1. TRƯỜNG THPT KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA
CHUYÊN NĂM HỌC 2011 – 2012
NGUYỄN HUỆ ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số y = x − 3mx + 3mx − 3 .
3 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =1.
2. Tìm m để hàm số có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn x1 − x2 ≥ 8 .
Câu 2: (2 điểm)
1. Giải phương trình sau 4 − cos2x − 5sin x − 3(sin 2 x − 3cos x) = 0 .
 x+3+ y+3 =4

2. Giải hệ phương trình  .
 x+8 + y +8 =6

Câu 3: (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600.
Gọi M là trung điểm của AB. Tính thể tích tứ diện MSBC và tính khoảng cách giữa SM và AC.
Câu 4: (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD tâm I. Biết hai cạnh AB và AD lần
lượt có phương trình là 2 x − y − 1 = 0 và x − 2 y − 5 = 0 , tâm I thuộc parabol y = x .Tìm tọa độ đỉnh
2
C của hình thoi.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;0;5), B(5;0;2) và mặt phẳng (P): z = 2 . Viết
phương trình đường thẳng ∆ qua B, nằm trong mặt phẳng (P) sao cho d(A, ∆ )=5.
Câu 5: (2 điểm)
ln 7
ex + 2
1. Tính tích phân ∫e
ln 2
x
+ ex + 2
dx .
2. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i sao cho z − 2i + 1 nhỏ nhất.
Câu 6: (1 điểm)
Cho ba số x, y, z không âm thỏa mãn x + y + z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
1
P = 3( xy + yz + zx ) + x 2 + y 2 + z 2 + .
x + y2 + z2
2
------------------------HẾT----------------------
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:…………………………………………………SBD:…………………………………

2. TRƯỜNG THPT KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA
CHUYÊN NĂM HỌC 2011 – 2012
NGUYỄN HUỆ ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN
Câu ý Nội dung Điểm
1 1 y = x − 3x + 3x − 3
3 2
(2điểm) 0,25
TXĐ: R
y ' = 3x 2 − 6 x + 3 . y ' = 0 ⇔ x = 1
Giới hạn: lim y = +∞; lim y = −∞
x →+∞ x →−∞
bảng biến thiên
X -∞ 1 +∞
y’ + 0 +
0,5
Y
+∞
-∞ -2
Hàm số đồng biến trên R
Hàm số không có cực trị
Đồ thị
đồ thị hàm số có điểm uốn là (1; −2)
4
y
2
-5
O
5
0,25
x
-2
-4
-6
Nhận xét: đồ thị nhận điểm (1;-2) tâm đối xứng
2 Hàm số có hai cực trị ⇔ y ' = 3 x − 6mx + 3m = 0 có 2 nghiệm phân biệt
2
m > 1 0,25
⇔ ∆ ' = 9 m 2 − 9m > 0 ⇔ 
m < 0
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình y’ = 0
 x1 + x2 = 2m 0,25
Theo định lý vi-et ta có 
 x1 x2 = m
Suy ra x1 − x2 ≥ 8 ⇔ ( x1 − x2 ) ≥ 8 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 ≥ 8
2 2
0,25

3.  m ≤ −1
4m 2 − 4m ≥ 8 ⇔ 
m ≥ 2 0,25
 m ≤ −1
Vậy 
m ≥ 2
2 1 4 − cos2x − 5sin x − 3(sin 2 x − 3cos x) = 0
(2điểm)
⇔ 4 − (1 − 2sin 2 x) − 5sin x − 3(2sin x cos x − 3cos x) = 0
0,5
⇔ 2sin 2 x − 5sin x + 3 − 3cosx(2sin x − 3) = 0
⇔ (2sin x − 3)(sin x − 1 − 3cosx) = 0
 3
⇔ s inx= 2 (l )

s inx- 3cosx =1

 π π  π 0,25
π 1  x − 3 = 6 + k 2π  x = 2 + k 2π
⇔ sin( x − ) = ⇔  ⇔
3 2  x − π = 5π + k 2π  x = 7π + k 2π

 3 6 
 6
 π
 x = 2 + k 2π
Vậy nghiệm của phương trình là :  (k ∈ Z ) 0,25
 x = 7π + k 2π

 6
2 Đặt x + 3 = a; y + 3 = b (a,b40). Ta có hệ :
a + b = 4

 2
 a + 5 + b + 5 = 6 (1)
2

(1) ⇔ a + b + 10 + 2 (a + 5)(b + 5) = 36
2 2 2 2
0,5
⇔ 16 − 2ab + 10 + 2 a b + 5(a + b ) + 25 = 36
2 2 2 2
⇔ a 2b 2 − 10ab + 105 = 5 + ab
⇔ a 2b 2 − 10ab + 105 = 25 + 10ab + a 2b 2 (vì 5 + ab>0)
⇔ ab = 4
a + b = 4
Ta có  ab = 4 ⇔ a = b = 2 0,25

Với a = b =2 suy ra x = y =1
0,25
Vậy hệ có nghiệm là (1;1)
Vì (SAB) ⊥ (ABC) và (SAC) ⊥ S
(ABC) Suy ra
SA ⊥ ( ABC )
 SA ⊥ BC
Vì  ⇒ BC ⊥ SB
 AB ⊥ BC
H
3 Suy ra
0,25
(1điểm) (( SBC ),( ABC )) = ( SB; AB ) A
N
C
= SBA = 600
⇒ SA = AB.tan 600 = a 3 K M
B

