1が素数に含まれない理由について、数学苦手な人でもわかるように説明してみました。

1. 何故、1は素数じゃないのか？
どいつま (@d01tsumath)

2. 目次
①数の分類
②素数の定義
③エラトステネスの篩
④何故、1 は考えないのか？
⑤参考文献

3. 数の分類
①

4. ①数の分類
高校数学までの範囲で
実数、虚数、整数、自然数 etc…
とかやったな～って、覚えていますか？
数学科では入学して最初に触れ、それ以降でもバリバリ必要となってくるから覚えてるものですが
それ以外の人って覚えてなくても支障ないので「なんだそれ？」って感じだと思います。
なので、数の分類の復習から始めます。

5. ①数の分類
複素数
実数
有理数
整数
正の整数
(自然数)
０
負の整数
有限小数
循環小数
(無限小数)
無理数 無限小数
虚数

6. ①数の分類
こんな図、見た記憶ありませんか？
私は高校の頃、これ書かされたこと、よ～く覚えてます(笑)
素数は自然数の範囲で考えられるものなので、今回は自然数だけを簡単に説明します。
数学苦手という方でもイメージできるような説明なので、数学科っぽくないですが、ご勘弁を。
他の分類の詳細を知りたい場合は、個人でググってください！

7. ①数の分類
自然数 -Natural number-
普段物を数えるときに使ったり、順番を数えたりするときに使うような数です。
小数や分数などは自然数に含まれません。マイナスが付く数も含みません。
例えば、リンゴが1個、2個とか。
身長高い方から10番目、9番目…とか。

8. ①数の分類
自然数という概念は元々、「物を数える」ものとして生まれ、
不思議なことに、文明が発達した際考え出された数字はどれも
1から始まっていた
そうです。
※ 0は自然数に含む or 含まないという考えがあり、どちらも正しいのですが今回は素数について考えていくので、含まないとします。
※普段プログラム書く方は 0番目とか -2番目の方がしっくり来るでしょうけど、ここではそれは忘れMath！笑

9. 素数の定義
②

10. ②素数の定義
定義
1 より大きい自然数で、約数(但し、正の約数)が 1 と自分自身のみであるもののこと
つまり、
1とその数でしか割れない数 (但し、1は考えない)
のことです。

11. ②素数の定義
ここで疑問なのが、
なんで1は素数じゃないの？
ってことだと思います。
『エラトステネスの篩(ふるい)』 という手法を使って説明していきます！

12. エラトステネスの篩
③

13. ③エラトステネスの篩
(有限個の中から)素数を全て見つけ出す方法のことを言います。
めちゃくちゃ地味な作業ですが、
慣れれば100以下なら簡単に頭で考えられるようになります。
ちなみに、エラトステネスさんは右下のようなオッサンだったみたいです。
紀元前古代ギリシャで活躍した方のようです。
そんな昔から素数って概念があったんですねぇ…。

14. ③エラトステネスの篩
手法は以下の通り。
(ⅰ) (有限個の)自然数を小さい方から順に並べる
(ⅱ) まず、1 に × をつける
(ⅲ) × がついてない最小の数(即ち 2 )に 〇 をつける
(ⅳ) (2以外の)2の倍数に × をつける
(ⅴ) 〇 も × もついていない最小の数(即ち 3 )に 〇 をつける
(ⅵ) 印がついていない数字の中で、(3以外の)3の倍数に × をつける
(ⅶ)以下、同様に繰り返す
(ⅷ) 印がついてない最小の数の倍数がなくなったら、作業終了

15. ③エラトステネスの篩
例えば、20 以下の自然数で考えてみます。
(ⅰ) (有限個の)自然数を小さい方から順に並べる
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

16. ③エラトステネスの篩
(ⅱ) まず、1 に × をつける
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

17. ③エラトステネスの篩
(ⅲ) × 印がついてない最小の数(即ち 2 )に 〇 をつける
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

18. ③エラトステネスの篩
(ⅳ) (2以外の)2の倍数に × をつける
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

19. ③エラトステネスの篩
(ⅴ) (2以外の) × 印がついていない最小の数(即ち 3 )に 〇 をつける
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

20. ③エラトステネスの篩
(ⅵ) 印がついていない数字の中で、(3以外の)3の倍数に × をつける
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21. ③エラトステネスの篩
(ⅶ) 以下、同様に繰り返す
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

22. ③エラトステネスの篩
(ⅷ) 印がついてない 最小の数の倍数がなくなったら、作業終了
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

23. ③エラトステネスの篩
20 以下の素数はこの通りです。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

24. 何故、1は考えないのか？
④

25. ④何故、1 は考えないのか？
先ほどの例題を使って考えてみましょう。
(ⅱ) まず、1 に × をつける
(ⅱ) × がついてない最小の数 1 に 〇 をつける
としてみます。

26. (ⅱ) × がついてない最小の数 1 に 〇 をつける
④何故、1 は考えないのか？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

27. (ⅲ) (1以外の)1の倍数に × をつける
④何故、1 は考えないのか？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

28. ④何故、1 は考えないのか？
1は何にかけても変わらないので、1を素数とすると、
素数は1しかない
ということになってしまいます。
なので、1は素数じゃないとするんですねぇ。
1を素数ではないとする証明の方法は、他にもあるので、
興味ある方は調べてみてください。

29. 参考文献
⑤

30. ⑤参考文献
・みんな大好き、Wikipedia
・素数2357：http://2357.aimary.com/
・TUS 数論A 講義