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Definición=(a;b)={{a};{a;b}}
Donde:
• “a” primera componente
(en “x” o de abcisas)
• “b” segunda componente
(en “y” o de ordenadas)
• Ejemplo:( 2;1/4)={{2};{2;1/4}}
• EJEMPLO:
Si se cumple que:
(2x+3;x+y)=(5;7). Halla x,y.
Solución: 2x+3=5x=1 ;
x+y=7entonces:y=6
4
PAR ORDENADO Producto Cartesiano
Ejemplo: A={1;2} y B={a;b;c}.
Calcula AXB BXA
AXB=
{(1;a)(1;b)(1;c)(2;a)(2;b)(2;c)}
Cardinal (AXB)=n(BXA)
n(AXB)=n(A)x n(B)=2*3=6
PERO AXB, es diferente que BXA
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Relaciones
Un caso de particular interés es el producto
cartesiano de sólo dos conjuntos: AB.
Una “relación” es un subconjunto RAB.
Nótese que:
•no necesariamente A=B
•cualquier subconjunto RAB es válido
1 2 3
1 2 3
1 2 3
R1
R2
R3
Con A={1,2,3},B={,}, las siguientes
son todas relaciones válidas:
R1={(1,),(1,),(3,)}
R2=AB {(1,)}
R3={(2,)}
• En un almacén, a cada artículo le corresponde un precio.
• A cada nombre del directorio telefónico le corresponde uno o varios
números.
• A cada número le corresponde una segunda potencia.
• A cada estudiante le corresponde un promedio de calificaciones
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• Solución:
0+2.6=12(0;6) 8+2.2=12(8;2)
2+2.5=12(2;5) 6+2.3=12(6;3)
4+2.4=12(4;4) 10+2.1=12(10;1) 12+2.0=12(12;0)
• R={(0;6),(2;5),(4;4),(6;3),(8;2),(10;1),(12;0)}
• Dom(R)={2;4;6;8;10;12} Rango(R)={5;4;3;2;1;0}
• Relación Inversa={(6;0),(5;2),(4;4),(3;6),(2;8),(1;10),(0;12)}
6
Ejemplo:
Sea N->N definida por:
S={(x;y)/x+2y=12; x,y pertenece a los naturales}
una relación Binaria
• Reflexiona y contesta las situaciones planteadas
1) Cuando hablas por celular, ¿de qué depende el costo de esa llamada?____________________________
2) Un vendedor de autos tiene un sueldo fijo de S/. 2000 por quincena, y recibe una comisión por cada auto
vendido. ¿De qué dependerá su sueldo en la próxima quincena?______________________________
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7
Función
En cierta compañía si
habla un minuto debe
pagar S/.180, si habla 2
minutos S/160 y así
sucesivamente. Por tanto
la función sería:
f(x)=180.x
• En el cafetín de una empresa se
escucha la conversación de dos
ingenieros, Mario comenta “el número
de Calorías que se queman en una
hora de ejercicio en una maquina
caminadora es una función de la
velocidad que empleo”.
• Si me ejercito a una velocidad de
2.5km/h, quemaré 210 calorías.
• A 6 km/h quemaré 370 calorías.
• Solicita ayuda para modelar una
función lineal y conocer la cantidad de
calorías quemaré si se ejercita a una
velocidad de 5k/h
Analiza el modelo matemático e
interpreta.
• Una función asigna a cada número de entrada
“x”, EXACTAMENTE un número de salida “f(x)”.
• EJEMPLO:
• f={(1;1),(3;4),(5;6),(7;6),(9;8)}. “SI” es una función
• g={(1;1),(1;4),(5;6),(7;6),(9;8)} . “NO” es una función
porque tiene 2 veces el número 1
Y=f(x)
x=variable independiente
y=variable dependiente
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RANGO DE UNA FUNCIÓN (Ran f) : Es el conjunto de las segundas
componentes de los pares ordenados de la función, son llamados
también imágenes.
A B
f
2
1
5
-1
3
1
0
2
5
3
Dom(f) = {1; 1; 2; 3; 5}
Ran(f) = {0; 1; 2}
f = {(2; 1), (5; 0), (1; 0), (3; 2), (1; 2)}
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN (Dom f): Es el conjunto de las primeras
componentes de los pares ordenados de la función, son llamados
también pre imágenes
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Dada la siguiente función f = { (7; a+b ), (2; ab ), (2; 3 ), (7; 7 ) } calcular los valores
de a y b, luego señalar el dominio y rango de la función.
