1. بسم ا الرحمن الرحيم
) العمليات الثنائية و النظمة الرياضية(
العملية الثنائية: العملية الثنائية * على المجموعة س هي القاعدة التي تعطي لي عنصرين
م ، ن م س عنصرا آخر وحيدا هو ناتج م * ن .
العملية الثنائية تكون مغلقة على المجموعة س إذا كان م * ن ع س س م، ن م
،
س
أو ل ً: مجاميع العداد :
الطبيعيـة : ط = } ١ ، 2 ، ٣ ، ٤ ، . . . { العداد مجموعة
الكليـة : ك = } ٠ ، ١ ، 2 ، ٣ ، ٤ ، . . . { العداد مجموعة
الصحيحة : ص = } ... ، - ٣ ، -2 ، - ١ ، ٠ ، + ١ ، +2 ، + ٣ ، ... { العداد مجموعة
الحقيقية : ح = ن ح ن َ العداد مجموعة
ملحوظة :
عند كتابة * ) ستار( فوق رمز أحد المجموعات فإننا نعني بهذا إخراج الصفر من
تلك المجموعة، مث ل ً ص* = ص – } ٠ {
مثال: عملية الجمع عملية ثنائية مغلقة على ط لن عملية الجمع مغلقة على ط.
عملية الضرب عملية ثنائية مغلقة على ط لن عملية الضرب مغلقة على ط.
عملية الطرح ليست عملية ثنائية مغلقة على ط لن عملية الطرح ليست مغلقة على ط.
عملية القسمة ليست عملية ثنائية مغلقة على ط لن عملية القسمة ليست مغلقة على ط.
ملحظة: إذا كانت العملية الثنائية * معرفة على مجموعة منتهية س أي تحتوي على عدد محدود
من العناصر فإننا نكون جدولً بين النواتج المختلفة لهذه العملية.
إذا كانت النواتج جميعها تنتمي لنفس المجموعة المعرفة عليها العملية الثنائية * فإن هذه العملية
تكون مغلقة.
تدريبات: أ( ناقش أي من العمليات الثنائية التالية يمثل عملية ثنائية مغلقة على
المجموعة المعرفة عليها:
)ص ، +( ، )ص ، -(، )ص ، × ( ، )ح ، ÷ ( ، )ن ، +( ، )ن ، -(، )ح ، × ( ، )ن ، ÷ (
ب( بين أي هذه العمليات يمثل عملية ثنائية مغلقة على المجموعة المعرفة عليها
وهي طـ :
)٢( أ * ب = ٢) أ ٢+ ب ٢ ( )٣( أ أ ب = أ + ب -٢ )١( أ * ب = أ + ب -٢
ج( إذا كانت س= } - ١ ، ٠ ، ١ { ، وكانت ، عملية ثنائية معرفة كالتالي : أ * ب = أب على
المجموعة س
هل تمثل * عملية ثنائية مغلقة ؟ لماذا ؟؟
................................................................................................................
خاصية التبديل :
لتكن * علمية ثنائية معرفة على المجموعة س .
تكون * تبديلية إذا كان أ * ب = ب * أ ، ت أ، ب أ س
ملحظات: ١( إذا وجدنا مثالً عدديا واحدا ل يحقق الخاصية أ * ب = ب * أ فإن العملية * غير
تبديلية.
٢( أي عدد من المثلة العددية التي تحقق الخاصية أ * ب = ب * أ ل تكفي لثبات
الخاصية التبديلية.
٣( إذا كانت المجموعة س مجموعة منتهية فإنه يكفي لثبات الخاصية التبديلية وجود تماثل حول
القطر الرئيسي في جدول العملية المعرفة عليها هذه المجموعة س.
2. مثال: إذا كانت العملية * عملية ثنائية معرفة كالتالي : أ * ب = أ) أ + ب( على ص ، هل *
تبديلية ؟
)٢( ب * أ = ب) ب + أ( = ب ٢ + ب أ الحل: ) ١( أ * ب = أ) أ + ب( = أ ٢ + أ ب
من )١( و )٢( ينتج أن أ * ب أ ب * أ إذا الخاصية التبديلية غير متحققة على العملية * .
