2. Diffrazione nei cristalli La costante elastica K del legame (analogia molla) vale Usando il teorema di equipartizione dell’energia Questa distanza è inferiore a quella interatomica, ma confrontabile con la  dei raggi X ( ~ 10 -9 cm). Gli esperimenti furono condotti da Friedrich su cristalli di solfato di rame, utilizzando lastre fotografiche come rivelatori di raggi X. Dopo qualche tentativo si osservarono una distribuzione regolare di punti luminosi, e Laue mise subito a punto la teoria della diffrazione per i cristalli.

3. Teoria dello scattering elastico Forma dell’onda diffusa per un diffusore posto nell’origine e indipendentemente dal tipo di sonda f = fattore di forma, tiene conto dell’interazione tra il potenziale di scattering e l’onda diffusa ed è legato alla intensità dell’onda diffusa: L’intensità dell’onda diffusa sotto un angolo d  a distanza r è

5. Scattering da molti diffusori Questo risultato vale per qualunque distribuzione di diffusori, anche diversi tra loro. Per un gran numero di diffusori, ma ignorando lo scattering multiplo: se osserviamo ad angoli di diffusione  0 l’intensità per unità di angolo solido essendo Nel caso di diffusori identici sistemati in un reticolo di Bravais

6. Somme reticolari Nel caso unidimensionale si osservano massimi per Per quali vettori mi aspetto la massima intensità di scattering ?

7. Somma reticolare unidimensionale (dettagli)

8. Somme reticolari Si può esprimere il risultato in termini di funzioni  Generalizzando il risultato al caso 3-D, per la soluzione dell’eq. di Laue deve essere Dobbiamo, quindi, trovare quell’insieme di vettori K definiti da Dobbiamo, quindi, trovare quell’insieme di vettori K che soddisfano la relazione In definitiva, i vettori R definiscono il reticolo di Bravais, quelli K il reticolo reciproco .

9. Piani di Bragg Vediamo se i vettori K formano un reticolo. Basta trovarne due per definire tutti gli altri attraverso combinazioni lineari. Supponiamo di averne trovato uno per cui Fissata la direzione di K , i vettori R che soddisfano la condizione giacciono in un piano passante per l’origine. Deve essere nel piano e nel piano adiacente. Quindi generalizzando deve essere reticolo reciproco !

10. Reticolo con base Fattore di struttura F di una cella unitaria. Se F si annulla “scompare” una riflessione di Bragg (spiegazione assenza spot in esperimento Friedrich). reticolo di Bravais vettore di base

11. Esempio: diamante Il reticolo del diamante è un fcc + base. Fattore di struttura

12. Metodi sperimentali Costruzione di Ewald Illuminando questo cristallo con generici raggi X monocromatici non determina spot di diffrazione !

13. Metodi sperimentali Metodo di Laue La radiazione incidente “copre” un intervallo di vettori d’onda, quindi la probabilità che le condizioni di diffrazione siano soddisfatte aumenta considerevolmente. Il metodo è utilizzato per orientare i cristalli.

14. Metodi sperimentali Costruzione di Ewald: calcolo k 0 e  :

15. Metodi sperimentali Geometria di Ewald

16. Bragg Scattering Esempio Scattering di Bragg ad un angolo  =26.6 º dai piani (2 1) di un reticolo quadrato. I vettori k , k 0 e K sono determinati da

17. Metodi sperimentali Metodo delle polveri (di Debye-Scherrer ) In presenza di numerosi microcristalli orientati in tutte le direzioni è equivalente a ruotare il cristallo in tutte le direzioni. Si osservano “anelli” di diffrazione sotto l’angolo  : Il raggio r dell’ anello di scattering dovuto al vettore di reticolo reciproco K , essendo D la distanza campione-lastra fotografica (rivelatore) è dato dalla relazione:

18. Esperimenti di scattering Si possono usare vari tipi di “sonde”: Raggi X – in approssimazione “classica” sono gli elettroni dell’atomo che re-irradiano l’onda e.m. incidente (i nuclei sono troppo “pesanti”): Gli elettroni sono descritti da una distribuzione n(r) :

19. Sorgenti di radiazione e.m.

20. Esperimenti di scattering Si possono usare vari tipi di “sonde”: Neutroni – scattering isotropo Gli elettroni sono descritti da una distribuzione n(r) :