2. Donada una matriu quadrada de primer ordre (1x1):
S’anomena determinant d’ A al mateix nombre real que forma la matriu
2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT
Determinants d’ordre 1
11aA =
)( 11aA =
)6(−=A 66 −=−=A
)9(=B 99 ==B
)0(=C 00 ==C
3. Donada una matriu quadrada de segon ordre (2x2):
S’anomena determinant d’ A al nombre real que resulta de multiplicar els elements
de la diagonal principal i restar-li el producte dels elements de la diagonal
secundària .
3 2
2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1
2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT
Determinants d’ordre 2
=
12
23
A
5. Donada una matriu quadrada de segon ordre (3x3):
S’anomena determinant d’ A al nombre real que resulta d’aplicar la regla de
Sarrus:
2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT
Determinants d’ordre 3
6. 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT
Determinants d’ordre 3
La regla de Sarrus permet recordar gràficament els productes que apareixen en la
expresisón del determinante d’ ordren 3 i els seus signes. Els elements de la diagonal
principal i les seves paralel.les, amb el seu signe i els de la diagonal secundària i les seves
paralel.les canviades de signe.
7. 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT
Determinants d’ordre 3
La regla de Sarrus permet recordar gràficament els productes que apareixen en la
expresisón del determinante d’ ordren 3 i els seus signes. Els elements de la diagonal
principal i les seves paralel.les, amb el seu signe i els de la diagonal secundària i les seves
paralel.les canviades de signe.
8. 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT
Determinants d’ordre 3
Exemple 1:
121
410
321
− = 1•(-1)•1+2•4•1+0•2•3-[3•(-1)•1+0•2•1+2•4•1]=
= -1+8+0-(-3+0+8)=7-5 = 2
9. 1.1 CONCEPTE DE DETERMINANT
Determinants d’ordre 3
Exemple 2:
432
524
322
− = 2•(-2)•4+2•5•2+4•3•3-[3•(-2)•2+4•2•4+3•5•2]=
= -16+20+36-(-12+32+30)=40-50 = -10
11. 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT
Equacions amb determinants ordre 2
10
1
41
−=
+
+−
xx
xx ( )
[ ]
1
66
4106
1046
1044
1044
10)1()4(1
22
22
=
⇒−=−
⇒+−=−
⇒−=−−
⇒−=−−−−−
⇒−=+++−−
⇒−=+•+−•−
x
x
x
x
xxxxx
xxxxx
xxxx
12. 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT
Equacions amb determinants ordre 3
( )[ ]
[ ]
5
11
55
5511
8476512
4786512
470865012
47)05()421(235120243
=
⇒=
⇒=
⇒+=−+
⇒=−−+
⇒=++−++
⇒=••+••+••−••+••+••
x
x
x
xxx
xxx
xxx
xxxx
47
452
031
2
=
xx
13. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS
I. El determinant d’ una matriu amb dos files o columnes iguals o proporcionals és
zero.
Càlcul inmediat de determinants
Exemples:
• El determinant d’ una matriu A =
–1 4 –1
3 2 3
2 5 2
és igual a zero perquè la tercera i
primera columnes són iguals.
• El determinant d’ una matriu B =
2 4 –1
1 –2 3
3 –6 9
és igual a zero perquè la tercera fila
és igual a la segona multiplicada per 3.
14. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS
Càlcul inmediat de determinants
II. El determinant d’ una matriu amb una fila o columnes nules és zero.
Exemples:
El determinant d’ una matriu A =
–1 0 –1
3 0 3
2 0 2
és igual a zero perquè la segona columna
és nul.la.
El determinant d’ una matriu B =
–1 0 –1
0 9 0
0 00
és igual a zero perquè la tercera fila
és nul.la.
15. III. El determinant d’ una matriu en que una fila o columna es combinació lineal de les
altres files o columnes és zero.
2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS
Càlcul inmediat de determinants
Exemple:
El determinant d’ una matriu B =
2 4 0
1 3 –1
3 1 5
és igual a zero perquè la tercera columna és
igual al doble de la primera menys la segona
Exemple:
El determinant d’ una matriu A =
1 4 0
1 3 –1
2 7 -1
és igual a zero perquè la tercera fila és
igual a la suma de la primera més la segona
213 fff +=
213 2 ccc −•=
16. IV. El determinant d’ una matriu triangular és igual al producte dels elements de la seva
diagonal principal.
Exemples:
El determinant de la matriu A =
–1 0 –1
0 2 3
0 0 2
és igual –4.
2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS
Càlcul inmediat de determinants
El determinant de la matriu B =
− 587
026
003
és igual a 30
17. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS
Càlcul inmediat de determinants
V. El determinant de la matriz identitat=escalar=unitat és 1
Exemples:
• El determinant de la matriu I 3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
és igual a 1.
