Kecerunan bawah graf

1. MODUL SOLAF MATEMATIK SPM 2014
MODUL 23 : KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH GRAF ( KERTAS 2 )
1. Rajah 1 menunjukkan graf laju-masa bagi sebuah motosikal yang bergerak dari
keadaan pegun.
Diagram 1 shows the speed-time graph of a motorcycle which starts from rest.
Rajah 1 / Diagram 1
Cari / Find :
(a) Jarak dilalui, dalam m, bagi 50 saat yang pertama.
the distance travelled, in m , for the first 50 seconds.
Jarak = luas bawah graf
= ½ ( 15 x 50)
= 375 m/s
[ Aras : Rendah ]
(b) purata laju, dalam m s–1
, bagi 50 saat yang pertama.
the average speed, in m s–1
, for the first 50 seconds.
Purata laju= Jumlah jarak / masa
= 375/50 s
= 7.5 m/s
[ Aras : Sederhana ]
(c) nilai t, jika jumlah jarak yang dilalui dalam tempoh t saat ialah 675 m.
the value of t, if the distance travelled in the t seconds is 675 m.
[ Aras : Tinggi ]
Jarak dalam tempoh t saat = 675 m
Jarak A + jarak B = 675
375 + ½ ( t - 50 ) ( 15 ) = 675
½ ( t – 50) (15) = 675 -375
= 2( 300 )/15
= 600 /15
=40 + 50
= 90 s
216

2. MODUL SOLAF MATEMATIK SPM 2014
MODUL 23 : KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH GRAF ( KERTAS 2 )
2. Rajah 2 menunjukkan graf laju-masa bagi satu zarah dalam tempoh t saat.
Diagram 2 shows the speed-time graph of a particle for a period of t seconds.
Rajah 2 / Diagram 2
(a) Nyatakan tempoh masa, dalam s, zarah itu bergerak dengan laju seragam.
State the length of time, in s, the particle moves at uniform speed.
[Aras : Rendah ]
=15-5 saat
=10 saat
(b) Hitungkan kadar perubahan laju, dalam m s–2
dalam tempoh 5 saat yang pertama.
Calculate the rate of change of speed, in m s–2
, during the first 5 seconds.
[ Aras : Rendah ]
Kadar perubahan laju = (10-0 )/ 5
= 2 m s–2
(c) Hitungkan nilai t, jika jumlah jarak yang dilalui dalam tempoh t saat itu ialah
255 meter.
Calculate the value of t, if the total distance travelled in t seconds is 255 metres.
[ Aras : Tinggi ]
Jumlah jarak dalam tempoh t saat = 255 meter
Luas A + Luas B + Luas C = 255
½( 5x 10) + (10 x 10 ) + ½ ( 10 + 16 )( t-15) = 255
25 + 100 + 13 ( t-15 ) = 255
( t-15 ) = ( 255 – 25 – 100 )/13
= 130 /13
t = 10 + 15
= 25 s
217

3. MODUL SOLAF MATEMATIK SPM 2014
MODUL 23 : KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH GRAF ( KERTAS 2 )
3. Rajah 3 menunjukkan graf laju-masa seorang penunggang motor dalam tempoh 30
saat.
Diagram 3 shows the speed-time graph of a motorcyclist in a period of 30 seconds.
Rajah 3 / Diagram 3
Diberi bahawa jumlah jarak yang dilalui oleh penunggang motorsikal itu ialah 525 m.
Given that the total distance travelled by the motorcyclist is 525 m.
Hitung
Calculate
(a) selang masa untuk laju seragam.
the duration of uniform speed,
25-10
= 10saat
[ Aras : Rendah ]
(b) kadar perubahan laju untuk 5 saat yang terakhir.
the rate of change of speed in the last 5 second,
Kadar Perubahan Laju 5 saat yang terakhir
= (20-0)/(30-25)
= 20 / 5
= 4 m/s
[ Aras : Sederhana ]
(c) nilai v.
the value of v.
[ Aras : Tinggi ]
Diberi jumlah jarak = 525m
Luas A + Luas B + Luas C
½( v + 20 )10 + ( 25-10) ( 20 ) + 1/2 ( 30-25 )( 20) = 525 m
½ ( v + 20)10 + 300 + ½ (100) = 525
½ ( v + 20 )10 = 525- 350
v + 20 = 2( 175)/10
= 35-20
= 15 m/s
218
Masa /Time ( s )
Laju/ Speed (m s-1
)
20
v
10 25 30

