.

1. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….0
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι
ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Μήταλας Γ , Δρούγας Α. Χάδος Χ. Γερμανός Ξ. Πάτσης Σ.
Ο ΤΣΕΛΕΜΕΝΤΕΣ ΤΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥ
ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 1
Το χόμπι μου είναι η μαγειρική και ενίοτε παθαίνω εκρήξεις φαιδρότητας και κυνισμού.
Ηρεμήστε, δεν προτίθεμαι να παραθέσω συνταγές μαγειρικής, πλην όμως, τα τελευταία
χρόνια έχω πολλές ενστάσεις για τον τρόπο που εξετάζονται τα μαθηματικά στις
πανελλαδικές εξετάσεις. Γιατί να το κρύψουμε άλλωστε, η επιτροπή θεμάτων τα
τελευταία χρόνια πίνει νερό στο όνομα του Αλ Κβαρίσμι και έχει αγιοποιήσει την
μεθοδολογία.Διάβαζα,πρόσφατα σε γνωστό μέσο κοινωνικής δικτύωσης ότι
«μεθοδολογία στα μαθηματικά είναι ένα τέχνασμα που έγινε viral”,ένας on line
εξωραϊσμός του γνωστού αφορισμού του Τζωρτζ Πόλυα. Παρόλα αυτά, το παρόν είναι
απόλυτα εναρμονισμένο στην λογική ενός τσελεμεντέ τεχνικών επίλυσης ασκήσεων. Το
εγχειρίδιο του επιτήδειου στα μαθηματικά θετικού προσανατολισμού.Πέρα και μακριά
από την μαθηματική σκέψη στις παρακάτω σελίδες θα βρείτε μια σειρά από
τυφλοσούρτες για να λύνετε τα θέματα των πανελληνίων. Το παρόν συμπληρώνει το
σχολικό βιβλίο. Που και που, θα βρίσκετε αγαπημένες συνταγές!!
Σ.Ο.Κ.Ο.Ν
Τυρόπιτα (χωρίς φύλλο) βιολογική
Υλικά
2 κεσεδάκια γιαούρτι
1 συσκευασία 250γρ Μαργαρίνη µε ελαιολάδο
6 αυγά
½ κιλό Βιολογική Φέτα
½ κιλό Γραβιέρα Ώριµη ή Γραβιέρα Μακράς Ωρίµανσης
1 φλιτζάνι του τσαγιού αλεύρι που φουσκώνει µόνο του
λίγο πιπέρι και λίγη ρίγανη προαιρετικά
Εκτέλεση
1. Σ’ ένα µπολ, ανακατεύετε όλα µαζί τα υλικά για να µοιραστούν οµοιόµορφα
και να γίνουν ένα οµοιογενές µείγµα.
2. Μεταφέρετε το µείγµα και το στρώνετε σε αντικολλητικό ταψί
3. Ψήνετε την τυρόπιτα σε προθερµασµένο φούρνο στους 180 για 40-45
λεπτά ή µέχρι να ροδίσει η επιφάνειά της .

3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….2
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1)Μαθηματικα Θετικού προσανατολισμού, Ανδρεαδάκης,Κατσαργύρης,Μέτης.Ο.Ε.Δ.Β
2) Μαθηματικά Γ Λυκείου, Μπάρλας Α., Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική
3)Μαθηματικα Γ Λυκείου, Κατσαρός Δ. ,Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική
4)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Στεργίου –Νάκης ,Εκδόσεις Σαββάλα
5)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Μαυρίδης Γ., Εκδόσεις Μαυρίδη
6)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Σκομπρής Γ., Εκδόσεις Σαββάλα
7)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Μιχαηλίδης Γ., Εκδόσεις Μαυρίδη
8)Αναλυση Μαθηματικά, Αχτσαλωτίδης Χ. ,Εκδόσεις Μεταίχμιο
9)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Παπαδάκης ,Εκδόσεις Σαββάλα
10)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Ξένος. Θ. ,Εκδόσεις Ζήτη
11)Μαθηματικα-Αναλυση Μαντάς Γ. ,Εκδόσεις Μαντά
12)Μαθηματικα-Αναλυση Ευρυπιώτης Σ.Γ. ,Εκδόσεις Πατάκη
13)Μαθηματικα-Αναλυση Μπαιλάκης Σ.Γ., Εκδόσεις Σαββάλα
14) Ανάλυση 1,2 ,Γκατζούλη Κ., Εκδόσεις Γκατζούλη
15) 1000+1 ασκήσεις στις παραγώγους, Ξηνταβελώνης Π., Εκδόσεις Λιβάνη
16)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Β &Ρ Σπανδάγου., Εκδόσεις Αίθρα
17)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Αρχείο Σ.Ο.Κ.Ο.Ν
18)ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β
19)Συναρτήσεις, Ποστάντζης Β.
20)Βιβλιο του διδάσκοντος. Για το μάθημα ανάλυση της Γ λυκείου,Γ.Παντελίδη, Εκδόσεις Ζήτη
21)Θεωρημα μέσης τιμής ,Γιαννιτσιώτης-Καραγιώργος, Εκδόσεις Κωστόγιαννος
22)Συναρτήσεις Θ.Ν. Καζαντζής. Εκδόσεις Τυποεκδοτική
23)Αναλυση,Ντζιωρας.Η, Εκδόσεις Πατάκη
24)Αναλυση,Μπαραλός Γ. Εκδόσεις Παπαδημητρόπουλου
25) Απειροστικός λογισμός, Spivak M. , Παν. Εκδόσεις Κρήτης
26)Μαθηματική ανάλυση Ρασσιάς Μ. ,Εκδόσεις Σαββάλα
24)Problems in Calculus ,Ι.Μ.Maron,Mir Publisher
25)Θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης,Πανουσάκης Ν. ,Εκδοτικός όμιλος Συγγραφέων
καθηγητών
26) Το Φ
27) Η διδασκαλία του Απειροστικού λογισμού, μέσω αντιπαραδειγμάτων, Πλάταρος Γιάννης
27)Οδηγος επανάληψης στα μαθηματικά Γ λυκείου, Χ.Πατήλας, εκδόσεις Κωστόγιαννος
28)Γενικα θέματα μαθηματικών, Βλαχος. Β., Κουτσουκος Π. ,Ξηροκωστας Π. ,Πλατης Χ.
29)Problem book: Algebra and Elementary functions, Kutepov A.,Rubanov, MIR Publishers
30) Θέματα για πανελλήνιες εξετάσεις πρώτης δέσμης,Σάκης Λιπορδέζης
31)The theory of functions of a real variable, R.L.Jeffery
32)A Problem book in mathematical analysis,G.N Berman
33) Bad problems in Calculus, A.G .Drolkun
34) Μαθηματικά 1,2,3 Γ.Δεμερτζής,Δ.Γουβίτσας Εκδόσεις Όλυμπος
Τα σχήματα επιμελήθηκε ο Ντόναλντ Ντάκ ενώ τους γραμμοκώδικες ( qr-code) δημιούργησε ο
Οβελίξ σε συνεργασία με τον Κακοφωνίξ.

4. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 3
49 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ
1. Απλός τύπος
Αν το
( ) ( )
0
0
x x
0
i). υπάρχει
f x f x
lim και
x x
ii). είναι πραγματικός αριθμός
→
 
−  
 
−  
 
, τότε η f λέγεται παραγωγίσιμη στο 0x
και ( )
( ) ( )
0
0
0
x x
0
f x f x
f x lim
x x→
−
′ =
−
, επίσης
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
0 0 0
0
x x h 0
0
f x f x f x h f x
lim f x lim
x x h→ →
− + −
′= =
−
.
Για να υπολογίσω την παράγωγο ( )0f x′ :
1. Βρίσκω το ( )0f x .
2. Βρίσκω το όριο
( ) ( )
0
0
x x
0
f x f x
lim λ
x x→
−
=
−
.
3. Αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε ( )0f x λ′ = .
Παράδειγμα1: Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη η ( )f x x συν2x= + , στη θέση 0x 0= ( στην τάξη)
Παρατήρηση:
1. Αντί αυτού του ορισμού μπορώ να χρησιμοποιήσω τον:
( ) ( )0 0
h 0
f x h f x
lim
h→
+ −
, υπολογίζοντας
τα: ( ) ( )0 0f x h , f x+ .
2. Προσοχή: Πρώτα υπολογίζω το
( ) ( )
0
0
x x
0
f x f x
lim
x x→
−
−
ή το
( ) ( )0 0
h 0
f x h f x
lim
h→
+ −
, και αν είναι
πραγματικός αριθμός τότε το «βαφτίζω» ( )0f x′ .
ΣΧΟΛΙΟ: Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε το σημείο ( )( )0 0x ,f x λέγεται ομαλό σημείο,
δηλαδή η fC δέχεται εφαπτομένη στο σημείο αυτό .
Αν η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε το σημείο ( )( )0 0x ,f x λέγεται γωνιακό σημείο και δεν
δέχεται εφαπτομένη στο σημείο αυτό .
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
49-1. Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση 0x η συνάρτηση ( ) 2
0f x 3x x , x 3= − = .
Λύση
Είναι ( )f 3 9 9 0= − = . Πεδίο ορισμού [ ]0,3Α = .
( ) ( ) ( )
( )
2
2x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
x 3 xf x f 3 3x x x 3 x x 3 x x
lim lim lim lim lim lim
x 3 x 3 x 3 3 x 3 x3 x
− − − − −
→ → → → → →
−− − ⋅ − ⋅ − −
= = = = = = −∞
− − − − − −− −
.
Δεν είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 3= .
49-2. Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 0= η συνάρτηση f με:
( )
ν 1
x ημ x 0, ν 1
f x x
0 x 0

≠ >
= 
 =
.
Λύση
Είναι ( )f 0 0= .
( ) ( )
ν
ν 1
x 0 x 0 x 0
1
x ημ 0f x f 0 1xlim lim lim x ημ
x 0 x 0 x
−
→ → →
−−
= =
− −
.
Είναι ν 1
x 0
1
lim x 0 και 1 ημ 1
x
−
→
= − ≤ ≤ , έτσι έχουμε όριο 0 (μηδενική επί φραγμένη).
Συνεπώς η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 0= με παράγωγό αριθμό ( )f 0 0′ = .

5. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….4
49-2b.(Δ δέσμη 1991)
Έστω η f η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίζεται στο 0
x ∈∆ .Να αποδείξετε
ότι
0
0 0
0 0 0
0
( ) ( )
lim ( ) '( )
x x
xf x x f x
f x x f x
x x→
−
= −
−
Λύση
Έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
lim lim ( )
x x x x
x x x x
x x x x
xf x x f x xf x xf x xf x x f x
x x x x
xf x x f x xf x xf x f x x x x f x f x
x x x x
f x x x x f x f x x f x f x
f x
x x x x x
→ →
→ →
→ →
− + − −
= =
− −
− + − − + −
= = =
− −
 − − −
+ = + 
− −   0
x
 
= 
−  
( ) ( )
( )
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
lim ( ) lim ( ) lim
( ) ( )
lim ( ) lim lim
x x x x x x
x x x x x x
x f x f x x f x f x
f x f x
x x x x
f x f x
f x x
x x
→ → →
→ → →
 − −
= + = + = 
− −  
−
= + ⋅
−
Όμως η f είναι παραγωγίσιμη στο 0
x άρα θα είναι και συνεχής στο 0
x ,κατά συνέπεια
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
= οπότε
( )
0 0 0
0
0 0 0
0
( ) ( )
lim ( ) lim lim ( ) '( )
x x x x x x
f x f x
f x x f x x f x
x x→ → →
−
+ ⋅ = − ⋅
−
Είναι κρίσιμο να παρατηρήσουμε ότι διασπάσαμε σε επιμέρους όρια διότι γνωρίζουμε ότι
υπάρχουν.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
49-3. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο 0x , όταν:
i) 1)( 2
+= xxf , 00 =x ii) 2
1
)(
x
xf = , 10 =x iii) xxf 2
ηµ)( = , 00 =x .
49-4. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
i) f(x)=3x+1 στο x=3
ii) 2
g(x)=x +5 στο x=-2
iii) 2
σ(x)=x +2x στο x=4
49-5. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων στο σημείο 0x , όταν:
α. ( ) 2
f x =x -x ,στο σημείο 0x 2= .
β. ( )
5
f x =
x
,στο σημείο 0x 1= .
49-6. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( ) 3
f x =x στο 0x 8= και στο 0x 0= .
49-7. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( )f x = x στο 0x 4= .
49-8. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε
i) )(
)()(
lim 0
00
0
xf
h
xfhxf
h
′−=
−−
→
ii) )(2
)()(
lim 0
00
0
xf
h
hxfhxf
h
′=
−−+
→
.

6. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 5
49-9. Αν μία συνάρτηση :f →ℝ ℝ είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αx =0 , να αποδείξετε ότι
i) )()(
)()(
lim αfaαf
αx
αfαxxf
αx
′+=
−
−
→
ii) ))()((
)()(
lim αfαfe
αx
αfexfe α
αx
αx
′+=
−
−
→
.
49-10. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει 32
332)1( hhhhf +++=+ , για κάθε h∈ℝ , να αποδείξετε ότι:
i) 2)1( =f ii) 3)1( =′f .
2. Πολλαπλός Τύπος
ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε η f είναι συνεχής στο 0x .
Το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή αν η f είναι συνεχής στο 0x , τότε η f δεν είναι αναγκαστικά
παραγωγίσιμη στο 0x .
π.χ. η ( )f x x= είναι συνεχής στο ℝℝℝℝ , αλλά όχι παραγωγίσιμη.
Ισχύει το αντιθετοαντίστροφο του θεωρήματος
Αν η f δεν είναι συνεχής στο 0x , τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x
Συνάρτηση Weierstrass,ένα εξωτικό φρούτο.
Υπάρχει μια συνάρτηση, η συνάρτηση Weierstrass που είναι συνεχής σε όλο το ℝℝℝℝ αλλά δεν είναι
παραγωγίσιμη σε κανένα σημείο του.
Ο Weirstrass ,γίγαντας της μαθηματικής Ανάλυσης ήταν ίσως και ο μοναδικός μαθηματικός
τέτοιου διαμετρήματος που υπήρξε και υποδειγματικός δάσκαλος.
(http://mathhmagic.blogspot.gr/2015/05/blog-post_29.html)
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΣΕ ΠΟΛΥΚΛΑΔΕΣ
• Ελέγχω αν είναι η f συνεχής στο 0x που «σπάει» ο τύπος.
• Αν είναι τότε θα υπολογίζω τα όρια της παραγώγου
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0
x x x x
0 0
f x f x f x f x
lim , lim
x x x x− +
→ →
− −
− −
(πλευρικές παράγωγοι).
• Αν είναι ίσα τότε ( )0f x′ είναι αυτός ο αριθμός.
• Αν είναι άνισα τότε f όχι παραγωγίσιμη στο 0x .

7. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….6
Παράδειγμα 2: Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση 0x 1= η συνάρτηση
( )
 + − ≤
= 
>
2
2
x 2x 2, x 1
f x
2x , x 1
.
Παράδειγμα 3: Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση 0x 2= η συνάρτηση
( )
2
2
x 3x, x 2
f x
x 5x 4, x 2
 − ≤
= 
− + >
.
Παράδειγμα 4: Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση 0x 1= η συνάρτηση
( )
 + >
= 
+ ≤
2
3
x x, x 1
f x
x 1, x 1
.
Παρατήρηση: Σε συνάρτηση με απόλυτα, απαλλάσσω τον τύπο της συνάρτησης από τα απόλυτα
κατά τα γνωστά και δουλεύω όπως προηγουμένως.
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
49-11 . Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση 0x η
συνάρτηση ( )
2
02
x x 2, x 1
f x x 1
2x 3x 3, 1 x
 − + ≤
= =
− + <
.
Λύση
Είναι ( ) 2
f 1 1 1 2 2= − + = . Πλευρικά όρια:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2
x 1 x 1 x 1
2 2
x 1 x 1 x 1 x 1
f x f 1 x x 1x x 2 2
lim lim lim 1
x 1 x 1 x 1
f x f 1 x 1 2x 12x 3x 3 2 2x 3x 1
lim lim lim lim 1
x 1 x 1 x 1 x 1
− − −
+ + + +
→ → →
→ → → →
− −− + −
= = =
− − −
− − −− + − − +
= = = =
− − − −
Είναι παραγωγίσιμη στο ( )x 1 με f 1 1′= = .
49-12. Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση 0x η
συνάρτηση ( )
( )
0
ημ x 1 , x 1
f x x 1
x 3 2, 1 x
− ≤
= =
+ − <
.
Λύση
Είναι ( )f 1 1 1 1 1 1= + − = . Πλευρικά όρια:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
f x f 1 ημ x 1
lim lim 1
x 1 x 1
x 3 2 x 3 2f x f 1 x 1x 3 2 1
lim lim lim lim
x 1 x 1 4x 1 x 3 2 x 1 x 3 2
− −
+ + + +
→ →
→ → → →
− −
= =
− −
+ − + +− −+ −
= = = =
− − − + + − + +
Δεν είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 1= .
Η f είναι συνεχής στη θέση x 1= γιατί έχουμε ( ) ( )
x 1 x 1
f 1 lim ημ x 1 lim x 3 2 0− +
→ →
 = − = + − =     .

8. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 7
49-13. Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στις θέσεις x 1 και x 2= = η συνάρτηση ( )f x 2 x 3x= − + .
Λύση
Πρόσημο του 2 x− :
Έτσι υπάρχει περιοχή ( )U 1 με 2 x 0− > , οπότε η συνάρτηση γίνεται ( )f x 2 x 3x 2 2x= − + = + .
Είναι ( )
( ) ( ) ( )
x 1 x 1 x 1
f x f 1 2 x 12 2x 4
f 1 2 2 1 4 και lim lim lim 2
x 1 x 1 x 1→ → →
− −+ −
= + ⋅ = = = =
− − −
.
Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ( )x 1 με f 1 2= = .
Για x 2= έχουμε ( )f 2 2 2 3 2 6= − + ⋅ = . Πλευρικά όρια:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x 2 x 2 x 2
x 2 x 2 x 2
f x f 2 2 x 3x 6 2 x 2
lim lim lim 2
x 2 x 2 x 2
f x f 1 2 x 3x 6 4 x 2
lim lim lim 4
x 1 x 2 x 2
− − −
+ + +
→ → →
→ → →
− − + − −
= = =
− − −
− − − + − −
= = =
− − −
Η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο x 2=
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
49-14. Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση 0x η
συνάρτηση ( )
2
02
x 3x 5, x 2
f x x 2
3x 5x 3, 2 x
 − − ≤ −
= = −
+ + − <
.
49-15. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης





=
≠
−
=
0,0
0,
συν1
)(
x
x
x
x
xf στο 00 =x .
49-16. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( )
2 1
x συν ,x 0
f x = x
0, x=0

≠


στο σημείο 0x =0.
49-17. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ( )
2 1
x ημ , αν x 0
f x = x
0, ανx=0

≠


είναι παραγωγίσιμη στο 0.
49-18. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x 2 x 3x= − + . Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στη
θέση 0x 2= .
49-19. Να βρείτε (αν υπάρχει) την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο 0x , όταν
i) ||)( xxxf = , 00 =x ii) |1|)( −= xxf , 10 =x
iii) |3|)( 2
xxxf −= , 10 =x iv)




≥+
<++
=
0,1
0,1
)(
2
xx
xxx
xf , 00 =x .
49-20. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ||ηµ2)( xxxxf +−= στο σημείο 00 =x .
49-21. Αφού μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο 0x τις παρακάτω συναρτήσεις, να εξετάσετε αν
είναι παραγωγίσιμες στο σημείο αυτό.
i)




≥
<+
=
0,
0,1
)(
3
2
xx
xx
xf , αν 00 =x ii) 1|1|)( +−= xxf , αν 10 =x .

9. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….8
50 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ Η f ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΤΟ 0x
• Βρίσκω σχέση μεταξύ των παραμέτρων ώστε η f να είναι συνεχής στο ( ) ( ){ }0
0 0x x
x lim f x f x
→
=
(1).
• Βρίσκω τα όρια
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0
1 2
x x x x
0 0
f x f x f x f x
l lim , l lim
x x x x− +
→ →
− −
= =
− −
και απαιτώ 1 2l l= (2). (Πιθανώς να
χρησιμοποιήσω και την (1)).
• Λύνω το σύστημα των (1) και (2) και βρίσκω τις παραμέτρους.
• Δε χρειάζεται επαλήθευση.
Παράδειγμα1: Να βρεθεί η συνθήκη μεταξύ α και β ώστε να είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 1= η
συνάρτηση ( )
2
αx β, x 1
f x
2αx 2β 5, 1 x
 + ≤
= 
+ − <
. ( λύση στην τάξη)
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
50-1α.
Να βρεθεί η παράμετρος α ώστε να είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 1= η συνάρτηση
( )
2
2
x αx 1, x 1
f x
αx , 1 x
 + − ≤
= 
<
Λύση
Αρχικά θα πρέπει η f να είναι συνεχής στο x 1= . Έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
x 1 x 1 x 1 x 1
f 1 1 α 1 α, lim f x lim x αx 1 α και lim f x lim αx α− − + +
→ → → →
= + − = = + − = = = .
Έτσι για κάθε α R∈ η f είναι συνεχής στο x 1= ( ) ( )x 1
limf x f 1 1
→
 = =
 
. Πλευρικά όρια:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
2
x 1 x 1 x 1
2
x 1 x 1 x 1
f x f 1 x 1 x 1 αx αx 1 α
lim lim lim 2 α
x 1 x 1 x 1
f x f 1 α x 1 x 1αx α
lim lim lim 2α
x 1 x 1 x 1
− − −
+ − −
→ → →
→ → →
− − + ++ − −
= = = +
− − −
− − +−
= = =
− − −
Για να είναι παραγωγίσιμη θα πρέπει να ισχύει 2α 2 α α 2= + ⇔ = .
50-1β.
Δίνεται η συνάρτηση f , με ( )
2
2
x αx β, x 1
f x
x 3, 1 x
 + + ≤
= 
+ <
Να προσδιορίσετε τις τιμές των πραγματικών α,β , ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 1= .
Λύση
Λαμβάνουμε πλευρικές παραγώγους.
Πλευρική παράγωγος από αριστερά.
( )
( ) ( )2 2 2 2
α
x 1 x 1 x 1
x αx β 1 α 1 βf x f(1) x αx β 1 α β
f' x lim lim lim
x 1 x 1 x 1− − −
→ → →
+ + − + ⋅ +− + + − − −
= = = =
− − −
2 2
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 αx α (x 1)(x 1) α(x 1) (x 1)(x 1 α)
lim lim lim lim(x 1 α) 2 α
x 1 x 1 x 1− − − −
→ → → →
− + − − + + − − + +
= = = = + + = +
− − −
( )α
f' x 2 α= +
Πλευρική παράγωγος από δεξιά.
( )
( ) ( )2 2 2
δ
x 1 x 1 x 1
x 3 1 α 1 βf x f(1) x 3 1 α β
f' x lim lim lim
x 1 x 1 x 1+ + +
→ → →
+ − + ⋅ +− + − − −
= = =
− − −
(1)

10. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 9
Επειδή ( )2
x 1
lim x 3 1 α β 1 α β+
→
+ − − − = − − και
x 1
1
lim
x 1+
→
= +∞
−
Διακρίνουμε περιπτώσεις
▪ 1 α β 0− − > τότε ( )δ
f' x = +∞ άρα δεν υπάρχει το ( )δ
f' x .
▪ 1 α β 0− − < τότε ( )δ
f' x = −∞ άρα δεν υπάρχει το ( )δ
f' x .
▪ 1 α β 0 α β 1 (2)− − = ⇔ + = οπότε η (1)
( )
( )( )
( )( )
2 2
2 2
δ
2x 1 x 1 x 1
x 3 2 x 3 2x 3 1 1 x 3 2 1
f' x lim lim lim ..
x 1 x 1 2x 1 x 3 2
+ + +
→ → →
+ − + ++ − − + −
= = = =
− − − + +
Άρα ( )δ
1
f' x
2
=
Ισχύει ( ) ( )α δ
1 3
f' x f' x 2 α α
2 2
= ⇔ + = ⇔ = − .Από την (2) προκύπτει
5
β
2
=
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
50-2.Δίνεται η συνάρτηση ( )
( )
( )
3
2 2
x + β-1 x-3α, x -1
f x =
x + α +5 x+2-β, x>-1
 ≤


