1. TÝch ph©n
Ph¬ng ph¸p tÝnh TÝch ph©n

Mời Thầy cô vào http://violet.vn/n2chanoi để có
nhiều tư liệu cùng loại
I. TÝnh tÝch ph©n b»ng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn:
Nh÷ng phÐp ®æi biÕn phæ th«ng:
- NÕu hµm cã chøa dÊu ngoÆc kÌm theo luü thõa th× ®Æt t lµ phÇn bªn trong
dÊu ngoÆc nµo cã luü thõa cao nhÊt.
- NÕu hµm chøa mÉu sè th× ®Æt t lµ mÉu sè.
- NÕu hµm sè chøa c¨n thøc th× ®Æt t lµ phÇn bªn trong dÊu c¨n thøc.
dx
- NÕu tÝch ph©n chøa th× ®Æt t = ln x .
x
- NÕu tÝch ph©n chøa e x th× ®Æt t = e x .
dx
- NÕu tÝch ph©n chøa x
th× ®Æt t= x.
dx 1
- NÕu tÝch ph©n chøa th× ®Æt t = .
x 2
x
- NÕu tÝch ph©n chøa cos xdx th× ®Æt t = sin x .
- NÕu tÝch ph©n chøa sin xdx th× ®Æt t = cos x .
dx
- NÕu tÝch ph©n chøa th× ®Æt t = tgx .
cos 2 x
dx
- NÕu tÝch ph©n chøa th× ®Æt t = cot gx .
sin 2 x
Bµi tËp minh ho¹:
1 1
1. ∫ ( x + 1) ( x + 2x − 1) dx
3
e
dx 1
e x dx
2. ∫ x.3 1 − xdx 3. ∫ ∫ ex − 1
2
4.
0 0 1 x. 1 − ln 2 x 0
π π π
1
dx 3
5. ∫ 6. ∫
2
cos xdx 7. ∫ 4 sin xdx
2
8.
4
e tgx dx
0 x 1+ x
0 sin x − 5 sin x + 6
2
0 1 + cos x
∫ cos 2 x
0
π
dx
2 1
9. ∫ 10. ∫ x . 1 − x dx
3 2
4
π sin x 0
4
II. TÝnh tÝch ph©n b»ng ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn:
b b
b
C«ng thøc: ∫ f ( x )dx = uv a − ∫ vdu . Nh vËy viÖc chän ®îc u vµ dv cã vai trß
a a
quyÕt ®Þnh trong viÖc ¸p dông ph¬ng ph¸p nµy.
Ta thêng gÆp ba lo¹i tÝch ph©n nh sau:
Lo¹i 1:
-N2C- 1

2. TÝch ph©n
b
 ∫a Pn (x).sin f (x).dx
b

 ∫ Pn (x).cos f (x).dx ⇒ u = Pn (x) : Trong ®ã Pn ( x ) lµ ®a thøc bËc n.
a
 b f ( x)
 ∫ Pn (x).e .dx
a
Ta ph¶i tÝnh n lÇn tÝch ph©n tõng phÇn.
b
Lo¹i 2: ∫ P( x). ln f ( x).dx ⇒ u = ln f ( x) : TÝnh n lÇn tÝch ph©n tõng phÇn.
n n
a
 b αx
 ∫a e . sin β x.dx
Lo¹i 3:  b §©y lµ hai tÝch ph©n mµ tÝnh tÝch ph©n nµy ph¶i tÝnh
 e α x . cos β x.dx
 ∫a
lu«n c¶ tÝch ph©n cßn l¹i. Th«ng thêng ta lµm nh sau:
b
- TÝnh ∫ e . sin βx.dx :§Æt u = e αx . Sau khi tÝch ph©n tõng phÇn ta l¹i cã tÝch
αx
a
ph©n
b
∫e
αx
. cos βx.dx .Ta l¹i ¸p dông TPTP víi u nh trªn.
a
- Tõ hai lÇn TPTP ta cã mèi quan hÖ gi÷a hai tÝch ph©n vµ dÔ dµng t×m ®îc
kÕt qu¶.
Bµi tËp minh ho¹:
π
e π
1. ∫ ( x − x + 1) . sin x.dx 2. ∫ x . ln x.dx
2
3. ∫ x . cos 3x.dx
3 2 2
2
1 0
0
π π π
2 2 2
4. ∫ e 3 x . cos 5x.dx 5. ∫ e 2003 x . sin 2004x.dx 6. ∫ e 2 x . sin 2 x.dx
0 0 0
Ngoµi ra ta xÐt thªm mét vµi bµi tÝch ph©n ¸p dông ph¬ng ph¸p TPTP nhng
kh«ng theo quy t¾c ®Æt ë trªn:
π
eπ 2
x 8 .dx  ln x 
3 1
x 2 e x .dx
1. ∫ cos( ln x ) .dx 5. ∫ 1 + sin x .e x dx
e
2
2. ∫ (x 4
− 1)
3 3. ∫ 
1  x 
 .dx 4. ∫ ( x + 2) 2
0 1 + cos x
1 0 0
III. TÝch ph©n hµm ph©n thøc h÷u tû:
PhÇn 1: TÝch ph©n h÷u tû c¬ b¶n.
A A
1. a.D¹ng: ∫ dx = ln ax + b + C
ax + b a
ax + b a A
b.D¹ng: ∫ dx =∫ dx + ∫ dx
cx + d c cx + d
-N2C- 2

