Ермош Светлана Геннадьевна

2. Решение задачи на построение сечений состоит, обычно,
из двух частей.
Часть первая – само построение и описание построения.
Часть вторая – доказательство того, что построенный
многоугольник и есть искомое сечение.

3. В условиях задач на построение сечений обычно
указывается несколько точек, принадлежащих
сечению и/или дополнительные условия, которым
должно соответствовать построенное сечение.
Данные точки могут лежать
на ребрах многогранника
и/или на его гранях
M
M
N
K
N
K
N принадлежит
(ADB)

4. В том случае, если соединив данные в условии точки, мы
получим многоугольник, все стороны которого будут
лежать на гранях многогранника, сечение построено.
1.M (ADC) , N (ADC)
M
N
K
Но это может произойти
только тогда, когда
каждые две соединяемые
нами точки лежат в
одной грани.
=> MN (ADC)
2. M (ADB), K (ADB)
=> MK (ADB)
3. K (BDC), N (BDC)
=> KN (BDC)
MNK – искомое сечение.

5. Если же какие-нибудь две, из данных в условии, точки не
лежат в одной плоскости, то, соединив их, мы получим
отрезок лежащий внутри многогранника
N
K
M
Нет такой грани, в которой точки
M и N (M и K) лежат вместе.
Следовательно отрезок MN (MK)
лежит внутри параллелепипеда.
Значит треугольник MNK не
является сечением.
(см. особенность сечений №2)
В таких случаях надо: 1) использовать все известные знания из
теории;
2) Использовать дополнительные условия задачи;
3) Использовать специальные способы построения сечений.

6. В нашем случае мы должны вспомнить, что
противоположные грани параллелепипеда параллельны.
Следовательно, секущая плоскость пересечет их по
параллельным прямым (особенность сечений №3).
Построение.
N
B1
C1
1. N
(BB1C1), K (BB1C1) =>
A
K
NK (BB1C1)
D
M
2. (BB1C1) // (AA1D1) следовательно
B
C
линии пересечения секущей
плоскости с этими гранями будут
A
D
параллельны.
Секущая плоскость пересекает (BB1C1) по прямой NK и имеет
с плоскостью (AA1D1) общую точку M .
1
1
Следовательно, надо в плоскости (AA1D1) через точку М
провести прямую, параллельную NK.

7. Т.к. проведенная прямая и прямая DD1 лежат в одной
плоскости, они пересекутся. Назовем точку
пересечения – R.
B1
A1
N
C1
S
D1
M
A
B
K
C
R
D
3. Теперь в грани DD1C1С есть
две точки, принадлежащие
плоскости сечения: K и R.
Соединим их.
4.Т.к. грани DD1C1 и AA1B1
параллельны и М AA1B1, то,
аналогично п.2,
проведем в плоскости AA1B1
через точку М прямую,
параллельную KR.
Она пересечет прямую А1B1 в точке S (аналогично п.3).

8. Теперь в верхней грани A1B1C1D1 есть две точки сечения: S и N.
Соединим их.
B1
A1
N
C1
S
D1
M
A
B
K
C
R
D
MRKNS – искомое сечение.

9. Рассматривая две предыдущие задачи, мы не разделяли
этапы построения и доказательства.
Посмотрим, как лучше оформлять решение таких задач.

10. Задача 1. Построить сечение тетраэдра, проходящее через
точки M, N и K.
1. Построение
M
N
K
1. MN
2. NK
3. KN
Докажем, что MNK - искомое сечение.
2. Доказательство
1. Точки M, N, K –принадлежат сечению.
2. M
(ADC) , N (ADC) => MN (ADC).
3. M (ADB), K (ADB)=> MK (ADB).
4. K (BDC), N (BDC) => KN (BDC).
Следовательно, MNK – искомое сечение ч.т.д.

11. Задача 2. Построить сечение параллелограмма, проходящее
через точки M, N и K.
1. Построение
B1
A1
N
C1
S
D1
M
A
K
1. NK
2. В плоскости AA1D MR // NK,
MR DD1=R
3. RK
B
C
R
D
4. В плоскости AA1B1 MS // RK,
MS A1B1=S
5. SN
Докажем, что MRKNS – искомое
сечение.

12. 2. Доказательство
1. Точки M,N,K –принадлежат сечению.
2. Секущая плоскость пересекает
параллельные грани AA1D1D и
N
B
C
BB1C1C, AA1B1B и DD1C1C по
S
A
параллельным прямым: MR // NK,
K
D
MS // RK ( по построению).
M
B
3. K (BB1C1) , N (BB1C1)
C
=> KN (BB1C1).
A
R D
4. MR (AA1D) по построению
1
1
1
1
5. R (DD1C1), K (DD1C1) => RK (DD1C1)
6. MS (AA1B1) по построению
7. S (A1B1C1), N (A1B1C1) => SN (A1B1C1)
Следовательно, MRKNS – искомое сечение ч.т.д.

13. Задача 3. Построить сечение тетраэдра, проходящее
через точки R, S и P, P (ABD).
1. Построение
V
P
R
S
1. SR
2. SP, SP AD = V
3. VR
Докажем, что RSV - искомое сечение.
2. Доказательство
1. Точки R, S, P –принадлежат сечению.
2. S (BDC) , R (BDC) => SR (BDC).
3. S (ADB), P (ADB)=> PS (ADB), V (ADB)
4. V (ADC), R (ADC) => VR (ADC).
Следовательно, RSV – искомое сечение ч.т.д.

14. Задание 2.
Построить сечение, проходящее через указанные точки.
1. T
B1
M
A1
A
L
K
D1
B
Q
2.
C1
C
D
3. T
B1
C1
K
D1
A1
B
C
M
A
D
R

15. TC
4. K B
1
5.
1
B1
S
D1
A1
D1
A1
B
C
T
S
A
D
A
C1
B
М
C
D
М (ABC)
6.
B1
D1
A1
К
A
C1
B
М
C
T
D
M (DD1C1), K (AA1)B1