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2016年度秋学期 画像情報処理 第4回 離散フーリエ変換 (2016. 10. 20)
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2016年度秋学期 画像情報処理 第4回 離散フーリエ変換 (2016. 10. 20)
1.
A.Asano,KansaiUniv. 2016年度秋学期 画像情報処理 浅野 晃 関西大学総合情報学部 離散フーリエ変換 第4回
2.
A.Asano,KansaiUniv.
3.
A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換
4.
2016 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング fT
(x) = f(x)combT (x) 輝度f(x) 位置x fT(x) x x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) × = FT[fT (x)](ν) = FT[f(x)combT (x)](ν) = ∞ −∞ f(x)combT (x) exp(−i2πνx)dx サンプリングされた関数のフーリエ変換
5.
2016 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 /
T ... ... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν)
6.
2016 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 /
T ... ... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν)
7.
2016 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 /
T ... ... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) こちらは離散的だが
8.
2016 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 /
T ... ... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) こちらは離散的だが こちらは離散的でない →コンピュータで扱えない
9.
2016 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング 周波数空間で,1周期あたり x fT (x) 間隔T [s] ν
[1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] N 点のサンプリングをする
10.
2016 A.Asano,KansaiUniv. 実空間ではどうなる? x f T (x) 間隔T [s] ν
[1/s] FT[f T (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] 実空間でサンプリング→周波数空間で周期的に現れる 周波数空間でサンプリング→実空間で周期的に現れる x[s] 周期NT[s]の周期関数
11.
2016 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x f T (x) 間隔T [s] ν
[1/s] FT[f T (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている
12.
2016 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x f T (x) 間隔T [s] ν
[1/s] FT[f T (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている 元のフーリエ変換
13.
2016 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x f T (x) 間隔T [s] ν
[1/s] FT[f T (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている 元のフーリエ変換
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2016 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x f T (x) 間隔T [s] ν
[1/s] FT[f T (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている 元のフーリエ変換 とはだいぶ違う
15.
2016 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて,サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) =
fT (nT) デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は,そこの値を 合計するだけ U(k) = N−1 n=0 u(n) exp −i2π k N n (k = 0, 1, . . . , N − 1) 離散フーリエ変換(DFT) x[s]
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2016 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて,サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) =
fT (nT) デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は,そこの値を 合計するだけ U(k) = N−1 n=0 u(n) exp −i2π k N n (k = 0, 1, . . . , N − 1) 離散フーリエ変換(DFT) x[s]
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2016 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて,サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) =
fT (nT) デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は,そこの値を 合計するだけ U(k) = N−1 n=0 u(n) exp −i2π k N n (k = 0, 1, . . . , N − 1) 離散フーリエ変換(DFT) x[s]
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2016 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x)とみると T [s] ν
[1/s] FT[fT (x)](ν) と見ると 1 / T [1/s] フーリエ変換 u(n)とみると 1[刻み] = 1[Ts] n k[刻み] U(k) とみると 1[刻み] x[s] n[刻み] N[刻み] = N[Ts] = NT[s]周期の 周期関数とみなしている 離散フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) とみると 1 / NT [1/s] ν [1/s]
19.
2016 A.Asano,KansaiUniv. 第2部へ 第2部は画像データ圧縮 画像の細かいところを,見た目にはわからないよ うにごまかして,データ量を減らす 「細かいところ」はどのように表現されるか? →周波数で表現される
20.
2016 A.Asano,KansaiUniv. 第2部へ 第2部は画像データ圧縮 画像の細かいところを,見た目にはわからないよ うにごまかして,データ量を減らす 「細かいところ」はどのように表現されるか? →周波数で表現される そういうわけで,もう少しフーリエ変換とおつき あいください。
21.
2016 A.Asano,KansaiUniv. 第2部へ 第2部は画像データ圧縮 画像の細かいところを,見た目にはわからないよ うにごまかして,データ量を減らす 「細かいところ」はどのように表現されるか? →周波数で表現される そういうわけで,もう少しフーリエ変換とおつき あいください。 もっと一般的な原理から説明します。まずは 数学の「行列」から。
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