• El determinant de la matriu I 5 =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
és igual a 1.
18. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS
Operacions amb files i columnes
VI. Si es multipliquen els elements d’ una fila o columna d’ una matriu per un nombre el
determinant de la matriu es multiplica per aquest nombre
Exemple:
2 3
4 20 =
2 3
4
.
1 4
.
5
= 4
2 3
1 5
28124034202
204
32
=−=•−•=
2874)310(4)3152(4
51
32
4 =•=−•=•−••=•
19. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS
Operacions amb files i columnes
1385)8(52)4(51
52
41
=+=−−=•−−•=
−
VII. Si s’ intercanvien entre sí dos files o dos columnes d’ una matriu, el seu
determinant canvia de signe.
Exemple:
1 – 4
2 5 = –
– 4 1
5 2
[ ] [ ] 13)13(58)51(24
25
14
=−−=−−−=•−•−−=
−
−
20. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS
Operacions amb matrius
VIII. El determinant d’una matriu es igual al de la seva transposada. t
AA =
61824)0180(0024
653
021
032
=−=++−++==A
61824)0180(0024
600
523
312
=−=++−++==t
A
Exemple
21. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS
Operacions amb matrius
IX. El determinant del producte de dos matrius quadrades i multiplicables és igual al producte dels
determinants de cada un d’elles.
Exemple:
−
=
05
32
A
−
=
15
06
B
−
=
−
•
−
=•
030
327
15
06
05
32
BA
15150
05
32
−=−=
−
=A
606
15
06
−=−−=
−
=B
90)90(0
030
327
=−−=
−
=• BA
BABA •=•
)6()15(90 −•−=
22. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS
Operacions amb matrius
Exemple:
X.- Si una fila o columna és suma de diferents sumands, es descomposa en tants
determinants com sumands hagi
123)68()96(
43
22
33
32
433
232
73
52
−=+−=−+−=+=
+
+
=
11514
73
52
73
52
−=−==⇒
= AA
123)57()107(
71
51
72
51
712
511
73
52
−=+−=−+−=+=
+
+
=
23. 2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA
Menor d’una matriu quadrada
Determinant que resulta en suprimir una fila i una columna d’una matriu quadrada.
Tots els menors es denoten per Mij per indicar el determinant de la matriu que s’obté en suprimir
La fila i i la columna j.
−
=
53
21
A
5511 ==M 3312 ==M
2221 ==M 1122 −=−=M
25. 2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA
Matriu adjunta
• S’anomena “Adjunt mi,j” d’ un element “ai,j” al determinant del menor Mi,j multiplicat
per (-1)i+j
• Donada la matriu quadrada A, s’anomena “matriu adjunta” de A i es representa A*, a
la matriu que se obté en substituir cada element aij pel seu adjunt mij.
ij
ji
ij Mm •−= +
)1(
−
=
53
21
A
5)1( 1111
11
11 ==•−= +
MMm
3)1( 1212
21
12 −=−=•−= +
MMm
2)1( 2121
12
21 −=−=•−= +
MMm 1)1( 2222
22
22 −==•−= +
MMm
−−
−
=
12
35*
A
Exemple 1
27. 2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA
Matriu adjunta ij
ji
ij Mm •−= +
)1(
21111 == Mm 61212 −=−= Mm
72121 −=−= Mm
−
−
=
411
202
311
A
21313 −== Mm
72222 −== Mm 002323 =−=−= Mm
23131 == Mm 8)8(3232 =−−=−= Mm 23333 −== Mm
−
−−
−−
=
282
077
262
*
A
Exemple 2
28. 2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA
Matriu adjunta ij
ji
ij Mm •−= +
)1(
101
10
21
1111 =−=== Mm 2)02(
10
22
1212 −=−−=−=−= Mm
1)01(
10
11
2121 =−−−=
−
−=−= Mm
−
=
100
212
111
B
0
00
12
1313 === Mm
101
10
11
2222 =−=== Mm 0
00
11
2323 =
−
−=−= Mm
312
21
11
3131 −=−−=
−
== Mm 0
22
11
3232 =−=−= Mm 3)2(1
12
11
3333 =−−=
−
== Mm
−
−
=
303
011
021
*
B
Exemple 3
29. 2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS
ELEMENTS D’ UNA LÍNIA
Un determinant és igual a la suma dels elements d’una línia (fila o columna)
multiplicat pels seus adjunts corresponents
Exemple 1
9145)2120(610
411
103
212
−=−=++−+−=
−