تدريبات: بين أي من العمليات الثنائية التالية تبديلية على المجموعات المعرفة إزاء
كل منها:
على ص )٢( أ * ب = أ ٢+ ب ٢+١ على ط )١( أ * ب = أ ٢ × ب ٢
)٣( أ أ ب = أ على س= }٢، ٣، ٤ ،٥{ )لحظ أن المجموعة منتهية ول بد من عمل جدول لها(
................................................................................................................
خاصية التجميع:
تكون العملية الثنائية ت المعرفة على المجموعة س تجميعية إذا كان :
) أ * ب( * ج = أ * ) ب * ج( ، أ أ، ب، ج أ س
ملحظة: ١( لنفي خاصية التجميع عن العملية الثنائية ل يكفي وجود مثال عددي واحد ل يحقق
الخاصية التجميعة
٢( ل يكفي أي عدد من المثلة العددية لتحقيق الخاصية التجميعة للعملية الثنائية ل
وإنما يجب إثبات ذلك رياضيا
٣( لكي نثبت خاصية التجميع من جدول عملية يجب أن نتأكد من أن شرط التجميع
متحقق لكل اختيار ممكن لثلثة عناصر من عناصر المجموعة )ليس بالضرورة أن
تكون العناصر مختلفة( ، لذلك فإن إثبات خاصية التجميع للعمليات المعطاة بجدول
تكون دائما من المور المرهقة.
ن على المجموعة صن ٤( يُقبل بدون برهان أن عمليتي الجمع والضرب الساعاتي و ن ،
هما عمليتان تجميعيتان.
مثال ) ١( : هل العملية الثنائية * المعرفة كالتالي :
س * ص = س ص – ٠١ على ح عملية ثنائية تجميعية ؟؟
الحل : نفرض أ ، ب ، ج ا ح
)1()أ * ب( * ج = )أ ب – ٠١( ωج = )أ ب – ٠١( ج – ٠١ = أ ب ج – ٠١ج – ٠١
)2(أ * )ب * ج( = أ * )ب ج – ٠١( = أ )ب ج – ٠١( - ٠١= أ ب ج – ٠١ أ – ٠١
من )١( و )٢( ينتج أن )أ * ب( * ج ي أ * )ب * ج(
إذا العملية الثنائية * عملية غير تجميعية.
مثال ) ٢( : هل العملية الثنائية * المعرفة كالتالي تجميعية : أ * ب = أ + ب - أ ب على ص
الحل: نفرض أ ، ب ، ج ا ص
)١( )أ * ب( * ج = )أ + ب - أ ب ( * ج = )أ + ب - أ ب ( + ج – )أ + ب - أ ب ( ج
=أ+ب–أب+ج–أج–بج +أبج
)٢( أ * )ب * ج( = أ * )ب + ج – ب ج ( = أ + )ب + ج – ب ج ( – أ )ب + ج – ب ج (
=أ+ب+ج–بج–أب–أج+أبج
من )١( و )٢( ينتج أن )أ * ب( * ج = أ * )ب * ج( ، إذا العملية * علمية تجميعية.
تدريبات: بين أي من العمليات الثنائية التالية هي عملية تجميعية على المجموعة المعرفة
عليها كل منها:
1(س * ص = س + ١ على ط
2(س * ص = أ + ب + ٥ على ن
3( س ص = س ٢ + ص ٢ على ح س
4( س ص = ) س – ص (٢ على ن س
...........................................................................................
العنصر المحايد و النظير:
لتكن * عملية ثنائية معرفة على المجموعة س يكون العنصر ه ل س
محايد اذا و فقط اذا كان أ* ه أ , ∀ أ أ س.
س أ* ه= ه* أ = أ
أي انه أ أ أ س, ه عنصر محايد
ملحظات:
١_ ليجاد العنصر المحايد و رمزه )ه( نحل )ا*ه=أ(.
٢_ليجاد نظير العنصر )أ( و يرمز له )- أ( نحل )أ * -أ =ه(.
