1. Bµi 5
BÊt ph−¬ng tr×nh mò vµ logarit
1. BÊt ph−¬ng tr×nh mò
§ã lµ bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng
a f(x) > a g(x) (hoÆc a f(x) ≥ a g(x) ). (1)
§Ó gi¶i (1), ng−êi ta th−êng dùa vµo c¸c phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng
sau
a f(x) > a g(x)
 f(x) > g(x)
 ⇔ 
a > 1
 a > 1
a f(x) > a g(x)
 f(x) < g(x)
 ⇔ 
0 < a < 1
 0 < a < 1.
VÝ dô 1. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau
4x2 −15x +13
x 2 − x −6 1
a) 2 > 1 ; b)   < 43x −4 . (1)
4
Gi¶i. a) BÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi
2
x − x − 6 > 0 ⇔ (x − 3)(x + 2) > 0
⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, +∞).
4 −x
2 3x − 4 1
b) (1) ⇔ 4x − 15x + 13 < 4 − 3x (v× 4 =   ).
4
2 2
⇔ 4x − 12x + 9 < 0 ⇔ (2x − 3) < 0 ⇔ x ∈ ∅. (v« nghiÖm)
2 x x+2
VÝ dô 2. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh x 5 − 5 ≤ 0. (2)
x 2 2 2 2
Gi¶i. (2) ⇔ 5 .(x − 5 ) ≤ 0 ⇔ x − 5 ≤ 0
x
(v× 5 > 0) ⇔ −5 ≤ x ≤ 5.
VÝ dô 3. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
x −x2 2
a) 7 8 < 71−x ( 8 7)x + 6, (3)
2
b) 6 − x(5x −7,2x +3,9 − 25 5) ≥ 0. (4)
a) (3) ⇔ 7
x −x2
8 < 7.7
( ) + 6 . (5)
− x −x
2
8
x −x2
§Æt 7 8 = y . Tõ (5) ta cã
 7  (y − 7)(y + 1)
y < + 6  <0
 y ⇔  y
y > 0 y > 0
 
⇔ 0 < y < 7. Trë l¹i biÕn cò, ta cã
1

2. x2
(5) ⇔ x − < 1 ⇔ (x − 4 + 2 2)(x − 4 − 2 2) < 0
8
⇔ x ∈ (−∞, 4 − (−∞,4 − 2 2 ) ∪ (4 + 2 2, + ∞).
 6−x =0 x = 6
 
b) (4) ⇔  5x2 −7,2x +3,9 − 25 5 ≥ 0 ⇔  x2 − 7,2x + 1,4 ≥ 0
 
  x < 6.
 x < 6
 
x = 6

 1  1
⇔   x −  (x − 7) ≥ 0 ⇔ x ∈  −∞,  ∪ {6}.
  5  5

 x < 6

Chó ý. §Ó ®¬n gi¶n trong qu¸ tr×nh gi¶i, ta cã thÓ dïng Èn phô. Ch¼ng
h¹n ®èi víi bÊt ph−¬ng tr×nh
x
f(a ) ≥ 0, 0 < a ≠ 1,
x
ta ®Æt t = a ®Ó ®i ®Õn hÖ
f(t) ≥ 0

t > 0.
VÝ dô 4. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau
x x
1 1
a) 372     > 1, (6)
 3  3
1 1
b) > . (7)
3 − 1 1 − 2x −1
x
Gi¶i. a) (6) ⇔ 372 −x − x > 1
t 2 + t − 72 < 0

⇔ 72 − x − x >0⇒ 
t = x ≥ 0

0 ≤ t < 8

⇔  ⇔ 0 ≤ x < 64.
t = x

1 − 3x −1 − 3x + 1
b) (7) ⇔ > 0. (8)
(3x − 1)(1 − 3x −1 )
x
§Æt t= 3 , (8) cã d¹ng
2

3. t > 0 t > 0
 
 2− t −t  4
 3 ⇔  2 −  3 t
 
 >0  >0
 t  t
 (t − 1)  1 −   (t − 1)  1 − 
  3   3
 3
 t−  3

⇔ 
2 >0 ⇔ 1 < t < 2
(t − 1)(4 − t) 
 t > 4

t > 0

 x 3  3
1 < 3 < 2 ⇔ 0 < x < log3  
Tõ ®ã (8) ⇔ 
 2
4 < 3

x
 log3 4 < x.

