2. Задача 1.
Дано: N, K, T - точки, по которым секущая
плоскость пересекает ребра тетраэдра,
Построить сечение.
А
M
N
K
B
D
C
3. •Точки N и K лежат в плоскости ADС, следовательно
секущая плоскость пересекает ADC по прямой NK.
•Аналогично, секущая плоскость пересекает ABC по прямой
KM,
а плоскость ADB по прямой NM
A
M
N
Плоскость NKM искомая.
K
B
D
C
4. Чаще встречаются ситуации, когда известных
точек не хватает, чтобы построить сечение.
Задача 2.
Дано: А, В, С -точки, по которым секущая
плоскость пересекает ребра тетраэдра.
Построить сечение.
S
А
С
K
В
M
N
5. Если мы соединим попарно 3 точки, как мы
это делали в предыдущей задаче,
то сечение не будет построено, т.к. отрезок ВС
проходит внутри тетраэдра.
S
А
С
K
N
В
M
Вывод: Правило 1. При построении сечения
имеет смысл соединять только те точки, которые
лежат в одной плоскости.
6. Посмотрим заново на условие задачи 2.
S
А
С
K
N
В
M
Согласно правилу 1, мы можем провести отрезки АВ
и АС, т.к. точки А и В лежат в плоскости KSM,
а точки A и C - в плоскости KSN.
Нам осталось построить линии пересечения
секущей плоскости с гранями SMN и MKN.
7. Больше ничего провести нельзя. Нет и дополнительных
условий.
S
А
С
K
N
В
M
У нас уже есть точка В - общая точка
секущей плоскости и плоскости SMN.
Но для того, чтобы провести прямую
нам нужно две точки.
Будем искать вторую.
8. S
А
С
K
N
В
M
Т
АВ и КМ - прямые, лежащие в плоскости KSM.
Значит, если мы мы их продлим, то они пересекутся.
Рассмотрим точку их пересечения Т. Она лежит на прямой
КМ, а значит и в плоскости основания KMN;
кроме того, она лежит на прямой АВ, а значит и в
секущей плоскости АВС .
Но в плоскости основания у нас уже есть одна точка,
принадлежащая плоскости сечения - точка С.
Значит, мы можем их соединить.
9. S
А
K
С
F
В
M
N
Т
Т.к. прямая ТС лежит в плоскости основания, то она
пересечет прямую MN (в точке F).
Отрезок FC принадлежит сечению.
Кроме того, у нас теперь есть 2 точки на
плоскости MSN: точки B и F. Мы можем их
соединить.
12. S
А
В
С
F
N
K
M
2. Доказательство.
Т
1) A (KSN), C (KSN) => AC (KSN)
2) A (KSM), B (KSM) => AB (KSM)
3) AB (KSM), KM (KSM) следовательно, они пересекутся.
4) T KM; KM (KMN) => T (KMN)
5)T (KMN), C (KMN) => TC (KMN), следовательно
они пересекутся; TC MN = F
6) B (SMN), F (SMN) => BF (SMN)
7 ) Сечение проходит через точки A, B, C.
Следовательно, CABF – искомое сечение.
13. Задание 4.
Построить сечение, проходящее через указанные точки.
1. T
B1
D1
A1
B
Q
L
C
M
A
2.
C1
D
3.
B1
K
T
D1
A1
M
K
C1
B
C
R
A
D