Solución:
Para que f sea una función es necesario que:
(7; a+b ) = (7; 7 )
( 2; ab ) = ( 2; 3 )
a + b = 7 ….(I)
a b = 3 ….(II)
Resolviendo (I) y (II): a = 5; b = 2
Luego: f = { (7; 7 ), (2; 3 ) }
Domf = { 7; 2 } Ranf = { 7; 3 }
Ejemplo
10. www.usat.edu.pe
Ejemplo
Indica si la relación dada mediante la siguiente grafica
corresponde a una función.
Resolución.
Si es función, ya que
cualquier recta
vertical corta a la
gráfica de la relación
en un solo punto.
Si la recta trazada de forma vertical, toca en solo un punto a la gráfica, se
tiene que esta gráfica es una función.
CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL(Para identificar si es función)
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Prueba de la Recta Vertical
Ejemplo
Indica si la relación dada mediante la siguiente grafica
corresponde a una función.
Resolución.
No es función, ya que
existe al menos una
recta vertical que corta
a la gráfica de la
relación en más de un
punto.
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Determinar las gráficas
que corresponden a
una función
Esta gráfica corresponde
a una función
Esta gráfica NO
corresponde a una
función
Esta gráfica NO
corresponde a una
función
Esta gráfica corresponde
a una función
Ejemplo
No toda Relación es Función
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Encuentre el dominio de las siguientes funciones
a) h(𝑥)=2𝑥+1
Resolución
Note que sin importar el valor real que asuma la variable 𝑥, el valor 𝑓(𝑥) siempre existirá.
Por tanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=ℝ
Encuentre el dominio de las siguientes funciones
b) 𝑓(𝑥)=(x^2)+13
Resolución
Note que sin importar el valor real que asuma la variable 𝑥, el valor 𝑓(𝑥) siempre existirá.
Por tanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=ℝ
c) 𝑔(𝑥)=𝑥/(3𝑥−2)
Resolución
Observe que el denominador tiene que ser distinto de cero, es decir: 3𝑥−2≠0 →3𝑥≠2 →𝑥≠2∕3.
Por tanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑔)=ℝ−{2∕3}
d) f(𝑥)=2/(3(𝑥^2)+2x)= 2/x(3𝑥+2)
Resolución
Observe que el denominador tiene que ser distinto de cero, es decir: 3𝑥−2≠0 →3𝑥≠2 →𝑥≠2∕3.
Por tanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑔)=ℝ−{0;-2∕3}
e) g(𝑥)=raíz cuadrada de (2-x)
Resolución
Observe que lo que va entro de la raíz debe ser mayor o igual que cero, porque está en el numerador
13
FUNCIONES:DOMINIO
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FUNCIÓN IDENTIDAD
Dominio: Reales.
Rango : Reales.
Simetría con respecto al origen
(Función Impar).
Bisectriz de los cuadrantes
l y lll .
Función Creciente.
y=f(x)=x,; x pertenece al
intervalo de [-8;8]
Siempre pasa por el punto (
0,0)
l
lll
l y lll :Cuadrantes
Ejemplo
Dominio:[-8,8]
Rango :[-8,8]
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- 2 -1 0 1 2 3 4 5
y
• Representa
gráficamente la función:
f(x) = |x – 3|
• La función valor absoluto se
expresaría así:
– x + 3 , si x < 3
f(x) =
x – 3 , si x ≥ 3
• Nota
• El signo = para x=3 sólo
aparece en una
expresión, no en las dos.
• Corte en “x” (3;0 ) y en “y” es
(0;3)
(0;3)
EJEMPLO: FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
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Ejemplo: Ver problema de Ficha
| x + 5 | ≤ 10
-10 ≤ x + 5 ≤ 10
-10 + - 5 ≤ x ≤ 10 + – 5
- 15 ≤ x ≤ 5
• La gráfica es:
-15 -10 -5 0 5 10 15
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23
Mauricio, practicante de Ingeniería de la Empresa XXYY SAC., inicia una cuenta en el
banco BBVA con $20.00 y deposita cada semana $10.00.
