Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
Structuri discrete (F.02.O.13)

Radu Dumbr˘veanu
a
Universitatea de Stat “A....
Produs cartezian

Definitie
,
Fiind date dou˘ multimi A si B vom numi produs cartezian si vom nota
a
,
,
,
prin A × B, mult...
Produs cartezian
Fiind dat˘ o a treia multime C putem construi urm˘toarele produse
a
a
,
carteziene:

R. Dumbr˘veanu (USAR...
Produs cartezian
Fiind dat˘ o a treia multime C putem construi urm˘toarele produse
a
a
,
carteziene:
(A × B) × C = {((a, b...
Produs cartezian
Fiind dat˘ o a treia multime C putem construi urm˘toarele produse
a
a
,
carteziene:
(A × B) × C = {((a, b...
Produs cartezian
Fiind dat˘ o a treia multime C putem construi urm˘toarele produse
a
a
,
carteziene:
(A × B) × C = {((a, b...
Produs cartezian

Elementele produslui cartezian de forma A1 × A2 × ... × An se numesc
n-upluri ordonate.

R. Dumbr˘veanu ...
Produs cartezian

Elementele produslui cartezian de forma A1 × A2 × ... × An se numesc
n-upluri ordonate.
Multimile A1 , A...
Produs cartezian

Elementele produslui cartezian de forma A1 × A2 × ... × An se numesc
n-upluri ordonate.
Multimile A1 , A...
Produs cartezian

Elementele produslui cartezian de forma A1 × A2 × ... × An se numesc
n-upluri ordonate.
Multimile A1 , A...
Produs cartezian; Submultimi; Exemple
,
Fie A = {A, B, C , D}, B = {1, 2, 3, 4}.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 3: Relati...
Produs cartezian; Submultimi; Exemple
,
Fie A = {A, B, C , D}, B = {1, 2, 3, 4}.
4
3
2
1
A

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

B

C...
Produs cartezian; Submultimi; Exemple
,
Fie A = {A, B, C , D}, B = {1, 2, 3, 4}.
4
3
2
1
A

B

C

D

C = {(A, 4), (B, 3), ...
Produs cartezian; Submultimi; Exemple
,
Fie A = {A, B, C , D}, B = {1, 2, 3, 4}.
4
3
2
1
A

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

B

C...
Produs cartezian; Submultimi; Exemple
,
y

x

Z × Z sau Z2

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operat...
Relatii binare
,

O relatie binar˘ este o submultime a unui produs cartezian de forma
a
,
,
A × B.

R. Dumbr˘veanu (USARB)...
Relatii binare
,

O relatie binar˘ este o submultime a unui produs cartezian de forma
a
,
,
A × B.
Din acest motiv mai spu...
Relatii binare
,

O relatie binar˘ este o submultime a unui produs cartezian de forma
a
,
,
A × B.
Din acest motiv mai spu...
Relatii binare
,

O relatie binar˘ este o submultime a unui produs cartezian de forma
a
,
,
A × B.
Din acest motiv mai spu...
Relatii n-are
,

Definitie
,
O relatie n-ar˘ ˆ
a ıntre multimile A1 , A2 , ..., An este o structur˘ ordonat˘ de
a
a
,
,
for...
Relatii n-are
,

Definitie
,
O relatie n-ar˘ ˆ
a ıntre multimile A1 , A2 , ..., An este o structur˘ ordonat˘ de
a
a
,
,
for...
Relatii n-are
,

Definitie
,
O relatie n-ar˘ ˆ
a ıntre multimile A1 , A2 , ..., An este o structur˘ ordonat˘ de
a
a
,
,
for...
Relatii n-are
,

Definitie
,
O relatie n-ar˘ ˆ
a ıntre multimile A1 , A2 , ..., An este o structur˘ ordonat˘ de
a
a
,
,
for...
Relatii binare
,

Dac˘ ρ = (A, B, R) atunci ˆ
a
ınscierea aρb este echivalent˘ cu (a, b) ∈ R.
a

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
...
Relatii binare
,

Dac˘ ρ = (A, B, R) atunci ˆ
a
ınscierea aρb este echivalent˘ cu (a, b) ∈ R.
a
De exemplu, fie A = {0, 1, ...
Imaginea direct˘; Imaginea invers˘
a
a

Domeniul relatiei dom(ρ) = {a ∈ A : ∃b ∈ B ˆ ıt (a, b) ∈ R}.
ıncˆ
,

R. Dumbr˘vean...
Imaginea direct˘; Imaginea invers˘
a
a

Domeniul relatiei dom(ρ) = {a ∈ A : ∃b ∈ B ˆ ıt (a, b) ∈ R}.
ıncˆ
,
Codomeniul rel...
Imaginea direct˘; Imaginea invers˘
a
a

