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明日機械学習に
役立つかもしれない数学
面白法人カヤック
岩淵 勇樹
自己紹介
岩淵勇樹(物智)
 面白法人カヤック 技術部・人事部
 金沢大学博士課程修了 博士(工学)
 主な研究領域:
◦ フラクタル
◦ 記数法
◦ 音声・音楽
◦ 画像・メディアアート
発表の概要
 「機械学習に役立つかもしれない」
数学の独自研究を
オムニバス形式で3つ紹介します。
 いきなり話が飛ぶので部分的にでも
アイデアを持ち帰っていただければ
幸いです。
解析信号
研究その1
音声処理
 音声処理技術の根幹はフーリエ変換
◦ 正弦波が基本
F
→
三角関数と指数関数
 三角関数(cos(a
t+q))は指数関数
(ei a t+q)の実数部
(オイラーの公式より)
 バネ(指数関数)の
方が自然な形
cf) |{cos(t)}’| =|-sin(t)|
|{ei t}’| =|i ei t| =1
実信号の複素化
 正弦波(単振動)を指数関数(バネ)にするようなフィルタ
◦ 負のスペクトルを削除(ただし正では2倍)
F
→
t
w
F
→t
w
「複素化フィルタ」
音の形
正弦波 三角波 Sinc関数
最もシンプルな形(真円)
音の形
音の形
話者10人の「東京」の違い
1
話者
t o ky o t o ky o
2
3
4
5
6
7
8
9
10
どう役立つ?
 機械学習は画像処理に強い
 図形化した音の画像データを学習に用
いて音声識別や話者識別などに利用で
きるのでは?
物智の倍音配列
研究その2
ご覧ください。
1 2 4 8 16
3 6 12 24 48
5 10 20 40 80
7 14 28 56 112
9 18 36 72 144
この表から何が読み取れるでしょうか?
特徴1
1 2 4 8 16
3 6 12 24 48
5 10 20 40 80
7 14 28 56 112
9 18 36 72 144
1列目は奇数、2列目以降は偶数
特徴2
1 2 4 8 16
3 6 12 24 48
5 10 20 40 80
7 14 28 56 112
9 18 36 72 144
各列は等差数列
+2
+2
+2
+2
+4
+4
+4
+4
+8
+8
+8
+8
+16
+16
+16
+16
+32
+32
+32
+32
特徴3
1 2 4 8 16
3 6 12 24 48
5 10 20 40 80
7 14 28 56 112
9 18 36 72 144
各行は等比数列(公比2)
×2 ×2 ×2 ×2
×2 ×2 ×2 ×2
×2 ×2 ×2 ×2
×2 ×2 ×2 ×2
×2 ×2 ×2 ×2
特徴4
1 2 4 8 16
3 6 12 24 48
5 10 20 40 80
7 14 28 56 112
9 18 36 72 144
自然数を一意に表現している
特徴5
1 10 100 1000 10000
11 110 1100 11000 110000
101 1010 10100 101000 1010000
111 1110 11100 111000 1110000
1001 10010 100100 1001000 10010000
2進数として見ると、
1列目は末尾が1(奇数なので)
右の列に進むと左ビットシフト
※2進数表記
呼称
 特に名前がないようなので、
この配列を
「物智の倍音配列」
と呼ぶことにします。
定理
 n=(2s+1)2e
 s: 仮数部 (significand)、
e: 指数部 (exponent)
 【定理】任意の自然数について
唯一つの非負整数sと非負整数eが存在
する
 例: 28=(2×3+1)22
 このようなsとeを求めることを
「分解」と呼ぶ
分解の方法
例: 28=
11100
e: デリミターの右側の0の個数
d: デリミター(=1)
s: デリミターの左側を
2進数として解釈
⇒(s,e)=(3,2)
奇数になる 2進数における
左ビットシフト
(2進表記)
 n=(2s+1)2e (nが自然数のとき)
負数への拡張
-5 -10 -20 -40 -80
-3 -6 -12 -24 -48
-1 -2 -4 -8 -16
1 2 4 8 16
3 6 12 24 48
5 10 20 40 80
縦方向に拡張
整数全体を表現可能
1/8 1/4 1/2 1 2 4
3/8 3/4 3/2 3 6 12
5/8 5/4 5/2 5 10 20
7/8 7/4 7/2 7 14 28
9/8 9/4 9/2 9 18 36
小数への拡張
横方向に拡張
(分母が2のべき乗の)実数全体を表現可能
→浮動小数点数に似た表現領域
どう役立つ?
 ニューラルネットワークにおけるパラ
メーターは基本的に浮動小数点数
→適切なビット数・表現領域の表現形
として有望
 浮動小数点数の計算は複雑
→物智の倍音配列でシンプルな計算が
可能?
現状: 加減算→△ 除算→? 乗算→◎
物智数(平面的2進数)
研究その3
予備知識
 2進数
◦ 1 = 1
◦ 2 = 10
◦ 3 = 11
◦ 4 = 100
◦ 5 = 101
◦ 6 = 110
◦ 7 = 111
◦ 8 = 1000
そもそも
 数の表記方法は直線的
◦ 10010110011010010110100110010110
 左に繰り上がる
◦ 111 + 1 = 1000
0 1 1 1 + 1
= 1 0 0 0
物智数
1 0
0 1
1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 0 0 0
左と上に繰り上がり
0 1 1
1 0 1
1 1 1
0 1
1 1
2=
3=
4=
5= 6= 7= 8=
0 1
1 0
物智数
 数を大きくしてみる
1000 2000 40000
…0 …1
どう役立つ?
 シンプルなニューロンとして用いる
 繰り上がりをセルオートマトン的に行
う数システム
2進数
ニューラル
ネットワーク
セル
オートマトン
2進数のニューロン
入力 セルの状態 セルの次の状態 出力
0 0 0 0
1 0 1 0
0 1 1 0
1 1 0 1
セルの状態
(digit)
セルの状態
(digit)
セルの状態
(digit)
2n2n+1 2n-1
入力
(繰り上がり)
出力
(繰り上がり)
11
物智数のニューロン
入力 セルの状態 セルの次の状態 出力
0 0 0 0
1 0 1 0
2 0 0 1
0 1 1 0
1 1 0 1
2 1 1 1
セルの
状態
(digit)
pm+1qn+1
入出力
(繰り上がり)入出力
(繰り上がり)
1
pm+1qn
セルの
状態
(digit)
pmqn+1
1
振り返り
 解析信号
⇒画像識別による音声処理
 物智の倍音配列
⇒計算機におけるシンプルな数表現
 物智数(平面的2進数)
⇒極小単位なニューラルネットワーク
以上
 ご清聴ありがとうございました。

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