1. www.MATHVN.com
S GD VÀ ĐT HOÀ BÌNH Đ THI TH Đ I H C NĂM 2012
TRƯ NG THPT CÔNG NGHI P Môn Toán - Kh i D
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đ
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m).
Câu I (2,0 đi m). Cho hàm s y = x3 – (m + 2)x2 + (1 – m)x + 3m – 1, đ th (Cm), m là tham s .
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th v i m = 1.
2. Xác đ nh giá tr m đ hàm s đã cho đ t c c tr t i x1, x2: x1 – x2 = 2
Câu II (2,0 đi m).
1. Gi i phương trình: 2cos6x + 2cos4x – 3 cos2x = sin2x + 3

 x + 1 + y −1 = m
2. Tìm giá tr m đ h phương trình sau có nghi m: 
 x + y = 2m + 1

1
xdx
Câu III (1,0 đi m). Tính tích phân: I = ∫
0 (x + 1)
3
Câu IV (1,0 đi m). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. SA = a, (0 < a < 3 ), các
c nh còn l i đ u b ng 1. Tính th tích hình chóp S.ABCD theo a.
Câu V (1,0 đi m). Cho a, b, c thu c [0; 2]. Ch ng minh: 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) ≤ 4
PH N RIÊNG (3,0 đi m).
Thí sinh ch đư c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)
A. Theo chương trình Chu n.
Câu VI.a (2,0 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy. Cho các đi m A(1; 0), B(2; 1) và đư ng th ng d:
2x − y + 3 = 0. Tìm đi m M trên d sao cho MA + MB nh nh t.
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho tam giác ABC. Bi t to đ A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1),
C(–1; 2; 3). Xác đ nh t a đ tâm và bán kính đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC.
Câu VII.a (1,0 đi m) Cho z1, z2 là các nghi m ph c c a phương trình: 2z2 – 4z + 11 = 0.
z1 + z 2
2 2
Tính giá tr c a bi u th c P =
(z1 + z 2 )2
B. Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b (2,0 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho elíp (E): x2 + 4y2 = 4. Tìm các đi m M trên elíp (E)
sao cho góc F1MF2 = 600.
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m I(1; 5; 0) và 2 đư ng th ng:
x y − 4 z +1 x y−2 z
∆1: = = ; ∆2: = =
1 −1 2 1 −3 −3
Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng ∆ đi qua đi m I và c t c 2 đư ng th ng ∆1 và ∆2.
2 z − i = z − z + 2i

Câu VII.b (1,0 đi m) Tìm s ph c z tho mãn: 
z − z = 4

2
()
2
---------- H t ----------
www.MATHVN.com 1

2. www.MATHVN.com
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐI M
Môn Toán - Kh i D
Câu N i dung đáp án Đi m
Câu I 1. (1,0 đi m) Kh o sát hàm s
(2,0 đi m) Khi m = 1 ⇒ y = x3 – 3x2 + 2
• T p xác đ nh: D =
• S bi n thiên: y' = 3x2 – 6x 0,25
lim y = +∞; lim y = −∞
x → +∞ x → −∞
B ng bi n x −∞ 0 2 +∞
thiên y' + 0 − 0 + 0,25
y −∞ 2 −2 +∞
Kho ng đ ng bi n: (−∞; 0), (2; +∞)
Kho ng ngh ch bi n: (0; 2) 0,25
C c đ i: x = 0; y = 2 C c ti u: x = 2; y = −2
• Đ th y
Tâm đ i x ng (1; 0) là đi m u n c a đ th . 2
1
x
-1 2 0,25
O 1 3 4
-1
-2
2) (1,0 đi m) Xác đ nh giá tr m …
Ta có y' = 3x2 – 2(m + 2)x + 1 – m
0,25
∆' = (m + 2)2 – 3(1 – m) = m2 + 7m + 1
x1 – x2 = 2 ⇔ (x1 – x2)2 = 4 ⇔ x 1 + x 2 – 2x1x2 = 4
2
2
 2(m + 2 )  1− m
2
⇔ (x1 + x2) – 4x1x2 – 4 = 0 ⇔ 
2
 – 4. 3 – 4 = 0
0,25
 3 
⇔ m + 7m – 8 = 0
2
∆ ' > 0 m 2 + 7 m + 1 > 0

YCBT ⇔  ⇔  2 ⇔ m = 1 ho c m = –8 0,50
 x1 − x 2 = 2 m + 7 m − 8 = 0

Câu II 1. (1,0 đi m) Gi i phương trình
(2,0 đi m) 2cos6x + 2cos4x – 3 cos2x = sin2x + 3 ⇔ 2(cos6x + cos4x) – sin2x
0,25
– 3 (1 + cos2x) = 0 ⇔ 4cos5xcosx – 2sinxcosx – 2 3 cos2x = 0
⇔ 2cosx(2cos5x – sinx – 2 3 cosx) = 0
cos x = 0
cos x = 0 0,25
⇔  ⇔ 
2 cos 5x = sin x + 3 cos x cos 5x = cos x − π 
 
