1 ung dung tphan 2

244 views
128 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
244
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
1
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

1 ung dung tphan 2

  1. 1. lª hång ®øc vµ nhãm cù m«n Gi¶i tÝch 12 øng dông tÝch ph©n tÝnh thÓ tÝch vËt thÓ Bµi gi¶ng ®îc tr×nh bµy cho c¸c em häc sinh b»ng viÖc sö dông gi¸o ¸n ®iÖn tö Ngêi thùc hiÖn: Lª hång ®øc §iÖn tho¹i: 0936546689 §Þa chØ: Sè nhµ 20 − Ngâ 86 − §êng T« Ngäc V©n − T©y Hå− Hµ Néi 115
  2. 2. øng dông tÝch ph©n §6 ®Ó tÝnh thÓ tÝch vËt thÓ A. bµi gi¶ng1. thÓ tÝch cña vËt thÓ Gi¶ sö vËt thÓ T ®îc giíi h¹n bëi hai mÆt ph¼ng song song (α), (β). Ta chän trôc Ox sao cho: y Ox ⊥ (α) vµ gi ¶ sö Ox ∩( α) = a  Ox ⊥ (β) vµ gi ¶ sö Ox ∩(β) = b Gi¶ sö mÆt ph¼ng (γ) ⊥ Ox vµ (γ) ∩ Ox =x (a ≤ x ≤ b) c¾t T theo mét thiÕt diÖn cãdiÖn tÝch S(x) (lµ hµm sè liªn tôc theo biÕnx). Khi ®ã, thÓ tÝch V cña vËt thÓ T ®îc O a x b xcho bëi c«ng thøc: b V= ∫ S(x)dx . aThÝ dô 1: TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ: π a. N»m gi÷a hai mÆt ph¼ng x = 0 vµ x = 2 , biÕt r»ng thiÕt diÖn cña vËt thÓ bÞ c¾t bëi mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc Ox t¹i ®iÓm π cã hoµnh ®é x (0 ≤ x ≤ 2 ) lµ mét h×nh vu«ng c¹nh sin3 x . b. N»m gi÷a hai mÆt ph¼ng x = 1 vµ x = 4, biÕt r»ng thiÕt diÖn cña vËt thÓ bÞ c¾t bëi mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x (1 ≤ x ≤ 4) lµ mét tam gi¸c ®Òu c¹nh lµ x −1 . Gi¶ia. DiÖn tÝch thiÕt diÔn S(x) ®îc cho bëi: ( ) 1 2 S(x) = sin 3 x = sin3x = ( 3sin x − sin 3x ) . 4 Khi ®ã, thÓ tÝch vËt thÓ ®îc cho bëi: π2 1 1 1 1  π /2 V= ∫ S(x)dx −1 = 4 ∫ ( 3sin x − sin 3x )dx = 0  −3cos x + cos 3x ÷ 4 3  0 2 = 3 .b. DiÖn tÝch thiÕt diÔn S(x) ®îc cho bëi: 3 ( ) 3 ( ) . 2 S(x) = 4 x −1 = 4 x − 2 x +1116
  3. 3. Khi ®ã, thÓ tÝch vËt thÓ ®îc cho bëi: 1 4 31 2 4 3 4 V = ∫ S(x)dx = 3 4 ∫ ( x − 2 x +1 dx ) =  x − x 2 + x ÷1 4 2 3 = 73 24 . −1 1  NhËn xÐt: Nh vËy, ®Ó tÝnh c¸c thÓ tÝch vËt thÓ trªn:  ë c©u a) v× thiÕt diÖn lµ h×nh vu«ng (gi¶ sö c¹nh b»ng a) nªn ta cã ngay S = a2.  ë c©u b) v× thiÕt diÖn lµ tam gi¸c ®Òu (gi¶ sö c¹nh b»ng a) nªn ta a2 3 cã ngay S = 4 . Ho¹t 1. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ n»m gi÷a hai mÆt ph¼ng x ®éng = 0 vµ x = π, biÕt r»ng thiÕt diÖn cña vËt thÓ bÞ c¾t bëi mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x (0 ≤ x ≤ π) lµ mét tam gi¸c ®Òu c¹nh lµ 2 sin x . 2. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ n»m gi÷a hai mÆt ph¼ng x = –1 vµ x = 1, biÕt r»ng thiÕt diÖn cña vËt thÓ bÞ c¾t bëi mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x (–1 ≤ x ≤ 1) lµ mét h×nh vu«ng c¹nh 2 1− x2 .ThÓ tÝch khèi nãn vµ khèi chãp, khèi nãn côt vµ khèi cÇu a. ThÓ tÝch khèi nãn (khèi chãp) cã diÖn tÝch ®¸y b»ng B vµ chiÒu cao 1 h ®îc cho bëi V = 3 Bh. b. ThÓ tÝch khèi nãn côt (khèi chãp côt) cã diÖn tÝch hai ®¸y lµ B1, B2 vµ chiÒu cao h ®îc cho bëi: 1 V= 3 (B1 + B2 + B1.B2 )h. c. ThÓ tÝch cña khèi cÇu cã b¸n kÝnh R ®îc cho bëi: 4 V= 3 πR3.2. ThÓ tÝch khèi trßn xoayD¹ng 1: ThÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh bëi miÒn (D) giíi h¹n bëi y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay quanh trôc Ox ®îc cho bëi c«ng thøc: b b V = π ∫ y2dx = π ∫ f 2 (x)dx . a aThÝ dô 2: Cho h×nh ph¼ng A giíi h¹n bëi c¸c ®êng y = 0, x = 4 vµ y = x– 1. TÝnh thÓ tÝch cña khèi trßn xoay t¹o thµnh khi quay h×nh A quanhtrôc hoµnh. 117
  4. 4.  Gi¶i §iÒu kiÖn: x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⇔ x ≥ 1. Khi ®ã, thÓ tÝch vËt thÓ ®îc cho bëi: 4 4 4 4 1 4 3  7π V= π ∫ y 2dx = π∫ ( x − 1)2 dx = π∫ (x − 2 x + 1)dx = π x2 − x 2 + x ÷ = 1 1 1  2 3 1 6. NhËn xÐt: Nh vËy, ®Ó tÝnh c¸c thÓ tÝch khèi trßn xoay trªn chóng tasö dông ngay c«ng thøc trong d¹ng 1. Ho¹t TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay do h×nh ph¼ng ®éng S = {y = xlnx; y = 0; x = 1; x = e} quay quanh Ox.D¹ng 2: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh bëi miÒn (D) giíi h¹n bëi x = f(y), y = a, y = b, x = 0, quay quanh trôc Oy ®îc cho bëi c«ng thøc: b b V = π ∫ x 2dy = π ∫ f 2 (y)dy . a aThÝ dô 3: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o thµnh khi quay quanh trôc tungmét h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y = 3 − x2, trôc tung vµ ®êngth¼ng y = 1. Gi¶i BiÕn ®æi hµm sè vÒ d¹ng: y = 3 − x2 ⇔ x2 = 3 − y (cÇn cã ®iÒu kiÖn 3 − y ≥ 0 ⇔ y ≤ 3). Khi ®ã, thÓ tÝch vËt thÓ ®îc cho bëi: 3 3  y2  3 V = π ∫ x 2dy = π ∫ (3 − y)dy = π  3y − ÷ 1 = 2π. 1 1  2 NhËn xÐt: Nh vËy, ®Ó tÝnh c¸c thÓ tÝch khèi trßn xoay trªn chóng tacÇn thùc thªm c«ng viÖc biÕn ®æi hµm sè vÒ d¹ng x = f(y) vµ ë ®©y nhê®iÒu kiÖn cã nghÜa cña y chóng ta nhËn ®îc cËn y = 3. 2 Ho¹t 1. Cho h×nh ph¼ng A giíi h¹n bëi c¸c ®êng x = ,y=1 y ®éng vµ y = 4. TÝnh thÓ tÝch cña khèi trßn xoay t¹o thµnh khi quay h×nh A quanh trôc tung. 2. Cho h×nh ph¼ng B giíi h¹n bëi ®êng cong cã ph¬ng tr×nh x(y + 1) = 2 vµ c¸c ®êng th¼ng x = 0, y = 0, y = 3.118