VÝ dô 5. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
( 2)3x + (4 2)x ≥ 2.8x. (9)
3x t 3 + t − 2 ≥ 0
x
 2  2 

(9) ⇔   +  ≥ 2 ⇔   2 x
 2   2  t =   >0
  2 

(t − 1)(t 2 + t + 2) ≥ 0 x

  2
⇔   x ⇔   ≥1
2  2 
t =   >0

  2 
2
(v× t + t + 2 > 0) ⇔ x ≤ x ⇔ x ∈ (−∞, 0].
Chó ý : Khi gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh mò ta cã thÓ logarit hãa hai vÕ.
VÝ dô 6. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh
a) 52x −1 < 73−x , (10)
x −1
4 4 5(3/ 4)x −1
b)   > (11)
5  5 5
Gi¶i. a) (10) ⇔ 2x − 1 < (log57)(3 − x) (v× hai vÕ d−¬ng)
⇔ (2 + log57)x < 3log 57 + 1.
1 + 3log5 7
⇔x< .
2 + log5 7
4 1 4 3  3
b) (11) ⇔ (x − 1) log5 + log5 >  x − 1  −
5 2 5 4  2
 4 3 1 4 5
⇔ x  log5 −  > log5 −
 5 4 2 5 2
3

4. 4
log5   − 5
⇔x<  5 .
  4  3
2  log5   − 
  5  4
VÝ dô 7. T×m a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau nghiÖm ®óng víi mäi x,
9x + 2(2a + 1)3x + 4a 2 − 3 > 0. (12)
x
§Æt t = 3 , (12) cã d¹ng
2 2
f(t) := t + 2(2a + 1)t + 4a − 3 > 0. (13)
Bµi to¸n trë thµnh : t×m a ®Ó (13) ®óng víi mäi t > 0.
2
Ta cã f(t) = (t + 2a + 1) − 4(a + 1)
a) a + 1 < 0 (⇔ a < −1), (13) ®óng víi mäi t.
b) a + 1 ≥ 0, (13) ⇔ (t + 2a + 1 − 2 a + 1 )(t + 2a + 1 + 2 a + 1 ) > 0
 t < −2a − 1 − 2 a + 1
⇔ 
 t > −2a − 1 + 2 a + 1

§Ó (13) ®óng víi mäi t > 0, cÇn vµ ®ñ lµ
−2a − 1 + 2 a + 1 ≤ 0 ⇔ 2 a + 1 ≤ 2a + 1 (14)
 1
4(a + 1) ≤ 4a 2 + 4a + 1
 a ≥ −
⇔  ⇔  2
2a + 1 ≥ 0
 4a 2 − 3 ≥ 0

3
⇔a≥ .
2
 3
§¸p sè a ∈ (−∞, −1) ∪  , +∞).
 2
VÝ dô 8. Gi¶i vµ biÖn luËn
2 x+1 x
a) a − 9 − 8a.3 > 0, (15)
2 x+1 x+1
b) a − 2.4 − a.2 > 0. (16)
2 x x+1
a) (15) ⇔ a − 8a.3 − 9 > 0 ⇔ (a − 4.3x )2 − 25.9x > 0
 4.3x − a > 5.3x (17)
⇔ (4.3x − a)2 > (5.3x )2 ⇔ 
 4.3x − a < −5.3x. (18)

3x < −a
⇔  (19)
3x +2 < a.