Να βρεθούν οι τιμές των α, β, έτσι ώστε η f να παραγωγίζεται στο 0x =-1.
50-3.Δίνεται η συνάρτηση ( )
2 2
2
x +α x+1, x 1
f x =
2x +αx+β, x>1
 ≤


. Να βρείτε τις τιμές των α, β R∈ για τις οποίες η f
είναι παραγωγίσιμη στο 0x =1.
50-4. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
x+α, αν x 3
f x = x -9
, αν x>3
x-3
≤




i) Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.
ii) Για την τιμή αυτή, να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0x =3.
51 ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
1.Δεδομένη μια παράγωγος ( )0f x′
Εκφράζω την παράγωγο ( )0f x′ με τον ορισμό ( )
( ) ( )
0
0
0
x x
0
f x f x
f x lim
x x→
−
′ =
−
(1).
• Θέτω ( )
( ) ( )0
0
f x f x
g x
x x
−
=
−
, και λύνω ως προς ( )f x .
• Υπολογίζω το ( )
0x x
lim f x
→
, και το αντικαθιστώ στο ζητούμενο όριο
Ή προσπαθώ στο ζητούμενο όριο να κατασκευάσω τον όρο
( ) ( )0
0
f x f x
x x
−
−
.
Παράδειγμα 1: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x 2= με ( ) ( )f 2 3 και f 2 6′ = = , να βρεθεί
το όριο
( )
x 2
f x 3x
lim
x 2 2→
−
+ −
.
Λύση
Προσπαθώ στο ζητούμενο όριο να κατασκευάσω τον όρο
( ) ( )0
0
f x f x
x x
−
−
.
Το ζητούμενο όριο είναι:
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
x 2 x 2 x 2 x 2
f x 3x x 2 2 f x 3x x 2 2 f x 3x x 2 2f x 3x
lim lim lim lim
x 2 4 x 2x 2 2 x 2 2 x 2 2→ → → →
− + + − + + − + +−
= = = =
+ − −+ − + − + +

11. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….10
( )( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )( )( )
( )
x 2 x 2
x 2 x 2 x 2
f x 6 6 3x x 2 2 f x 6 6 3x
lim lim x 2 2
x 2 x 2 x 2
f x 6 f x 6
lim 3 x 2 2 lim 3 lim x 2 2 f' 2 3 2 2 2
x 2 x 2
3 3 4 0
→ →
→ → →
  − + − + + − −
  = + + + =
  − − −
  
    − −
    − + + = − + + = − + + =
    − −
    
− =
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
51-1.
Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ( ) ( ) ( )x 0 και x 1 με g 0 g 1 α και g 0 g 1′ ′= = − = − = = − .
Να βρεθεί η ( )f 1′ , όταν ( )
( )
( )
g x 1 , x 1
f x
g x 2 , 1 x
− ≤
= 
− <
.
Λύση
Είναι ( ) ( ) ( ) ( )f 1 g 1 1 g 0 g 1= − = = − . Πλευρικά όρια:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
u 0x 1 x 1
u 1x 1 x 1
αν x 1 u τότεf x f 1 g x 1 g 0 g u g 0
lim lim lim g 0 α
όταν x 1 το u 0x 1 x 1 u 0
αν x 2 u τότε
f x f 1 g x 2 g 1 g u g 1
lim lim x 1 u 1 και όταν lim g 1 α
x 1 x 1 u 1
x 1 το u 1
− −
+ −
→→ →
→−→ →
− =− − − −
′= = = =
→ →− − −
− =
− − − − − −
′= − = + = = − =
− − − −
→ → −
Έτσι είναι ( )f 1 α′ = .
51-2.
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x α= να δειχτεί ότι
( ) ( )
( ) ( )x α
f x ημ2α f α ημ2x
lim f α ημ2α 2f α συν2α
x α→
−
′= −
−
.
Λύση
Η παράγωγος ( )f α′ είναι ( )
( ) ( )
x α
f x f α
f α lim
x α→
−
′ =
−
. Το κλάσμα γράφεται:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
f x f α ημ2αf x ημ2α f α ημ2x f x ημ2α f α ημ2α f α ημ2α f α ημ2x
x α x α x α
f α ημ2x ημ2α f x f α 2ημ x α συν x α f x f α
ημ2α f α ημ2α
x α x α x α x α
ημ x α
2f α συν x α .
x α
−− − + −
= = −
− − −
− − − + −
− = − = −
− − − −
−
− +
−
Έτσι το όριο είναι:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x α x α x α
f x f α ημ x α
lim ημ2α 2f α lim lim συν x α f α ημ2α 2f α 1 συν2α
x α x α
f α ημ2α 2f α συν2α.
→ → →
− −
′− + = − ⋅ ⋅ =
− −
′= −
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
51-3.
Έστω μια συνάρτηση f: →ℝ ℝ , συνεχής στο ( )0
x =0 με f 0 =2016 . Να βρείτε την παράγωγο της
συνάρτησης ( ) ( ) 0g x =f x ημx στο x =0 .
51-4.
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση )()( xxfxg = είναι
παραγωγίσιμη στο 0.
51-5.

12. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 11
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0x =2 με ( )f 2 =-3 και ( )f' 2 =5, να υπολογίσετε το
( )2
2x 2
f x -9
lim
x -5x+6→
.
2. Εύρεση από ισότητα
• Θέτω 0x το x για να βρω το ( )0f x .
• Με κατάλληλους μετασχηματισμούς δημιουργώ στην ισότητα το
( ) ( )0
0
f x f x
x x
−
−
.
• Παίρνω τα όρια των δύο μελών και θέτω
( ) ( )
0
0
x x
0
f x f x
lim λ
x x→
−
=
−
.
• Λύνω τελικά ως προς λ.
Παράδειγμα 2: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 1 και για κάθε x= ∈ ℝ είναι
( ) ( ) ( )2 2
f x 2xf x 3x και f x 0+ = > , να δειχτεί ότι ( )f 1 1′ = .
• Αν γνωρίζω όριο που περιέχει την ( )f x και ζητάω την ( )0f x′ τότε κάνω χρήση βοηθητικής.
Παράδειγμα3: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x 1= και ισχύει
( ) 2
2x 1
f x x 3x 3 1
lim
x 1 2→
− + −
=
−
,
να βρεθεί η τιμή ( )f 1′ .
• Αν συναντήσω όριο σύνθετης π.χ. ( )0
2
x x
lim f 3x 1
→
+ , θέτω 2
u 3x 1= + , όπως στις σύνθετες.
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
51-6.
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 0= και για κάθε x∈ ℝ ισχύει
( ) ( )3 2 2
f x x f x 2x ημx+ = , να βρεθεί η παράγωγος στη θέση ( )x 0, f 0′= .
Λύση
Για x 0= η σχέση γίνεται ( ) ( ) ( )3
f 0 0f 0 0, f 0 0+ = = . Η παράγωγος στη θέση x 0= είναι:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
x 0 x 0 x 0
f x f 0 f x 0 f x
f 0 lim lim lim λ
x 0 x x→ → →
− −
′ = = = =
−
.
Διαιρούμε τη σχέση με 3
x :
( ) ( )
3
f x f x ημx
2
x x x
     
+ =         
.
Παίρνουμε το όριο όταν x 0 η παράγωγος στο 0 υπάρχει→   
( ) ( )
3
x 0 x 0 x 0
f x f x ημx
lim lim 2lim
x x x→ → →
 
+ = 
 
ή
( )( )3 3 2
λ λ 2 λ λ 2 0 λ 1 λ λ 2 0+ = ⇔ + − = ⇔ − + + = , οπότε ( )2
λ 1 γιατί λ +λ+2 0 0= ≠ ∆ < , άρα ( )f 0 1′ = .
51-7.
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 1= . Να δειχτεί ότι είναι παραγωγίσιμη στο x 1= με ( )f 1 3′ = ,
όταν ισχύει
( )
x 1
f x x
lim 4
x 1→
−
=
−
.
Λύση
Έστω
( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x x
g x , f x x 1 g x x
x 1
−
= = − +
−
. Είναι ( )x 1
limf x 0 4 1 1
→
= ⋅ + = . Έτσι λόγω συνέχειας
στο x 1= θα είναι ( ) ( )x 1
f 1 lim f x 1
→
= = . Η παράγωγος στο x 1= είναι το όριο
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x 1 x 1 x 1 x 1
f x x f x 1 x 1 f x 1 f x 1x 1 x 1 x 1
lim lim lim lim 4
x 1x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1→ → → →
− − − − − −− − −   
= = − = ⋅ − =   −− − − − − −   
.

13. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….12
Αν
( )
( )
( ) ( ) ( )x 1 h xf x 1 f x 1x 1 x 1
h x τότε 1
x 1 x 1 x 1x 1 x 1
−− −− −
⋅ − = = +
− − −− −
.
Έτσι έχουμε
( )
( )x 1 x 1 x 1
f x 1 x 1 1
lim lim lim h x 1 4 1 3
x 1 x 1 2→ → →
− −
= + = ⋅ + =
− −
. Συνεπώς είναι ( )f 1 3′ =
51-7b ☺☺☺☺
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0
x 0= και ισχύει:
( )( )
3
2 2
f x 2x(f(x)) 3x ημ x+ = ⋅ για κάθε x∈ℝ (1)
Να βρείτε το ( )f' 0 .
Λύση
Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο 0
x 0= ,έχουμε:
( ) x 0
f(x) f(0)
f' 0 lim L,L
x→
−
= = ∈ℝ
Αρχικά θα βρούμε το ( )f 0
Για x 0= η (1) δίνει:
( )( ) ( )( ) ( )
3 3
2 2
f 0 2 0(f(0)) 3 0 ημ 0 f 0 0 f 0 0+ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ =
Οπότε: ( ) x 0
f(x)
f' 0 lim L
x→
= =
Έτσι, για κάθε x 0≠ η (1) δίνει:
( )( ) ( ) ( )
3 3 22 22
3 3
f x 2x(f(x)) f x f x3x ημ x ημx
2 3
x x xx x
+    ⋅  
= ⇔ + =             
(2)
Αλλά
x 0
f(x)
lim L
x→
= .Οπότε
( ) ( )
3 2 2
3 2 3 2
x 0 x 0 x 0
f x f x ημx
lim 2lim 3lim L 2L 3 L 2L 3 0 .... L 1
x x x→ → →
     
+ = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =             
Άρα ( )f' 0 1=
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
51-8.
Οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο σημείο 0x =3 . Αν για κάθε x R∈ ισχύει
( ) ( ) ( )
22 2 2
f x +g x = x -9 , να αποδείξετε ότι:
i) ( ) ( )f 3 =g 3 =0
ii) ( )( ) ( )( )
2 2
f' 3 + g' 3 =36.
51-9.
Έστω ότι η συνάρτηση f έχει την ιδιότητα
( )
2x 2
f x -5
lim =3
x -4→
i) Να βρείτε το όριο ( )x 2
limf x
→
.
ii) Αν η f είναι συνεχής στο σημείο 0x =2 , να αποδείξετε ότι η f είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο
αυτό και να βρείτε την ( )f' 2 .
51-10. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 και ισχύει
( )
x 0
f x
lim 5
x→
= . Να αποδείξετε ότι ( )f 0 =0 και
να υπολογίσετε το ( )f 0′ .
51-11. Αν η f είναι συνεχής στο 3 και
( )
x 3
f x
lim 5
x-3→
= , να αποδείξετε ότι: i) f(3)=0 ii) f’(3)=5.
51-12. Αν η συνάρτηση f είναι περιττή και η κλίση της στο -1 είναι 3, να βρεθεί η κλίση της f στο 1.

14. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 13
51-13. Έστω f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 0 και
( )
x 0
f x
lim =2.
x→
Να αποδείξετε ότι: α) f(0)=0, β)
f’(0)=2.
51-14. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 και 4
)(
lim
0
=
→ x
xf
x
, να αποδείξετε ότι:
i) 0)0( =f ii) 4)0( =′f .
3.Εύρεση από ανισότητα
• Μορφοποιώ σε διπλή ανισότητα, θέτω 0x το x και βρίσκω το ( )0f x .
• Κατασκευάζω στο μεσαίο μέλος όρο της μορφής
( ) ( )0
0
f x f x
x x
−
−
(αν χρειαστεί παίρνω περιπτώσεις
για το πρόσημο του 0x x− ).
• Εφαρμόζω κριτήριο παρεμβολής και υπολογίζω το
( ) ( )
0
0
x x
0
f x f x
lim
x x→
−
−
.
Παράδειγμα 4: Αν για κάθε x R∈ ισχύει η σχέση ( ) ( ) 4
f x g x x− ≤ με ( ) ( )g 0 0 και g 0 1′= = , να βρεθεί
η ( )f 0′ .
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
51-15.Αν για κάθε x R∈ ισχύει: ( )2 2
2x 5x 3 f x 3x 3x 4+ + ≤ ≤ + + , να βρεθεί η παράγωγος της
συνάρτησης f στη θέση x 1= .
Λύση
Για x 1= η σχέση γίνεται ( ) ( ) ( )2 5 3 f 1 3 3 4, 10 f 1 10 οπότε f 1 10+ + ≤ ≤ + + ≤ ≤ = .
Με αφαίρεση του 10 από τα τρία μέλη, έχουμε ( )2 2
2x 5x 7 f x 10 3x 3x 6+ − ≤ − ≤ + − (1).
Η παράγωγος στη θέση x 1= είναι ( )
( ) ( ) ( )
x 1 x 1
f x f 1 f x 10
f x lim lim
x 1 x 1→ →
− −
′ = =
− −
.
x 1> : Διαιρούμε την (1) με x 1 0− > και έχουμε:
( )2 2
f x 102x 5x 7 3x 3x 6
x 1 x 1 x 1
−+ − + −
≤ ≤
− − −
.
Είναι
( )( ) ( )( )2 2
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 2x 7 3 x 1 x 22x 5x 7 3x 3x 6
lim lim 9, lim lim 9
x 1 x 1 x 1 x 1+ + + +
→ → → →
− + − ++ − + −
= = = =
− − − −
.
Έτσι σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι
( )
x 1
f x 10
lim 9
x 1+
→
−
=
−
.
Όμοια αν x 1< , βρίσκουμε ότι είναι
( )
x 1
f x 10
lim 9
x 1−
→
−
=
−
.
Συνεπώς είναι ( )f 1 9′ = .
51-15β.Δινεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει :
( ) 2
f x ημx x− ≤ , για κάθε x∈ ℝ
Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(0,f(0)) .
Λύση
Για x 0= η αρχική σχέση γίνεται: ( ) ( ) ( )2
f 0 ημ0 0 f 0 0 f 0 0− ≤ ⇔ ≤ ⇔ =
Για x 0≠ :
( ) ( )
( ) ( )22
f x ημx f x ημx
f x ημx x f x ημx x x x
xx
− −
− ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
( ) ( ) ( )f x ημx f x f xημx ημx ημx
x x x x x x
x x x x x x
−
− ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − + ≤ ≤ + ⇔

15. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….14
x 0 x 0
ημx ημx
lim x lim x 1
x x→ →
   
− + = + =   
   
. Από το κριτήριο παρεμβολής
x 0
f(x)
lim 1
x→
=
Επομένως
x 0 x 0
f(x) f(0) f(x)
f'(0) lim lim 1
x 0 x→ →
−
= = =
−
Η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο A(0,f(0)) είναι η
y f(0) f'(0)x y x− = ⇔ =
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
51-16.
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 0x =1, f(1)-g(1) =1 και για κάθε x R∈ είναι
( ) ( ) 2
f x g x +x ,≤ να αποδειχθεί ότι ( ) ( )f' 1 -g' 1 =2.
51-17.
Αν 1)(1 2
++≤≤+ xxxfx , για κάθε x∈ℝ , να αποδείξετε ότι:
i) 1)0( =f
ii) 1
)0()(
1 +≥
−
≥ x
x
fxf
, για 0<x και 1
)0()(
1 +≤
−
≤ x
x
fxf
, για 0>x
iii) 1)0( =′f .
51-18. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 00 =x και για κάθε x R∈ ισχύει:
4242
ηµ)(ηµ xxxxfxx +≤≤− . Να αποδείξετε ότι:
i) 0)0( =f ii) 1)0( =′f .
51-19. Αν ( ) 2
x+2 f x x +x+2≤ ≤ για κάθε x R∈ , να αποδειχθεί ότι: i) ( )f 0 =2 και ii) ( )f' 0 =1 .
51-20. Μια συνάρτηση f: →ℝ ℝ έχει την ιδιότητα ( ) 2 4
xf x -ημ x x≤ , για κάθε x R∈ . Αν η f είναι
συνεχής στο 0x =0 , να αποδείξετε ότι:
i) ( )f 0 =0 ,
ii) Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x =0 με f’(0)=1.
51-21. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x =0 και ( )2 4 2 4
5ημ x-3x xf x 5ημ x+3x≤ ≤ για κάθε x R∈ .
Να αποδείξετε ότι:
i) f(0)=0
ii) f’(0)=5.
4. Μορφή ( )f x y ...+ =
Κάνω χρήση του ορισμού
( ) ( )
( )0 0
0
h 0
f x h f x
lim f x
h→
+ −
′= .
Παράδειγμα 5: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x 0= με ( )f 0 α′ = και για
κάθε x,y R∈ είναι ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y (1) με f 0 0+ = ⋅ ≠ , να δειχτεί ότι ( ) ( )0 0f x αf x′ = για κάθε 0x 0≠ .
Λύση
Η (1) ισχύει για κάθε x,y ∈ ℝ αρα θα ισχύει και όταν x y 0= = :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )
f 0 0
2 2
f 0 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 0 f 0 (1 f 0 ) 0 f 0 1
≠
+ = ⋅ ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = (2)
Έστω τυχαίο 0
x ∈ℝ τότε
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )00 0 0 0 0 0
0 0
f x f h 1 f h 1 f h f(0)f x h f x f x h f x f x f h f x
f x f x
h h h h h 0 h 0
− − −+ − + − −
= = = = =
− −

16. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 15
Λαμβάνουμε όρια όταν h 0→
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )0 0
0 0 0 0h 0 h 0 h 0
f h f(0) f h f(0)f x h f x
lim lim f x f x lim f x f' 0 αf x
h h 0 h 0→ → →
   − −+ −
   = = = =
− −   
   
Άρα τελικά ( ) ( )0 0
f' x αf x= .
5. Μορφή ( )f x y ...⋅ =
Στο
( ) ( )
0
0
x x
0
f x f x
lim
x x→
−
−
, θέτω 0x x h= ⋅ , άρα αν 0x x τότε h 1→ → .
Άρα
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0 0 0 0
x x h 1 h 1
0 0 0 0
f x f x f x h f x f x h f x1
lim lim lim
x x x h x x h 1→ → →
− − −
= =
− − −
και εφαρμόζω την ιδιότητα που
δίνεται.
Παράδειγμα 6: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ( )x 1 με f 1 α′= = και για κάθε x∈ℝ
είναι ( ) ( ) ( )f xy xf y yf x= + (1).
Να δειχτεί ότι είναι παραγωγίσιμη για κάθε ( )
( )0
0 0
0
f x
x 1 με f x α
x
′≠ = + .
Λύση
Από την δοθείσα ισότητα για x y 1= = : ( ) ( ) ( ) ( )f 1 f 1 f 1 f 1 0= + ⇔ = (2)
θέτω 0x x h= ⋅ , άρα αν 0x x τότε h 1→ → .
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0
0
f x h x f h hf x
0 0 0 0 0 0 0 0
0 x x h 1 h 1 h 1
0 0 0 0 0
f x f x f x h f x f x h f x x f h hf x f x1 1
f' x lim lim lim lim
x x x h x x h 1 x h 1
= +
→ → → →
− − − + −
= = = = =
− − − −
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0
h 1 h 1 h 1
0 0 0
(2)
0 0 0 0 0
h 1 h 1 h 1 h 1
0 0 0 0 0
h
x f h f x h 1 x f h f x h 1 x f h f x h 11 1 1
lim lim lim
x h 1 x h 1 x h 1
x f h f x h 1 f h f x f h 0 f x f h f 1 f x1 1
lim lim lim lim
x h 1 x h 1 h 1 x h 1 x h 1 x
lim
→ → →
→ → → →
+ − + − + −
= = =
− − −
       − − −
+ = + = + = + =       
− − − − −              
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )0 0 0
1 h 1
0 0 0
f h f 1 f x f x f x
lim f' 1 α
h 1 x x x→ →
−
+ = + = +
−

17. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….16
52 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
• Η f είναι παραγωγίσιμη στο Α, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 0x A∈ .
• Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( )α,β , όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε
σημείο ( )0x α,β∈ .
• Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα α,β   του πεδίου ορισμού της, όταν είναι
παραγωγίσιμη στο ( )α,β , και επιπλέον
( ) ( ) ( ) ( )
x α x β
f x f βf x f α
lim R και lim R
x α x β+ −
→ →
−−
∈ ∈
− −
.
Αν το όριο
h
xfhxf
h
)()(
lim 00
0
−+
→
υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε λέμε ότι η f είναι
παραγωγίσιμη στο σημείο 0x του πεδίου ορισμού της. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f
στο x0, συμβολίζεται με )( 0xf ′ και διαβάζεται “ f τονούμενο του 0x ”. Έχουμε λοιπόν:
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)( 00
0
0
−+
=′
→
Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, και Β το σύνολο των Ax∈ στα οποία η f είναι
παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε Bx∈ αντιστοιχίζεται στο
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)(
0
−+
=′
→
. Η συνάρτηση αυτή λέγεται (πρώτη) παράγωγος (derivative) της f και
συμβολίζεται με f ′′′′ .
Έστω μια συνάρτηση f′ με πεδίο ορισμού το B, και Γ το σύνολο των x B∈ στα οποία η f′ είναι
παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε x Γ∈ αντιστοιχίζεται στο
0h
f (x h) f (x)
f (x) lim
h→
′ ′+ −
′′ = . Η συνάρτηση αυτή λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται
με f′′ .
Ανάλογα ορίζονται οι παράγωγοι ανώτερων τάξεων
Παράδειγμα1: Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x x= , να υπολογιστεί η ( )′f x .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
52-1. Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων:
i)




≥
<
=
1,
1,
)(
2
xx
xx
xf ii)




≥
<
=
0,
0,ηµ
)(
xx
xx
xf
iii)




≥
<
=
2,
2,
)(
4
3
xx
xx
xf iv)




>
≤
=
3/2,
3/2,
)(
3
2
xx
xx
xf .
52-2. Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η συνάρτηση




≥+
<
=
πxβxα
πxx
xf
,
,ηµ
)( , είναι
παραγωγίσιμη στο πx =0 .
52-3. Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων:
i)




≥+
<+
=
0,612
0,32
)(
2
xxx
xxx
xf ii)




>
≤+
=
0,
0,ηµ
)(
2
xx
xxx
xf .
52-4. Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων:
i) ( )
3
2
4x -3, x 1
f x =
3x +6x-8, x>1
 ≤


ii) ( )
3 2
4
x +3x +3, x<1
g x =
x +5x+1, x 1


≥
.
52-5. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: i) 3 2
)( xxf = , ii) 3 4
)( xxf =

18. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 17
53 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ
1. Απλοί κανόνες
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ρ ρ 1
x x x x
2 2
2 2
c 0 x 1
1
x ρ x x
2 x
e e α α lnα
1 1
ln x ln x
x x
180
ημx συνx, ημx συνx
π
180
συνx ημx, συνx ημx
π
1 180
εφx , εφx
συν x π συν x
1 180
σφx , σφx
ημ x π ημ x
−
′ ′= =
′′
= ⋅ =
′ ′
= = ⋅
′′ = =
′′ = =
′′ = − = −
′′ = =
⋅
′′ = − = −
⋅
Παράδειγμα1: Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) f(x)=-5 ii) 4
f(x)=x iii) 9
f(x)=x .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
53-1. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:
( )f x =-3 , ( ) 2
f x =-3x , ( ) 4
f x =4x , ( ) -3
f x =-3x , ( ) 5
2
f x =
x
, 3
f(x)=4x , -5
f(x)=6x , ( )
2
3
f x =x , 3/2
f(x)=x , -3
f(x)=x , -5
f(x)=x
202
f(x)=- x
5
, 3
f(x)= x , 5 2
f(x)= x , ( )
1
f x =
x
, ( ) -6
f x =x , ( )
4
5
f x =5x , ( ) 3
f x = x ,
−
=
4
5
( )f x x , ( ) 3
1
f x =
x
, ( ) 3 4
4
f x =-
x
f(x)=6x x , ( ) 10
10
f x =
x
2. Κανόνες Πρόσθεσης-Αφαίρεσης-Γραμμικού Συνδυασμού
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
′ ′ ′• ± = ±
′ ′• = ⋅
′ ′ ′• ± = ±
f x g x f x g x
cf x c f x
κf x λg x κf x λg x
Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:
i) 4 2
f(x)=x +3x ii) 2
f(x)=6συνx-8(x +x) iii) ( ) 2
f t =t +συνt-e iv) 3lnηµ3συν)( +−= xxxf .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
53-2. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:
xxxf σφεφ)( += ( ) 5 3
f x =x -4x +2x-1 ( ) 3
2
7
f x =x +3+
x
2 3
f(x)=x +5+
x
2
x +2x-1
f(x)=
x
. ( )
2 5
-33 2
f x =3x -2x +x ( ) 3 2
f x = x -2x x+1
53-3. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:
x
xxx
xf −+−=
234
)(
234
3ln2)( 3
−+= xxxf 16)( 47
−+−= xxxxf ( ) 4
f x =x -lnx ( ) 2
2
1
f θ =θ +
θ
( ) 2
2
f x =lnx+
x
( ) 2 4
f x =lnx+ -2 x-
x x
3
f(x)=8x -ημx+5

19. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….18
3. Κανόνας Γινομένου
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′ ′= +f x g x f x g x f x g x
Παράδειγμα 3: Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) 3 4
f(x)=(x +1)(x +1) ii)
f(x)=ημx(1-συνx) .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
53-4. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων
( ) 2
f x =x lnx⋅ ( )f x = x ημx⋅ ( ) ( ) ( )3 2
f x = 1-4x 1+2x⋅ .
4. Κανόνας Πηλίκου
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
′  ′ ′−
= 
 
 
2
f x f x g x f x g x
g x g x
Αν παραγωγίζω κλάσμα και ο παρονομαστής είναι σταθερός αριθμός, τότε παραγωγίζω μόνο τον
αριθμητή, ο παρονομαστής μένει όπως είναι
( ) ( )f x f x
c c
′ ′ 
= 
 
.
Παράδειγμα 4: Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων
i) ( )
ημx
f x =
1+συνx
ii) ( )
2
2
x +1
f x =
x -1
iii) ( )
x
x
e +1
f x =
e -1
iv) ( )
lnx+2
f x =
lnx+4
.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
53-5. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f όταν: ( ) 2
x
f x =
x 1+
( ) 2
x-2
f x =
x -2x+1
( )
9
f x =x+
x
( )
lnx
f x = ,x>0
x
.
2
x
f(x)=
x+1
1
f(x)=
1+συνx 2
3
f(x)=
(x+1)
x+ημx
f(x)=
1+συνx
lnx
f(x)=
x
( )
x
x
e -1
f x =
e +1 x
e
xf
x
ln
)( =
x
e
x
xf
ηµ
)( =
5. Συνδυασμός Πράξεων
Παράδειγμα5: Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:
i) ( ) 2 2
f x =x ημx+x συνx ii) ( ) ( )2
g x = x +x lnx iii) ( ) ( )2 x
h x = x -2x+3 e iv) ( ) 2
φ x =x ημx lnx⋅
Παράδειγμα6: Να βρεθεί η παράγωγος ( ) ( )
384
f x = x-4 -6
x
 
 
 
.
Παράδειγμα7: Δίνεται η συνάρτηση ( )
ln x
2lnx
ln xe
f x
ln e
= . Να βρεθεί η ( )f x′ .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
53-6. Να βρεθεί η συνάρτηση ( )f x′ και οι ρίζες της εξίσωσης ( )f x =0′ όταν:
53-7. Να βρεθεί η συνάρτηση ( )f x′ ( ) 2 108
f x =2x +
x
( ) ( )f x =x 1600-2x⋅ ( ) ( )2
f x =x 9-x⋅ ( )
2
x
x +1
f x =
e
f(x)=xσυνx+3(x+1)(x-1)
2 2
f(x)=4x ημx-3x συνx ( ) ( )2 x
f x = x +1 e⋅ ( ) ( )f x = x+1 lnx⋅ ( ) ( ) ( )f x = 1+ημx 1+συνx -ημx-συνx⋅
( ) ( )f x = x ημx+συνx⋅ ( )
( )
( ) ( )
x ημx+συνx
f t =
1+ημx 1+συνx -ημx-συνx
⋅
⋅
( ) ( )3 2
f x =x x +συνx⋅ ( ) ⋅3
f x =x x
)3)(1()( 2
−−= xxxf xexf x
ηµ)( = 2
2
1
1
)(
x
x
xf
+
−
=
x
xx
xf
συν1
συνηµ
)(
+
+
= xxxxf συνηµ)( 2
= ( ) 2
f x =x lnx
( )g x =ημx+xσυνx ( )
2
2
x +3x+5
h x =
x +1
( ) ( ) ( )φ x =ημx ημx+συνx +συνx ημx-συνx ( )f x = xημx
( )f x = x+ημx ( )
x
f x =
1+ x 1
)1(2
)(
−
+
=
x
x
xf
1
1
1
1
)(
+
−
+
−
+
=
x
x
x
x
xg
1
1
1
1
)(
−
+
−
+
−
=
x
x
x
x
xf

20. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 19
54 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ-ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΤΥΠΟΙ (((( ))))f(g(x)) f (g(x)) g (x)
′′′′
′ ′′ ′′ ′′ ′= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅
1. ( )( ) ( ) ( )ν ν 1
f x νf x f x−′ ′= ⋅ .
Παράδειγμα1: ( ) ( )
32
f x x ημx= + .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
54-1. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:
5
f(x)=(x-1) ( ) ( )
102
f x = x -2x 5
f(x)=(2x+1) 2 5
f(x)=(2x -3x) ( ) ( )
4
f x = 3εφx-2 ( ) 3
f x =ημ x ( ) 4
f x =συν x
( ) ( )
52
f x = x +x+1 234
)43()( −
+= xxxf 3/2
)1()( −= xxf ( ) ( )
52
g x = x -2x+3 ( ) ( )
52
f x = 5x -3 ( ) 2
f x =2συν x
( ) ( )31
f x = ημ 3-4x
4
( ) ( )
2
1001
f x = συνx
2. ( )( ) ( )
( )
f x
f x
2 f x
′′
= .
Παράδειγμα2: ( ) x
f x ln x e= + .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
54-2. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:
2
f(x)= 2x -x f(x)= 1+ημx ( ) 4
f x = x +5 ( ) 2
f x = x 3+ = 2
( ) x -4x+5f x ( ) 2
f x = 2x -4x+5
3. ( )
( ) ( )
( )f x f x
e e f x
′ ′= ⋅ .
Παράδειγμα3: ( )
2
x 6
f x e +
= . -x
f(x)=e
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
54-3. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:
3x
f(x)=e
2
-x
f(x)=e αx+β
f(x)=e ( )
2
x +2x+3
f x =e ( ) -3x
f x =e ( )
2
x -x
f x =e ( )
2
x -2x+3
f x =e
2
)( x
exf −
=
4. ( )( )
( )
( )
f x
lnf x
f x
′′ = .
Παράδειγμα4: ( ) ( )f x ln συνx 6= + .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
54-4. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:
f(x)=ln2x 3
1
f(x)=ln
x
f(x)=ln(αx+β) ( ) ( )4 2
f x =ln x +x +1 ( ) ( )2
f x =ln x -4x+5 ( ) ( )2
f x =ln x -4
5. ( )( ) ( ) ( )ημf x συνf x f x′ ′= .
Παράδειγμα5: ( ) ( )f x ημ lnx= .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
54-5. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:
( )f x =ημ3x 3
f(x)=ημx ( ) ( )2
f x =ημ x +6x+1 ( ) ( )2
f x =ημ x +x
6. ( )( ) ( ) ( )συνf x ημf x f x′ ′= − .
Παράδειγμα6: ( ) ( )2
f x συν x 3= + .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
54-6. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:
( )f x =συν4x ( ) ( )2
f x =συν x - x ( ) ( )f x =συν x+συνx
7. ( )( )
( )
( )2
f x
εφf x
συν f x
′′ = .
Παράδειγμα7: ( ) ( )2
f x εφ x 3= + .

21. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….20
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
54-7. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:
f(x)=εφ3x ( )f(x)=εφ ln x
8. ( )( )
( )
( )2
f x
σφf x
ημ f x
′−′ = .
Παράδειγμα8: ( ) ( )f x σφ ln x= .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
54-8. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:
( ) ( )= +2
f x σφ x 2 ( ) ( )= +2
f x σφ x ln x
9. Συνδυασμός
Παράδειγμα9: ( ) ( )3 2
f x ln ημ x 6= + .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
54-9. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:
( )
4
3x+7
f x =
3x-7
 
 
 
( ) ( )
4
f x = ημπx-συνπx ( ) 3
f x =ημ 2x ( ) ( )5 2
f x =συν x 1+ ( ) ( )4 2
f x =ln x 4+ ( ) ( )3
φ x =ημ ημx
( ) ( )2 2
g x =ln x+ x +1 ( ) ( )2
3 x +1
f x =ημ e ( )
3
3x-1
f x =
1-2x
 
 
 
( ) ( )2 3
f x =ημ x -συνx
( )
2-ημx
f x =
2-συνx
( )
2
x +3
f x =e
f(x)=ln x-1 ( )
2
x 6
f x =ln +
x+1 x+1
( )
1+ημx
f x =ln
1-ημx






−= x
x
xf
1
ln)( ( ) ( )ημx 2
h x =ln e +συν x
( ) ( ) ( )2
f x =ημ x-1 x-2 
  





+
= 2
1
1
ηµ)(
x
xf ( ) ( )f x =συν ημ συνx  
( ) -x
f x =x e⋅ f(x)=x ημ4x⋅ ( ) ( )2
f x = x x-3⋅ ( ) ( ) ( )5
f x = x+2 x-3⋅ ( ) ( )x
f x =x ln e +x⋅ ( ) ( )
2
x +1 2
h x =e ln x +1⋅
( )
( )
3
x-1
f x =
x+2
x
x -x
e
f(x)=
e +e
( ) ( )2 2
f x =x x +1+ln x+ x +1 ( ) ( )2 2
f x =xln x+ x +1 - 1+x ( ) ( ) ( )f x =x ημ lnx -συν lnx⋅  
( ) 2 2
f x =ημx ημx ημ x⋅ ⋅
54-10. Έστω f:R R→ παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να βρεθεί η g’ όταν:
( ) ( )g x =f ημ2x ( ) ( )2 2
g x =f x +1 ( ) ( )( )2
g x =ln 1+f x ( ) ( )f x
g x =x , x>0 ( ) ( )4
1+f x
g x =e ( ) ( ) ( )g x =f x συνf x⋅
( ) ( )3
g x =f ημ2x ( ) ( )( )2
g x =ln f x +2 ( )
 
 
 