  5. 5. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o ®îc khi quanh B quanh trôc tung. B. ph¬ng ph¸p gi¶i C¸c d¹ng to¸n thêng gÆp ph¬ng thêng Bµi to¸n 1: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ.Ph¬ng ph¸p ¸p dông Sö dông kiÕn thøc trong phÇn "C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch" vµ h·y hiÓucÇn thùc hiÖn theo hai bíc.VÝ dô 1: TÝnh thÓ tÝch khèi nãn ®Ønh S, ®¸y lµ mét ElÝp cã nöa ®édµi hai trôc b»ng a; b, chiÒu cao h. Gi¶i S Ta cã:  DiÖn tÝch ®¸y ®îc cho bëi B = πab. 1 π abh A H B  ThÓ tÝch vËt thÓ ®îc cho bëi V = 3 Bh = 3 . Chó ý: Ta sö dông ®Þnh nghÜa Viªn ph©n Parabol lµ miÒngiíi h¹n bëi mét Parabol vµ mét c¸t tuyÕn song song víi tiÕptuyÕn t¹i ®Ønh cña nã:  AB ®îc gäi lµ ®¸y cña viªn ph©n.  SH ®îc gäi lµ chiÒu cao cña viªn ph©n.VÝ dô 2: TÝnh thÓ tÝch khèi nãn ®Ønh S, chiÒu cao h, ®¸y lµ miÒn Dgiíi h¹n bëi Parabol cã ®¸y b»ng chiÒu cao vµ b»ng 2a. Híng dÉn: Chän hÖ trôc to¹ ®é thÝch hîp. z Gi¶i 2a A Chän hÖ trôc to¹ ®é sao cho viªn ph©nParabol ®¸y ë trong mÆt ph¼ng Oyz nhËn Oz Slµm trôc ®èi xøng vµ ®¸y cña viªn ph©n thuéc C −a Otrôc Oy, khi ®ã: x h x B  Ph¬ng tr×nh Parabol ®¸y (ABC) ®îc cho a y bëi z = my2 + 2a 2 MÆt kh¸c z( ± a) = 0 ⇒ m = − a . 2 VËy ph¬ng tr×nh Parabol ®¸y (ABC): z = − a y2 + 2a.  DiÖn tÝch ®¸y ®îc cho bëi: 119
  6. 6. a 2 2 3 8a2 ∫ (− a y + 2a)dy 2 (− a y B= −a = 3a + 2ay) −a = 3 .  DiÖn tÝch thiÕt diÖn ®îc cho bëi: 2 S(x)  h − x  8a2 = B  h  ÷ ⇔ S(x) = 3h2 .(h − x)2.  ThÓ tÝch vËt thÓ ®îc cho bëi: h h 8a2 8a2 h 8a 2 h V = ∫ S(x)dx ∫ (h − x) dx 2 (h − x)3 0 0 = 3h2 0 = 9h 2 = 9 . Bµi to¸n 2: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay d¹ng 1.Ph¬ng ph¸p ¸p dông Ta cã hai d¹ng sau: D¹ng 1: Víi yªu cÇu " TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh bëi miÒn (D) giíi h¹n bëi y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay quanh trôc Ox" ta ¸p dông c«ng thøc: b b V = π ∫ y2dx = π ∫ f 2 (x)dx . a a D¹ng 2: Víi yªu cÇu "TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh bëi miÒn (D) giíi h¹n bëi x = f(y), y = a, y = b, x = 0, quay quanh trôc Oy " ta ¸p dông c«ng thøc: b b V = π ∫ x 2dy = π ∫ f 2 (y)dy . a aVÝ dô 1: Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi: π D = {y = tanx; x = 0; x = 3 ; y = 0}. a. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D. b. TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay khi D quay quanh Ox. Gi¶ia. §S: S = ln2 (®vdt).b. ThÓ tÝch vËt trßn xoay cÇn tÝnh lµ: π π 3 3 π3  π V = =  1  = π ( tan x − x ) = π  3− ÷ π ∫ tan 2 xdx π∫  − 1÷dx 0  3 0 0 cos 2 x  (®vtt).VÝ dô 2: TÝnh thÓ tÝch cña khèi trßn xoay t¹o nªn khi ta quay quanhtrôc Ox h×nh ph¼ng S giíi h¹n bëi c¸c ®êng: y = xex, x = 1, y = 0, víi 0 ≤ x ≤ 1.120
  7. 7.  Gi¶i Hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®êng y = xex vµ y = 0 lµ nghiÖm cña ph¬ngtr×nh: xex = 0 ⇔ x = 0. 1 ThÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay cÇn tÝnh ®îc cho bëi V = π ∫ (xe x ) 2 dx . 0 §Ó tÝnh tÝch ph©n trªn ta sö dông ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn,®Æt:  du = 2xdx u = x 2    ⇔  1 2x .  dv = e dx v = 2 e 2x   Khi ®ã: 1 1 1  π e2 V= π x 2 e 2x ÷ 1 − π∫ xe 2 x dx 2  0 = 2 − π ∫ xe2x dx . (1) 0 0 1 XÐt tÝch ph©n I = ∫ xe , ®Æt: 2x dx 0  du = dx u = x    ⇔  1 2x  dv = e dx v = 2e 2x   Khi ®ã: 1 1 1 1 e2 1 1 e2 ∫e 2x − dx − 0 0 I= 2 xe2x 2 0 = 2 4 e2x = 4 . (2) Thay (2) vµo (1), ta ®îc: π V= 2 (e − 1) (®vtt).VÝ dô 3: TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quayxung quanh Ox cña h×nh giíi h¹n bëi trôc Ox vµ Parabol (P): y = x2 − ax (a >0). Gi¶i Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ Ox lµ: x = 0 x2 − ax = 0 ⇔ x = a .  Khi ®ã thÓ tÝch cÇn x¸c ®Þnh ®îc cho bëi: 121
  8. 8. a a π a5 V = π ∫ (x 2 − ax)2 dx = π ∫ (x 4 − 2ax 3 + a 2 x 2 )dx = 30 . 0 0VÝ dô 4: TÝnh thÓ tÝch h×nh Elipxoit trßn xoay sinh ra bëi ElÝp (E): 2 2 x y + a 2 b2 =1 khi nã quay quanh trôc Ox. Gi¶i Elipxoit trßn xoay sinh ra do quay ElÝp (E) quanh Ox, do vËy: a a π b2 π b2 1 4 V = π ∫ y2dx = a2 ∫ (a 2 − x 2 )dx = a2 (a2x − 3 x3) a −a = 3 πab2. −a −a 4 Chó ý: ¸p dông cho h×nh cÇu b¸n kÝnh R, ta ®îc a = b = R, do ®ã V = 3πR3. Bµi to¸n 3: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay d¹ng 2Ph¬ng ph¸p ¸p dông Ta cã hai d¹ng sau: D¹ng 1: Víi yªu cÇu " TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh bëi miÒn (D) giíi h¹n bëi y = f(x), y = g(x), x = a, x = b quay quanh trôc Ox" ta ¸p dông c«ng thøc: b V = π∫ f 2 (x) − g 2 (x) dx . a D¹ng 2: Víi yªu cÇu " TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh bëi miÒn (D) giíi h¹n bëi x = f(y), x = g(y), y = a, y = b quay quanh trôc Oy" ta ¸p dông c«ng thøc: b V = π∫ f 2 (y) − g 2 (y) dy . aVÝ dô 5: Cho h×nh ph¼ng (G) giíi h¹n bëi y = 4 − x2; y = x2 + 2. Quayh×nh ph¼ng (G) quanh Ox ta ®îc mét vËt thÓ. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ nµy. Gi¶i Hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®êng y = 4 − x2; y = x2 + 2 lµ nghiÖm cñaph¬ng tr×nh: x = 1 4 − x2 = x2 + 2 ⇔ x = −1 .  ThÓ tÝch vËt trßn xoay cÇn tÝnh ®îc cho bëi:122
  9. 9. 1 1 1 V = π ∫ ( (4 − x 2 ) 2 − (x 2 + 2) 2 ) dx = π ∫ (12 − 12x 2 )dx = π ( 12x − 4x 3 ) = −1 −1 −116π. 1 x2VÝ dô 6: Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D = { y = x +1 2 ;y= 2 } a. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D. b. TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay khi D quay quanh Ox. Gi¶i Hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®êng ®· cho lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 1 x2 x = 1 x +1 2 = 2 ⇔ x = −1 . a. B¹n ®äc tù gi¶i.b. ThÓ tÝch vËt trßn xoay cÇn tÝnh ®îc cho bëi: 2 2  1  x  1 2 1 1  1 1 V= π∫  2 ÷ −  ÷ dx = π∫ dx − π  x5 ÷ −1  x +1   2  −1 (x 2 + 1)2  10  −1 1 1 π = π∫ (x 2 + 1) 2 dx − 5 . (1) −1 1 1 XÐt tÝch ph©n I = ∫ (x −1 2 + 1) 2 dx , thùc hiÖn phÐp ®æi biÕn x = tant th× dx = 1 cos 2 t dt . §æi cËn: π  Víi x = −1 th× t = − 4 . π  Víi x = 1 th× t = 4 . Khi ®ã: 1 π/4 π 4 π/ 4 cos 2 t dt  1 + cos 2t  1 1 I= π ∫ = π ∫  ÷dt = π x + sin 2t ÷ −π/ 4 ( 1 2 −π / 4  2   2 4  −π 4 ) cos 2 t π2 π = + 4 2 . (2) π 2 3π Thay (2) vµo (1), ta ®îc V = + 4 10 (®vtt). 123
  10. 10. Bµi to¸n 4: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay d¹ng 3Ph¬ng ph¸p ¸p dông Víi yªu cÇu " TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh bëi miÒn (D) giíi h¹nbëi mét ®êng (C) kÝn" ta xÐt hai trêng hîp sau:Trêng hîp 1: Khi quay quanh Ox, ta thùc hiÖn hai bíc sau: Bíc 1: Ph©n ®êng cong kÝn (C) thµnh hai cung (C1): y = f1(x) = y1 vµ (C2): y = f2(x) = y2 víi a ≤ x ≤ b vµ f1(x), f2(x) cïng dÊu. Bíc 2: ThÓ tÝch cÇn x¸c ®Þnh ®îc cho bëi: b V = π ∫ | y12 − y22 | dx . aTrêng hîp 2: Khi quay quanh Oy, ta thùc hiÖn theo hai bíc sau: Bíc 1: Ph©n ®êng cong kÝn (C) thµnh hai cung (C1): x = f1(y) = x1 vµ (C2): x = f2(y) = x2 víi a ≤ y ≤ b vµ f1(y), f2(y) cïng dÊu. Bíc 2: ThÓ tÝch cÇn x¸c ®Þnh ®îc cho bëi: b V = π ∫ | x12 − x 2 | dy . 