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2SAT(充足可能性問題)の解き方

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2SAT(充足可能性問題)の解き方

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2SAT(充足可能性問題)の解き方

  1. 1. 2-SATの解き方 吉岡恒夫(@yoshiokatsuneo) 2017/02/21
  2. 2. SATとは? • 充足可能性問題(satisfiability problem) • 論理式 (A∨B∨C∨…)∧(D∨E∨F∨…)∧… # CNF, Conjunctive Normal Form, 連現標準形 • 論理式を満たす(真にする)ことができるか? (そのような、A,B,C,D…が存在するか?)
  3. 3. 2-SATとは? • 論理式 (A∨B)∧(D∨E)∧… #かっこの中(クロージャ)が最大2個まで • 論理式を満たす(真にする)ことができるか? (そのような、A,B,C,D…が存在するか?)
  4. 4. 論理包含(implication) • A→B (AならばB) (注: Aが偽の場合もBは真になる) • A→B かつ B→C ならば A→C (三段論法) A B A→B 真 真 真 真 偽 偽 偽 真 真 偽 真 真
  5. 5. 論理式と論理包含 • A∨B ≡ ¬B→A≡ ¬A→B ¬A B ¬A→B A B 真 真 真 偽 真 真 偽 偽 偽 偽 偽 真 真 真 真 偽 真 真 真 真
  6. 6. 2-SATの「ならば(→)」表記 • (A∨B)∧(C∨D)∧… は (¬B→A)∧(¬A→B)∧(¬D→C)∧(¬C→D)∧… と表せる
  7. 7. 2-SATのグラフ表記 B ¬A A ¬B A B A→B 真 真 真 真 偽 偽 偽 真 真 偽 真 真 • X→YでXとYが反対でも成立 するのはX:偽, Y:真の組み合 わせ • ¬A→Aの場合、¬Aを偽に、 Aを真にする。 B ¬A A ¬B 偽 偽 真 真
  8. 8. 矛盾の検出 • ¬AとAがループしていると、¬AとAを同時に 満たす必要が出て来て矛盾する A ¬A
  9. 9. 強連結成分分解 • 強連結成分分解で同じループの中に、Aと¬A が存在するか検出。 A B C D E F G H 強連結成分 強連結成分
  10. 10. まとめ • 論理式: (A∨B)∧(D∨E)∧… • ならばに変換: (¬B→A)∧(¬A→B)∧… • グラフを作成 • 強連結成分分解でAと¬Aが同じ成分か検出 • ¬A→Aがあれば、Aを偽にする

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