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1. Elasticidad
En capítulos anteriores se ha tratado sobre la acción de fuerzas en cuerpos rígidos,
los mismos que han sido: trasladados, rotados, trasladados y rotados, como un todo
sin cambiar su forma o dimensiones ( excepto el resorte).
Cualquier cambio en su forma o dimensión no se tomó en consideración. Ahora vamos
a tomar en cuenta los cambios que experimenta un cuerpo en su configuración
normal, sea este en su dimensión o en su forma será considerado como una
deformación.
Fuerza
Resultado de la medida de una interacción entre dos o más cuerpos.
Efectos de una fuerza
a)Movimiento: Movimiento de traslación ( F=ma )
Movimiento de rotación ( T=Iα )
Movimiento compuesto ( Mov giroscópico,trompo. Yoyo, Bolero.
b) Deformación: esto vamos a estudiar

 I


2. El cambio fraccionario en una dimensión se denomina deformación, alargamiento o
elongación Ɛ, y se define como la razón de cambio de la longitud (variación de la
longitud) entre la longitud original, esto es:
ɛ=
Δ𝐿
𝐿0
Δ𝐿 = 𝐿 − 𝐿o. ( esto se llama alargamiento )
Fatiga o esfuerzo ( 𝛿 = 𝜎 )
Sea una fuerza ∆𝐹 que actúa sobre un área ∆𝐴, entonces la fatiga sobre el área
A es:
𝜹 = 𝝈 =
𝑳𝒊𝒎
∆𝑨→𝟎
=
∆𝑭
∆𝑨
Esfuerzo normal en un punto
Cuando la fuerza está distribuida uniformemente sobre el área ΔA, entonces la
fatiga sobre el área A es:
𝛿 = 𝜎 =
𝐹
𝐴
Esfuerzo normal medio
Según la forma de aplicación de la fuerza sobre el área de la sección recta del
material, se puede definir las clases de fatiga
L
F
Lo

3. Clases de Fatiga o esfuerzo ( 𝛿 = 𝜎 )
1 Fatiga normal tensora ( Tensión a la rotura )
La barra esta sometida en sus extremos a tensiones normales iguales y opuestas T; T es
perpendicular al área o sección de la barra, se dice T es una fuerza axial. ( de axis= eje en
inglés )
2 Fatiga normal compresora ( Resistencia a la rotura )
La barra esta sometida por ambos extremos a fuerzas normales de compresión, F es axial.
3 Fatiga tangencial o de corte
4 Fatiga o esfuerzo de aplastamiento ( 𝜎𝑎𝑝 )
5 Esfuerzo de corte medio
6 Esfuerzo cortante en superficies curvas
7 Esfuerzo de adherencia

4. Clases de Fatiga o esfuerzo ( 𝛿 = 𝜎 )
1 Fatiga normal tensora ( Tensión a la rotura )
La barra esta sometida en sus extremos a tensiones normales iguales y opuestas T; T es
perpendicular al área o sección de la barra, se dice T es una fuerza axial. ( de axis= eje en
inglés )
2 Fatiga normal compresora ( Resistencia a la rotura )
La barra esta sometida por ambos extremos a fuerzas normales de compresión, F es axial.
3 Fatiga tangencial o de corte

6. Para describir las relaciones fatiga-deformación es necesario dividir a
los materiales en isotrópicos y anisotrópicos
materiales isotrópicos
La fatiga en cualquier punto del cuerpo es independiente de la
dirección, es decir, las propiedades elasto-mecánicas son las mismas en
cualquier dirección.
Están compuestos por muchos cristales microscópicos llamados fibra,
las mismas que están entrelazadas en sus fronteras: “policristalinos”.
Mediante procedimientos metalúrgicos adecuados, es posible orientar
las fibras en sustancias policristalinas, mas o menos en una misma
dirección. Es decir, estas fibras se ordenan cuando actúa un campo
externo.

7. Materiales anisotrópicos.
En estos materiales las propiedades elasto-mecánicas del material en
cualquier punto son diferentes para direcciones diferentes, alrededor
del mismo punto.
Son “monocristalinos”, las celdas están ordenadas por ejm un vidrio al
final se quiebra y no se ordena. El estudio es complicado y lo dejamos
para estudios mas avanzados. Solo trataremos de materiales
isotrópicos y a la vez homogéneos.