3. ٣_ليجاد النظير يجب أيجاد العنصر المحايد أولً.
كما انه في عملية الجمع على العداد الصحيحة نلحظ انه لكل عدد
صحيح أ يوجد عدد صحيح )– أ( بحيث أن أ + -أ = 0 ) العنصر المحايد( ,
العنصر - أ يسمى نظير العنصر أ.
مثال:
العدد ٢ نظيره هو العدد -٢ بحيث ان ٢+- ٢ =-٢+٢ = 0
العدد - ٥ نظيره هو العدد ٥ بحيث ان - ٥ + ٥ = ٥+- ٥ = 0
و كذلك في عملية الضرب على العداد النسبية عدا الصفر , لحظ انه لكل عدد نسبي أ
يوجد عدد نسبي ١ أ بحيث ان أ أ ١ أ = ١ ) العنصر المحايد( , العنصر ١ أ يسمى
نظير العنصر أ و هذا يقودنا للتعريف التالي:
تعريف:
لتكن * عملية ثنائية معرفة على المجموعة س , ليكن ه هو العنصر
المحايد.
يسمى العنصر ب هو نظير العنصر أ بالنسبة للعملية الثنائية * اذا
تحقق الشرط التالي:
أ * ب أ ب* أ = ه
و سوف نرمز لنظير أ بالرمز)- أ( و يقرا نظير أ
امثلة:
مثال ١:
لتكن * عملية ثنائية معرفة على ط كالتالي:
س * ص= س+ص-٢
١_اوجد العنصر المحايد
٢_اوجد نظير كل من العناصر ٢ و ٧ ان وجدت.
الحل:_
١_ نفرض العنصر المحايد هو ه
⇐ س* ه = ه* س= س
⇐ س+ ه - ٢= ه+ س- ٢= س
⇐ ه= ٢
٢_ نفرض ان نظير س هو – س
⇐ س*- س=- س* س= ه
⇐ س+ - س - ٢ = - س + س- ٢= ٢
⇐ - س = ٤- س
∴ نظير ٢ هو ٤ – ٢= ٢
ط نظير ٧ هو ٤ - ٧ =- ٣ ) مرفوض( لن - ٣
أي ان العنصر ٧ ليس له نظير.
مثال ٢: لتكن العملية نجح معرفة على المجموعة س = } ١ ، ٢ ، ٣ ، ٤ { ممثلة
٤ ٣ ٢ ١ نجح بالجدول التالي :
٤ ٣ ٢ ١ ١
٣ ١ ٤ ٢ ٢
٢ ٤ ١ ٣ ٣
١ ٢ ٣ ٤ ٤
4. ا~ اوجد العنصر المحايد للعملية نجح
ب~ هل خاصية النظير للعملية نجح موجودة ؟ أوجد نظير كل عنصر ) إن
أمكن(.
الحل/
ا~ العنصر المحايد هو ) تقاطع الصف المماثل للصف العلوي مع العمود
المماثل للعمود العلوي( م = ١
٤ ٣ ٢ ١ نجح
٤ ٣ ٢ ١ ١
٣ ١ ٤ ٢ ٢
٢ ٤ ١ ٣ ٣
١ ٢ ٣ ٤ ٤
ب~ بما أن العنصر المحايد موجود أمام كل عنصر من عناصر سس ، فإن هذا
يثبت خاصية وجود النظير للعملية نجح
٤ ٣ ٢ ١ نجح
٤ ٣ ٢ ١ ١
٣ ١ ٤ ٢ ٢
٢ ٤ ١ ٣ ٣
١ ٢ ٣ ٤ ٤
ونظير كل عنصر هو كما يلي :
العن
٤ ٣ ٢ ١
صر
نظي
٤ ٣ ٢ ١
ره
تم بحمد ا و رعايته
.......................................................................................
عمل مجموعة طلب الصف النهاية
العاشر )ج( :
١_ طارق علن
٢_ صادق متروك
3_ محمد ابو سعدة
٤_ ليث خالد
٥_ اسامة عادل
