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折り紙と正多角形と三次方程式 数学カフェ #math_cafe

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@tsujimotter が「数学カフェ」にて発表した資料です。
今回のテーマは「コサインが分かると正七角形が折れる!世界が広がる!」です。

第6回数学カフェ https://www.facebook.com/events/901891789877426/
tsujimotter のポートフォリオ http://tsujimotter.info

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折り紙と正多角形と三次方程式 数学カフェ #math_cafe

  1. 1. 日曜数学者 辻 順平 @tsujimotter ウェブサイト http://tsujimotter.info/ 折り紙と正多角形と三次方程式
  2. 2. 日曜数学者 ってなに? 2
  3. 3. 日曜数学者 休日に思いおもいの方法で   数学探究をする人のこと 今日はまさに日曜数学! 3
  4. 4. 辻の日曜数学活動 本業のプログラミングを活かしたやり方で、数学的対象を再表現する   その成果を面白おかしく語りまくる 3Dプリンタでゼータ関数を造形 (触れるゼータ関数) 高度な概念をブラウザゲーム化 (基本領域ゲーム) 4
  5. 5. 2015 年の実績(全12件) プログラマのための数学勉強会(第1回∼第3回) 日曜数学会(第1回,第2回) 第8回ニコニコ学会β  シンポジウム ノラヤサイエンスバー vol.2(仙台) 5
  6. 6. tsujimotter  のノートブック 辻が興味を持った   数学的なトピックについて   熱く語って語りまくるブログ     http://tsujimotter.hatenablog.com   6
  7. 7. 今回紹介するデモアプリは   すべて以下のページに置いてあります。 tsujimotter  のポートフォリオ   http://tsujimotter.info   7
  8. 8. 今日お話ししたいのは 折り紙と三次方程式 8
  9. 9. 折り紙との出会い 9
  10. 10. 雪の結晶に夢中 正六角形でつくる雪の結晶 10
  11. 11. 11
  12. 12. 月日は流れて・・・     tsujimotter  大学生の頃 12
  13. 13. 作図おもろい 13
  14. 14. 作図でできることざっくりと 14
  15. 15. 垂線 頂点 垂線 頂点 1 1 cos  が「四則演算」と「ルート」で表現できる(作図可能数)    対応する正多角形も作図できる 15
  16. 16. 11 1 + p 5 4 cos ✓ 2⇡ 5 ◆ = 16 1 6 + 3 q 7 2 (1 + 3 p 3) 6 + 3 q 7 2 (1 3 p 3) 6 cos ✓ 2⇡ 7 ◆ =
  17. 17. 正七角形は作図不能!正五角形は作図可能 定木&コンパスの場合 17 5 7
  18. 18. 垂線 頂点 「四則演算」と「ルート」だけで表現できる  ⇔  作図可能 正十七角形の場合 1 16 + 1 16 p 17 + 1 16 q 2(17 p 17) + 1 8 r 17 + 3 p 17 q 2(17 p 17) 2 q 2(17 + p 17)cos ✓ 2⇡ 17 ◆ = 18
  19. 19. やってみた 19
  20. 20. 作図支援ソフトウェア Heptadecagon 『正十七角形を正確に描く、ただそれだけのために作られたソフトウェア』 実演動画:  https://www.youtube.com/watch?v=wyjn441NVPE  20
  21. 21. 折り紙の話に戻りましょう 21
  22. 22. 正七角形は作図不能!正五角形は作図可能 定木&コンパスの場合 5 7 22
  23. 23. どちらも折ることが可能!! 折り紙の場合 5 7 23
  24. 24. 折り紙で折れる図形 定木&コンパスで   作図できる図形 正七角形   正三角形,正五角形,   正十七角形,etc.   24
  25. 25. ダウンロードはこちらから   http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/07/07/234101 25
  26. 26. 正七角形が折れる仕組み STEP 1: 折り紙公理 STEP 2: 放物線の接線が折れる STEP 3: 三次方程式が解ける 26
  27. 27. 折り紙公理 折り紙によって可能な7つの基本操作 27
  28. 28. 1 2 3 4 5 6 7 与えられるもの 得られるもの 28
  29. 29. 1 2 3 4 5 6 7 与えられるもの 得られるもの 定木とコンパスによっても作図可能 29
  30. 30. 1 2 3 4 5 6 7 与えられるもの 得られるもの 定木とコンパスによって作図不能 30
  31. 31. 正七角形が折れる仕組み STEP 1: 折り紙公理 STEP 2: 放物線の接線が折れる STEP 3: 三次方程式が解ける 31
  32. 32. 「放物線の接線」 が折れる ん、どうやって? 折り紙では 32