8. Ley de Hooke y elasticidad
A la relación fundamental entre la fatiga y la deformación, se conoce
como ley de Hooke, es decir
La fatiga o esfuerzo, produce u ocasiona deformación. Mientras no se
alcance el limite elástico del material, se cumple:
𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑜 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝛼 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 Ley de Hooke
Introduciendo una constante de proporcionalidad se tiene la ecuación
𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑎 = (𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑)(𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛)
Constante de proporcionalidad= Módulo de elasticidad
y no se ordena. El estudio es complicado y lo dejamos para estudios
mas avanzados. Solo trataremos de materiales isotrópicos y a la vez
homogéneos.
Nota: esta ley se cumple mientras no se supere el límite de elasticidad
del material, porque pasa a otra fase, la plasticidad.

9. Elasticidad
Es la capacidad de un cuerpo deformado por un sistema de fuerzas que recobra
su configuración original al cesar la acción deformante.
Límite de elasticidad: es el valor numérico que indica el esfuerzo unitario
máximo que soporta un cuerpo sin que en el se produzca una deformación
permanente, suele expresarse en
Nota: la ley de Hooke sirve para probar la elasticidad de un resorte
Nota: Resiliencia, es una aplicación de la elasticidad en el ser humano. Es decir:
capacidad de un ser humano de superar una dificultad

10. Características elásticas de un material
Los cuerpos son: rígidos (si se deforma hasta antes de superar el limite de
elasticidad, se rompe o quiebra); Plásticos (si se deforma hasta antes de superar
el limite de elasticidad, se queda allí deformado); elásticos (si se deforma hasta
antes de superar el limite de elasticidad, luego vuelve a su forma original).
Histéresis elástica: cuando un material elástico se somete a esfuerzos durante
algún tiempo largo, no recobra inmediatamente su forma original.

11. Módulos de elasticidad ( ME ):
Se define como la razón de la fatiga y la deformación producida por ésta, esto
es: 𝑀𝐸 =
𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑎 (σ)
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (ɛ)
Según la clase de deformación, se define tres módulos simples de elasticidad:
Young, Volumétrico y de corte o cizalla.
1 Modulo de Young “Y” razón de Poisson Rp.
Esta relacionado con el estiramiento producido por una tensión. El valor del
modulo de Young caracteriza la resistencia de un material ante una elongación o
alargamiento
𝑌 =
𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑎
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛
=
𝛿
𝜖
=
𝐹
𝐴
∆𝐿
𝐿𝑜
=
𝐹𝐿𝑜
𝐴∆𝐿
ΔL
L
Lo
Fuerza axial

12. Elasticidad por tracción: Al fenómeno de la variación temporal de la
longitud de un cuerpo, por efecto de una fuerza, se llama elasticidad
por tracción, experimentalmente: ∆𝐿 =
𝐹𝐿𝑜
𝑌𝐴
(incremento, alargamiento,
elongación)
Realmente ¿que ocurre?
Deformaciones
1) 𝝐𝑳𝒐𝒏𝒈 =
∆𝑳
𝑳𝟎
=
𝑳−𝑳𝟎
𝑳𝟎
2) 𝝐𝑻𝒓𝒂𝒏𝒔𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒍 =
∆𝑫
𝑫𝟎
=
𝒅−𝒅𝟎
𝒅𝟎
Razón de Poisson (Rp): es la razón de las deformaciones transversal y
longitudinal, esto es: 𝑅𝑃 = 𝜖𝑇
𝜖𝐿
=
∆𝑑
𝑑0
∆𝐿
𝐿0
=
∆𝑑𝐿0
∆𝐿𝑑0
Nota: para los materiales diversos tenemos que: 0,5 ≥ 𝑅𝑃 ≥ 0,25

13. Módulo de elasticidad: se definen tres módulos
2 Modulo volumétrico ( Kv ) (Módulo de elasticidad de volumen, modulo de
compresibilidad volumétrico)
Los estados de la materia son:
Sólidos: trasmiten fuerza
Líquidos: trasmiten presión
Gases: trasmiten presión
Plasma: ejm el sol
Condensado Bose-Einstein
Consensado de Fermi
Supersólido, etc.

14. Módulo de elasticidad: se definen tres módulos
2 Modulo volumétrico ( Kv ) (Módulo de elasticidad de volumen, modulo de
compresibilidad volumétrico)
La primera capa
Experimenta presión y
trasmite al resto de capas
La deformación volumétrica simple es el cambio en el volumen por unidad
volumétrica por acción de fatigas normales presentes en toda la superficie.
Estas pueden producirse fácilmente al sumergir un cuerpo en un liquido a una
presión determinada, el modulo volumétrico se define por:
VVo
VV