Domeniul relatiei dom(ρ) = {a ∈ A : ∃b ∈ B ˆ ıt (a, b) ∈ R}.
ıncˆ
,
Codomeniul rel...
Imaginea direct˘; Imaginea invers˘
a
a

Domeniul relatiei dom(ρ) = {a ∈ A : ∃b ∈ B ˆ ıt (a, b) ∈ R}.
ıncˆ
,
Codomeniul rel...
Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a

Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 3:...
Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a

Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,
Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} s...
Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a

Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,
Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} s...
Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a

Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,
Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} s...
Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a

Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,
Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} s...
Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a

Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,
Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} s...
Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a

Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,
Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} s...
Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a

Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,
Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} s...
Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si
,
B = {Curs1, Curs2, ..., C...
Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si
,
B = {Curs1, Curs2, ..., C...
Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si
,
B = {Curs1, Curs2, ..., C...
Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si
,
B = {Curs1, Curs2, ..., C...
Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si
,
B = {Curs1, Curs2, ..., C...
Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si
,
B = {Curs1, Curs2, ..., C...
Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si
,
B = {Curs1, Curs2, ..., C...
Relatii binare
,

Relatia ρ este surjectiv˘ dac˘ ρ(A) = B.
a
a
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; ...
Relatii binare
,

Relatia ρ este surjectiv˘ dac˘ ρ(A) = B.
a
a
,
Relatia ρ este total˘ dac˘ ρ−1 (B) = A.
a
a
,

R. Dumbr˘v...
Relatii binare
,

Relatia ρ este surjectiv˘ dac˘ ρ(A) = B.
a
a
,
Relatia ρ este total˘ dac˘ ρ−1 (B) = A.
a
a
,
Relatia est...
Relatii binare omogene
,

Fie o relatie binar˘ omogen˘ ρ = (A, A, R); ˆ acest caz putem folosi
a
a
ın
,
expresiile:
“ρ rel...
Reprezentarea relatiilor binare omogene; Matrice binare
,

Fie R = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, b)} definit˘ pe A = {a, b, ...
Reprezentarea relatiilor binare omogene; Matrice binare
,
Fie R = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, b)} definit˘ pe A = {a, b, c...
Reprezentarea relatiilor binare omogene; Matrice binare
,
Fie R = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, b)} definit˘ pe A = {a, b, c...
Propriet˘ti; Reflexivitate
a,

Relatia ρ = (A, A, R) se numeste reflexiv˘ dac˘ pentru orice a ∈ A avem
a
a
,
,
(a, a) ∈ R (s...
Reflexivitate
Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”≤“.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,

20...
Reflexivitate
Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”≤“.
,







1
0
0
0

1
1
0
0

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

1
1
1
0

1
1
1
1


...
Reflexivitate
Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”≤“.
,







1
0
0
0

1
1
0
0

1
1
1
0

1
1
1
1







Diagonala princip...
Reflexivitate
Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”≤“.
,

3






1
0
0
0

1
1
0
0

1
1
1
0

1
1
1
1







2

0
1

Diagona...
Reflexivitate
Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”≤“.
,

3






1
0
0
0

1
1
0
0

1
1
1
0

1
1
1
1







2

0
1

Diagona...
Propriet˘ti; Antireflexivitate
a,

Relatia ρ = (A, A, R) se numeste antireflexiv˘ dac˘ pentru orice a ∈ A
a
a
,
,
avem (a, a...
Antireflexivitate

Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”<“.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
...
Antireflexivitate

Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”<“.
,






0
0
0
0

1
0
0
0

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

1
1
0
0

1
1
1
0...
Antireflexivitate

Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”<“.
,






0
0
0
0

1
0
0
0

1
1
0
0

1
1
1
0







Diagonala pri...
Antireflexivitate

Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”<“.
,
3






0
0
0
0

1
0
0
0

1
1
0
0

1
1
1
0







2

0
1

Dia...
Antireflexivitate

Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”<“.
,
3






0
0
0
0

1
0
0
0

1
1
0
0

1
1
1
0







2

0
1

Dia...
Propriet˘ti; Simetrie
a,

Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ R....
Propriet˘ti; Simetrie
a,

Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ R....
Propriet˘ti; Simetrie
a,

Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ R....
Propriet˘ti; Simetrie
a,

Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ R....
Propriet˘ti; Simetrie
a,

Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ R....
Propriet˘ti; Simetrie
a,

Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ R....
Propriet˘ti; Asimetrie
a,

Relatia ρ = (A, A, R) se numeste asimetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ ...
Propriet˘ti; Asimetrie
a,