+ Víi a = 0, (19) v« nghiÖm
x
+ Víi a < 0 (19) ⇔ 3 < −a ⇔ x < log3(−a)
4

5. x+2
+ Víi a > 0 (19) ⇔ 3 < a ⇔ x < log3a − 2.
x
b) §Æt t = 2 , (16) cã d¹ng
8t 2 + 2at − a 2 < 0


t > 0

(a − t)2 − 9t 2 > 0
 (a − 4t)(a + 2t) > 0
⇔  ⇔ 
t > 0
 t > 0
⇔
+ Víi a = 0, hÖ v« nghiÖm
a
+ Víi a < 0, hÖ t−¬ng ®−¬ng víi t < −
2
  a 
nghÜa lµ (16) nghiÖm ®óng víi mäi x ∈  −∞, log2  −  
  2 
+ Víi a > 0, hÖ t−¬ng ®−¬ng víi
a
0<t< hay x ∈ (−∞, log2a − 2).
4
VÝ dô 9. Víi mçi a (a > 0, a ≠ 1), gi¶i
a 2x + a x +2 − 1 ≥ 1. (20)
§Æt t = a x > 0. Lóc ®ã (20) cã d¹ng
t 2 + a 2 t − 1 ≥ 1 ⇔ (21
 −a 2 − a 4 + 4  −a 2 + a 4 + 4 
⇔ t −
  t −
  ≥ 1.

 2  2 
 2 4
 0 < t < −a + a + 4
 2 (v« nghiÖm)
 2 2
  t + a t − 1 ≤ −1

  −a 2 + a 4 + 4
 t ≥ = to
⇔  2
 2 4
 t ≥ −a + a + 4 
  −a 2 − a 4 + 8
 2 ⇔ t ≤ = t1
 2 2  2
 t + a t − 1 ≥ 1  2 4
   −a + a + 8
  t≥ = t2

  2
V× t2 > to > 0 vµ t1 < 0 nªn
(21) ⇔ t ≥ t2. Tõ ®ã
a) NÕu 0 < a < 1 th× (20) ⇔ x ≤ logat2.
5

6. b) NÕu a > 1 th× (20) ⇒ x ≥ logat2.
VÝ dô 10. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
ax 1 + a −x
> víi a > 0, a ≠ 1. (22)
a x − 1 1 − 2a −x
ax 1 + a −x a x − 2 − a x − 1 + 1 + a −x
(22) ⇔ − >0 ⇔ >0
a x − 1 1 − 2a −x (a x − 1)(1 − 2a −x )
(a −x − 2)a x 1 − 2a x
⇔ >0 ⇔ > 0 . (23)
(a x − 1)(a x − 2) (a x − 1)(a x − 2)
x
§Æt t = a > 0, (23) cho ta
1
t−  1
0<t<
2 <0 ⇔  2 (24)
(t − 1)(t − 2) 
1 < t < 2

a) Víi 0 < a < 1, (24) cho ta
 x 1
0 < a < 2 ⇔  x > − loga 2
 
1 < a x < 2 0 > x > loga 2.

b) Víi a > 1
 x < − loga 2
(24) ⇔ 
0 < x < loga 2
2. BÊt ph−¬ng tr×nh logarit
C¸c tÝnh chÊt sau ®©y cña logarit hay ®−îc sö dông
g(x) > 0
loga f(x) > loga g(x) 
a)  ⇔ f(x) > g(x)
a > 1 a > 1,

f(x) > 0
loga f(x) > loga g(x) 
b)  ⇔ g(x) > f(x)
0 < a < 1 0 < a < 1,

 0 < f(x) < 1

c) logf(x) g(x) > 0 ⇔  0 < g(x) < 1
 f(x) > 1

 g(x) > 1,

6

7.  0 < f(x) < 1

g(x) > 1
d) logf(x) g(x) < 0 ⇔ 
 f(x) > 1

 0 < g(x) < 1,

VÝ dô 1. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
2
a) log5(x − x) < 0 (1)
x −1
b) log3 > 0, (2)
x−2
2 x(x − 1) > 0

Gi¶i. a) (1) ⇔ 0 < x − x < 1 ⇔  2
x − x − 1 < 0

x < 0
 1− 5   1+ 5 
x > 1
⇔  ⇔x∈  ,0  ∪  1, 
1 − 5 1+ 5  2   2 
 2 <x< 2

x −1 1
b) (2) ⇔ >1 ⇔ > 0 ⇔ x > 2.
x−2 x−2
VÝ dô 2. Gi¶i
x log 1 (x 2 + x + 1) > 0. (3)
5
(3) ⇔ x log5 (x2 + x + 1) < 0 ⇔
 x > 0