2
f x +5
g x =e . ( ) ( )⋅2 -x
g x = x +1 e .
10.Δεύτερη Τρίτη ν-οστή Παράγωγος
Συμβολισμός ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′′ ′′′ (4) (5) (6) ( )
f x f x f x f x f x f x ..... f xv
Προσοχή η «παρένθεση στον εκθέτη» είναι απαραίτητη γιατί αλλιώς είναι δύναμη
Παράδειγμα10: Να βρείτε την δεύτερη και την Τρίτη παράγωγο των συναρτήσεων
i) ( ) x
f x =x e⋅ ii) ( )f x =5x+1 iii) ( )f x =lnx .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
54-11. Να βρείτε τις δεύτερες παραγώγους των συναρτήσεων:
( )f x =εφx ( )
x
f x =
x+1
( )f x = x+7 ( ) ( )4
f x = 3x-1 ( ) ( )2
f x =ln x +2 ( ) 2 2π
f x =4συν x +
3
 
 
 
( )
2
x -4x+5
f x =
x-2
( )
2
x -3
f x =e

22. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 21
55 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΧΟ
Υπολογίζω Πρώτα την παράγωγο Συνάρτηση και στη συνέχεια αντικαθιστώ τον αριθμό x0.
Δίνεται η ( )f x ημx ln x= + . Να βρεθεί η
π
f
2
 ′ 
 
.
Παράδειγμα1 Να βρείτε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο 0x
όταν: ( ) ( ) στο =2
0
f x =ln x +2 x 2
Παράδειγμα2: Αν ( )( ) ( ) ( ) ( )2 1
f g x ln x 1 και g 1 5, g 1
5
′= + = = , να βρεθεί η ( )f 5′ .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
55-1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο 0x όταν:
i) 4
)( xxf = , 10 −=x ii) xxf =)( , 90 =x iii) xxf συν)( = ,
6
0
π
x =
iv) xxf ln)( = , ex =0 v) x
exf =)( , 2ln0 =x .
55-2. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων στο 0x :
i) ( ) ( )3 22
0f(x)=x 3x+5 -3x 3x+5 , x =-1 ii) 2
0f(x)=ημ3x+συν x ,x =π
iii) 0
π
f(x)=ημx συν3x ,x =
3
⋅ iv) 2 2
0f(x)=x lnx-x ,x =e .
55-3. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων στο 0x
i) ( ) 3
03
1 1
f x = + +x+ x+ x,x =1
x x
ii) ( ) ( ) ( )4 2
0f x = x-2 x-1 ,x =3⋅ iii) ( ) 0f x = 3-x- x+2,x = -1.
55-4. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο 0x όταν:
i) 32
1)( xxxf += , 20 =x ii) 3/23/1
)2()2()( xxxf += , 40 =x
iii) )(ηµ)( 33
xπxxf = ,
6
1
0 =x iv)
x
x
xf
−
+
=
2
2
)(
2
, 30 =x .
55-5. Αν ( ) ( )f 1 =2 και f' 1 =5, να βρείτε την g’(1), όπου ( ) ( )
( )
2
x
g x =xf x -
f x
.
55-6. Αν η συνάρτηση g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ( ) ( ) ( ) ( )2
f x = x-3 g 2x-1 με g 5 =5 να
αποδείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και να βρείτε την f’’(3).
55-7. Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύουν ( ) ( ) ( ) ( )f 2 =5, f' 2 =-1, g' 5 =4 και f' 5 =2 και οι
συναρτήσεις g f και f f ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το 0x =2, να βρείτε τους αριθμούς
( ) ( ) ( ) ( )g f ' 2 και f f ' 2 .
55-8. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και για κάθε x R∈ ισχύει ( )f ημx+συνx =1+ημ2x (1), να
υπολογίσετε την
1+ 3
f' .
2
 
 
 
55-9. Η περιττή συνάρτηση f:R R→ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Αν ( ) ( )f x -x
g x =e , να αποδείξετε
ότι: i) ( ) ( )f 0 =f'' 0 =0 ii) ( ) ( )( )
2
g'' 0 = g' 0
55-10. Αν ( )
( )g x
f x =
3x+1
, ( ) ( )g 0 =2 και g 0 = -3′ , να βρείτε το ( )f 0′ .
55-11. Αν ( ) ( ) ( )2
f 4 =7 και g x =f x +x+2′ , να βρείτε την τιμή ( )g 1′ .
55-12. Αν ( ) ( )f x =2xln 2x -2x+3 , να βρείτε την
3
e
f
2
 
′ 
 
.
55-13. Έστω f μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο ℝ .
α. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( ) ( )g x =f -x ,x∈ ℝ
β. Αν η f είναι άρτια, να αποδείξετε ότι ( )f 0 =0′ .

23. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….22
56 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ
( )( )
( )
( )
g x
f x με f x 0>
Α’ τρόπος:
1. Γράφω τη συνάρτηση ( ) ( )( )
( )g x
φ x f x= στην εκθετική της μορφή ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
g x
ln f x g x lnf x
φ x e e
 
  
= = .
2. Θέτω ( ) ( ) ( )h x g x lnf x= , και βρίσκω το ( )h x′ (κανόνας γινομένου).
3. ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )h x h x
φ x e φ x e h x φ x h x′ ′ ′= ⇒ = ⋅ = ⋅
Παράδειγμα1: ( ) ( )ln x
f x lnx=
Β’ τρόπος:
Θέτω ( )( )
( )
( ) ( )
g x
y f x ln y g x lnf x= ⇔ = και
παραγωγίζω ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
f xy
ln y g x lnf x g x lnf x g x
y f x
′′′ ′= ⇔ = + και λύνω ως προς y′ .
Παράδειγμα 2: ( ) ( )ln x
f x lnx=
Υπενθύμιση ιδιότητας λογαρίθμων: θ
θ lne ,θ 0= > .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
56-1. Αν ( ) ημx
f x =x με x>0, να βρεθεί η f’(x).
56-2. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:
i) ( )
x
e
f x =x , x>0 ii) ( ) ( )
x
ημx
g x = , x 0,π
x
 
∈ 
 
56-3. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:
i) ln x
f(x) x , x 0= > ii) 35
2)( −
= x
xf iii) x
xxf )(ln)( = , 1>x iv) x
exxf συν
ηµ)( ⋅=
BONUS ΔΥΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
1)Να παραγωγίσετε τις συναρτήσεις:
i) 5 2
f(x) ln 1 3x= +
ii)
π x π
f(x) ln εφ ,x 0,
4 3 2
    
= + ∈    
    
iii) ( )f(x) ln ημ συνx =  
iv) 5 2 1
f(x) 3x
3x
= −
v) 2 8
f(x) ημ (x x) = + 
vi) ημx 2
f(x) lne x 25x= + −
Λύση
i) ( ) ( ) ( )
( )21
5 2 2 25
2 2
1 3x '1 1 6x
f'(x) ln 1 3x ' ln 1 3x ' ln 1 3x '
5 5 1 3x 5 15x
+   
= + = + = + = ⋅ =     + +  
ii)
2 2
π x π x 1εφ ' '
4 3 4 3π x 1 3f'(x) ln εφ '
4 3 π x π x π x π x π x
εφ εφ συν εφ συν
4 3 4 3 4 3 4 3 4 3
    
+ +            = + = = =                  + + + + +         
         
iii) ( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
ημ συνx ' συν συνx ημx1
f'(x) ln ημ συνx ' συν συνx συνx '
ημ συνx ημ συνx ημ συνx
  −    = = = =   
iv) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 41 1 31 15 2 2 2 25 5 52 2 2
1 1 1 1 1
f'(x) 3x ' 3x 3x ' 4x 3x 4x 3x
5 2 5 23x
− −− − − −  
= − = − = + = +    
   

24. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 23
v) ( )2 8 2 8 2 8
f'(x) ημ (x x) ' συν (x x) (x x) '     = + = + + =     
2 8 2 7 2 2 8 2 7 2 8 2 7
συν (x x) 8(x x) (x x)' συν (x x) 8(x x) (2x 1) 8συν (x x) (x x) (2x 1)       + + + = + + + = + + +       
vi) ( ) ( ) ( ) ( )2
ημx 2 2 2
2
x 25x '
f'(x) lne x 25x ' ημxlne x 25x ' ημx x 25x ' συνx
2 x 25x
−
= + − = + − = + − = + =
−
2
2x 25
συνx
2 x 25x
−
= +
−
2)Να παραγωγίσετε τις συναρτήσεις:
i) ( )
ημ2x
f(x) συνx=
ii) ( )
x
f(x) ημx=
iii)
x
1
f(x) 1
x
 
= + 
 
iv) x
f(x) συν(x )=
Λύση
i) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
ημ2xημ2x ln συνx ln συνx ημ2x ln συνx ημ2x
f'(x) συνx ' e ' e ' e ln(συνx)ημ2x '
 
= = = = = 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )ln συνx ημ2x ln συνx ημ2x συνx '
e ln(συνx) 'ημ2x ln(συνx) ημ2x ' e ημ2x ln(συνx)2x συν2x
συνx
+ = + =
( )
( ) ( )ln συνx ημ2x ημx ημx
e ημ2x ln(συνx)2x συν2x ln(συνx)ημ2x ημ2x ln(συνx)2x συν2x
συνx συνx
− −
+ = + =
( )
( ) ( )ln συνx ημ2x ημ2xημx ημx
e ημ2x ln(συνx)2x συν2x (συνx) ημ2x ln(συνx)2x συν2x
συνx συνx
 −   − 
+ = + =   
   
( ) ( )( )ημ2x ημ2xημx 2ημxσυνx
(συνx) ln(συνx)2x συν2x (συνx) 2ημxημx ln(συνx)2x συν2x
συνx
 − ⋅ 
= + = − + = 
 
( )( )ημ2x 2
2(συνx) ημ x ln(συνx)x συν2x− +
ii) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )( )
x
ln ημxx xln ημx xln ημx xln ημx
f'(x) ημx ' e ' e ' e xln ημx ' e ln ημx x ln ημx '
 
= = = = = + = 
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
xxln ημx xln ημxημx ' xσυνx xσυνx
e ln ημx x e ln ημx ημx ln ημx
ημx ημx ημx
     
= + = + = +           
iii)
x
x x1 1 1
ln 1 xln 1 xln 1
x x x1 1 1 1 1
f'(x) 1 ' e ' e ' e xln 1 ' .. 1 ln 1
x x x x x 1
     
+ + +     
     
                   = + = = = + = = + + −               +              
iv) ( )
x
x x x x ln x x xln x
f'(x) συν(x ) ' ημ(x ) (x )' ημ(x ) (e )' ημ(x ) (e )'= = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
( ) ( )x xln x x x
ημ(x )e xln x ' ημ(x )(x ) 1 ln x= = − +

25. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….24
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ (Μεζεδάκι θεωρίας,θέλει απόδειξη για να χρησιμοποιηθεί)
Η συνάρτηση f : ,
2 2
 π π 
− → 
 
ℝ με τύπο f(x) x= εϕ είναι γνησίως μονότονη και αντιστρέφεται.
Θεωρούμε δεδομένο ότι η 1
f−
είναι παραγωγίσιμη στο ℝ .
Να αποδείξετε ότι 1
2
1
f (x)
1 x
−
=
+
για κάθε x∈ℝ .
Πως το χειριζόμαστε;
Η f είναι παραγωγίσιμη άρα 2
f'(x) x 1= εϕ + για κάθε x ,
2 2
 π π 
∈ − 
 