  33. 33. 折り紙で「放物線の接線」が折れる 点を直線に折り合わせるとき,放物線の接線が得られる 折り重ねる 放物線 接線 デモアプリ:  http://tsujimotter.info/origami/  33
  34. 34. 正七角形が折れる仕組み STEP 1: 折り紙公理 STEP 2: 放物線が折れる STEP 3: 三次方程式が解ける 34
  35. 35. 二次方程式の解の公式 二次方程式   の解  は,次の公式で表せるax2 + bx + c = 0 x = b ± p b2 4ac 2a ax2 + bx + c = 0 作図可能数を係数に持つ二次方程式を解くことができる 四則演算とルートによって表される 三次方程式のまえに・・・ 35
  36. 36. 三次方程式が解ける いったいどうやって? 折り紙では 36
  37. 37. こうやって解く 7 37
  38. 38. 「折り紙で三次方程式が解けること」   を証明しよう 38 高校数学の範囲で出来ます!
  39. 39. 座標を設定する 39
  40. 40. | 点 P と 点 A の距離 | = | 点 P と 直線 LA の距離 | q (x - b)2 + (y - a)2 = (y - (-a)) ∵距離の定義から ∵がんばって変形 4ay = (x - b)2 40
  41. 41. | 点 P と 点 B の距離 | = | 点 P と 直線 LB の距離 | ∵距離の定義から q (x - (-d))2 + (y - (-c))2 = (x - d) ∵がんばって変形 -4dx = (y + c)2 41
  42. 42. -4dx = (y + c)2 4ay = (x - b)2 共通接線を持つ条件を使う 42
  43. 43. 4ay = (x - b)2 x = b + 2at ∵    よりy0 = t y = at2 ∵放物線の式に代入 4ay0 = 2(x - b) ∵ で微分4ay = (x - b)2 s = -at2 - bt ∵      に代入y = tx + s 43
  44. 44. -4dx = (y + c)2 ∵ で微分4ay = (x - b)2 -4d = 2(y + c)y0 ∵放物線の式に代入 x = -d/t2 ∵    よりy0 = t y = -c - 2d/t ∵      に代入y = tx + s -s - c - d t = 0 44
  45. 45. s = -at2 - bt -s - c - d t = 0 at2 + bt - c - d t = 0 ∵ を消去s = -at2 - bt ∵両辺に をかけるs = -at2 - bt at3 + bt2 - ct - d = 0 完成! 45
  46. 46. 折り紙と三次方程式 2つの直線上に,2点を同時に折り重ねるとき,   その折り目によって得られる直線の「傾き」が三次方程式の解となる 折り重ねる 傾きが三次方程式の解 デモアプリあり デモアプリ: http://tsujimotter.info/origami/cubic.html    46 (b, a) (-d, -c)
  47. 47. a = 1, b = 1, c = 2, d = 1 とおくと・・・ 47
  48. 48. ✓ = 2⇡ 7 cos ✓ t = 2 cos ✓ 2⇡ 7 ◆ t3 + t2 - 2t - 1 = 0 の解になるわけ が 48
  49. 49. ✓ = 2⇡ 7 cos ✓ 1 + cos ✓ + cos 2✓ + cos 3✓ + cos 4✓ + cos 5✓ + cos 6✓ = 0 正七角形の対称性より cos ✓ = cos 6✓ cos 2✓ = cos 5✓ cos 3✓ = cos 4✓ 1 + 2 cos ✓ + 2 cos 2✓ + 2 cos 3✓ = 0 より∵ 1 + 2 cos ✓ + 2(2 cos2 ✓ - 1) + 2(4 cos3 ✓ - 3 cos ✓) = 0 ∵2倍角,3倍角の定理より ∵      とおくt = 2 cos ✓ t3 + t2 - 2t - 1 = 0 ∵がんばって計算する (2 cos ✓)3 + (2 cos ✓)2 - 2(2 cos ✓) - 1 = 0 49
  50. 50. 二次方程式の解となる数  三次方程式の解となる数   2 cos ✓ 2⇡ 7 ◆ 結論 正七角形は折り紙によって折ることが出来る cos ✓ 2⇡ 5 ◆ = 折り紙で折れる数 作図できる数 ✓ = 2⇡ 7 cos ✓ 50
  51. 51. 第8の公理:「 n 重折り」 51 図:3重折りの例 西村保三「2重折り紙による2の5乗根の作図」日本折紙学会 (2012年8月) より引用 『     のとき,一般の n 次方程式を (n - 2) 重折りで解くことができる(リルの方法 1867年)』らしいn 3
  52. 52. 知らないことを知るのは楽しい     数学的知識は   新しいものの見方を提供してくれる 52
  53. 53. 参考文献 •  ロベルト・ゲレトシュレーガー 著「折紙の数学」森北出 版(2002年)定価:2,800円   •  大野栄一 著「定木とコンパスで挑む数学」講談社  BLUE   BACKS(1993年)定価:780  円   •  tsujimotter  のノートブック,   http://tsujimotter.hatenablog.com   53

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