3. TÝch ph©n
ax 2 + bx + c C
c. D¹ng: ∫ dx = ∫ ( Ax + B ) dx + ∫ dx
dx + e dx + e
dx
2. a.D¹ng: ∫ 2
ax + bx + c
dx 1 ( x − x ) − ( x − x ) dx
- NÕu ∆ > 0 : ∫ = ∫ a( x − x )( x − x ) = ...
1 2
a( x − x 1 )( x − x 2 ) x 2 − x 1 1 2
dx
∫ =...
- NÕu ∆ = 0 : a x −
2
b 
 
 2a 
dx
- NÕu ∆ < 0 : ∫ ( x − α) 2 + β 2 §Æt ( x − α) = β.tgt
Ax + B
3. D¹ng: I = ∫ 2 dx
ax + bx + c
Ph©n tÝch: I = ∫ 2
Ax + B
dx = m.∫
( ax 2 + bx + c) ' dx + n. dx
ax + bx + c ax + bx + c
2 ∫ ax 2 + bx + c
dx
= m. ln ax 2 + bx + c + n.∫
ax + bx + c
2
Bµi tËp minh ho¹:
1
2004x − 2003 2
dx 4
dx 1
dx
1. ∫ dx 2. ∫ 3. ∫ 2 4. ∫ 2
0 2003 x + 2004 1 6 + x + 5x 0 x − 6x + 9 0 x + x + 1
2
2
2x + 3 1
4 − 3x
5. ∫ dx 6. ∫ 2 dx
1 6 + x + 5x 0 x + x + 1
2
b
A( x )
PhÇn 2: TÝch ph©n h÷u tû tæng qu¸t. ∫ Q( x) dx
a
- Bíc 1: NÕu bËc cña A(x) lín h¬n bËc cña B(x): Chia chia A(x) cho B(x). Ta
ph¶i tÝnh tÝch ph©n:
b
P( x )
∫ Q( x ) dx
a
- Bíc 2:
+ NÕu Q(x) chØ toµn nghiÖm ®¬n: Q( x) = ( x − a 1 )( x − a 2 ) ...( x − a n ) , ta t×m
A 1 , A 2 ...A n sao cho :
P( x ) A1 A2 An
= + + .. +
Q( x ) x − a 1 x − a 2 x − an
+ NÕu Q(x) gåm c¶ nghiÖm ®¬n vµ nghiÖm béi: Q( x) = ( x − a )( x − b )( x − c ) , ta t×m
2
A , B ,C 1 ,C 2 sao cho :
P( x ) A B C1 C2
= + + +
Q( x ) x − a x − b ( x − c )
2
( x − c)
+ NÕu Q(x) gåm nh©n tö bËc hai ®¬n vµ nh©n tö bËc hai ®¬n:
Q( x ) = ( x − a ) ( x 2 + px + q ) , ta t×m A , B , C sao cho :
P( x ) A Bx + C
= + 2
Q( x) x − a x + px + q
+ NÕu Q(x) gåm nh©n tö bËc hai ®¬n vµ nh©n tö bËc hai béi:
Q( x ) = ( x − a ) ( x 2 + px + q ) , ta t×m A, B 1 , C1 , B 2 , C 2 sao cho :
2
P( x ) A B x + C1 B x + C2
= + 2 1 + 22
Q( x) x − a ( x + px + q ) x + px + q
2
-N2C- 3