4. MODUL SOLAF MATEMATIK SPM 2014
MODUL 23 : KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH GRAF ( KERTAS 2 )
4. Rajah 4 menunjukkan graf laju-masa suatu objek untuk tempoh masa 80 saat.
Diagram 4 shows the speed-time graph of an object over a period of 80 seconds.
Rajah 4 / Diagram 4
Bermula dari rehat, objek tersebut bergerak sehingga mencapai kelajuan 18 m s-1
,
kemudiannya bergerak dengan laju seragam sebelum ia bergerak semakin perlahan
sehingga ia berhenti pada ketika 80 saat.
The object started from rest, attained a speed of 18 m s-1
then travelled at a constant
speed before slowing down until it came to rest at 80 seconds.
(a) Diberi bahawa kadar perubahan laju sepanjang awal pergerakan adalah 0.5 m s-2
,
hitung nilai T.
Given that the rate of change of speed during the first part of the motion was
0.5 m s-2
, calculate the value of T.
[ Aras : Sederhana ]
(b) Jumlah jarak yang dilalui sepanjang 80 saat adalah 855 meter. Hitung masa yang
diambil apabila objek bergerak dengan laju seragam.
The total distance travelled during the 80 seconds was 855 metres. Calculate the
period of time taken by the object to travel at uniform speed.
[ Aras : Tinggi ]
219
T0 80
18
Laju/ Speed (m s-1
)
Masa/ Time (s)

5. MODUL SOLAF MATEMATIK SPM 2014
MODUL 23 : KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH GRAF ( KERTAS 2 )
5. Rajah 5 menunjukkan graf laju-masa suatu zarah dalam tempoh 10 saat. Diberi bahawa
jumlah jarak yang dilalui dalam 6 saat yang pertama adalah dua kali jumlah jarak yang
dilalui oleh zarah dalam 4 saat terakhir.
Diagram 5 shows the speed-time graph of a particle for a period of 10 seconds.
Given that the total distance travelled in the first 6 seconds is twice of the total
distance travelled in the last 4 seconds.
Rajah 5 / Diagram 5
(a) Hitung nilai v.
Calculate the value of v.
[ Aras : Tinggi ]
(b) Hitung kadar perubahan laju, dalam m s-2
, untuk 6 saat yang pertama.
Calculate the rate of change of speed, in m s-2
, in the first 6 seconds.
[ Aras : Sederhana ]
6. Rajah 6 menunjukkan graf laju-masa bagi suatu zarah untuk tempoh masa 15 saat.
Diagram 6 shows the speed-time graph of a particle for a period of 15 seconds.
Rajah 6 / Diagram 6
(a) Nyatakan tempoh masa, dalam s, apabila zarah bergerak dengan laju seragam.
220
Laju/ Speed ( m s-1
)
Masa/ Time (s)
10
U
18
0 4 9 15
Laju/ Speed (m s 1− )
Masa/ Time (s)
v
4
0 6 10

6. MODUL SOLAF MATEMATIK SPM 2014
MODUL 23 : KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH GRAF ( KERTAS 2 )
State the length of time, in s, when the particle moves with uniform speed.
[ Aras : Rendah ]
(b) Hitung kadar perubahan laju dalam m s-2
untuk 4 saat yang pertama.
Calculate the rate of change of speed in ms-2
in the first 4 seconds.
[ Aras : Sederhana ]
(c) Hitung nilai U, jika jumlah jarak yang dilalui oleh zarah dalam 11s yang terakhir
ialah 207m.
Calculate the value of U, if the total distance travelled by the particle in the last
11s is 207 m.
[ Aras : Tinggi ]
7. Rajah 7 menunjukkan graf laju-masa bagi suatu zarah dalam tempoh 20 saat
Diagram 7 shows the speed-time graph of a particle for a period of 20 seconds.
Rajah 7 / Diagram 7
(a) Nyatakan tempoh masa, dalam s, zarah bergerak dengan laju seragam.
State the length of time, in s, that particle move with uniform speed.
[ Aras : Rendah ]
(b) Kira nilai u, jika jumlah jarak yang dilalui dalam tempoh 8 pertama saat ialah 164
meter.
Calculate the value of u, if the total distance traveled in the first 8 seconds is 164
meters.
[ Aras : Sederhana ]
(c) Hitung purata laju, dalam m s -1
, bagi tempoh 20 saat.
Calculate the average speed, in m s -1
, for a period of 20 second.
[ Aras : Tinggi ]
221
Laju (m/s)
Speed (m/s)
0
u
8 12
25
20
Masa (s)
Time (s)

7. MODUL SOLAF MATEMATIK SPM 2014
MODUL 23 : KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH GRAF ( KERTAS 2 )
8. Rajah 8 menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan suatu zarah dalam tempoh masa
35 saat.
Diagram 8 shows a speed-time graph of the movement of a particle for a period of 35
second.
Rajah 8 / Diagram 8
(a) Nyatakan laju seragam, dalam ms-1
, zarah itu.
State the uniform speed, in ms-1
, of the particle.
[ Aras : Rendah ]
(b) Hitung kadar perubahan laju dalam 10 saat pertama.
Calculate the rate of change in speed in the first 10 seconds.
[ Aras : Sederhana ]
(c) Diberi bahawa jarak yang dilalui oleh zarah itu ketika laju seragam ialah 240m,
hitung
Given the distance travelled by the particle at a uniform speed is 240m,
calculate
(i) nilai t
the value of t.
[ Aras : Tinggi ]
(ii) purata laju, dalam ms-1
, bagi zarah itu dalam tempoh masa 35 saat.
the average speed, in ms-1
, of the particle for the period of 35 seconds.
[ Aras : Tinggi ]
222
Laju/ Speed (m s-1
)
Masa/ Time (s)
20
12
10 t 35