 
  6
www.MATHVN.com 2

3. www.MATHVN.com
π π π π π
⇔x= + kπ, x = – +k ,x= +k 0,50
2 24 2 36 3
2. (1,0 đi m) Tìm giá tr m …
 x + 1 + y −1 = m

V i đi u ki n x ≥ –1 và y ≥ 1, ta có: 
 x + y = 2m + 1

0,25
 x +1 + y −1 = m
  x +1 + y −1 = m

⇔  ⇔ 
( 2
) ( 2
)
 x + 1 + y − 1 = 2m + 1
 2 x + 1. y − 1 = m 2 − (2m + 1)

Khi đó x + 1 và y − 1 là nghi m không âm c a phương trình:
1 0,25
t2 – mt + (m2 – 2m – 1) = 0 ⇔ 2t2 – 2mt + m2 – 2m – 1 = 0.
2
∆ ' ≥ 0 m 2 − 2(m 2 − 2m − 1) ≥ 0 m 2 − 4m − 2 ≤ 0
  
Ta ph i có S ≥ 0 ⇔ m ≥ 0 ⇔ m ≥ 0
P ≥ 0  2  2
 m − 2m − 1 ≥ 0 m − 2m − 1 ≥ 0
0,50
2 − 6 ≤ m ≤ 2 + 6

⇔ m ≥ 0 ⇔1+ 2 ≤m≤2+ 6

m ≤ 1 − 2 ∨ m ≥ 1 + 2
Câu III Tính tích phân:
(1,0 đi m) x A B C 1 1
Ta có: = + + = −
(x + 1)3
x +1 (x + 1) 2
(x + 1) 3
(x + 1) 2
(x + 1)3
0,25
x (x + 1) − 1 1 1
Có th xét: = = −
(x + 1)3
(x + 1)3
(x + 1) 2
(x + 1)3
 1
1
1 
1 1
∫ (x + 1) ∫ (x + 1)
−2 −3
T đó suy ra: I = ∫  − dx = dx –
(x + 1)3 
dx 0,25
0  (x + 1)
2
 0 0
1
−1 −1
1
1 1 1 1
= – = – +1+ – = 0,50
x +1 0 2(x + 1) 0
2
2 8 2 8
Câu IV Tính th tích hình chóp
(1,0 đi m) G i O ≡ AC ∩ BD, ta có: S
∆BDA = ∆BDC = ∆BDS (c.c.c)
⇒ OA = OC = OS
⇒ ∆CSA vuông t i A D
⇒ AC = a + 1 2
Trong hình thoi ABCD: 0,50
AC2 + BD2 = 2(AB2 + BC2) C H O A
⇔ 1 + a2 = 22
⇔ BD = 3 − a 2 (vì 0 < a < 3 ) B
1 1
⇒ Di n tích đáy: SABCD = AC.BD = a2 +1 . 3 − a 2
2 2
G i H là hình chi u c a S trên m t ph ng (ABCD), ta th y:
0,25
www.MATHVN.com 3

4. www.MATHVN.com
SB = SD ⇒ HB = HD ⇒ H∈OC
1 1 1
Trong ∆CSA vuông t i A: 2
= 2
+
SH SA SC 2
1 1 a2 +1 a
⇔ 2
= 2 +1= 2
⇒ SH =
SH a a a +1
2
1 1 a a
T đó thu đư c th tích V = . a2 +1 . 3 − a2 . = 3− a2 0,25
3 2 a +1
2 6
Câu V Ch ng minh b t đ ng th c:
(1,0 đi m) V i gi thi t a, b, c thu c [0; 2], ta có (2 – a)(2 – b)(2 – c) ≥ 0
0,50
⇔ 8 – 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) – abc ≥ 0
1
⇔ 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) ≤ 4 + abc ≤ 4
2 0,50
D u “=” x y ra ⇔ Có 2 giá tr b ng 0 và 1 giá tr b ng 2 ho c ngư c l i.
Câu VI.a 1. (1,0 đi m) Tìm đi m M …
(2,0 đi m) Ta th y (2xA − yA + 3)(2xB − yB + 3) = (2 − 0 + 3)(2.2 − 1 + 3) = 30 > 0 nên A, B
cùng phía đ i v i đư ng th ng d. 0,25
Qua A, xét đư ng th ng ∆ ⊥ d có phương trình: x + 2y − 1 = 0.
Ta có ∆ c t d t i H = (−1; 1).
G i A' là đi m đ i x ng v i A qua d thì H là trung đi m AA' 0,25
⇔ OA ' = 2 OH − OA ⇔ A' = (−3; 2) ⇒ A' B = (5; −1)
Phương trình đư ng th ng A'B là: x + 5y − 7 = 0
0,25
V i m i đi m M∈d, ta có MA' = MA nên MA + MB = MA' + MB.
Trong đó MA' + MB nh nh t khi A', M, B th ng hàng. V y M ≡ A'B ∩ d. Ta thu
 8 17  0,25
đư c M =  − ; 
 11 11 
2. (1,0 đi m) Xác đ nh tâm và bán kính đư ng tròn ngo i ti p
Ta có AB = (2; 2; –2) và AC = (0; 2; 2) ⇒ Phương trình m t ph ng trung tr c 0,25
c a AB và AC là (P): x + y – z – 1 = 0 và (Q): y + z – 3 = 0
V i [ AB , AC ] = (8; –4; 4)
⇒ vectơ pháp tuy n c a m t ph ng (ABC) là n = (2; –1; 1) 0,25
⇒ Phương trình m t ph ng (ABC): 2x – y + z + 1 = 0.
Ba m t ph ng (P), (Q) và (ABC) c t nhau t i I(0; 2; 1) là tâm đư ng tròn ngo i
0,25
ti p ∆ABC.
Bán kính tương ng là R = IA = (− 1 − 0)2 + (0 − 2)2 + (1 − 1) = 5 0,25
Câu VII.a Tính giá tr bi u th c
(1,0 đi m) 3 2 3 2
Ta có 2z2 – 4z + 11 = 0 ⇔ z1 = 1 – i và z2 = 1 + i
2 2
0,50
18 22
⇒ z1 = z2 = 1 + =
4 2
22 22
+
và z1 + z2 = 2 ⇒ P = 4 4 = 11 0,50
4 4
www.MATHVN.com 4

