات‬(1)
‫ونردها‬‫خانة‬‫المئات‬‫في‬‫العدد‬‫السفلي‬‫فيصبح‬2.
42
2212
4311
‫لطرح‬2122–1134:
‫ويكون‬12–4=8
‫ويكون‬12–4=8

8. ‫الطرح‬
2212
4311
9
‫املطروح‬ ‫العدد‬ ‫اىل‬ ‫ضافة‬‫إ‬‫ال‬‫ا‬‫و‬ ‫تالف‬‫س‬‫ابال‬ ‫الطرح‬‫منه‬:
*1–2‫ال‬‫تصلح‬.‫نستلف‬1‫من‬‫خانة‬‫اآلالف‬(2)
‫ونرده‬‫إلى‬‫خانة‬‫اآلالف‬‫في‬‫العدد‬‫السفلي‬‫فيصبح‬2.
*2–2=0
42
2212
4311
88
‫لطرح‬2122–1134:
‫ويكون‬11–2=9
‫ويكون‬‫ناتج‬‫الطرح‬=988
2
‫وهذه‬‫الطريقة‬‫استخدمها‬‫العرب‬‫مثل‬‫القلصاوي‬

9. ‫الطرح‬
82–3=79 5284
-93
56–8=48 5265
-938
6874
‫ميني‬‫ل‬‫ا‬ ‫ىل‬‫إ‬‫ا‬ ‫سار‬‫لي‬‫ا‬ ‫من‬ ‫الطرح‬
‫لطرح‬5625–839‫تتبع‬‫الخطوات‬‫التالية‬
95–9=86 5974
-9

10. ‫الضرب‬
‫نشأت‬‫عملية‬‫الضرب‬‫كعملية‬‫جمع‬‫ي‬‫ار‬‫ر‬‫تك‬‫ومضاعفات‬‫لألعداد‬
‫الصحيحة‬:
*‫الضرب‬‫بالطريقة‬‫المصرية‬‫القديمة‬.
*‫الضرب‬‫بطريقة‬‫المعداد‬.
*‫الضرب‬‫التصالبي‬.
*‫الضرب‬‫بطريقة‬‫الشبكة‬
*‫الضرب‬‫بطريقة‬‫التجزيء‬.

11. ‫الضرب‬
‫الرضب‬‫يقة‬‫ر‬‫ابلط‬‫ية‬‫رص‬‫امل‬‫القدمية‬:
‫اعتمدت‬‫هذه‬‫الط‬‫ريقة‬‫على‬‫عملية‬‫التضعيف‬‫وجمع‬‫المضاعفات‬.
‫فمثال‬:‫في‬‫حالة‬‫ضرب‬17×15‫كانت‬‫تتبع‬‫الخطوات‬‫التالية‬:
17×1=17 1 17
17×2=34 ‫ضاعف‬ 2 34
34×2=68 ‫ضاعف‬ 4 68
68×2=136 ‫ضاعف‬ 8 136
15 255

12. ‫الضرب‬
‫الرضب‬‫يقة‬‫ر‬‫ابلط‬‫ية‬‫رص‬‫امل‬‫القدمية‬:
‫وهذا‬‫يعني‬‫أن‬‫حاصل‬‫ضرب‬17×15‫يعني‬‫تكرار‬‫العدد‬(17)15‫مرة‬.
ً‫وأحيانا‬‫كانوا‬‫يكررون‬‫العدد‬(17)16‫مرة‬‫ثم‬‫يطرحون‬‫من‬‫الناتج‬‫العدد‬17‫كما‬‫يلي‬:
1 17
2 34
4 68
8 136
‫العدد‬17‫مكرر‬16‫مرة‬ 16 272
‫العدد‬17‫واحدة‬ ‫مرة‬ ‫طرح‬ 1 -17
‫العدد‬17‫مكرر‬15‫مرة‬ 15 255

13. ‫الضرب‬
‫الرضب‬‫يقة‬‫ر‬‫بط‬‫املعداد‬:‫كانت‬‫عملية‬‫الضرب‬‫تتم‬‫على‬‫جدول‬‫يشبه‬‫لوحة‬‫الشطرنج‬.
ً‫فمثل‬‫لضرب‬4600×23‫كانت‬‫تتبع‬‫الخطوات‬‫التالية‬:
CM
‫اآلالف‬ ‫مئات‬
XM
‫اآلالف‬ ‫عشرات‬
M
‫آالف‬
C
‫مئات‬
X
‫عشرات‬
I
‫آحاد‬
4600 4 6
3×6
2×6
3×4
2×4
1
1
8
1
2
2
8
‫الضرب‬ ‫حاصل‬ 10 5 8
×23 2 3

14. ‫الضرب‬
‫الرضب‬‫يقة‬‫ر‬‫بط‬‫املعداد‬:
ً‫وبذلكًيكونًالناتج‬4600×23=105800
XM
‫اآلالف‬ ‫مئات‬
XM
‫اآلالف‬ ‫عشرات‬
M
‫آالف‬
C
‫مئات‬
X
‫عشرات‬
I
‫آحاد‬
4600 4 6
3×6
2×6
3×4
2×4
1
1
8
1
2
2
8
‫الضرب‬ ‫حاصل‬ 10 5 8
×23 2 3