15. De define por: 𝐾𝑉 =
𝛿
𝜖0
=
𝐹
𝐴
∆𝑉
𝑉0
=
𝐹𝑉𝑜
𝐴∆𝑉
= 𝑃
𝑉0
∆𝑉
𝑲𝑽 = −𝑽𝟎
𝒅𝑷
𝒅𝑽
P = incremento de la presión que produce el decrecimiento del volumen (-ΔV)
En general: 𝐾𝑉 = −𝑉0
𝑑𝑃
𝑑𝑉
Definición del coeficiente de compresibilidad ( β )
𝜷 =
𝟏
𝑲𝑽
= −
𝟏
𝑽𝟎
𝒅𝑽
𝒅𝑷
Unidades
𝒎𝟐
𝑵
;
𝒄𝒎𝟐
𝒅𝒊𝒏𝒂
; 𝑷𝒂−𝟏
; 𝒂𝒕𝒎−𝟏

16. Módulo de elasticidad: se definen tres módulos
3 Módulo de corte, Rigidez transversal o cizalladura ( η )
La deformación tangencial: cuando sucesivas capas del material son movidas. Cortadas o deslizadas por
fuerzas tangenciales o superficiales.
La deformación se mide mediante la razón del desplazamiento horizontal (dx)
de cualquier capa entre su distancia a la superficie fija (h)
η =
𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑜 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜)
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
=
𝛿
𝜀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
=
𝐹
𝐴
𝑑𝑥
ℎ
=
ℎ𝑑𝐹
𝐴𝑑𝑥
𝜀𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒
=
𝑑𝑥
ℎ
= 𝑇𝑎𝑔 𝜃
𝜃 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
𝑇𝑎𝑔𝜃 = 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
Casos:
1) Metales: en la mayoría de metales se cumple: η =
𝑌
2
𝑜
𝑌
3
2) Fluidos: no tiene sentido hablar de modulo de corte, porque ellos no ofrecen resistencia
3) En general: η =
𝐹
𝐴
𝑑𝑥
ℎ
=
ℎ𝑑𝐹
𝐴𝑑𝑥

17. Módulos de elasticidad para varios materiales en
𝑁
𝑚2
Sustancia Modulo10 Young
x1010
Módulo de volumen
x1010
Módulo de corte
x1010
Aluminio 7 7 2,5
Latón 9 7,5 3,5
cobre 11 12 3,8
vidrio 5,7 4 2,4
Hierro 15 12 6
Acero 20 15 8,2
Alcohol etil 1
Glicerina 0,45
Mercurio 2,6
Agua 0,22
V
K
Y 

18. Materia
Modulo de
Young Y x1011
Modulo
volumétrico
KV
X1011
Modulo de
corte η
X1011
Razón de
Poisson:
Aluminio 7 7.5 2.4 0.34
Bronce 8,1 9.6 3.4 0.18
Cobre 12,3 13.6 4.5 0.34
Oro 8,0 16.6 2.8 0.42
Plomo 1,6 5.0 0.54 0.45
Plata 7,8 10.9 2.8 0.37
Acero 20,6 18.1 8.9 0.33
Estaño 4,5 5.1 1.67 0.31
Vidrio 7,0 5.0 3.0 0.24
2
cm
dina
2
cm
dina
2
cm
dina
valores aproximados de los módulos elásticos

19. Teóricamente, para cuerpos isotrópicos homogéneos, los módulos elásticos se relacionen
por: 𝑌 = 3𝐾𝑉 1 − 2𝑅𝑃 = 2 1 + 𝑅𝑃 =
9𝐾𝑉𝑛
3𝐾𝑉+𝑛
Para sustancias anisotrópicas no existen estas relaciones tan simples. Se demuestra
en textos mas avanzados que para sustancias anisotrópicas hay 21 constantes
elásticas. Las expresiones generales para esfuerzos y deformaciones se denominan
(diadas o tensores) y cada una contiene nueve términos. Estos por su puesto se
reducen a la simple expresión que hemos obtenido para sustancias isotrópicas.

20. Energía de deformación: 𝑬𝒊
Para deformar un cuerpo, es necesario aplicar fuerzas que realizan un trabajo durante
el proceso de deformación. En consecuencia, la energía interna de un cuerpo
deformado aumenta.
Primer caso: varilla sometida a tensión
𝑌 =
𝐹
𝐴
∆𝐿
𝐿0
=
𝐹𝐿0
𝐴∆𝐿
→ 𝐹 = 𝑌𝐴
∆𝐿
𝐿0
𝑑𝑊 = 𝐹𝑑∆𝑙
𝑊 =
0
∆𝐿
𝐹𝑑∆𝐿 =
0
∆𝐿
𝑌𝐴
∆𝐿
𝐿0
𝑑∆𝐿 =
𝑌𝐴
𝐿0
0
∆𝐿
∆𝐿𝑑∆𝐿 =
𝑌𝐴
𝐿0
∆𝐿2
2
− 0 =
1
2
𝑌𝐴𝐿0
∆𝐿
𝐿0
2
2
=
1
2
𝑌𝑉(𝜀𝐿)2
𝐸𝑖 =
𝑊
𝑉
=
1
2
𝑌(𝜀𝐿)2
𝐸𝑖 =
𝑊
𝑉
=
1
2
𝐾𝑉(𝜀𝑉)2
(segundo caso: tip: W=PdV ; P=KvΔV/Vo)
𝐸𝑖 =
𝑊
𝑉
=
1
2
η(𝜀𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒)2
(tercer caso: tip: W=Fdx; F=nax/h)