5. www.MATHVN.com
Câu VI.b 1. (1,0 đi m) Tìm các đi m M trên elíp
(2,0 đi m) x2 3
Ta có x2 + 4y2 = 1 ⇔ + y2 = 1 ⇒ a = 2 và b = 1 ⇒ c = 3 ⇒ e = 0,25
4 2
2 2 2
Trong tam giác F1MF2, theo đ nh lí cosin ta có: F1F 2 = MF 1 + MF 2 –
2.MF1.MF2.cos600 ⇔ F1F 2 = (MF1 + MF2)2 – 2.MF1.MF2 – MF1.MF2
2 0,25
4
= (MF1 + MF2) – 3.MF1.MF2 ⇔ 12 = 4 – 3.MF1.MF2 ⇔ MF1.MF2 =
2 2
3
4 4 3 2 4 8 32
⇔ (a – ex)(a + ex) = ⇔ a2 – e2x2 = ⇔ x =4– = ⇔ x2 =
3 3 4 3 3 9
0,25
4−x 2
1 4 2 1
⇒ y2 = = ⇒x=± và y = ±
4 9 3 3
4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1
Thu đư c: M1( ; ), M2( ; – ), M3(– ; ), M4(– ; – ). 0,25
3 3 3 3 3 3 3 3
2. (1,0 đi m) Vi t phương trình tham s
Ta có: M1(0; 4; −1), u 1 = (1; −1; 2), M2(0; 2; 0), u 2 = (1; −3; −3)
Xét m t ph ng (P) ch a I và ∆1 có [ M 1 I , u 1 ] = n P = (3; −1; −2)
⇒ (P): 3x – y – 2z + 2 = 0 0,50
Xét m t ph ng (Q) ch a I và ∆2 có [ M 2 I , u 2 ] = (−9; 3; −6) = −3(3; −1; 2) ⇒
n Q = (3; −1; 2) ⇒ (Q): 3x – y + 2z + 2 = 0.
V i [ n P , n Q ] = (4; 12; 0) = 4(1; 3; 0) thì d = (P) ∩ (Q) và u d = (1; 3; 0)
x = 1 + t
 0,50
⇒ Phương trình tham s c a d là: y = 5 + 3t
z = 0

Câu VII.b Tìm s ph c
(1,0 đi m) G i z = x + yi, (x, y ∈ ). Ta có z = x – yi, z – i = x + (y – 1)i,
z – z + 2i = 2(y + 1)i, z2 = x2 – y2 + 2xyi, z 2 = x2 – y2 – 2xyi 0,25
⇒ z2 – z 2 = 4xyi
2 z − i = z − z + 2i
 2 x + (y − 1)i = 2(y + 1)i

Khi đó:  ⇔ 
()
z − z = 4

2 2
 4 xyi = 4

2 x 2 + (y − 1)2 = 2 (y + 1)2
 x 2 = 4 y x2 0,50
⇔  ⇔  . Ta th y y = ≥0
 xyi = 1
 xy = ±1 4
3
42 1
nên thu đư c x3 = ±4 ⇒ x = ± 3 4 ⇒ y = = 3
4 4
3 1 1
Ta thu đư c 2 s ph c là z1 = 4 + 3
i và z2 = – 3 4 + 3
i 0,25
4 4
Chú ý: M i l i gi i khác, n u đúng v n ch m đi m t i đa..
www.MATHVN.com 5