5. Dari pengertian :
dy y y2 y1
m tg
dx x x2 x1
dimana m = gradien dan gambar :
Y=f(x)
y2
y
y1
x
x1 x2 X
HOME
6. Maka dapat disimpulkan
dy y2 y1
1. f ' (x) m
dx x2 x1
m suatu gradien
2. Jika terdapat persamaan kurva
y = f(x) maka garis singgung kurva
pada titik singgung (x1, y1) adalah
y = mx + (y1 – mx1) dimana m = f’(x)
HOME
7. 3. Beberapa keadaan garis :
a. Jika gradiennya > 0, maka
keadaan garis naik.
b. Jika gradiennya < 0, maka
keadaan garis turun.
c. Jika gradiennya = 0, maka
keadaan garis mendatar.
HOME
8. Contoh 1:
Tentukan persamaan garis singgung
kurva y = 3x2 – 4x + 5 pada titik (1, 4)
Jawab :
m = y’ = 6x – 4
x = 1 m = 6(1) – 4 = 2
Pers. garis singgung :
y = mx + c c = y1 – mx1
y = 2x + (4 – 2.1) = 2x – 2
HOME
9. Contoh 2 :
Tentukan persamaan garis singgung kurva
berikut : y = x3 – 3x2 + 6 pada titik (2, 2)
Jawab :
m = 3x2 – 6x
x = 2 m = 3(2)2 – 6(2) = 0
Pers. garis singgung :
y = mx + c c = y1 – mx1
y = 0.x + (2 – 0.2)
y=2 HOME
10. Contoh 2 :
Tentukan persamaan garis singgung kurva
y = x3+3x2+x+2 pada titik (a, 3) sejajar dengan
garis y = -2x – 5
Jawab :
y = x3+3x2+x+2 m1 = 3x2+6x+1
y = -2x – 5 m2 = -2 m1= m2= -2
x = a m1 = -2
3a2+6a+1= -2
3a2+6a+3= 0 a = -1 titik singgung (-1, 3)
a2+2a+1= 0
(a +1)(a+1) = 0
HOME
11. m = -2 dan titik singgung
(-1, 3) y = mx + (y1 – mx1)
y = -2x + [3 – (-2)(-1)]
y = -2x + 1
HOME
12. 4. Hubungan kurva dengan garis singgung
kurva :
1. Jika garis singgung kurva
bergradien > 0, maka kurva naik.
2. Jika garis singgung kurva
bergradien < 0, maka kurva turun.
3. Jika garis singgung kurva
bergradien = 0, kurva pada titik
singgungnya mencapai stasioner
(tidak naik dan tidak turun /mendatar)
HOME
13. 5. Beberapa keadaan di sekitar titik
stasioner pada kurva :
1. f’(x )
1 + 0
Keadaan /
Bentuk gambarnya
Berarti titik stasionernya maksimum di
(x1, f(x1)), maka Nilai maksimum fungsi
adalah ymaks= f(x1)
HOME
14. 2. f‘(x2) 0 +
Keadaan /
Bentuk gambarnya
Berarti titik stasioner minimum di titik
(x2, f(x2)).
Maka nilai minimum fungsi adalah :
ymin = f(x2)
HOME
15. 4. f‘(x2) 0
Keadaan
Bentuk gambarnya
berarti titik stasioner merupakan titik
belok di titik (x4, f(x4))
HOME
16. 2. f‘(x2) 0 +
Keadaan /
Bentuk gambarnya
Berarti titik stasioner minimum di titik
(x2, f(x2)).
Maka nilai minimum fungsi adalah :
ymin = f(x2)
HOME
28. Merancang dan menyelesaikan model matematika
dari soal yang berhubungan dengan nilai
maksimum dan minimum:
Dalam kehidupan sehari-hari sering sekali, anda
dihadapkan pada persoalan nilai maksimum dan
nilai minimum seperti menentukan luas terbe –
besar, harga termurah, lintasan terbesar, dan kasus
lain serupa. Metode nilai maksimum dan nilai
minimum merupakan salah satu cara untuk
menyelesaikan persoalan-persoalan tersebut.
Untuk menyelesaikan nilai maksimum dan
minimum Rumus yang digunakan adalah : f’(x) = 0
HOME
29. Ilustrasi menentukan luas maksimum suatu daerah
Y
Berapakah luas
maksimum daerah
x y
1 x 2 y 6 yang diarsir ?
6 3
3 Jawab :
(x, y)
Luas ?
Luas ? y
0 6 X
x = 6 – 2y
HOME
30. Luas dalam fungsi y = L(y)
= x.y
= (6 – 2y)y
= 6y – 2y2
Syarat ekstrim : f’(y) = 0
6 – 4y = 0
y = 3/2
y = 3/2 L(y) = (6 – 2y)y
= [6 – 2(3/2)] (3/2)
= 3(3/2) = 9/2
Jadi luas maksimum = 9/2 satuan luas
HOME
31. Kecepatan dan percepatan:
Untuk fungsi yang menyatakan sebagai jarak umumnya
disimbolkan sebagai s(t), s satuan jarak dan t satuan waktu
maka:
Kecepatan = v(t) = s’(t)
Percepatan = a(t) = v’(t)
HOME
32. Kecepatan dan percepatan:
Terdapat lintasan bola yang sedang menggelinding
dengan persamaan lintasannya berbentuk
h(t) = 3t2 – 12t + 10 dengan h ketinggian bola
dalam meter dan t dalam detik.
a. Berapakah ketinggian bola pada saat 2 detik?
b. Berapakah kecepatan bola pada saat 3 detik?
c. Berapakah percepatan bola pada saat 5 detik?
d. Kapankah ketinggiannya mencapai minimum?
33. Jawab :
a. h(2) = 3t2 – 12t + 10
c. a(t) = v’(t) = 6 m/det2
= 3(2)2 –12(2) +10
d. Syarat ekstrim:
= 12 – 24 + 10
h’(t) = 0
= - 2 meter
6t – 12 = 0 t = 2 detik
b. V(t) = h’(t) = 6t – 12
Jadi ketinggian minimum
= 6(3) – 12
tercapai pada saat t = 2
= 18 – 12
detik.
= 6 m/det
34. 1. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Tanah ini akan
dipagar untuk peternakan sapi. Pagar ka-wat yang tersedia
panjangnya 800 m. Tentukan luas maksimum peternakan
sapi itu !
2. Tinggi suatu roket setelah t detik adalah h(t)= 900t – 5t².
Tentukan tinggi maksimum roket tersebut !
3.Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari. Jika biaya
proyek per hari dinyatakan (3 x 200
60)
x
ribu rupiah, tentukan biaya minimum proyek tersebut !