4. TÝch ph©n
Bµi tËp minh ho¹:
3
4x + 16x − 8
2 2
3x + 3x + 3
2 5
x+1
1. ∫ dx 2. ∫ 3 dx 3. ∫ 3 dx
x 3 − 4x 1 x − 3x + 2 2 x − x
2
2
IV. TÝch ph©n hµm v« tû ®¬n gi¶n:
b b
dx
: §æi n ax + b = ( ax + b ) n
1
1.D¹ng: ∫ ax + b .dx; ∫ n
n
a a ax + b
b
2.D¹ng: ∫
a
ax 2 + bx + c .dx
b
- NÕu a>0 : TÝch ph©n cã d¹ng ∫
a
u 2 +a 2 du ®Æt u=atgt
u u2
HoÆc chøng minh ngîc c«ng thøc: ∫ u + a du = u + a + ln u + u + a + C
2 2 2 2 2 2
2 2
b
-- NÕu a<0 : TÝch ph©n cã d¹ng ∫
a
a 2 −u 2 du ®Æt u=asint
b
dx
3.D¹ng: ∫
ax 2 + bx + c
a
dx 1 ( x − x1 ) − ( x − x 2 ) dx
- NÕu ∆ > 0 : ∫ = ∫ a( x − x )( x − x ) = ...
a( x − x 1 )( x − x 2 ) x 2 − x 1 1 2
dx dx
∫ =∫
 b 
=
- NÕu ∆ = 0 :
2
 b  ax − 
a x − 
 2a   2a 
dx
- NÕu ∆ < 0 : Víi a>o: ∫ ( x − α) 2
+ β2
§Æt ( x − α) = β.tgt
du
HoÆc chøng minh ngîc c«ng thøc: ∫ = ln u + u 2 + a 2 + C
u2 + a2
dx
Víi a<0: ∫ β − ( x − α)
2 2 §Æt ( x − α) = β. sin t
Bµi tËp minh ho¹:
3
dx 1
dx 1
dx 1
dx
1. I = ∫ 2. I = ∫ 3. I = ∫ 4. I = ∫
0 x − 3x + 2
2
0 x + 2x + 1
2
0 x + x+1
2
0 − x − 2x + 3
2
1 1
5. I = ∫ x + x + 1.dx 6. I = ∫ − x − 2x + 3 .dx
2 2
0 0
b
dx 1
4.D¹ng ∫ (x + α) §Æt ( x + α ) =
a ax + bx + c
2
t
1
dx 1
dx
BTMH: 1. ∫ 2. ∫ ( 2x + 4 )
0 ( x + 1) x + x+1
2
0 x 2 + 2x
m q
( p
)
5.D¹ng: ∫ R n ( ax + b ) ; ( ax + b ) .dx §Æt t = ( ax + b ) s víi s lµ BCNN cña n vµ q.
1
1
dx 1
dx 1 6
x
BTMH: ∫0 3 ∫ ∫1+ dx
( 2x + 1) 2
− ( 2 x + 1) 0 ( 1 − 2x ) − 4
( 1 − 2x ) 0
3
x
V. TÝch ph©n hµm sè lîng gi¸c:
-N2C- 4