9613232131)1(2)03(2))1(12(1)10(2
11
03
2
41
13
1
41
10
2212212
411
103
212
131211131211
−=+−−=⋅+⋅−−⋅=−⋅+−−⋅−−⋅
=
−
⋅+
−
⋅−⋅=⋅+⋅−⋅=⋅+⋅+⋅=
−
MMMmmm
1ª fila
30. 2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS
ELEMENTS D’ UNA LÍNIA
Un determinant es igual a la suma dels elements d’una línia (fila o columna)
multiplicat pels seus adjunts corresponents
Exemple 1
9145)2120(610
411
103
212
−=−=++−+−=
−
91621223)1(2)01(1)24(3)10(2
10
21
1
41
21
3
41
10
2132132
411
103
212
312111312111
−=−−−=⋅−⋅−−⋅=−⋅−−⋅−−⋅
=⋅−⋅−⋅=⋅−⋅−⋅=⋅−⋅+⋅=
−
MMMmmm
1ª columna
31. 2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS
ELEMENTS D’ UNA LÍNIA
Un determinant es igual a la suma dels elements d’una línia (fila o columna)
multiplicat pels seus adjunts corresponents
Exemple 1
9145)2120(610
411
103
212
−=−=++−+−=
−
9413)4(13
)62())1(12(
13
22
41
13
101
411
103
212
3212322212
−=+−=−−−
=−−−−−=⋅−
−
⋅−=−−=⋅+⋅+⋅=
−
MMmmm
2ª columna ( possibilitat que dóna menys feina)
32. 2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS
ELEMENTS D’ UNA LÍNIA
Determinant 4x4
Exemple 2
[ ] [ ] [ ] [ ] 244201317)2(22)849(1283)01816(6016
121
432
321
212
043
232
1001
2121
0432
2321
1001
1411141114131211
−=−−=−−−−−=+−−++−−+−−−+−=
=
−
−
−−
=−=+=⋅+⋅+⋅+⋅=
−−
MMmmmmmm
33. 2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS
ELEMENTS D’ UNA LÍNIA
Determinant 4x4
Exemple 3
28618317120)61(3)17(602....
542
223
432
3
542
423
432
1
542
423
223
2
3120312
5042
4323
2123
4232
33231343332313
−=−+−=−⋅+−−⋅−==
=
−
−⋅+
−
⋅−
−
−
⋅−
=⋅+⋅−⋅−=⋅+⋅+⋅+⋅−=
−
−
−
MMMmmmm
34. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS
Matriu 1x1
El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’
una matriu A es representa per rang(A).
A = (3) rang A = 103 ≠=A
B = (0) rang B = 000 ==B
Matriu 2x2
=
21
12
C 0314
21
12
≠=−==C Rang C =2
−
−
=
42
21
D 044
42
21
=−=
−
−
=D Rang D ≠2 Rang D =1
35. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS
Matriu 3x3
El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’
una matriu A es representa per rang(A).
−
−
−
=
121
112
301
E
010 ≠=E Rang E =3
−−
−
−
=
213
112
301
F )ª3ª2ª1.(0 fffF =+= Rang F ≠3 Rang F =2
Perquè es pot agafar un menor d’ordre 2 amb
determinant diferent a zero
01
12
01
≠−=
−
36. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS
Matriu 3x3
El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’
una matriu A es representa per rang(A).
−−−=
963
642
321
G
)ª3ª2ª1.(0 fffG =−= Rang G ≠3
Tots els menors que s’agafin d’ordre 2 tenen com a determinant zero fet
que implica que el rang és diferent a 2
0
42
21
=
−−
0
64
32
=
−−
0
63
42
=
−− 0
96
64
=
−−
0
63
21
= 0
96
32
=
El rang G ≠ 2 rang G =1 perquè sempre es pot trobar un determinant d’
ordre 1 diferent a zero
37. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS
Matrius no quadrades
El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’
una matriu A es representa per rang(A).
−
−
=
3
2
1
1
1
0
H
H Rang H ≠3
Com a molt es poden fer menors d’ordre 2
01
21
10
≠=
−
No es pot fer
Rang H =2
38. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS
Matrius no quadrades
El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’
una matriu A es representa per rang(A).
−−
=
9
8
7
201
131
042
I
I Rang I ≠4
Com a molt es poden fer menors d’ordre 3
)2.(0
201
131
042
321 ccc =+⋅−=
−
No es pot fer
No serveix
014
920
813
704
≠−=
−−
Rang I ≠3
39. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS
Matrius no quadrades
El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’
una matriu A es representa per rang(A).