2 a TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ t¹o bëi h×nh (E): ( x − 4) 2 y2VÝ dô 1: + ≤ 1 quay 4 16quanh trôc Oy. Gi¶i Elip (E) cã t©m I(4,0), trôc lín cã ®é dµi 2a = 8, trôc nhá cã ®é dµi 2b = 4.VËy, ta cã:  Nöa (E) øng víi 2 ≤ x ≤ 4 cã ph¬ng tr×nh: y2 x = f1(y) = 4 − 2 1− víi y∈[ − 4, 4] . 16  Nöa (E) øng víi 4 ≤ x ≤ 6 cã ph¬ng tr×nh: y2 x = f2(y) = 4 + 2 1− víi y∈[ − 4, 4]. 16 ThÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay cÇn tÝnh ®îc cho bëi: 4 4 y2 V= π ∫ ( f 22 (y) − f12 (y) )dy = 32 π∫ 1− dy . −4 −4 16 Thùc hiÖn phÐp ®æi biÕn y = 4 sin t th× dy = 4costdt. §æi cËn: π  Víi y = − 4 th× t = − 2 .124
  11. 11. π  Víi y = 4 th× t = 2 . Khi ®ã: π/ 2 π/2 V = 32 π ∫ −π / 2 1 − sin 2 t.4cos tdt = 128 π ∫ −π / 2 cos 2 tdt π/ 2 1 + cos 2t  1  π2 = 128 π ∫ −π / 2 2 dt = 64 π  t + sin 2t ÷  2  −π 2 = 64 π2 (®vtt). C. bµi tËp rÌn luyÖnBµi tËp 1: TÝnh thÓ tÝch phÇn h×nh trô b¸n kÝnh ®¸y R, giíi h¹n bëi ®¸y víiphÇn phÝa díi cña hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q), biÕt: a. MÆt ph¼ng (P) ®i qua mét ®êng kÝnh cña ®¸y hîp víi ®¸y mét gãc α π víi 0 < α < 2 . b. MÆt ph¼ng (Q) c¾t h×nh trô, song song vµ c¸ch ®¸y mét kho¶ng b»ng h < R.tanα.Bµi tËp 2: TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ n»m gi÷a hai mÆt ph¼ng x = –1 vµ x= 1, biÕt r»ng thiÕt diÖn cña vËt thÓ bÞ c¾t bëi mÆt ph¼ng vu«ng gãc víitrôc Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x (–1 ≤ x ≤ 1) lµ mét h×nh vu«ng c¹nh 2 1 − x 2.Bµi tËp 3: TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ n»m gi÷a hai mÆt ph¼ng x = 0 vµ x =π, biÕt r»ng thiÕt diÖn cña vËt thÓ bÞ c¾t bëi mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôcOx t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x (0 ≤ x ≤ π) lµ mét tam gi¸c ®Òu c¹nh lµ 2 sin x .Bµi tËp 4: TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay do h×nh ph¼ng S = {y = xlnx; y = 0; x = 1; x = e} quay quanh Ox.Bµi tËp 5: 2 a. Cho h×nh ph¼ng A giíi h¹n bëi c¸c ®êng x = y , y = 1 vµ y = 4. TÝnh thÓ tÝch cña khèi trßn xoay t¹o thµnh khi quay h×nh A quanh trôc tung. b. Cho h×nh ph¼ng B giíi h¹n bëi ®êng cong cã ph¬ng tr×nh x(y + 1) = 2 vµ c¸c ®êng th¼ng x = 0, y = 0, y = 3. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o ®îc khi quanh B quanh trôc tung.Bµi tËp 6: TÝnh thÓ tÝch khi S quay quanh Ox, biÕt: S = {y = x2 − 4x + 6, y = −x2 − 2x + 6}.Bµi tËp 7: TÝnh thÓ tÝch h×nh xuyÕn do quay h×nh trßn (C): x2 + (y − 2)2 =1 khi quanh trôc Ox.Bµi tËp 8: TÝnh thÓ tÝh do D quay quanh trôc Ox 125