4. 1 1 1 1 a3 3
Ta có : VMSBC = VSABC = . SA.S ABC = SA. AB.BC = 0,25
2 2 3 12 12
Gọi N là trung điểm của AC.
Dựng đường thẳng qua M //AC và qua A//BN cắt nhau tại K.
Gọi H là hình chiếu của A lên SK.
Vì tam giác ABC cân tại B nên BN ⊥ AC ⇒ AK ⊥ AC
0,25
Mà SA ⊥ AC ⇒ AC ⊥ ( SAC ) ⇒ AH ⊥ AC // MK mà AH ⊥ SK
⇒ AH ⊥ ( SMK )
Suy ra d(SM,AC) = d(AC,(SMK)) ( vì AC//(SMK))
= d(A,(SMK)) = AH
1 1 1 1 4 1 8 25
Ta có 2
= 2+ 2
= 2+ 2
= 2+ 2= 2 0,25
AH SA AK SA BN 3a a 3a
a 3
Vậy d(SM,AC) =
5
1 2 x − y − 1 = 0
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ  ⇒ A(−1; −3) 0,25
x − 2 y − 5 = 0
Gọi I(a2;a) thuộc parabol x = y2 .
Vì ABCD là hình thoi nên : d(I,AB) = d(I,AD)
2a 2 − a − 1 a 2 − 2a − 5 2a 2 − a − 1 = a 2 − 2 a − 5
= ⇔ 2
 2a − a − 1 = − a + 2a + 5
2
5 5 0,5
 a 2 + a + 4 = 0(vô nghiêm)  a = −1
 2 ⇔
3a − 3a − 6 = 0 a = 2
Với a = -1 ⇒ I(1;-1) ⇒ C(3;1) 0,25
Với a = 2 ⇒ I(4;2) ⇒ C(9;7)
2 Gọi H(x,y,z) là hình chiếu của A lên ∆. AH ( x; y; z − 5); BH ( x − 5; y; z − 2)
Vì H ∈ (P) ⇒ z =2
d(A,∆) = AH = 5 ⇒ x + y + ( z − 5) = 25 ⇒ x + y = 16
2 2 2 2 2
0,25
Vì AH ⊥∆ ⇒ AH ⊥ BH ⇒ x( x − 5) + y + ( z − 5)( z − 2) = 0
2
4
(2điểm) ⇒ x2 − 5x + y 2 = 0
 16
z = 2 x = 5
 2 
Vậy ta có hệ  x + y = 16 ⇔ z = 2
2
0,25
 x2 − 5x + y 2 = 0  12
 y = ±
 5
16 12
+)Với H ( ; ;2) : đường thẳng ∆ qua B có vtcp
5 5
0,25
 x = 5 + 3t
9 12 
BH (− ; ;0) //(3; −4;0) là:  y = −4t
5 5 z = 2

 x = 5 + 3t
16 12 
+)Với H ( ; − ;2) : đường thẳng ∆ qua B,H là:  y = 4t
5 5 0,25
z = 2


5. 5 1 ln 7
ex + 2 ln 7
ex 7 ln 7 ex
(2điểm) I= ∫ x dx = ∫ (1 − x )dx = ln − ∫ x dx
ln 2 e + ex + 2 ln 2 e + ex + 2 2 ln 2 e + e x + 2 0,25
Đặt t = e + 2 ⇒ t = e + 2 ⇒ 2tdt = e dx
x 2 x x
Đổi cận : x=ln2 ⇒ t =2 ; x =ln7 ⇒ t =3
ln 7
ex 3
2t 3
2t
∫2 e x + e x + 2 dx = ∫ 2 dt = ∫ dt
ln 2 t −2+t 2 (t − 1)(t + 2)
0,5
23 1 43 1 2 3 4 3 4
= ∫ dt + ∫ dt = ln| t − 1| 2 + ln| t + 2 | 2 = ln 5 − 2ln 2
3 2 t −1 32t+2 3 3 3
7 4 4
Vậy I = ln − ln 5 + 2ln 2 = ln 7 − ln 5 + ln 2 0,25
2 3 3
2 Gọi z = a + bi (a,b ∈ R)
0,25
z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ (a − 2) + (b − 4)i = a + (b − 2)i
( a − 2) 2 + (b − 4) 2 = a 2 + (b − 2) 2 ⇔ a = 4 − b
0,25
Mặt khác ta có :
z − 2i + 1 = (a + 1) + (b − 2)i = (a + 1)2 + (b − 2)2
7 9 3 2
= (4 − b + 1) 2 + (b − 2) 2 = 2b 2 − 14b + 29 = 2(b − ) 2 + ≥ 0,25
2 2 2
3 2 7 1
Suy ra z − 2i + 1 min = khi b = ⇒ a =
2 2 2
1 7 0,25
Vậy z = + i
2 2
6 3 1
(1điểm) ⇒ P = [( x + y + z ) 2 − x 2 − y 2 − z 2 ]+ x 2 + y 2 + z 2 + 2
2 x + y2 + z2
t 2 = x 2 + y 2 + z 2 ≤ ( x + y + z ) 2 = 1

Đặt t = x + y + z . Ta có :  2
2 2 2
1 1
t = x + y + z ≥ 3 ( x + y + z ) = 3
2 2 2 2

3 3 1
⇒ P = − t 2 +t + 2
2 2 t
3 3 2 1 1
Xét f (t ) = − t +t + 2 , t ∈ [ ;1]
2 2 t 3
2 1
⇒ f '(t ) = −3t + 1 − 3 < 0, ∀t ∈ [ ;1]
t 3
⇒ P ≥ f (t ) ≥ f (1) = 2
Vậy min P = 2 khi t =1 khi x= y =0,z =1 và các hoán vị
Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa