Materi bab 2 terdiri dari persamaan linear dua variabel dan tiga variabel, cara menyesaikan sistem persamaan linear metode substitusi, eliminasi, dan grafik, serta aplikasi persamaan linear. Materi bab 3 terdiri dari pengertian matriks, operasi matriks, minor, kofaktor, adjoin, determinan, invers, serta cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan matriks.

1. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 1
CATATAN KULIAH
MATEMATIKA TERAPAN 1
Disusun oleh:
YULI KUSUMAWATI, S.T., M.T.

2. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 2
2. PERSAMAAN LINEAR
Persamaan linear adalah persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Persamaan
linear jika digambarkan pada koordinat Cartesius maka akan berbentuk garis lurus (linear).
Persamaan linear dapat mempunyai satu variabel, dua variabel, maupun banyak variabel.
Apabila terdapat beberapa persamaan linier, maka disebut sistem persamaan linear.
Setiap sistem persamaan linier mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai tepat
satu penyelesaian, atau mempunyai tak-hingga penyelesaian.
2.1. Persamaan Linear Satu Variabel
Bentuk umum dari persamaan linear satu variabel adalah ax + b = 0, dimana a adalah
koefisien dari variabel x, sedangkan b adalah konstanta.
Contoh 2.1:
Selesaikan persamaan 4x – 20 = 0
Jawab:
4x – 20 = 0
4x = 20
x = 5
Contoh 2.2:
Selesaikan sistem persamaan 6x + 1 = 2x + 9
Jawab:
6x – 2x = 9 - 1
4x = 8
x = 2
2.2. Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear dua variabel adalah persamaan linear yang memiliki dua variabel, dengan
pangkat masing-masing variabel adalah satu. Persamaan linear dua variabel memiliki bentuk
umum:
ax + by = c
dengan a dan b adalah koefisien, sedangkan c adalah konstanta, x dan y adalah variabel.
Contoh 2.3:
Carilah penyelesaian dari 2x + y = 4
Jawab:
 Jika x = 0, maka 2(0) + y = 4, sehingga y = 4. Jadi penyelesaiannya adalah (0,4)
 Jika x = 1, maka 2(1) + y = 4, sehingga y = 2. Jadi penyelesaiannya adalah (1,4)
 Jika x = 2, maka 2(2) + y = 4, sehingga y = 0. Jadi penyelesaiannya adalah (2,0), dst.
Sistem persamaan linear dua variabel adalah dua buah persamaan linear dua variabel yang
mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:
a1x + b1y = c1

3. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 3
a2x + b2y = c2
Dengan a1 dan a2 adalah koefisien dari variabel x, sedangkan b1 dan b2 adalah koefisien dari
variabel y, sedangkan c adalah konstanta.
Sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan antara lain dengan cara:
a. Substitusi
b. Eliminasi
c. Grafik
2.2.1. Metode Substitusi
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode substitusi dilakukan dengan cara
menggantikan suatu variabel dari salah satu persamaan dengan variabel dari persamaan
lain.
Contoh 2.4:
Carilah nilai variabel x dan y jika x + y = 2 dan 2x + y = 4.
Jawab:
x + y = 2 (1)
2x + y = 4 (2)
Misal yang akan disubstitusikan adalah persamaan (1), maka bentuk persamaan tersebut
diubah menjadi:
x + y = 2  y = 2 – x (1)
Substitusikan variabel y dari persamaan (1) ke persamaan (2):
2x + (2 – x) = 4
2x - x = 4 - 2
x = 2
Selanjutnya masukkan nilai variabel x tersebut ke persamaan (1) atau (2):
x + y = 2
(2) + y = 2
y = 2 – 2
y = 0
Jadi nilai variabel x = 2 dan y = 0.
2.2.2. Metode Eliminasi
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode substitusi dilakukan dengan cara
mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabel untuk mendapatkan nilai variabel yang
lain.
Contoh 2.5:
Carilah nilai variabel x dan y jika x + y = 2 dan 2x + y = 4.
Jawab:
x + y = 2 (1)
2x + y = 4 (2)
Pada dua persamaan tersebut, variabel y bisa langsung dieliminasi:
x + y = 2 (1)
2x + y = 4 (2)
-x + 0 = -2

4. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 4
x = 2
Selanjutnya masukkan nilai variabel x tersebut ke persamaan (1) atau (2):
x + y = 2
(2) + y = 2
y = 2 – 2
y = 0
Jadi nilai variabel x = 2 dan y = 0.
2.2.3. Metode Grafik
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode grafik dilakukan dengan cara
menggambarkan grafik kedua persamaan linear pada koordinat Cartesius. Titik potong dari
kedua grafik tersebut merupakan penyelesaiannya.
Contoh 2.6:
Carilah nilai variabel x dan y jika x + y = 2 dan 2x + y = 4.
Jawab:
x + y = 2 (1)
2x + y = 4 (2)
Untuk persamaan (1):
Titik potong terhadap sumbu x, maka y = 0:
x + (0) = 2
x = 2
Titik potong terhadap sumbu y, maka x = 0:
(0) + y = 2
y = 2
Untuk persamaan (2):
Titik potong terhadap sumbu x, maka y = 0:
2x + (0) = 4
2x = 4
x = 2
Titik potong terhadap sumbu y, maka x = 0:
2(0) + y = 4
y = 4
Penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah koordinat titik potong dari kedua grafik
tersebut, yaitu x = 2 dan y = 0.
2.3. Persamaan Linear Tiga Variabel
Bentuk sistem persamaan linear tiga variabel biasanya terdiri dari tiga persamaan dengan
tiga variabel. Penyelesaiannya menggunakan metode eliminasi, substitusi, maupun
gabungan keduanya.
Contoh 2.7:
Carilah penyelesaian sistem persamaan linear berikut:
2x + y – z = 1 (1)
x + y + z = 6 (2)
x – 2y + z = 0 (3)

5. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 5
Jawab:
Eliminasi variabel y:
2x + y – z = 1 (1)
x + y + z = 6 (2)
x – 2z = -5
x = -5 + 2z (4)
Substitusi persamaan (4) ke persamaan (1) dan (3):
2(-5 + 2z) + y – z = 1 (1)
-10 + 4z + y –z =1
3z + y = 11 (5)
x – 2y + z = 0 (3)
(-5 + 2z) – 2y + z = 0
3z – 2y = 5 (6)
Eliminasi variabel z:
3z + y = 11 (5)
3z – 2y = 5 (6)
3y = 6
y = 2
Substitusi nilai y ke persamaan (5):
3z + (2) = 11 (5)
3z = 9
z = 3
Substitusi nilai y dan z ke persamaan (2) atau sembarang:
x + y + z = 6 (2)
x + (2) + (3) = 6
x = 1
Jadi nilai variabel dari sistem persamaan tersebut adalah x = 1, y = 2, dan c = 3
2.4. Aplikasi Persamaan Linear
Contoh 2.8:
Sebuah perusahaan rental alat berat menawarkan paket sewa sebagai berikut:
Total biaya sewa untuk 1 unit excavator dan 2 unit dump truk adalah Rp 350.000/jam.
Total biaya sewa untuk 2 unit excavator dan 5 unit dump truck adalah Rp 800.000/jam.
Berapakah total biaya sewa untuk 3 unit excavator dan 6 unit dump truck per jam?
Jawab:
Misalkan, biaya sewa 1 unit excavator dilambangkan x dan biaya sewa 1 unit dump truck
dilambangkan y, sehingga dapat disusun persamaan sebagai berikut:
x + 2y = 350.000 (1)
2x + 5y = 800.000 (2)
Nilai variabel y dicari dengan menggunakan metode eliminasi.

6. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 6
2x + 4y = 700.000 (3)
2x + 5y = 800.000 (2)
y = 100.000
Selanjutnya substitusikan nilai y ke persamaan (1) untuk mencari nilai variabel x.
x + 2(100.000) = 350.000
x = 350.000 – 200.000
x = 150.000
Jadi biaya sewa 1 unit excavator adalah Rp 150.000/jam dan biaya sewa 1 unit dump truck
adalah Rp 100.000/jam
Selanjutnya dihitung total biaya sewa untuk 3 unit excavator dan 6 unit dump truck sebagai
berikut:
3(150.000) + 6(100.000) = 1.050.000
Jadi total biaya sewa untuk 3 unit excavator dan 6 unit dump truck adalah Rp 1.050.000/jam
Contoh 2.9:
Suatu pabrik menghasilkan 12 ton produk/hari dengan grade A dan grade B. Total nilai
pendapatan dari produksi tersebut adalah $4.035/hari. Jika harga produk grade A = $275
dan harga produk grade B = $380, berapa banyak masing-masing produk yang dihasilkan
setiap hari?
Jawab:
Misal, jumlah produk grade A yang dihasilkan per hari adalah c ton, maka jumlah produk
grade B yang dihasilkan per hari adalah (12-c) ton. Persamaan total pendapatan per hari
adalah:
380(12-c) + 275(c) = 4.035
4.560-380c + 275c = 4.035
-105c = 4.035 – 4.560
c = -525/-105
c = 5
Jadi jumlah produk grade A yang dihasilkan adalah 5 ton/hari, dan jumlah produk grade B
yang dihasilkan adalah 12-(5)= 7 ton/hari.

7. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 7
3. MATRIKS
3.1. Operasi Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan bilangan yang disusun menurut baris dan kolom dan
dituliskan di dalam tanda kurung siku [ ] atau kurung biasa ( ). Bilangan-bilangan dalam
matriks disebut dengan entri/unsur/anggota matriks. Ukuran (orde) dari suatu matriks adalah
banyaknya baris dan kolom yang terdapat dalam matriks.
Matriks A adalah matriks berukuran m x n, dengan m adalah
banyaknya baris dan n adalah banyaknya kolom. Matriks A
dapat juga dinotasikan dengan [aij]mxn atau [aij]. Entri yang
terletak pada baris i dan kolom j pada matriks A dinyatakan
sebagai aij.
Matriks bujursangkar orde n adalah suatu matriks A dengan
jumlah baris n dan jumlah kolom n. Entri a11, a22, …, ann dari
matriks tersebut disebut diagonal utama.
Matriks identitas (I) adalah matriks bujursangkar yang entrinya pada diagonal utama adalah
1 dan entri lainnya adalah 0. Contoh, matriks identitas orde 3x3 adalah:
[ ]
Trace dari matriks bujursangkar A, dinyatakan sebagai tr(A), adalah jumlah entri-entri pada
diagonal utama matriks bujursangkar A.
Operasi matriks meliputi:
a. Penjumlahan
Jumlah dari matriks A dan matriks B (A + B) yang mempunyai orde sama diperoleh
dengan menjumlahkan entri-entri pada matriks A dengan entri-entri yang bersesuaian
pada matriks B.
Contoh:
[ ] [ ]
A + B = [ ]
b. Pengurangan (selisih)
Selisih matriks A terhadap matriks B (A - B) yang mempunyai orde sama diperoleh
dengan mengurangkan entri-entri pada matriks A dengan entri-entri yang bersesuaian
pada matriks B.
Contoh:
[ ] [ ]

8. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 8
A - B = [ ]
c. Perkalian
 Perkalian matriks A dengan suatu skalar c adalah mengalikan entri-entri pada
matriks A dengan skalar c.
Contoh:
[ ] c = 2
c.A = [ ]
 Perkalian matriks A berorde mxr dengan matriks B berorde rxn dilakukan dengan
cara mengalikan entri-entri yang berpadanan dari baris matriks A dengan entri-entri
yang berpadanan dari kolom matriks B, kemudian jumlahkan hasil kalinya.
Contoh:
[ ] [ ]
A.B = [ ]
3.2. Transpose matriks
Transpose dari matriks A (disimbolkan dengan AT
) adalah matriks n x m yang diperoleh
dengan cara mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari matriks A, sehingga kolom
pertama dari AT
adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT
adalah baris kedua dari A,
dan seterusnya.
Contoh:
[ ], maka transpose matriks A adalah: AT
[ ]
Sifat transpose matriks adalah:
1. (AT
)T
= A
2. (A±B)T
= AT
± BT
3. (AB)T
= BT
AT
4. (kA)T
= kAT
3.3. Minor Dan Kofaktor
3.3.1. Minor
Minor atau sub matriks (disimbolkan dengan Mij) adalah matriks bagian dari A yang
diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-i dan elemen-elemen
pada kolom ke-j.
Contoh:
[ ]

9. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 9
Minor untuk entri a11 adalah:
M11 = [ ] = | | = (5x9) – (6x8) = 45 – 48 = -3
Minor untuk entri a12 adalah:
M12 = [ ] = | | = (4x9) – (6x7) = 36 – 42 = -6
Minor untuk entri a13 adalah:
M13 = [ ] = | | = (4x8) – (5x7) = 32 – 35 = -3
Minor untuk entri a21 adalah:
M21 = [ ] = | | = (2x9) – (3x8) = 18 – 24 = -6
Minor untuk entri a22 adalah:
M22 = [ ] = | | = (1x9) – (3x7) = 9 – 21 = -12
Minor untuk entri a23 adalah:
M23 = [ ] = | | = (1x8) – (2x7) = 8 – 14 = -6
Minor untuk entri a31 adalah:
M31 = [ ] = | | = (2x6) – (3x5) = 12 – 15 = -3
Minor untuk entri a32 adalah:
M32 = [ ] = | | = (1x6) – (3x4) = 6 – 12 = -6
Minor untuk entri a33 adalah:
M33 = [ ] = | | = (1x5) – (2x4) = 5 – 8 = -3
3.3.2. Kofaktor
Nilai kofaktor (Cij) adalah nilai minor dikalikan dengan tanda tempat
masing-masing entri. Jika i menandakan baris dan j menandakan
kolom nilai kofaktor masing-masing entry sebagai berikut:

10. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 10
Kofaktor untuk entri a11 adalah:
C11 = [ ] = +1 | | = 1(45 – 48) = -3
Kofaktor untuk entri a12 adalah:
C12 = [ ] = | | = -1(36 – 42) = 6
Kofaktor untuk entri a13 adalah:
C13 = [ ] = +1 | | = +1(32 – 35) = -3
Kofaktor untuk entri a21 adalah:
C21 = [ ] = | | = -1(18 – 24) = 6
Kofaktor untuk entri a22 adalah:
C22 = [ ] = | | = +1(9 – 21) = -12
Kofaktor untuk entri a23 adalah:
C23 = [ ] = | | = -1(8 – 14) = 6
Kofaktor untuk entri a31 adalah:
C31 = [ ] = | | = +1(12 – 15) = -3
Kofaktor untuk entri a32 adalah:
C32 = [ ] = | | = -1(6 – 12) = 6
Kofaktor untuk entri a33 adalah:
C33 = [ ] = | | = +1(5 – 8) = -3
Sehingga matrik kofaktor (C) adalah:
[ ]

11. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 11
3.4. Adjoin Matrik
Adjoin matrik A (adj A) adalah transpose dari matrik kofaktor (CT
).
Berdasarkan contoh di atas maka adjoin matrik A adalah:
Adj A = CT
= [ ]
3.5. Determinan Matriks
Determinan matriks A adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari A
dan dinyatakan dengan det (A) atau A.
Determinan digunakan untuk menentukan invers suatu matriks, prinsip determinan juga
dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan Aturan
Cramer.
3.5.1. Determinan Matriks Orde 2x2
Nilai determinan matriks orde 2x2 adalah selisih dari hasil kali komponen diagonal utama
dengan diagonal sekunder.
[ ] maka det (A) = A = | | = ad - bc
Contoh:
[ ]
Maka nilai determinan matriks A adalah:
A = (5x8) – (6x7) = 40 – 42 = -2
3.5.2. Determinan Matriks Orde 3x3
Nilai determinan matriks orde 3x3 dapat dihitung dengan dua metode, yaitu:
a. Aturan Sarrus.
Prinsipnya adalah mencari selisih dari hasil kali komponen diagonal utama dengan
diagonal sekunder. Metode ini tidak berlaku untuk matriks dengan orde 4x4 atau yang
lebih tinggi.
Contoh:
[ ]
Maka nilai determinan matriks A adalah:
| |
A = ((1x5x9) + (2x6x7) + (3x4x8)) – (( 3x5x7) + (1x6x8) + (2x4x9))
= (45 + 84 + 96) – (105 + 48 + 72) = 0
b. Minor-kofaktor.
Untuk mencari nilai determinan dengan metode minor-kofaktor, cukup menggunakan
satu ekspansi saja (misal ekspansi baris ke-1).

12. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 12
Contoh:
[ ]
Maka nilai determinan matriks A adalah:
A = | | = 1(45-48) - 2(36-42) + 3(32–35) = -3 + 12 - 9 = 0
Suatu matriks yang harga determinannya sama dengan nol disebut dengan matrik singular.
Determinan matriks bujur sangkar adalah determinan yang mempunyai entri-entri yang
sama dengan matriks tersebut. Nilai determinan matrik bujur sangkar sama dengan nilai
determinan matrik transposenya.
Contoh:
[ ]
Nilai determinan matriks A adalah:
A = | | = 5 (42-12) -2 (0-24) + 1 (0 – 48) = 150 + 48 -48 = 150
Transpose matriks A adalah:
AT
[ ]
Nilai determinan matriks AT
adalah:
 AT
 = | | = 5 (42-12) -0 (14-4) + 8 (6 – 6) = 150 + 0 - 0 = 150
3.6. Invers Matriks
Matriks-matriks bujursangkar A dan B sedemikian hingga AB = BA = I, maka A disebut invers
B (ditulis B-1
) dan B adalah invers A (ditulis A-1
) sehingga berlaku A A-1
= A-1
A = I degan I
adalah matriks identitas.
3.6.1. Invers Matriks Orde 2x2
Jika [ ], maka invers matriks A adalah: A-1
= [ ]
Contoh:
[ ]
Nilai determinan matriks A adalah:
A = | | = (5x8) – (6x7) = 40 – 42 = -2
Maka nilai invers matriks A adalah:
A-1
= [ ] = [ ]

13. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 13
3.6.2. Invers Matriks Orde 3x3
Jika [ ], maka invers matriks A adalah: A-1
=
Contoh:
[ ]
Nilai determinan matriks A adalah:
A = | | = 2(0-24) - 3(0-6) + 5(16–1) = -48 + 18 + 75 = 45
Matrik kofaktornya adalah:
[ ]
Matrik adjoinnya adalah:
CT
[ ]
Maka invers dari matrik A adalah:
A-1
= [ ] = [ ]
3.7. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dengan Matriks
Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks. Untuk itu,
terlebih dulu sistem persamaan tersebut harus disusun dalam bentuk matriks dan
selanjutnya dicari penyelesaiannya.
Contoh:
Carilah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan matriks.
x + y = 2 (1)
2x + y = 4 (2)
Jawab:
Bentuk matriks dari sistem persamaan linear tersebut adalah:
[ ] [ ] [ ] maka B = A-1
C
A B C
[ ] [ ] [ ]

14. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 14
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
dari sistem persamaan tersebut adalah x = 2 dan y = 0.
Contoh:
Carilah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan matriks.
2x + y – z = 1 (1)
x + y + z = 6 (2)
x – 2y + z = 0 (3)
Jawab:
Bentuk matriks dari sistem persamaan linear tersebut adalah:
[ ] [ ] [ ] maka B = A-1
C
A B C
Nilai determinan matriks A:
| | 2(1-(-2)) – 1(1-1) + (-1)(-2-1) = 6 – 0 + 3 = 9
Matriks kofaktor A adalah:
C = [ ]
Adjoin A adalah:
CT
= [ ]
Invers matriks A adalah:
A-1
= [ ] = [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
Jadi nilai variabel dari sistem persamaan tersebut adalah x = 1, y = 2, dan c = 3