Contextualizando
X=semanas
transcurridas
f(x)=dólares
en la cuenta
0 20
1 30
2 40
3 50
4 60
MODELO= 20 +10.X
Donde:
“X” es el número de semanas
transcurridas
(0, 20)
(1, 30)
(2, 40)
(3, 50)
(4, 60)
0
10
20
30
40
50
60
70
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
dólares
en
la
cuenta
Semanas Transcurridas
Modelando la función Lineal
Y
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Solución:
Sea q la cantidad de cronómetros producidos
La empresa XXX fabricante de cronómetros, tiene gastos mensuales de
$4800 y un costo unitario de producción de $8. los cronómetros se
venden a $14 cada uno.
a) Determine el costo y el ingreso en función al número de cronómetros
fabricados.
b) Graficar en el mismo plano la función costo y la función ingreso.
c) Identifique y analice el punto de equilibrio entre costo y el ingreso.
Costo fijo: $4800
Costo variable : $8
Precio unitario : $14
C(q) = 8q + 4800
I (q) = 14q
a)
APLICACIONES
25. www.usat.edu.pe
800
q
Y
4800
8q + 4800 = 14q
11200
c)
q = 800
Al producir y vender 800 cronómetros de obtiene un ingreso igual
a los costos que es de S/11200.
El punto de
equilibrio, se obtiene
al igualar las
ecuaciones de los
ingresos y los costos
C(800) = 11200
Continua del ejemplo anterior
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LEY DEL ENFRIAMIENTO DE NEWTON
Establece que la temperatura de un objeto caliente disminuye en forma
exponencial con el tiempo hacia la temperatura del medio ambiente
, mediante la siguiente expresión :
e
)
T
-
u
(
T
u k t
0
)
...
8
2.71828182
e
(
neperianos
logaritmos
de
Base
:
e
.
u
a
temperatur
tenga
caliente
objeto
el
que
para
Tiempo
:
t
negativo.
real
Número
:
K
)
0
t
(
caliente
objeto
del
inicial
a
Temperatur
:
u
.
t
instante
el
en
caliente
objeto
del
a
Temperatur
:
u
0
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Un objeto caliente a 100°C se deja enfriar en un cuarto, cuya temperatura del aire es de
30°C. Si la temperatura del objeto es de 80°C después de 5 minutos , ¿ en qué momento
llegará a 50° C .
Resolución . e
)
T
-
u
(
T
u k t
0
??
t
;
C
50
u
;
min
5
t
;
C
80
u
;
C
30
T
;
C
100
u0
Datos :
e
7
5
e
)
30
-
100
(
30
80
:
k
de
Cálculo
5
k
5
k
7
5
ln
5
1
k
e
ln
5k
7
5
ln
e
ln
7
5
ln
:
miembros
ambos
en
e
base
en
logaritmos
Tomando
5k
e
7
2
e
)
30
-
100
(
30
50
.
C
50
T
para
t
de
Cálculo
t
0.0673
-
t
0.0673
-
0.0673
-
k
e
ln
)
t
0.0673
-
(
7
2
ln
e
ln
7
2
ln
:
miembros
ambos
en
base
de
logaritmos
Tomando
t
0.0673
-
minutos
18.6
t
Llegará a la temperatura de 50ºC después de 18.6
minutos aproximadamente.
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1) Allen, R. Álgebra intermedia (4ª ed.). Prentice Hall Hispanoamericana, México, 1977.
Código: 515.25/L32.
2) Arya, J. Matemáticas aplicadas a la administración, economía, economía, ciencias
biológicas y sociales. 3ª ed. Prentice Hall,México, 1992. Código: 519/A78M.
3) Espinoza, E. Matemática Básica. Lima – Perú, 2002. Código: 510/E88M.
4) Haeussler, E. y Paúl R. Matemática para administración y economía. 10ª ed. Pearson
Educación,México, 2003. Código: 519/H14.
5) Kolman, B. Algebra lineal. 6ª ed. Prentice Hall,México, 1999. Código: 512.5/k73.
6) Lázaro, M. Relaciones y funciones. MOSHERA. 1994. Código: 515.25/L23.
7) Sullivan, M. Precalculo. 4ª ed. Pearson Educación. México, 1997. Código: 515/S91.
8) Venero, A. Matemática Básica.Ediciones Gemar. Lima – Perú, 1999. Código: 510/V45.
28
Bibliografía