8. MODUL SOLAF MATEMATIK SPM 2014
MODUL 23 : KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH GRAF ( KERTAS 2 )
9. Rajah 9 menunjukkan graf laju-masa bagi dua zarah M dan N dalam masa 100 saat.
ABCD ialah graf laju-masa bagi zarah M dan EFG ialah graf laju-masa bagi zarah N.
The diagram 9 shows the speed-time graphs of two particles M and N over a period of
100 seconds. ABCD is the speed-time graph of particle M and EFG is the speed-time
graph of particle N.
Rajah 9 / Diagram 9
(a) Nyatakan tempoh masa dalam saat, di mana zarah N bergerak dengan laju
seragam.
State the length of time in seconds, during which the particle N move with uniform
speed.
Tempoh masa zarah N laju seragam= 60-20 = 40 saat
[ Aras : Rendah ]
(b) Hitung kadar perubahan laju, dalam m s-2
, zarah M dalam 20 saat yang pertama.
Calculate the rate of change of speed, in m s-2
, of the particle M in the first 20
second.
Kadar Perubahan Laju zarah M dalam 20 saat pertama
=(80 – 0 ) 20
= 4m/s
223
Speed/ Laju (m s-1
)
20 40 60 10080
Time / Masa (s)
0
v
80
145
Zarah N
D
F
E
B C
A

9. MODUL SOLAF MATEMATIK SPM 2014
MODUL 23 : KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH GRAF ( KERTAS 2 )
(c) Diberi bahawa jarak yang dilalui oleh zarah M dan N dalam 100 saat ialah
8500m. Hitung nilai v.
Given that the distance travelled by both particles in the 100 s period is 8500 m.
Calculate the value of v.
[ Aras : Tinggi ]
Luas A + Luas B = 8500
8500)60()145(40
2
1
=×+





+×× vv
20 ( v + 145 ) + 60v = 8500
20v + 2900 + 60 v = 8500
80v = 8500- 2900
V= 5600/ 80
= 70m/s
10. Rajah 10 menunjukkan graf jarak-masa bagi perjalanan sebuah bas dan sebuah teksi.
Diagram 10 shows the distance-time graph of the journey of a bus and a taxi.
224
Masa (minit)
Time (minutes)
Jarak/ Distance (km)
0 30 40 65 150
90
30
P
Q R
SJ
K
Bandar B
Town B
Bandar A
Town A
Teksi
bas

10. MODUL SOLAF MATEMATIK SPM 2014
MODUL 23 : KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH GRAF ( KERTAS 2 )
Rajah 10 / Diagram 10
Graf PQRS mewakili perjalanan bas itu dari bandar A ke bandar B. Graf JK mewakili
perjalanan teksi itu dari bandar B ke bandar A. Bas itu bertolak dari bandar A dan teksi
itu pula bertolak dari bandar B pada waktu yang sama dan melalui jalan yang sama.
The graph PQRS represents the journey of the bus from town A to town B. The graph
JK represents the journey of the taxi from town B to town A. The bus leaves town A
and the taxi leaves town B at the same time and they travel along the same road.
(a) Nyatakan tempoh masa, dalam minit, bas itu berhenti.
State the length of time, in minutes, during which the bus is stationary.
[ Aras : Rendah ]
= 65-30
=35
(b) (i) Jika perjalanan itu bermula jam 9.00 pagi, pukul berapakah kedua-dua
kenderaan itu bertemu?
If the journey starts at 9.00 am, at what time do the vehicles meet?
9.00 + 40 minit = 9:40
[ Aras : Sederhana ]
(ii) Cari jarak, dalam km, dari bandar B bila kedua-dua kenderaan itu bertemu.
Find the distance, in km, from town B when the vehicles meet.
[ Aras : Sederhana ]
90-30
= 60 km
(c) Hitung purata laju, dalam km j-1
, bas itu bagi keseluruhan perjalanan.
Calculate the average speed, in km h-1
, of the bus for the whole journey.
[ Aras : Tinggi ]
Purata laju = Jumlah jarak / masa
= 90 km / 150 minit 60 minit - 1 jam
150 minit - (1 x 150 )/60
= 90 km ÷ 150/60
= 90 x 60/150
= 5400/150
= 36 km/jam
225