 2
 x + x + 1 < 1
 x 2 + x > 0

⇔  ⇔  ⇔ x < −1.
 x<0 x < 0

 2
 x + x + 1 > 1

VÝ dô 3. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
a) log3 (3x − 1).log 1 (3x +2 − 9) > − 3 (4)
3
b) 7 − log2 x 2 + log2 x 4 > 4. (5)
x
Gi¶i. a) §Æt t = log3(3 − 1). Khi ®ã (4) cã d¹ng
t(−2 − t) > −3 ⇔ t 2 + 2t − 3 < 0
⇔ −3 < t < 1. Do ®ã
28 x
(4) ⇔ 3−3 < 3x − 1 < 3 ⇔ <3 <4
27
7

8.  28 
⇔ log3   < x < log3 4
 27 
b) §Æt t = log2 x 2 ta nhËn ®−îc bÊt ph−¬ng tr×nh
7 − t + 2t > 4 ⇔ 7 − t > 4 − 2t
 7 − t ≥ 0
 2 < t ≤ 7
  4 − 2t < 0
⇔  ⇔ 3
 4 − 2t ≥ 0  < t ≤ 2.
 4

 7 − t ≥ 4t 2 − 16t + 16

Chó ý. Trong khi gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh logarit, ®«i khi ng−êi ta dïng
c«ng thøc
f(x)g(x) = a g(x)loga f(x) .
VÝ dô 4. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
2.x 2 lg(x −1) ≥ 1 + (x − 1)lg x . (6)
(6) ⇔ 2.102 lg(x −1)lg x ≥ 1 + 10lg(x −1)lgx
§Æt t = 10lg(x −1)lgx , ta cã
2t 2 − t − 1 ≥ 0
 (2t + 1)(t − 1) ≤ 0
 ⇔  ⇔ t ≥ 1.
t > 0
 t > 0
Tõ ®ã, (6) ⇔ 10lg(x −1)lg x ≥ 1 ⇔ lg(x − 1)lgx ≥ 0
  lg(x − 1) ≥ 0

 lg x ≥ 0 x ≥ 2 hay x ∈ [2, +∞).
⇔  ⇔
  lg(x − 1) ≤ 0 (v× hÖ sau v« nghiÖm)

  lg x ≤ 0

VÝ dô 5. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau
 4x − 5  1
a) log
x2   ≥ (7)
|x −2| 2
b) logx 2x ≤ logx (2x3 ). (8)
Gi¶i. a) §iÒu kiÖn cã nghÜa lµ
x 2 > 0, x 2 ≠ 1
 5
 4x − 5 ⇔ x > , x ≠ 2.
 >0 4
| x − 2 |
 5
x > 4 ,x ≠ 2

 5
x > , x ≠ 2
(7) ⇔  ⇔  4 (9)
 4x − 5 
| x − 2 |
≥x  4x − 5 ≥ x | x − 2 |

8

9.  x > 2  x > 2

  2
  4x − 5 ≥ x(x − 2)  x − 6x + 5 ≤ 0

(9) ⇔   5 
⇔ 5
 < x < 2  <x<2
 4  4

  4x − 5 ≥ −x(x − 2)  2
  x + 2x − 5 ≥ 0

2 < x ≤ 5
⇔  ⇔ x ∈ (2, 5] ∪ [ 6 − 1, 2).
 6 − 1 ≤ x < 2.
b) §iÒu kiÖn x ≠ 1, x > 0. §Æt t = log x2, (8) cã d¹ng t + 1 ≤ t+3 ⇔
 t + 1 < 0

 t + 3 ≥ 0  −3 ≤ t < −1
 t + 1 ≥ 0 ⇔ 
  −1 ≤ t ≤ 1

 (t + 1) ≤ t + 3
2

 x > 1

Tõ ®ã (8) ⇔ −3 ≤ logx2 ≤ 1 ⇔  −3 ≤ logx 2 ≤ 1
 0 < x < 1

 −3 ≤ logx 2 ≤ 1

x ≥ 2
 1
⇔ 
0 < x ≤ 3 1 ⇔ x ∈  0, 2  ∪ [2, + ∞).
3
 
 
 2
VÝ dô 6. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
log5 (x 2 − 4x − 11)2 − log11 (x 2 − 4x − 11)3
≥ 0. (10)
2 − 5x − 3x2
x 2 − 4x − 11 > 0