21. Energía de deformación: 𝑬𝒊
Para deformar un cuerpo, es necesario aplicar fuerzas que realizan un trabajo durante
el proceso de deformación. En consecuencia, la energía interna de un cuerpo
deformado aumenta.
Primer caso: varilla sometida a tensión
𝑌 =
𝐹
𝐴
∆𝐿
𝐿0
=
𝐹𝐿0
𝐴∆𝐿
→ 𝐹 = 𝑌𝐴
∆𝐿
𝐿0
𝑑𝑊 = 𝐹𝑑∆𝑙
𝑊 =
0
∆𝐿
𝐹𝑑∆𝐿 =
0
∆𝐿
𝑌𝐴
∆𝐿
𝐿0
𝑑∆𝐿 =
𝑌𝐴
𝐿0
0
∆𝐿
∆𝐿𝑑∆𝐿 =
𝑌𝐴
𝐿0
∆𝐿2
2
− 0 =
1
2
𝑌𝐴𝐿0
∆𝐿
𝐿0
2
2
=
1
2
𝑌𝑉(𝜀𝐿)2
𝐸𝑖 =
𝑊
𝑉
=
1
2
𝑌(𝜀𝐿)2
𝐸𝑖 =
𝑊
𝑉
=
1
2
𝐾𝑉(𝜀𝑉)2
(segundo caso: tip: W=PdV ; P=KvΔV/Vo)
𝐸𝑖 =
𝑊
𝑉
=
1
2
η(𝜀𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒)2
(tercer caso: tip: W=Fdx; F=nax/h)

22. Ejercicios
1. El diámetro de una varilla de bronce es de 8mm. Determinar la fuerza en N y dinas
que produce una extensión (alargamiento, elongación, incremento de longitud) del 3%
de su longitud. El módulo de Young del bronce es 𝑌
𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 = 9. 1011 𝑑𝑖𝑛𝑎
𝑐𝑚2 .
Solución:
r=4mm
𝐴 = 𝜋𝑟2 = 𝜋(4. 10.−1𝑐𝑚)
Elongación: ∆𝐿 = 3%𝐿0 =
3
100
𝐿0
𝑌 =
𝛿
𝜀
=
𝐹
𝐴
∆𝐿
𝐿0
=
𝐹𝐿0
𝐴∆𝐿
F =
𝑌𝐴∆𝐿
𝐿0
=
(9𝑥1011𝑑𝑖𝑛𝑎
𝑐𝑚2 ) 𝜋(4𝑥10−1𝑐𝑚)2 (
3
100
𝐿0)
𝐿0
= 1,35648𝑥1010
𝑑𝑖𝑛𝑎 = 1,35648𝑥105
𝑁

23. Ejercicios
2. ¿Cuál es la presión necesaria para comprimir un cubo de hule al 90% de su volumen
original?. Compare esta presión con la presión atmosférica, la compresibilidad es de
𝛽 =
1
𝐾𝑉
= 40. 10−11 𝑁
𝑚2.
Solución:
𝐾𝑉 = 2,5. 109 𝑁
𝑚2 V = 90% =
9
100
= 0,90
−∆𝑉 = 𝑉 − 𝑉0 = 10% =
10
100
= 0,10 (es negativo)
𝑉0 = 𝑉 + ∆𝑉 = 0,9𝑉0 + ∆𝑉
0,1𝑉0 = ∆𝑉
𝐾𝑉 =
𝛿
𝜀𝑉
=
𝐹
𝐴
∆𝑉
𝑉0
=
𝐹𝑉0
𝐴∆𝑉
= 𝑃
𝑉0
∆𝑉
𝑃 = 𝐾𝑉
∆𝑉
𝑉0
= 2,5𝑥109 𝑁
𝑚2 (0,1) = 2,5𝑥108 𝑁
𝑚2
Comparando con la presión atmosférica 𝑃0 = 1,013. 105 𝑁
𝑚2
Por tanto: La presión aplicada al problema es mayor que la presión atmosférica