−−−
−−=
11
8
5
2
0
6
631
521
J
J Rang J ≠4
Com a molt es poden fer menors d’ordre 3. Tots ells tenen determinant zero
).(0
826
631
521
Sarrus=
−−−
−−
No es pot fer
).(0
1150
631
521
321 fff =−=−− ).(0
1150
826
631
Sarrus=−−−
−−
Rang J ≠3
Provem si algun menor d’ordre 2 té determinant diferent a zero:
Rang J = 205
31
21
≠−=
−
40. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS
Matrius no quadrades
Tècnica d’ orlament
−−−
−−=
11
8
5
2
0
6
631
521
J
|1|≠0
).(0
826
631
521
Sarrus=
−−−
−− ).(0
1150
631
521
321 fff =−=−− Rang J ≠3
Per tant RangJ = 2
05
31
21
≠−=
−
Rang J=1 com a mínim
Rang J=2 com a mínim
41. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS
Matrius no quadrades
Tècnica d’ orlament
−
=
0124
0130
0212
K
|2|≠0
010
124
130
212
≠−=
−
Rang K = 3
06
30
12
≠=
Rang K=1 com a mínim
Rang K = 2 com a mínim
42. 2.6 MATRIU INVERSA
Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1
és la inversa de A si A .
A–1
= A–1 .
A = I, on I
és la matriu identitat.La matriu inversa es representa per A–1
Exemple1:Si A =
2 –1
1 1
per obtenir A -1
=
x y
z t s’ ha de cumplir
2 –1
1 1
.
x y
z t =
1 0
0 1
2x– z 2y– t
x + z y + t =
1 0
0 1
⇔
2x – z = 1
x + z = 0
2y – t = 0
y + t = 1
⇔
x =1/3
y =1/3
z =–1/3
t =2/3
Per tant A -1
=
1
3
1
3
– 1
3
2
3
43. 2.6 MATRIU INVERSA
Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1
és la inversa de A si A .
A–1
= A–1 .
A = I, on I
és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1
Exemple1:Si A =
2 –1
1 1
per obtenir -1
Donada una matriu quadrada A es pot obtenir la seva matriu inversa fent servir la
següent fórmula:
A–1
[ ])(
1 *1
A
A
A t
•=−
o [ ]*1
)(
1
A
A
A t
•=−
312)1(2 =+=−−=A
−
=
21
11*
A
−
=
21
11
)( *
At
[ ])(
1 *1
A
A
A t
•=−
[ ]
−
=
−
•=•=−
3
2
3
1
3
1
3
1
21
11
3
1
)(
1 *1
A
A
A t
44. 2.6 MATRIU INVERSA
Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1
és la inversa de A si A .
A–1
= A–1 .
A = I, on I
és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1
−
=
11
12
AExemple1 : Comprovació A .
A–1
= A–1 .
A = I
−
=−
3
2
3
1
3
1
3
1
1
A
A .
A–1
=
=
=
+−
−+
=
−
•
−
10
01
3
3
3
0
3
0
3
3
3
2
3
1
3
131
3
2
3
2
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
1
11
12
=
=
+−
−+
=
−
•
− 10
01
3
3
3
0
3
0
3
3
3
2
3
1
3
131
3
2
3
2
3
1
3
2
11
12
3
2
3
1
3
1
3
1
A–1
•A =
45. 2.6 MATRIU INVERSA
Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1
és la inversa de A si A .
A–1
= A–1 .
A = I, on I
és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1
154)5(4)308(004 =+−=−−−=++−−++−=A
−
−−
−−
=
232
121
8127
*
A
−−
−
−−
=
218
3212
217
)( *
At
[ ])(
1 *1
A
A
A t
•=−
[ ]
−−
−
−−
=
−−
−
−−
•=•=−
218
3212
217
218
3212
217
1
1
)(
1 *1
A
A
A t
−
−
=
214
320
101
A
Exemple 2
46. 2.6 MATRIU INVERSA
Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1
és la inversa de A si A .
A–1
= A–1 .
A = I, on I
és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1
Exemple2 : Comprovació A .
A–1
= A–1 .
A = I
A .
A–1
=
=
−−++−++−
+−−+−+
−+++−++−
=
−−
−
−−
•
−
−
100
010
001
438224161228
66034024240
202101807
218
3212
217
214
320
101
A–1
•A =
=
−−++−++−
+−−+−+
−+++−++−
=
−
−
•
−−
−
−−
100
010
001
438224161228
66034024240
202101807
214
320
101
218
3212
217
47. Propietats de la matriu inversa
I. Si las matrius A i B són inversibles (A.
B)–1
= B–1 .
A–1
II. Si A és una matriu inversible i k ≠ 0, (k .
A)–1
= (1/k) .
A–1
III. Si A és una matriu inversible, (A–1
)–1
= A
IV. La matriz unitat és inversible i a més a més I–1
= I
V. Si A és una matriu inversible, (A–1
)t
= (At
)–1
Condicions per a que una matriu tingui inversa
2.6 MATRIU INVERSA
I. La matriu ha de ser quadrada
II. El determinant de la matriu ha de ser diferent a zero
