1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHĨA HƯNG
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 9
NĂM HỌC 2021 – 2022
Môn: Toán (KS ngày 01/6/2022)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Phần 1- Trắc nghiệm khách quan (2 điểm):
Hãy chọn phương án đúng và viết chữ cái đứng trước phương án đó vào bài làm:
Câu 1: Điều kiện để biểu thức
3
x 1
có nghĩa là:
A. x 1
; B. x > 1; C. x 1
; D. x 1
.
Câu 2: Tập nghiệm của phương trình
2
x x x 2 0
là:
A.
0; 1;2
; B.
0;2 C.
1;2
; D.
2 .
Câu 3: Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = 2x2 và y = x + 1 là:
A. x = 1; x =
1
2
; B. x = - 1; x =
1
2
; C. x = 1; x = -
1
2
; D. x = - 1; x = -
1
2
.
Câu 4: Phương trình nào sau đây có tổng hai nghiệm bằng - 1:
A. x2 + x + 2 = 0; B. x2 - x - 1 = 0; C. 2
x 2x 1 0;
D. x2 + x - 2 = 0.
Câu 5: Các tia nắng mặt trời chiếu vào một ngọn tháp, tạo với mặt đất một góc bằng 340 và bóng
của ngọn tháp trên mặt đất dài 86m. Chiều cao của tháp (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) là
A. 58m; B. 51m; C. 70m; D. 118m.
Câu 6: Bạn An có hai giá sách với tổng số sách là 200 cuốn sách. Nếu chuyển 30 cuốn từ giá thứ
nhất sang giá thứ hai thì số sách mỗi giá như nhau. Số cuốn sách ở giá thứ nhất và giá thứ hai lần
lượt là:
A. 30 và 170; B. 130 và 70; C. 165 và 35; D. 65 và 135.
Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A, góc A bằng 1200; AB = 6cm. Độ dài đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC bằng:
A. 4 cm; B. 6 cm; C. 8 cm; D. 12 cm.
Câu 8: Thể tích V của một hình trụ có diện tích đáy S = 2 cm2 và chiều cao h = 3cm. là
A. 4π (cm3); B. 6π (cm3); C. 8π (cm3); D. 12π (cm3).
Phần 2. Tự luận (8 điểm).
Câu 1. (1,5 điểm):
a) Chứng minh:
7 4 3 1 1 5
2
5 3
2 3 1
b) Rút gọn biểu thức A =
2 2 1
: 1
1
1 1
x x
x
x x
với x 0; x 1
Câu 2.(1,5 điểm): Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 2 = 0 (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1
2 + 2(m + 1)x2 = 8m + 5
Câu 3.(1 điểm): Giải hệ phương trình:
2
2x y 1
x y
x y
x y 3 y 1 1 y
Câu 4. (3 điểm):
1, Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 12cm, CD = 20cm.
Đường tròn (D, DA) và đường tròn (C) tiếp xúc nhau tại
điểm M (hình vẽ bên). Tính diện tích phần tô đậm trong
hình vẽ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
2. 2, Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua điểm A kẻ tiếp tuyến AB đến (O) (B
là tiếp điểm). Kẻ tia Ax (nằm giữa hai tia AB, AO) cắt đường tròn (O) tại E và F (E nằm giữa A và
F). Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AO tại H cắt đường tròn tại C.
a) Chứng minh rằng: AH . AO = AE . AF = AB2
b) Đường thẳng qua E song song với BF cắt đường thẳng BC tại K. Đường thẳng AK cắt
đường thẳng BF tại M. Chứng minh rằng: Tứ giác EFOH nội tiếp một đường tròn và F là trung
điểm của MB
Câu 5.(1 điểm):
a) Tìm x biết: 2(x – 3) x 1
- x + 4 0
b) Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
2 2
x y
x 1 y 1
--------------Hết-------------
3. PHÒNG GD&ĐT
NGHĨA HƯNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 9
NĂM HỌC 2021 – 2022
Môn: Toán
Phần 1- Trắc nghiệm khách quan (2 điểm):
Mỗi câu lựa chọn đúng đáp án được 0,25 điểm
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8
Phương án đúng A D C D B B D B
Phần 2 - Tự luận (8 điểm):
Câu 1. (1,5 điểm):
a)0,5
điểm
Ta có
7 4 3 1 1 4 4 3 3 1 1
5 3 5 3
2 3 1 2 3 1
=
2
2 3 1 1
5 3
2 3 1
=
2 3 1 1
5 3
2 3 1
=
3 3 1
5 3
2 3 1
0,25
=
3 3 1 5 3
5 3
2 3 1
=
3 5 3
2 2
=
5
2
.
Kết luận
0,25
b)
1,0
điểm
Với x 0; x 1 ta có:
x 2 x 2 1
A : 1
x 1
x 1 x 1
x 2 x 2 x 1 1
:
x 1 ( x 1)( x 1) x 1
( x 2)( x 1) x 2 x
:
( x 1)( x 1) x 1
0,5
x x 2 x 2 x
:
( x 1)( x 1) x 1
x x
:
( x 1)( x 1) x 1
0,25
x x 1 x
.
