Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικού Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.com

1. Εργασία 3η / Άλγεβρα Β Λυκείου
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικού
(Α) Έστω ότι υπάρχει γωνία x τέτοια ώστε
3
ημx συνx
2
  (1), τότε να
υπολογίσετε τα εξής:
i) ημx συνx ii)
1 1
ημx συνx

iii) εφx σφx iv) 2 2
ημ x συνx ημx συν x  
v) 3 3
ημ x συν x vi) 6 6
ημ x συν x
(B) Να αποδείξετε ότι ημω συνω 2  για οποιαδήποτε γωνία ω. Τι
συμπεραίνετε για τη σχέση (1);
Λύση
(Α) i) Έχουμε,
 
2
2 2
3 9
ημx συνx ημx συνx
2 4
9
ημ x 2ημxσυνx συν x
4
5
ημxσυνx
8
    
   
 
ii) Είναι,
3
1 1 ημx συνx 122
5ημx συνx ημx συνx 5
8

   

iii) Είναι,
2 2
ημx συνx ημ x συν x 1 8
εφx σφx
5συνx ημx ημx συνx 5
8

     

iv) Είναι,
 2 2 5 3 15
ημ x συνx ημx συν x ημx συνx ημx συνx
8 2 16
        
v) Είναι,

2.   3 3 2 2 3 5 9
ημ x συν x ημx συνx ημ x ημx συνx συν x 1
2 8 16
 
         
 
vi) Είναι,
   
 
2 26 6 3 3
23 3 3 3
2 3
ημ x συν x ημ x συν x
ημ x συν x 2 ημ x συν x
9 5
2
16 8
11
64
  
    
   
     
   
 
Β) Παίρνουμε τη ζητούμενη σχέση και επειδή οι όροι είναι μη αρνητικοί, τότε έχουμε
ισοδύναμα:
 
2 1
ημω συνω 2 ημω συνω 2 1 2ημω συνω 2 ημω συνω
2
           
Αν το πρώτο μέλος είναι αρνητικό, τότε έχει αποδειχθεί το ζητούμενο. Αν είναι μη
αρνητικό, τότε έχουμε ισοδύναμα:
 
 
2 2
2 2
4
22
1 1
ημω συνω ημ ω συν ω
2 4
1
ημ ω 1 ημ ω
4
4ημ ω 4ημω 1 0
2ημ ω 1 0
    
   
   
  
που ισχύει. Άρα
ημω συνω 2 2 ημω συνω 2      
δηλαδή
3
ημω συνω 2
2
  
οπότε δεν υπάρχει γωνία x που να ικανοποιεί τη σχέση (1)!
Είναι μια κλασική άσκηση με ψευδής υπόθεση. Αν το είχαμε αποδείξει εξαρχής, τότε
κάθε ζητούμενο της άσκησης (Α) θα ήταν άμεσο.