15. ‫الضرب‬
3
2
2
5
‫الرضب‬‫تصاليب‬‫ل‬‫ا‬:
‫استخدم‬‫باسيولي‬1494‫هذه‬‫الطريقة‬‫في‬‫الضرب‬،‫وهي‬‫طريقة‬‫صعبة‬‫تحتاج‬
‫إلى‬‫قدرات‬‫عددية‬‫كبيرة‬‫خاصة‬‫إذا‬‫كانت‬‫األعداد‬‫مكونة‬‫من‬‫أرقام‬‫عديدة‬.
800
5×2=10
5×30=150
20×2=40
20×30=600
ً‫فمثل‬:‫إليجاد‬32×25‫نتبع‬‫الخطوات‬‫التالية‬:

16. ‫الضرب‬
94 12 53
82 21 02
‫الرضب‬‫يقة‬‫ر‬‫بط‬‫بكة‬‫ش‬‫ل‬‫ا‬:
‫استخدم‬‫الهنود‬‫والعرب‬‫والصينيون‬‫واألوربيون‬‫هذه‬‫الطريقة‬.
ً‫فمثل‬:‫إليجاد‬735×74‫نتبع‬‫الخطوات‬‫التالية‬:
7
3
5
2
1
4
9
2
0
1
2
2
8 4
7 3 5
93
4
5

17. ‫الضرب‬
94 12 53
82 21 02
‫الرضب‬‫يقة‬‫ر‬‫بط‬‫بكة‬‫ش‬‫ل‬‫ا‬:
ً‫فيكونًالناتج‬735×74=54390
7
3
5
2
1
4
9
2
0
1
2
2
8 4
7 3 5
93
4
5

18. ‫الضرب‬
‫الرضب‬‫يقة‬‫ر‬‫بط‬‫تجزيء‬‫ل‬‫ا‬:
‫استخدم‬‫األغريق‬‫والعرب‬‫هذه‬‫الطريقة‬.
ً‫فمثل‬:‫إليجاد‬‫حاصل‬‫ضرب‬265×143‫نتبع‬‫الخطوات‬‫التالية‬:
20024008000
500600020000
562
341
ً‫أيًأن‬265×143=37895
15018600
715858028600=37895
100 40
200 60

19. ‫القسمة‬
‫المصريين‬ ‫القدماء‬ ‫بطريقة‬ ‫القسمة‬.
‫جربرت‬ ‫بطريقة‬ ‫القسمة‬.
‫امل‬‫و‬‫الع‬ ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫طريقة‬.
‫العربية‬ ‫بالطريقة‬ ‫القسمة‬.
‫جالي‬ ‫بطريقة‬ ‫القسمة‬(‫اعية‬‫ر‬‫الش‬ ‫السفينة‬.)

20. ‫القسمة‬
‫سمة‬‫لق‬‫ا‬‫عىل‬‫يقة‬‫ر‬‫ط‬‫القدماء‬‫يني‬‫رص‬‫امل‬:
‫تعد‬‫هذه‬‫الطريقة‬‫من‬‫أقدم‬‫طرق‬‫القسمة‬‫وكانت‬‫تعتمد‬‫على‬‫التضعيف‬
‫والتصنيف‬.
ً‫فمثل‬:‫إليجاد‬19÷8‫نتبع‬‫الخطوات‬‫التالية‬:
‫نبحث‬‫عن‬‫أعداد‬‫تضرب‬‫في‬8‫بحيث‬‫يكون‬‫الناتج‬ً‫قريبا‬‫من‬19‫ونسير‬‫كاآلتي‬

21. ‫القسمة‬
‫سمة‬‫لق‬‫ا‬‫عىل‬‫يقة‬‫ر‬‫ط‬‫القدماء‬‫يني‬‫رص‬‫امل‬:
4
16
ًً‫أيًأن‬19÷8=3/82
2
8
1
3/82
8×2=16
1
2
1/2
1/4
1/8
19
8×1/4=2
8×1/8=1
2+1/4+1/8=3/82

22. ‫القسمة‬
‫سمة‬‫لق‬‫ا‬‫عىل‬‫يقة‬‫ر‬‫ط‬‫برت‬‫ر‬‫ج‬:
‫تنسب‬‫هذه‬‫الطريقة‬‫الى‬‫جربرت‬980‫م‬‫وهي‬‫شبيهة‬‫بالقسمة‬‫المطولة‬.
ً‫فمثل‬:‫إليجاد‬900÷8‫نتبع‬‫الخطوات‬‫التالية‬:
‫نجري‬‫العملية‬‫باعتبار‬8=10-2‫ونسير‬‫كاآلتي‬

23. ‫القسمة‬
‫سمة‬‫لق‬‫ا‬‫عىل‬‫يقة‬‫ر‬‫ط‬‫برت‬‫ر‬‫ج‬:
900 10-2
900-180
90
180
180-36
+18
36
+3
30-6
6+6=12
+1
10-2
2+2=4
=½112 +(4/8)

24. ‫القسمة‬
‫يقة‬‫ر‬‫ط‬‫سمة‬‫لق‬‫ا‬‫عىل‬‫امل‬‫و‬‫الع‬:
‫استخدمت‬‫هذه‬‫الطريقة‬‫في‬‫العصور‬‫الوسطى‬.
‫تعتمد‬‫هذه‬‫الطريقة‬‫على‬‫قسمة‬‫العدد‬‫المقسوم‬‫على‬‫عوامل‬‫المقسوم‬‫عليه‬.
‫والمثال‬‫التالي‬‫يوضح‬‫كيفية‬‫السير‬‫في‬‫هذه‬‫الطريقة‬:
‫لقسمة‬216÷24‫نتبع‬‫الخطوات‬‫التالية‬:
24=8×3
216÷8=27
27÷3=9
ًًً‫وبذلكًيكون‬216÷24=9