( x 1)( x 1) x x 1
Vậy với x 0; x 1 thì
x
A
x 1
0,25
Câu 2. (1,5 điểm):
a,
(0,5đ)
Phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 2 = 0 là phương trình bậc hai có
a = 1; b’ = - (m + 1); c = m2 + 2
'
= b’2 – ac = [ - (m + 1)]2 – 1 . (m2 + 2) = m2 + 2m + 1 – m2 - 2 = 2m – 1
0,25
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt '
> 0 2m – 1 > 0 m >
1
2
Vậy với m >
1
2
thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
0,25
b,
(1,0đ)
Với m >
1
2
thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt . Theo hệ thức Viet
ta có: x1 + x2 = 2(m + 1) (1) 0,25
4. x1x2 = m2 + 2 (2)
Lại có: x1
2 + 2(m + 1)x2 = 8m + 5 (3)
Từ (1) và (3) ta có: x1
2 + (x1 + x2)x2 = 8m + 3 (x1 + x2)2 – x1x2 = 8m + 5 (4) 0,25
Từ (1); (2) và (4) ta có: [2(m + 1)]2 – (m2 + 2) = 8m + 5
4m2 + 8m + 4 – m2 – 2 = 8m + 5
3m2 = 3 m2 = 1 m = 1 hoặc m = - 1
0,25
Mà m >
1
2
nên m = 1. Kết luận 0,25
Câu 3. (1 điểm): Giải hệ phương trình
2
2x y 1
x y
x y
x y 3 y 1 1 y
Điều kiện: x 0; y x y 0
2
2x y 1
x y
x y
x y 3 y 1 1 y
2
2 2
2x y 1 x y
x y 3 3y
2
2
x y 1 y
x 4y 3
2
2 2
x y 1 y
y 1 y 4y 3
2
2
x y 1 y
3y y 4 0 (*)
0,25
Giải (*): 3y2 + y – 4 = 0 y = 1; y =
4
3
0,25
Với y = 1 ta có x = - 1 không thỏa mãn điều kiện x 0; y x y 0
Với y =
4
3
ta có x =
4
3
- 1 -
2
4
3
=
29
9
không thỏa mãn điều kiện x 0; y
x y 0
Kết luận 0,5
Câu 4.(3 điểm):
1).
Đường tròn (D,DA) tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm M. Nên ta có
DM = DA = 12cm; DM + MC = CD MC = 8cm
Diện tích hình chữ nhật ABCD là: S1 = AD . CD = 12.8 = 96 (cm2)
0,25
Hình quạt tròn bán kính DA = 12cm, cung 900 có diện tích là:
S2 =
2
.12 .90
360
= 36 (cm2)
0,25
Hình quạt tròn bán kính CM = 8cm, cung 900 có diện tích là:
S3 =
2
.8 .90
360
= 16 (cm2)
0,25
Diện tích phần tô đậm là S = S1 – S2 – S3 = 96 - 36 - 16 67,3 (cm2) 0,25
5. 2).
Câu 5.(1 điểm):
a). Tìm x biết: 2(x – 3) x 1
- x + 4 0
ĐKXĐ: x 1
Với x 1 ta có 2(x – 3) x 1
- x + 4 0
x – 1 + 2(x – 3) 1
x + (x – 3)2 –x + 1 – (x – 3)2 – x + 4 0
( 1
x + x – 3)2 – (x – 2)2 0
( 1
x - 1)( 1
x + 2x – 5) 0
( 1
x - 1)[2(x – 1 ) - 2 1
x + 3 1
x - 3] 0
( 1
x - 1)[2 1
x ( 1
x – 1 ) + 3( 1
x - 1)] 0
( 1
x - 1) ( 1
x – 1 )( 2 1
x +3) 0
( 1
x - 1)2 ( 2 1
x +3) 0
0,25
a, AB là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) AB BO 0
ABO 90
ABO vuông tại B
Lại có BC AO tại H nên BH là đường cao của ABO
AH . AO = AB2 (1)
0,5
Xét ABE và AFB có ABE AFB
; BAF chung ABE đồng dạng AFB
AE . AF = AB2 (2)
0,25
Từ (1) và (2) AH . AO = AE . AF = AB2 0,25
b, Gọi P là giao điểm của EF và HB
Từ AH . AO = AE . AF chứng minh được AHE đồng dạng AFO
AHE AFO
Lại có 0
AHE OHE 180
0
OFE OHE 180
Tứ giác OHEF nội tiếp 1 đường tròn 0,25
OHF OEF
.
Chứng minh OEF OFE
. Kết hợp AHE AFO
AHE FHO
BHE FHB
HB là tia phân giác của góc EHF
HP là đường phân giác của tam giác EHF
EP EH
FP FH
(3)
0,25
BC AO tại H; HP là đường phân giác của tam giác EHF
HA là đường phân giác ngoài của tam giác EHF
EA EH
FA FH
(4)
0,25
Có EK // BM
EK EA EK EP
;
FM FA BF FP
(5)
Từ (3); (4) và (5) FM = BF F là trung điểm của BM 0,25
6. ( 1
x - 1)2
0 (vì 2 1
x +3 > 0 với mọi x 1)
1
x - 1 = 0 (vì ( 1
x - 1)2
0 với mọi x 1)
1
x = 1
x - 1 = 1
x = 2 (tm)
Kết luận
0,25
b) Cho x, y > 0 và x + y = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
2 2
x y
x 1 y 1
Ta có P =
2 2
x y
x 1 y 1
=
2 2
x 1 y 1 1 1
x 1 y 1 x 1 y 1
=
1 1
x y 2
x 1 y 1
=
1 1
1
x 1 y 1
(vì x + y = 1)
0,25
Áp dụng BĐT
1 1 4
a b a b
với a, b > 0 (Dấu “=” xảy ra khi a = b). Ta có
1 1 4 4 4
x 1 y 1 x y 2 1 2 3
Do đó P
4
1
3
=
1
3
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y =
1
2
(tm x, y > 0)
GTNN của biểu thức P bằng
1
3
khi x = y =
1
2
0,25