  12. 12. π D = {y = 0;y = 1+cos4 x +sin4 x ;x= 2 ;x = π }. 1 x2Bµi tËp 9: Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D = { y = x2 + 1 ;y= 2 } c. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D. d. TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay khi D quay quanh Ox.Bµi tËp 10: Gäi (d) lµ ®êng th¼ng qua M(1; 1) víi hÖ sè gãc k < 0. Gi¶ sö(d) c¾t Ox, Oy t¹i A vµ b. a. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay sinh bëi ∆OAB khi quanh trôc Ox. X¸c ®Þnk k ®Ó khèi trßn xoay ®ã cã thÓ tÝch nhá nhÊt. b. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay sinh bëi ∆OAB khi quanh trôc Oy. X¸c ®Þnk k ®Ó khèi trßn xoay ®ã cã thÓ tÝch nhá nhÊt. D. híng dÉn − ®¸p sè 16Bµi tËp 2: 3 . Bµi tËp 3: 2 3 . πBµi tËp 4: V = 27 (5e3 − 3) . Bµi tËp 5: a. 3π. b. 3π.Bµi tËp 6: 3π. Bµi tËp 7: 4π2.Bµi tËp 10: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®îc cho bëi: (d): y = k(x − 1) + 1. V× (d)∩Ox = {A}, to¹ ®é A lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh: y y = k(x − 1) + 1 k− 1 B  ⇒ A( , 0) 1−k y = 0 k M V× (d)∩Oy = {B}, to¹ ®é B lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh: A y = k(x − 1) + 1 O x 1−  ⇒ B(0, 1 − k) x = 0a. Gäi VOx lµ thÓ tÝch sinh bëi ∆OAB khi quanh trôc Ox, ®Ó x¸c ®Þnh VOx tacã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau:C¸ch 1: Sö dông hÖ qu¶ cña bµi to¸n 1, ta ®îc: 1 k− 1 π 1 VOx = 3 π(1 − k)2. k = 3 (k2 − 3k + 3 − k ).C¸ch 2: Sö dông bµi to¸n 2, ta ®îc: k− 1 k −1 k k π 1 VOx = π ∫ 2 y dx = ∫ [k(x − 1) + 1] 2 dx = 3 (k2 − 3k + 3 − k ). 0 0 1  X¸c ®Þnh MinVOx: XÐt hµm sè f(k) = k2 − 3k + 3 − k víi k<0.126
  13. 13. §¹o hµm: 1 1 1 f(k) = 2k − 3 + ; f(k) = 0 ⇔ 2k − 3 + =0 k=− . k0< ⇔ k2 k2 2 B¶ng biÕn thiªn k 0 − 1/2 +∞ f(k) 0 − 0 + f(k) +∞ 27/4 +∞ 9π 1 VËy MinVOx = 4 , ®¹t ®îc khi k = − 2 .b. Gäi VOy lµ thÓ tÝch sinh bëi ∆OAB khi quanh trôc Oy, ®Ó x¸c ®Þnh VOy tacã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau:C¸ch 1: Sö dông hÖ qu¶ cña bµi to¸n 1, ta ®îc: 2 1  k − 1 π 1 3 VOy = 3 π  k ÷ .(1 − k) = 3 ( k2 − k − k + 3).  C¸ch 2: Sö dông bµi to¸n 2, ta ®îc: k −1 1− k k 1 π 1 3 VOx = π ∫ x 2dy = ∫ [ k (y − 1) + 1] 2 dy = 3 ( k2 − k − k + 3). 0 0 1 3  X¸c ®Þnh MinVOy: XÐt hµm sè g(k) = k2 − k − k + 3 víi k<0. §¹o hµm: 2 3 2 3 g(k) = − + − 1; g(k) = 0 ⇔ − + −1 = 0 k0< ⇔ k3 k2 k3 k2 k = −2. B¶ng biÕn thiªn k 0 −2 +∞ g(k) 0 − 0 + g(k) +∞ 27/4 +∞ 9π VËy MinVOy = 4 , ®¹t ®îc khi k = −2. 127

×