1

1. «Нестандартні способи розв’язування задач»
Різун С. О., учитель гімназії №20
Ми знаємо, що на уроках в математичних класах та на
позакласних заняттях з предмету у вчителів є можливість
розв’язування достатньої кількості нестандартних задач, які для
безпосереднього використання на уроці в звичайних класах можуть
бути або досить важкими, або такими, що не мають органічного
зв’язку з навчальним матеріалом. Але існують базові задачі, які
можна розв’язувати як стандартними, так і нестандартними
способами. Такий нестандартний спосіб привчає учня не
обмежуватися шаблоном, націлює на вдумливий підхід, виховує
бажання як можна краще виконати завдання, формує здатність
логічно мислити
Задачі даного типу краще розв’язувати на уроках повторення,
бо одним із недоліків при повторенні є повне копіювання того
шляху, який використовувався при знайомстві з матеріалом, що не
викликає в учнів особливої зацікавленості. Тому заслуговують уваги
деякі нестандартні способи розв’язання.
Розглянемо ряд прикладів:
1. Рівняння
6
1
5
1

x
x і
2
1
2
1

x
x дуже схожі одне на
одне. Їх можна розв’язувати стандартним способом зведення до
квадратного рівняння. Але можна помітити, що друге рівняння має
корені 21 x і
2
1
2 x . А оскільки будь – яке квадратне рівняння має
не більше двох коренів, то на цьому розв’язання закінчується.
У більш складному вигляді цей прийом використовується у
рівнянні
5
1
2
3
1



x
x . До обох частин рівняння додамо 3.
5
1
5
3
1
3 


x
x .

2. Легко побачити, що 53 x або
5
1
3 x , тобто 21 x ,
5
4
22 x .
2. При спрощенні виразу виду 21
32


чисельник і знаменник
дробу домножають на спряжений до знаменника вираз, тому
корисно розглянути декілька прикладів, що допускають
нестандартний розв’язок:
a)
6
21
)21(6
21
326






;
b)
.022
13
62
12
22






3. При розв’язуванні ірраціональних рівнянь учні спочатку
починають відокремлювати радикал, підносити обидві частини
рівняння до степеня, тоді як іноді в цьому немає потреби.
Особливо, коли рівняння не має розв’язків або має тільки один
розв’язок, який можна знайти підбором.
Перш ніж розв’язувати рівняння, учень повинен
прослідкувати поводження окремих членів рівняння при
допустимих значеннях невідомого.
a) 1232  xx .
Перший корінь має зміст при 2x , а другий корінь при 5,1x ,
тобто рівняння не визначено ні при яких x .
b) 5173  xxx .
Це рівняння визначено при 3x , але видно, що при цих
значеннях x ліва частина більше 5, тобто не може дорівнювати
правій частині.
c) 5212  xxx .
Це рівняння визначено при 5x , ліва частина від’ємна і не
може дорівнювати невід’ємній правій частині.
4. Розв’язуючи рівняння і нерівності, можна користуватися
тим фактом, що монотонна функція кожне своє значення приймає
тільки один раз. Розглянемо рівняння.
a) 4133  xx .

3. Функція 133  xxy зростає на всій області визначення
(тобто при 1x ), бо є сумою двох зростаючих функцій. Отже, ця
функція значення 4 може прийняти не більше одного разу. Легко
помітити, що таке можливо при 2x .
b) xxx 253  ;
523  xxx .
Легко знайдемо, що 1x .
За допомогою цього самого прийому можна розв’язати
наступне рівняння:
с)
2
2543


x
xx
d) Нерівність xx  33 можна теж розв’язати за допомогою
властивості монотонності функції.
33  xx .
В лівій частині нерівності ми отримали зростаючу функцію
xxy  3 ,визначену при 3x . Отже, неважко помітити, що
нерівність 33  xx виконується при 1x .
5) Нерівність xx  33 можна легко розв’язати й графічно
б) Графічно можна обчислювати й інтеграли, коли
стандартний розв’язок виходить за рамки шкільної програми.
Нехай треба обчислити інтеграл dxxx

5
1
2
54 .

4. Розглянемо підінтегральну функцію 54 2
 xxy , 54 22
 xxy ,
тобто 9)2( 22
 yx .
Оскільки 0y , то графіком підінтегральної функції є верхнє
півколо з центром в точці (2;0) і радіусом 3.
Отже, шуканий інтеграл дорівнює  5,435,0 2
 .
Таким чином, завдяки нестандартним способам розв’язання
задач уроки повторення можна зробити цікавими та корисними.