What is logistic function and inverse function of it. This slide is made for Data Scientist Educational confarenceby okura_yoroz(http://mathmadeus.jimdo.com/)

1. 第3回 DSEカンファレンス
数学なんでも相談所YOROZU屋
大蔵陽一

2. あんた誰。
大蔵陽一です。
数学なんでも相談所YOROZU屋 代表
ビジネスマンのための数理ロジカリスト
一般財団法人 医療経済研究機構 研究員統計サポート
(株)i-globe 統計コンサルタント
SMSデータテック株式会社 新規事業部 人工知能研究教育
世界日本一数学ができるロックシンガー
2016年9月「大学数学ほんとうに必要なのは集合」/ベレ出版 著者

3. チェック項目。
S2 log 𝑎 𝑥の逆関数を説明できる

4. log 𝑎 𝑥 とは。
・正確には対数関数と呼ばれる関数y = log 𝑎 𝑥 をあらわす。
※グラフはhttp://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sisuu-taisuu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sisuu-taisuu/taisuukannsuu.htmlより引用
・底の大きさによってグラフの方向がかわる。
log
↑
底
↑
真数

5. log 𝑎 𝑥 とは。
・𝑥を0に限り無く近づけたり、大きくしていくと発散する。
（底の符号によって発散の種類が違う）
・ 𝑥を1増やしたとき（横軸に1増やしたとき）にｙの値が
変化する量は𝑥が大きくなればなるほど小さくなる。
→導関数を考える
・指数と深い関わりが。
※グラフはhttp://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sisuu-taisuu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sisuu-taisuu/taisuukannsuu.htmlより引用

6. 逆関数を知るためにはまず“関数“を知るべし。
逆関数とは。

7. 関数は𝑥 の値に対して、𝑦の値を対応させるシステムと捉えましょう。
𝑥 𝑦
関数
関数とは。

8. たとえば、下の関数 𝑓 は「入ってきた数を2倍にして返す」というシス
テム
4
関数𝑓( )2
𝑥 2𝑥
これを 関数𝑓 𝑥 = 2𝑥
もしくは 関数𝑦 = 2𝑥
という。

9. もともとあるシステム（＝関数）の逆の動きをするシステム（＝関数）
では、逆関数とは。

10. たとえば、先の関数 𝑓 の逆関数は「入ってきた数を
1
2
倍にして返す」と
いうシステム
4
関数𝑓( )2
𝑥
2
𝑥
この逆関数を 𝑓−1 (𝑥) =
𝑥
2
とかく。

11. 逆関数のイメージ。
O
𝑦 = 2𝑥
O
𝑦 = 2𝑥

12. チェック項目に戻って。
S2 log 𝑎 𝑥の逆関数を説明できる

13. 今まで勉強したことを用いて log 𝑎 𝑥の逆関数を考えてみよう。
𝑦 = log 𝑎 𝑥 のグラフを描いて考えればよかったのよね。

14. う～ん。多分こういうことではない。

15. 指数関数との関わり。
指数関数はある決まった数（底）を𝑥乗した( 𝑥 回かけた)結果を返す関数のこと。
例えば…
𝑦 = 10 𝑥
であれば、𝑥 = 3のときは
𝑦 = 103 = 10を3回かける = 10 × 10 × 10 = 1000
となる。

16. 一方そのころ…。
対数関数はある決まった数（底）を何乗すれば結果が 𝑥 になるかを返す関数のこと。
例えば…
𝑦 = log10 𝑥
であれば、𝑥 = 1000のときは
𝑦 = log10 1000 = 10を何回かかけて1000になる数 = 3
となる。

17. 指数関数と対数関数が出会った。
指数関数と対数関数は次のような関係になっている。
= log 𝑎= 𝑎
“何乗“の部分

18. 指数関数と対数関数が出会った。
指数関数と対数関数は次のような関係になっている。
= log 𝑎= 𝑎
“結果“の部分

19. つまり？？
指数関数の逆関数は対数関数
対数関数の逆関数は指数関数
= log 𝑎= 𝑎
逆関数
逆関数

20. 逆関数の形式的な求め方。
＝手順＝ (例)
1. 関数を𝑥, 𝑦を使って表現する。
2. 𝑥と𝑦を入れ替える。
3. 𝑦について解く。
おわり（＾＾）
𝑦 = 2𝑥
𝑥 = 2𝑦
𝑥
2
= 𝑦

21. 逆関数を使う場面。
◇一様乱数を用いて確率分布のシュミレーション

22. Curve(log10(x), from = 0 ,to = 5, n = 1000, add = FALSE ,type = “l”,xname = “x”)
log10(x)……関数の式を入れる
from……表示する𝑥の値の最小値
to……表示するxの値の最大値
n……発生させるサンプルの数
add……描画を追加で表示するか
type……プロットのタイプは線か点か
xname……𝑥軸の名前をつける
こんなことができたらもっとDS的にいいかも。
Rでグラフの描画

23. 逆関数を教えるための練習問題。
（I）次の関数の逆関数を求めなさい。
(1) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 (0 ≤ 𝑥)
(2) 𝑔 𝑥 = 1 +
1+𝑥
1−2𝑥

24. 逆関数を教えるための練習問題。
次の関数の逆関数を求めなさい。
(1) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 (0 ≤ 𝑥)
𝑦 = 3𝑥2
𝑥 = 3𝑦2
𝑥
3
= 𝑦
𝑓−1
𝑥 =
𝑥
3
□

25. 逆関数を教えるための練習問題。
次の関数の逆関数を求めなさい。
2 𝑔 𝑥 = 1 +
1 + 𝑥
1 − 2𝑥
𝑦 = 1 +
1 + 𝑥
1 − 2𝑥
𝑥 = 1 +
1 + 𝑦
1 − 2𝑦
𝑥 − 1 1 − 2𝑦 = 1 + 𝑦
𝑥 − 2𝑥𝑦 − 1 + 2𝑦 = 1 + 𝑦

26. 逆関数を教えるための練習問題。
次の関数の逆関数を求めなさい。
2 𝑔 𝑥 = 1 +
1 + 𝑥
1 − 2𝑥
𝑥 − 2𝑥𝑦 − 1 + 2𝑦 = 1 + 𝑦
𝑥 − 2 = 2𝑥 − 2 + 1 𝑦
𝑥 − 2
2𝑥 − 1
= 𝑦
𝑓−1
𝑥 =
𝑥 − 2
2𝑥 − 1
□

27. 逆関数を教えるための練習問題。
(II) 指数関数と対数関数の変数の関係を説明せよ。
(III) 関数 𝑓(𝑥)のグラフと𝑓−1(𝑥)のグラフの関係を答えよ。
(IV) 指数分布を逆関数法によってシュミレーションせよ。（R、Python）

28. まとめ。
・対数関数 𝑦 = log 𝑎 𝑥 の逆関数は指数関数 𝑦 = 𝑎 𝑥
である。
・逆関数はシュミレーションなどでつかう。
・元の関数があるから逆関数がある。
・システムとして “逆” 。

29. 皆さん、議論お疲れ様でした。。

30. We are..
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