5. TÝch ph©n
b
1.D¹ng: ∫ f ( sin x; cos x ) dx
a
- NÕu f lµ hµm lÎ theo sinx: §Æt t=cosx.
- NÕu f lµ hµm lÎ theo cosx: §Æt t=sinx.
- NÕu f lµ hµm ch½n theo sinx vµ cosx: §Æt t=tgx.
Bµi tËp minh ho¹:
π π π π
2 3
1. ∫ sin x dx 2. ∫ cos x dx 3. ∫
6
dx 3 4
4.
4
dx
3
0 cos x 0 4 + sin x
3
0 sin x. cos x
∫ ( sin x + cos x ) 2
0
b
2.D¹ng: ∫ sin x. cos x.dx
m n
a
- NÕu m vµ n ch½n: H¹ bËc.
- NÕu m lÎ: §Æt t=cosx.
- NÕu n lÎ: §Æt t=sinx.
Bµi tËp minh ho¹:
π π π π
1. ∫ sin 3 x. cos 2 x.dx 2. ∫ sin 4 x. cos 2 x.dx 3. ∫ sin x dx 4. dx
2 2 4 2 2
0 0
2
0 cos x
∫ cos
0
4
x. sin 4 x
b
3.D¹ng: ∫ R ( sin x;cos x ) .dx trong ®ã R lµ hµm h÷u tØ theo sinx, cosx.
a
x 2dt 2t 1 − t2 2t
§Æt t = tg ⇒ dx = ; sin x = ; cos x = ; tgx =
2 1+ t 2
1+ t 2
1+ t 2
1 − t2
b
dx
Cô thÓ lµ hµm: I = ∫
a a sin x + b cos x + c
Bµi tËp minh ho¹:
π π π
dx 2. I = ∫ ( 1 + sin x ) dx 3. I = ∫ dx
4 2 2
1. I = ∫
0 sin x + cos x + 1 0 sin x .( cos x + 1) 0 ( cos x + 2 )
b
a sin x + b cos x
4.D¹ng: I = ∫ dx
a c sin x + d cos x
Ph©n tÝch: (Tö sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’
b
a sin x + b cos x b b
c cos x − d sin x b b
d( c sin x + d cos x )
I=∫ dx = A ∫ dx + B.∫ dx = A ∫ dx + B.∫ Bµi
a c sin x + d cos x a a c sin x + d cos x a a c sin x + d cos x
π
tËp minh ho¹: I = ∫ 3 sin x − 2 cos x dx
2
0 4 sin x + 3 cos x
b
a 1 sin x + b 1 cos x + c 1
5.D¹ng: I = ∫ dx
a a 2 sin x + b 2 cos x + c 2
Ph©n tÝch: (Tö sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’+C
b b
a 2 cos x − b 2 sin x b
dx
I = A ∫ dx + B ∫ dx + + C∫
a a a 2 sin x + b 2 cos x + c 2 a a 2 sin x + b 2 cos x + c 2
b b
d( a 2 sin x + b 2 cos x + c 2 )
= A ∫ dx + B ∫ + C.J
a a a 2 sin x + b 2 cos x + c 2
J lµ tÝch ph©n tÝnh ®îc.
-N2C- 5

6. TÝch ph©n
π π
Bµi tËp minh ho¹: 1. I = ∫ sin x − cos x + 1 dx 2. I = ∫ sin x + 1
2 2
dx
0 sin x + 2 cos x + 3 0 3 sin x − 4 cos x + 5
VI. PhÐp ®æi biÕn ®Æc biÖt:
b
I = ∫ f ( x )dx
a
Khi sö dông c¸c c¸ch tÝnh tÝch ph©n mµ kh«ng tÝnh ®îc ta thö dïng phÐp ®æi
biÕn:
t = ( a + b ) − x .Thùc chÊt cña phÐp ®æi biÕn nµy lµ nhê tÝnh chÊt ch½n lÎ cña
hµm sè f(x).
Bµi tËp minh ho¹:
π
( )
π
2
cos x 1
x sin x 1
sin 2004x
1. I = ∫ x dx 2. I = ∫ ln x + x + 1 dx 3. I = ∫
3 2
dx 4. I = ∫ dx
πe + 1 0 1 + cos x −1 2003 + 1
2 x
−1
−
2
Chøng minh r»ng:
a a
1. NÕu f(x) lµ hµm sè ch½n vµ liªn tôc trªn [ − a; a] th×: ∫ f ( x )dx = 2.∫ f ( x )dx
−a 0
a
2. NÕu f(x) lµ hµm sè lÎ vµ liªn tôc trªn [ − a; a] th×: ∫ f ( x )dx =0
−a
π π π π
2 2 2 2
3. ∫ f (sin x )dx =∫ f (cos x )dx 4. ∫ x.f (sin x )dx =π∫ f (sin x )dx
0 0 0 0
-N2C- 6