§iÒu kiÖn  ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 − 15 ) ∪ (2 +
2 − 5x − 3x2 ≠ 0

15 , +∞) = D
3log5 (x 2 − 4x − 11)
Víi x ∈ D, log11 (x2 − 4x − 11) = .
log5 11
Do ®ã, trªn D
 3  log5 (x2 − 4x − 11)
(10) ⇒  2 − (11)
 log5 11  2 − 5x − 3x 2

log5 (x 2 − 4x − 11) 3
⇔ ≤ 0 (v× 2 − <0)
2 − 5x − 3x 2 log5 11
9

10.  log (x2 − 4x − 11) ≥ 0  x2 − 4x − 11 ≥ 1
 5
 
 2 − 5x − 3x < 0

2  3x2 + 5x − 2 > 0

⇔  ⇔ 
 log (x2 − 4x − 11) ≤ 0  x2 − 4x − 11 ≤ 1

 5
 
  3x2 + 5x − 2 < 0
 2 − 5x − 3x > 0
2

 x ∈ (−∞, − 2) ∪ [6, + ∞)
⇔   
 x ∈  −2, 1 
 
 3
⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 − 15 ) ∪ [6, +∞).
VÝ dô 7. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh
a) x logx +1 (x −1) + (x − 1)logx +1 x ≤ 2. (12)
Gi¶i : §iÒu kiÖn
x > 0
x − 1 > 0

 ⇔ x > 1.
x + 1 > 0
x + 1 ≠ 1

§Æt x logx +1 (x −1) = t . Khi ®ã
1
1
t > 0, x = t logx +1 (x −1) , logx +1 x = logx +1 t
logx +1 (x − 1)
hay logx +1 x = logx −1 t ⇔ t = (x − 1)logx +1 x . Tõ ®ã (12) cã d¹ng 2t ≤ 2
⇔ t ≤ 1 hay
x logx +1 (x −1) ≤ 1 ⇔ logx +1 (x − 1) ≤ 0 (v× x > 1)
⇔ x − 1 ≤ 1 ⇔ x ≤ 2.
KÕt luËn 1 < x ≤ 2.
VÝ dô 8. Gi¶i loga(x − a) > log 1 (x + 1), (13)
a
ë ®©y 0 < a ≠ 1.
Gi¶i. §iÒu kiÖn x > a. Khi ®ã
(13) ⇔ loga (x − a) > − loga (x + a) ⇔ loga (x 2 − a 2 ) > 0 . (14)
x 2 − a 2 > 1

a) a > 1, khi ®ã (14) ⇔  ⇔x> 1 + a2
x > a

x 2 − a 2 < 1

b) 0 < a < 1, lóc ®ã (14) ⇔  ⇔a<x< 1 + a2 .
x > a

10

11. §¸p sè : x ∈ ( 1 + a 2 , + ∞) víi a > 1
x ∈ (a, 1 + a 2 ) víi 0 < a < 1.
VÝ dô 9. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
loga x + loga x + 2
2
> 1 ; 0 < a ≠ 1. (15)
loga x − 2
§iÒu kiÖn x > 0, log ax − 2 ≠ 0 hay
2
0<x≠a .
§Æt t = loga x . Khi ®ã (15) cã d¹ng
t2 + t + 2 t2 + 4
>1 ⇔ >0 ⇔ t > 2
t −2 t −2
Trë l¹i biÕn cò
 x > a 2


 a > 1

t > 2 ⇔ loga x > 2 ⇔ 
 0 < x < a 2


 0 < a < 1.

 x ∈ (a 2 , + ∞) khi a > 1
KÕt luËn 
 x ∈ (0, a 2 ) khi 0 < a < 1.

11