Ισχύει η γνώστη ισότητα 1
f(f (x)) x−
=
Γνωρίζουμε από υπόθεση ότι η f αντιστρέφεται
Άρα ισχύει η ισότητα 1
f(f (x) x−
= (1) από υπόθεση γνωρίζουμε ότι ότι η 1
f−
είναι παραγωγίσιμη στο
ℝ .Παραγωγίζουμε την (1)
( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 2 1 1
f(f (x)) ' x ' f'(f (x)) (f (x) ' 1 (f (x)) 1 (f (x) ' 1− − − − −
= ⇔ = ⇔ εϕ + = ⇔
( )( ) ( )( ) ( )
2
x 1 02
1 1 2 1 1
2
1
(f (x)) 1 (f (x) ' 1 x 1 (f (x) ' 1 (f (x) '
x 1
+ ≠
− − − −
 ⇔ εϕ + = ⇔ + = ⇔ =  +
για κάθε x∈ ℝ .
Γενικεύουμε:
Αν μια συνάρτηση f:Δ → ℝ είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ και
παραγωγίσιμη στο σημείο 0
x ∈ ∆ με 0
f'(x ) 0≠ , τότε και η -1
f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο
o 0
y f(x )= με
( )1
0 1
0 o
1 1
f '(x )
f'(x ) f'(f (y ))
−
−
= =
Απόδειξη
Η συνάρτηση 1
f−
είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα f( )∆ .
Αρκεί να αποδειχθεί ότι
0
1 1
0
y y
0 0
f (y) f (y ) 1
lim
y y f'(x )
− −
→
−
=
−
Αν 1
f (y) x−
= τότε για 0
y y→ ισχύει: 1 1
0
f (y) f (y )− −
→ , δηλαδή 0
x x→ .Επίσης για
0
y y≠ , ισχύει: 0
x x≠
0 0 0
1 1
0 0
y y x x x x
00 0 0
0
f (y) f (y ) x x 1 1
lim lim lim
f(x) f(x )y y f(x) f(x ) f'(x )
x x
− −
→ → →
− −
= = =
−− −
−
Στην εκφώνηση το συνεχής και γνησίως μονότονη είναι ισοδύναμο με το συνεχής και 1-1.( δες το
φυλλάδιο της συνέχειας)

26. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 25
57 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ – ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΕΩΝ
1. Καθορισμός Παραμέτρων
• Υπολογίζω τις παραγώγους
• Δημιουργώ εξισώσεις σύμφωνα με τις υποθέσεις
• Λύνω τα συστήματα και υπολογίζω τις παραμέτρους
• Για να υπολογίσω το ( )of x′ , πρώτα υπολογίζω το ( )f x′ και στη συνέχεια θέτω όπου
οx το x
Παράδειγμα 1: Έστω ( ) 2
f x x αx= + . Να βρεθεί το α, ώστε ( )f 1 5′ = .
Παράδειγμα2: Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )
32 3
f x αx β= − . Να βρεθούν οι τιμές των α και β, ώστε για
κάθε x R∈ να ισχύει: ( ) 5 3
f x 6x 24x 24x′ = − + .
Παράδειγμα3: Δίνεται η συνάρτηση ( ) αt
f t e−
= .Να βρείτε τις τιμές του α ώστε ( ) ( ) ( )3 4f t f t f t′′ ′+ =
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
57-1. Αν ( ) ( ) ( )2
f x = x+1 2x+α και ( )f 1 =2′′ , να βρείτε το α.
57-2. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x =x +2αx+3 . Να βρείτε την τιμή του α, ώστε ( )f 1 =4′ .
57-3. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2
f x =x +3x -8x+2
α. Να βρείτε τις παραγώγους ( ) ( )f x ,f x′ ′′
β. Να βρείτε τα θετικά x για τα οποία ισχύει: ( ) ( )f x f x -34=0′ ′′+ .
57-4. Αν ( ) 3
f x =2x , να βρείτε τα σημεία ( )( )A α,f α για τα οποία είναι ( ) ( )f α =f α′ .
57-5. Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων α, β, γ, όταν για τη
συνάρτηση ( ) ( )3 2 x
f x x αx βx γ e= + + + , ισχύει για κάθε fx∈ Α η σχέση ( ) 3 x
f x x e′ = .
2. Απόδειξη ισοτήτων με παραγώγους
• Υπολογίζω τις παραγώγους διαφόρων τάξεων που απαιτούνται
• Αντικαθιστώ στη ζητούμενη σχέση και με ισοδυναμίες καταλήγω σε σχέση που ισχύει
(ή με ευθεία απόδειξη, από το ένα μέλος στο άλλο)
Παράδειγμα 4: Δίνεται η συνάρτηση ( ) x
f x e ημx−
= . Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( )2 2 0f x f x f x′′ ′+ + = , για
κάθε x∈ ℝ
Παράδειγμα 5: Από τον τριγωνομετρικό τύπο ( )3 2
συν3x συν x 3συνxημ x x R= − ∈ , να εξαχθεί ο
τύπος 2 3
ημ3x 3συν xημx ημ x= − .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
57-6. Αν ( ) 2
x-3
f x = ,x 0
x
≠ , να δείξετε ότι: ( ) ( )3 4
3x f x +x f x +x=0′ ′′⋅ ⋅ .
57-7. Αν xxf 2
ηµ)( = , να αποδείξετε ότι 2)(4)( =+′′ xfxf .
57-8. Αν μx
f(x)=e , να βρείτε το μ ώστε να ισχύει f (x)-3f (x)-4f(x)=0′′ ′ .
57-9. Αν px -px
f(x)=αe +βe , να δείξετε ότι 2
f (x)=p f(x)′′ .
57-10. Αν f(x)=Aσυνωx+Bημωx , να δείξετε ότι 2
f (x)+ω f(x)=0′′ .
57-11. Αν ( ) 2
f x =ημ x , να αποδείξετε ότι ( ) ( )f x +4 f x =2′′ ⋅ .

27. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….26
58 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
1. Εύρεση Πολυωνύμου
1. Βρίσκω από τη σχέση που δίνεται το βαθμό του πολυωνύμου, ή σε θεωρητική περίπτωση τον
θέτουμε ν.
2. Γράφω το ( )P x με παραμέτρους α, β, γ ( ) 4 3
P x αx βx ...= + +
3. Παραγωγίζω και αντικαθιστώ.
4. Λύνω το σύστημα που προκύπτει με αγνώστους α, β, γ, …
Παράδειγμα1: Να βρεθεί το πολυώνυμο ( )P x τέτοιο ώστε για κάθε x R∈ να ισχύει η ισότητα
( ) ( ) ( ) 3 2
P x P x P x x 5x x 3′ ′′+ − = + + + .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
58-1. Να βρείτε πολυώνυμο τρίτου βαθμού τέτοιο, ώστε 4)0( =f , 2)1( =−′f , 4)2( =′′f και
6)1()3(
=f .
58-2. Να βρεθεί πολυώνυμο ( )P x τέτοιο ώστε ( )P 1 0 και για κάθε x R= ∈ να είναι ( ) ( )
2
4P x P x′=    .
58-3. Να βρείτε πολυώνυμο ( )P x 4ου βαθμού τέτοιο ώστε να ισχύει:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P 0 =1,P 1 =6,P 0 =-3,P 1 = -7 και P 1 =12′ ′ ′′ .
58-4. Να βρεθεί πολυώνυμο ( )P x , ώστε να είναι ( )P 1 1= και για κάθε x R∈ να ισχύει η
ισότητα ( ) ( )
2
P x 4P x′ =   .
58-5. Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα Ρ με Ρ(x) = ( )( )
2
P' x για κάθε x R∈ (1).
2. Ρίζες Πολυωνύμου
1. Βρίσκω τις παραγώγους που απαιτούνται.
2. Για να είναι ο αριθμός ρ διπλή ρίζα του ( )P x , αρκεί ( ) ( ) ( )P ρ P ρ 0 και P'' ρ 0′= = ≠ (γιατί αλλιώς
θα ήταν τριπλή δηλαδή για να διαιρείται το ( )P x με το ( )
2
x ρ− θα πρέπει το x ρ− να είναι
παράγοντας και του ( )P x και του ( )P x′ , όμοια για τριπλή ρίζα
( ) ( ) ( ) ( )P ρ P ρ P ρ 0 και P ρ 0′ ′′ ′′′= = = ≠ ) (για να είναι απλή ρίζα πρέπει ( ) ( )P ρ 0 και P ρ 0′= ≠ ).
Παράδειγμα 2: Να βρεθούν οι τιμές των α, β, γ, δ ώστε το πολυώνυμο ( ) 4 3 2
P x x αx βx γx δ= + + + + ,
να έχει ρίζα τον αριθμό 1 με βαθμό πολλαπλότητας 3. (Στην τάξη)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
58-6. Να βρεθούν οι τιμές των α και β ώστε το πολυώνυμο ( ) 4 3 2
P x x αx βx βx 4= + + − + να διαιρείται
με το ( )2
x 1− .
58-7. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο ( )2
x 1− διαιρεί το πολυώνυμο ( ) ( )ν 1 ν
P x νx ν 1 x 1+
= − + +
58-8. Αν το πολυώνυμο ( ) 3 2
1 2 3P x x α x α x α= + + + , έχει ρίζες τους αριθμούς α, β, γ, με 0 α β γ< < <
να δειχτεί ότι :
α.
( ) ( ) ( )
β γα
0
P α P β P γ
+ + =
′ ′ ′
.
β. ( ) ( ) ( )P α P β P γ 0′ ′ ′+ + >
(Υπόδειξη: ( )P x (x α)(x β)(x γ)= − − − …..)

28. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 27
59 ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΩΝ
• Αναγνωρίζω στο ζητούμενο όριο τον ορισμό ( )
( ) ( )
0
0
0
x x
0
f x f x
f x lim
x x→
−
′ =
−
.
• Υπολογίζω με κανόνες παραγώγισης το ( )0f x′ .
Παράδειγμα1:
x
x 0
e 2
lim
x ln 2→
−
−
Λύση
Παρατηρώ ότι:
x
x x ln 2 f(x) e
x 0 x 0 x 0
e 2 e e f(x) f(ln2)
lim lim lim f'(ln2)
x ln2 x ln2 x ln2
=
→ → →
− − −
= = =
− − −
.Όπου
( )x x
f'(x) e ' e= = άρα
x
ln 2
x 0
e 2
lim f'(ln 2) e
x ln 2→
−
= =
−
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
59-1. Να βρείτε το όριο
x e
lnx-1
lim
x-e→
.
59-2. Να βρείτε το όριο
x π
συνx+1
B=lim
x-π→
.
59-3. Να υπολογίσετε τα όρια:
i)
x
x 0
e -1
lim
x→
ii) xx 1
lnx
lim
e -e→
59-4. Αν ( ) ( )f 2 =3 και f' 2 =5, να υπολογίσετε το
( )2
x 2
x f x -12
lim
x-2→
.
60 ΕΥΡΕΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ
Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο σημείο Α ( )o o(x ,f x ) είναι η ( )of x′
Α. ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΟ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ
ΕΠΑΦΗΣ
• Αν είναι Α ( )o o(x ,f x ) το γνωστό σημείο επαφής, η ζητούμενη εφαπτομένη έχει
εξίσωση της μορφής ( ) ( ) ( )o o oy f x f x x x′− = ⋅ − (1)
• Υπολογίζω το ( ) ( )o οf x και το f x′
• Αντικαθιστώ τα ( ) ( )o οf x και το f x′ στην (1) και βρίσκω την ζητούμενη εξίσωση
Παράδειγμα 1: Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης ( ) 2
1f x x= − στο
σημείο ( )( )1 1A ,f
Λύση
( ) ( )2
1 2f' x x ' x= − = , ( )1 2f' = , ( ) 2
1 1 0f x = − =
Η εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο ( )( )1 1A ,f είναι:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 0 2 1 2 2y f f x y x y x′− = ⋅ − ⇔ − = − ⇔ = −
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
60-1. i) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης
3
2
t
f(t)=
t +1
στο σημείο της A(3,f(3)) .
ii) Ομοίως της καμπύλης της συνάρτησης
ημθ
f(θ)=
ημθ+συνθ
στο σημείο της
π π
Α ,f
3 3
  
  
  
.

29. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….28
60-2. Δίνεται η συνάρτηση
αx
αxα
xf
+
+
=)( ,
*
α ∈ℝ . Να βρείτε τις τιμές του α, για τις οποίες η κλίση
της fC στο σημείο της )1,0(A είναι ίση με
2
1
.
60-3. Δίνεται η συνάρτηση ( )
x -x
x -x
e -e
f x =
e +e
. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της καμπύλης της
συνάρτησης στο σημείο με τετμημένη 0 είναι παράλληλη στη διχοτόμο της πρώτης και τρίτης
γωνίας των αξόνων.
60-4. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x =lnx . Να βρεθεί:
α. το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
β. η παράγωγος της f
γ. η τιμή ( )f 1′
δ. η εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο ( )( )A 1,f 1 , καθώς και η γωνία που σχηματίζει η
ευθεία αυτή με τον άξονα x’x.
60-5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης:
i) 2
f(x)=x στο A(3,f(3))
ii) f(x)=2 x , στο A(4,f(4)) .
60-6. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο 0x όταν:
α. ( ) 0
1
f x = και x =2
x
β. ( ) 3
0f x =x 1 και x =-1+
γ. ( ) 2
0f x =x 2 4 και x =0x+ + .
60-7. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x =3x-x .
α. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο 0x
β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της
( )( )A 1,f 1 .
60-8. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης f(x)=2ημx συνx⋅ στο
σημείο της με
π
x=
3
.
60-9. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της ( ) ( )f x =ln 2-x στο σημείο της με τετμημένη 1.
60-10. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 21
f x = x +1
4
.
α. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων στα σημεία ( )( ) ( )( )A -1,f -1 και B 3,f 3
β. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των παραπάνω εφαπτόμενων.
60-11. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x =x +λx+2,λ ∈ ℝ .
α. Να βρεθεί το ( )f 1′
β. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο
της Α με τετμημένη 0x =1
γ. Να αποδειχθεί ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο Α διέρχεται
από σταθερό σημείο για κάθε λ ∈ℝ .
δ. Να βρεθούν οι τιμές του λ έτσι, ώστε η παραπάνω εφαπτομένη να διέρχεται από το σημείο
( )B 2,-3 .
60-12. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x = x +x+1 . Να βρείτε:
α. την παράγωγο της f στο 0
β. τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης ε, της fC στο σημείο ( )( )A 0,f 0 .
γ. την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η παραπάνω ευθεία ε με τον άξονα x’x.
δ. την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης.

30. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 29
60-13. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 23 3
f x = - x + x+3
4 2
. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο
σημείο (2,3) και να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες των συντεταγμένων.
60-14. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
3+x
f x =
1-x
.
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
β. Να υπολογίσετε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης
γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο ( )( )M 0,f 0 .
60-15. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x =συνx . Να βρείτε:
α. την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης
β. την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο
π π
A ,f
2 2
  
  
  
.
γ. τα σημεία στα οποία η παραπάνω εφαπτομένη τέμνει τους άξονες καθώς και το εμβαδόν του
τριγώνου που σχηματίζεται από την εφαπτομένη και τους άξονες.
60-16. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x = lnx . Να βρείτε:
i) Τον αριθμό ( )f' e ,
ii) Την εξίσωση της εφαπτομένης της fc στο σημείο της Ν με τετμημένη 0x =e .
60-17. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ℝ είναι παραγωγίσιμη και έχει την ιδιότητα
( )3 3
f x +x+1 =7x -x , για κάθε x∈ℝ . Να βρείτε:
α. την παράγωγο της f στο 0x =3
β. την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο ( )( )A 3,f 3 .
60-18. Έστω μια συνάρτηση f:R R→ άρτια και παραγωγίσιμη. Αν η κλίση της f στο 0x =1 είναι 2016,
να βρείτε την κλίση της f στο 1x = -1 .
60-19. Για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: →ℝ ℝ ισχύει ότι ( ) x
f ημx =e συνx⋅ , x∈ℝ .
α. Να βρείτε την τιμή ( )f 0′
β. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της fC στο σημείο ( )( )A 0,f 0 σχηματίζει με τους άξονες
ισοσκελές τρίγωνο.
Β. ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΝ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΟ ΤΟ
ΣΗΜΕΙΟ ΕΠΑΦΗΣ
• Έστω ότι το σημείο επαφής έχει συντεταγμένες της μορφής Α ( )o o(x ,f x ) αναζητώ την
τιμή ή τις τιμές του ox από τα δεδομένα της άσκησης
1. σε ασκήσεις που είναι γνωστή η γωνία ω που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον xx’
χρησιμοποιώ τη σχέση ( )of x εφω′ = και υπολογίζω το ox
2. σε ασκήσεις που αναφέρεται ότι η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον xx’
χρησιμοποιώ τη σχέση ( ) 0of x′ = και υπολογίζω το ox
3. σε ασκήσεις που αναφέρεται ότι η εφαπτομένη είναι παράλληλη σε κάποια άλλη
ευθεία (ε) χρησιμοποιώ τη σχέση ( )of x ε
′ = λ και υπολογίζω το ox
4. σε ασκήσεις που αναφέρεται ότι η εφαπτομένη είναι κάθετη σε κάποια άλλη
ευθεία (ε) χρησιμοποιώ τη σχέση ( ) 1of x ε
′ ⋅λ = − και υπολογίζω το ox
5. σε ασκήσεις που αναφέρεται ότι η εφαπτομένη ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ από γνωστό σημείο
γράφω την εξίσωση της εφαπτομένης και οι συντεταγμένες του σημείου την
επαληθεύουν, έτσι δημιουργείται εξίσωση με άγνωστο το ox
6. σε κάθε άλλη περίπτωση προσπαθώ από τα δεδομένα να δημιουργήσω εξίσωση
με άγνωστο το ox
• Αν είναι Α ( )o o(x ,f x ) το γνωστό σημείο επαφής, η ζητούμενη εφαπτομένη έχει
εξίσωση της μορφής ( ) ( ) ( )o o oy f x f x x x′− = ⋅ − (1)

31. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ……………….30
• Υπολογίζω το ( ) ( )o οf x και το f x′
• Αντικαθιστώ τα ( ) ( )o οf x και το f x′ στην (1) και βρίσκω την ζητούμενη εξίσωση
Παράδειγμα2: Αν ( ) 2
3 1f x x x= − + − , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης που σχηματίζει με τον
άξονα xx’ γωνία 135o
.
ΠΡΟΣΟΧΗ ΟΙ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΤΟΝ ΟΡΟ ( )of x′ (ΑΡΙΘΜΟΣ) ΚΑΙ ΟΧΙ ΤΟ ( )f x′
(ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
60-20. Σε ποια σημεία της καμπύλης της συνάρτησης
3x
f(x)=
x+1
η εφαπτομένη της είναι παράλληλη
στην ευθεία y=3x+5 ;
60-21. Να βρείτε τα σημεία της καμπύλης της συνάρτησης 3 2
f(x)=x -6x +9x+4 στα οποία οι
εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα x x′ .
60-22. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
xxxf 2
ηµ22ηµ)( −= , ]2,0[ πx ∈ ,στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα των x.
60-23. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 5
f x =x . Να εξετάσετε αν υπάρχουν σημεία της fC στα οποία οι
εφαπτόμενες είναι παράλληλες. Πως ερμηνεύεται γεωμετρικά το αποτέλεσμα αυτό;
60-24. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x = lnx. Να βρείτε τις εφαπτομένες της fc , οι οποίες είναι
παράλληλες με την ευθεία ( )η :x-y+2=0 .
60-25. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f, στα οποία οι εφαπτόμενες είναι
παράλληλες στον άξονα των x, όταν
i)
x
xxf
4
)( += ii) x
e
x
xf =)( iii)
x
x
xf
1
)(
2
+
= .
60-26. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης της
x
f(x)=
x+1
που
είναι παράλληλες στη διχοτόμο της γωνίας ˆx0y .
60-27. Δίνεται η παραβολή ( ) 2
f x =x -x+6 . Να βρείτε το σημείο της fC στο οποίο η εφαπτομένη είναι
παράλληλη προς την ευθεία y=3x+κ .
60-28. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 53)( 3
+−= xxxf , στα οποία
η εφαπτομένη είναι:
i) παράλληλη προς την ευθεία 19 += xy
ii) κάθετη προς την ευθεία xy −= .
60-29. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x =x -3x+4 . Να βρεθεί η εφαπτόμενη της fC που είναι κάθετη στην
ευθεία η:2x+3y-7=x
60-30. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3
f x =x . Να βρείτε τις εφαπτομένες της fc , οι οποίες είναι κάθετες με
την ευθεία ( )η :x+3y-2=0 .
60-31. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 3
f x =2x
4
− . Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της f στο
οποίο η εφαπτομένη της σχηματίζει με τον άξονα x’x γωνία 45 .
60-32. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
f(x)=αx(1-x) στο σημείο της O(0,f(0)) να σχηματίζει με τον άξονα x x′ γωνία 0
60 .
60-33. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x =x +5x . Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της fC που
σχηματίζει με τον άξονα x’x γωνία
4
π
.

32. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 31
60-34. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x =x . Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της fc , οι οποίες
διέρχονται από το σημείο Ρ(3,5). Ποια είναι τα σημεία επαφής στην κάθε περίπτωση;
60-35. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της 2
)( xxf = η οποία
άγεται από το σημείο )1,0( −A .
60-36. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x =x -3x+4 . Να βρεθεί η εφαπτόμενη της fC η οποία διέρχεται από
το σημείο ( )A 1,-2 .
60-37. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x =x . Να βρείτε τα σημεία στα οποία οι εφαπτόμενες της fC
διέρχονται από το σημείο ( )M 1,-3 .
60-38. Το σημείο ( )0 0A x ,y είναι πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 2
f x =x -x . Αν ο
συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο
Α υπερβαίνει την τετμημένη του Α κατά 1, να βρείτε το σημείο Α.
Γ. ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΏΣΤΕ ΜΙΑ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ ΕΥΘΕΙΑ ΝΑ ΕΊΝΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ
ΜΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ
• Φέρνω την ευθεία στην μορφή 1 1y α x+β=
• Φέρνω την εφαπτομένη στη μορφή 2 2y α x+β=
• Απαιτώ να συμπίπτουν :
1 2
1 2
α = α

β = β
.
• Λύνω το σύστημα και υπολογίζω τις παραμέτρους
Παράδειγμα3: Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x x= . Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου α ώστε η
ευθεία 2y x α= + να είναι η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο Α(1,1)
Για να έχουν δυο καμπύλες κοινή εφαπτομένη θα πρέπει να έχουν τον ίδιο συντελεστή
διεύθυνσης και ένα κοινό σημείο.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
60-39. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x =αx +β . Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο
σημείο x=1 είναι η ευθεία y= 4x-1, να βρείτε το α.
60-40. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x =αx +βx+γ με α 0≠ . Να προσδιοριστούν οι α, β, γ έτσι, ώστε η fC
να περνά από το σημείο ( )A 1,3 και η εφαπτομένη της fC στο σημείο ( )B 2,0 να είναι παράλληλη
με την ευθεία ε:4x+y=8 . Ποιος είναι τότε ο τύπος της συνάρτησης;
60-41. Δίνεται η συνάρτηση ( )y=f x . Αν είναι γνωστό ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της
καμπύλης ( )y=f x στο σημείο με τετμημένη -1 είναι: 2x+y+3=0 να βρείτε την εξίσωση της
εφαπτομένης της καμπύλης ( )
( )3
1
g x =
f x
στο σημείο με τετμημένη -1.
60-42. Έστω f: →ℝ ℝ παραγωγίσιμη συνάρτηση με ( )f 1 =1′ και ( ) ( )3
g x =f x +x+1 -1,x∈ ℝ .
α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της fC στο σημείο ( )( )A 1,f 1
β. Να βρείτε το ( )g 0′
γ. Να αποδείξετε ότι η ε εφάπτεται της gC στο σημείο ( )( )B 0,g 0 .
60-43. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ( ) ( )2 2
f x =ln x -x+1 και g x =x -αx+β . Να βρεθούν:
α. οι f και g′ ′
β. η εξίσωση της εφαπτομένης ε της fC στο σημείο ( )( )A 1,f 1
γ. οι τιμές των α και β έτσι, ώστε η ευθεία ε να εφάπτεται επίσης στη gC στο σημείο ( )( )B 2,g 2 .
60-44. Αν η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f: →ℝ ℝ στο σημείο της
( )( )A 1,f 1 είναι παράλληλη με την ευθεία η:x-y+2=0 , τότε:
α. Να βρείτε την τιμή ( )f 1′ .