Relatia ρ = (A, A, R) se numeste asimetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ ...
Propriet˘ti; Antisimetrie
a,

Relatia ρ = (A, A, R) se numeste antisimetric˘ dac˘ pentru orice
a
a
,
,
(a, b) ∈ R avem (b,...
Propriet˘ti; Antisimetrie
a,

Relatia ρ = (A, A, R) se numeste antisimetric˘ dac˘ pentru orice
a
a
,
,
(a, b) ∈ R avem (b,...
Propriet˘ti; Antisimetrie
a,

Relatia ρ = (A, A, R) se numeste antisimetric˘ dac˘ pentru orice
a
a
,
,
(a, b) ∈ R avem (b,...
Propriet˘ti; Tranzitivitate
a,

Relatia ρ = (A, A, R) se numeste tranzitiv˘ dac˘ pentru orice
a
a
,
,
(a, b), (b, c) ∈ R a...
Propriet˘ti; Tranzitivitate
a,

Relatia ρ = (A, A, R) se numeste tranzitiv˘ dac˘ pentru orice
a
a
,
,
(a, b), (b, c) ∈ R a...
Operatii; Reuniunea
,

Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci
,
,
ρ1 ∪ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, b) ∈ R1 sa...
Operatii; Reuniunea
,

Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci
,
,
ρ1 ∪ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, b) ∈ R1 sa...
Operatii; Intersectia
,
,

Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci
,
,
ρ1 ∩ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, b) ∈ R...
Operatii; Intersectia
,
,

Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci
,
,
ρ1 ∩ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, b) ∈ R...
Operatii; Compunerea
,

Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci
,
,
ρ1 ◦ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, c) ∈ R1 s...
Operatii; Compunerea
,

Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci
,
,
ρ1 ◦ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, c) ∈ R1 s...
Operatii; Inversarea
,

Fie relati ρ = (A, A, R) atunci
,
ρ−1 = {(a, b) ∈ A2 : (b, a) ∈ R}.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Cur...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Structuri discrete - Curs3: Relații

531 views

Published on

Structuri discrete - Curs3: Relații

Published in: Education
  • Be the first to comment

Structuri discrete - Curs3: Relații

  1. 1. Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , Structuri discrete (F.02.O.13) Radu Dumbr˘veanu a Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti a, Facultatea de Stiinte Reale , , Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a a ¸ ¸ Distribuire-ˆ ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0) ¸ a 2013 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 1 / 28
  2. 2. Produs cartezian Definitie , Fiind date dou˘ multimi A si B vom numi produs cartezian si vom nota a , , , prin A × B, multimea tuturor perechilor ordonate de elemente din A si B , , definit˘ astfel: a A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 2 / 28
  3. 3. Produs cartezian Fiind dat˘ o a treia multime C putem construi urm˘toarele produse a a , carteziene: R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 3 / 28
  4. 4. Produs cartezian Fiind dat˘ o a treia multime C putem construi urm˘toarele produse a a , carteziene: (A × B) × C = {((a, b), c) : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C } R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 3 / 28
  5. 5. Produs cartezian Fiind dat˘ o a treia multime C putem construi urm˘toarele produse a a , carteziene: (A × B) × C = {((a, b), c) : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C } A × (B × C ) = {(a, (b, c)) : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C } R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 3 / 28
  6. 6. Produs cartezian Fiind dat˘ o a treia multime C putem construi urm˘toarele produse a a , carteziene: (A × B) × C = {((a, b), c) : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C } A × (B × C ) = {(a, (b, c)) : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C } A × B × C = {(a, b, c) : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C } R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 3 / 28
  7. 7. Produs cartezian Elementele produslui cartezian de forma A1 × A2 × ... × An se numesc n-upluri ordonate. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 4 / 28
  8. 8. Produs cartezian Elementele produslui cartezian de forma A1 × A2 × ... × An se numesc n-upluri ordonate. Multimile A1 , A2 , ..., An se numesc factorii produsului cartezian, iar , elementele a1 , a2 ,...,an se numesc coordonatele (sau proiectiile) , elementului (a1 , a2 , ..., an ). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 4 / 28
  9. 9. Produs cartezian Elementele produslui cartezian de forma A1 × A2 × ... × An se numesc n-upluri ordonate. Multimile A1 , A2 , ..., An se numesc factorii produsului cartezian, iar , elementele a1 , a2 ,...,an se numesc coordonatele (sau proiectiile) , elementului (a1 , a2 , ..., an ). ˆ cazul cˆ A1 = A2 = ... = An = A putem nota A1 × A2 × ... × An cu In ınd An . R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 4 / 28
  10. 10. Produs cartezian Elementele produslui cartezian de forma A1 × A2 × ... × An se numesc n-upluri ordonate. Multimile A1 , A2 , ..., An se numesc factorii produsului cartezian, iar , elementele a1 , a2 ,...,an se numesc coordonatele (sau proiectiile) , elementului (a1 , a2 , ..., an ). ˆ cazul cˆ A1 = A2 = ... = An = A putem nota A1 × A2 × ... × An cu In ınd An . Adic˘, A2 = A × A; A3 = A × A × A; An = A × A × ... × A. a n R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 4 / 28
  11. 11. Produs cartezian; Submultimi; Exemple , Fie A = {A, B, C , D}, B = {1, 2, 3, 4}. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 5 / 28
  12. 12. Produs cartezian; Submultimi; Exemple , Fie A = {A, B, C , D}, B = {1, 2, 3, 4}. 4 3 2 1 A R. Dumbr˘veanu (USARB) a B C Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , D 2013 5 / 28
  13. 13. Produs cartezian; Submultimi; Exemple , Fie A = {A, B, C , D}, B = {1, 2, 3, 4}. 4 3 2 1 A B C D C = {(A, 4), (B, 3), (C , 2), (D, 1)} ⊆ A × B. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 5 / 28
  14. 14. Produs cartezian; Submultimi; Exemple , Fie A = {A, B, C , D}, B = {1, 2, 3, 4}. 4 3 2 1 A R. Dumbr˘veanu (USARB) a B C Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , D 2013 5 / 28
  15. 15. Produs cartezian; Submultimi; Exemple , y x Z × Z sau Z2 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 6 / 28
  16. 16. Relatii binare , O relatie binar˘ este o submultime a unui produs cartezian de forma a , , A × B. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 7 / 28
  17. 17. Relatii binare , O relatie binar˘ este o submultime a unui produs cartezian de forma a , , A × B. Din acest motiv mai spunem c˘ avem o relatie binar˘ de la A la B. a a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 7 / 28
  18. 18. Relatii binare , O relatie binar˘ este o submultime a unui produs cartezian de forma a , , A × B. Din acest motiv mai spunem c˘ avem o relatie binar˘ de la A la B. a a , O relatie ternar˘ ˆ a ıntre multimile A, B si C este o submultime a , , , , A × B × C. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 7 / 28
  19. 19. Relatii binare , O relatie binar˘ este o submultime a unui produs cartezian de forma a , , A × B. Din acest motiv mai spunem c˘ avem o relatie binar˘ de la A la B. a a , O relatie ternar˘ ˆ a ıntre multimile A, B si C este o submultime a , , , , A × B × C. De exemplu, {(0, 1), (1, 0)} ⊆ Z2 ; {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)} ⊆ Z3 ; R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 7 / 28
  20. 20. Relatii n-are , Definitie , O relatie n-ar˘ ˆ a ıntre multimile A1 , A2 , ..., An este o structur˘ ordonat˘ de a a , , forma ρ = (A1 , A2 , ..., An , R) unde R ⊆ A1 × A2 × ...An . Multimea R se , numeste graficul relatiei ρ. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 8 / 28
  21. 21. Relatii n-are , Definitie , O relatie n-ar˘ ˆ a ıntre multimile A1 , A2 , ..., An este o structur˘ ordonat˘ de a a , , forma ρ = (A1 , A2 , ..., An , R) unde R ⊆ A1 × A2 × ...An . Multimea R se , numeste graficul relatiei ρ. , , ˆ particular, dac˘ A1 = A2 = ... = An = A spunem c˘ avem o relatie In a a , n-ar˘ omogen˘ pe A. a a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 8 / 28
  22. 22. Relatii n-are , Definitie , O relatie n-ar˘ ˆ a ıntre multimile A1 , A2 , ..., An este o structur˘ ordonat˘ de a a , , forma ρ = (A1 , A2 , ..., An , R) unde R ⊆ A1 × A2 × ...An . Multimea R se , numeste graficul relatiei ρ. , , ˆ particular, dac˘ A1 = A2 = ... = An = A spunem c˘ avem o relatie In a a , n-ar˘ omogen˘ pe A. a a Dac˘ R = A1 × A2 × ... × An relatia se numeste universal˘. a a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 8 / 28
  23. 23. Relatii n-are , Definitie , O relatie n-ar˘ ˆ a ıntre multimile A1 , A2 , ..., An este o structur˘ ordonat˘ de a a , , forma ρ = (A1 , A2 , ..., An , R) unde R ⊆ A1 × A2 × ...An . Multimea R se , numeste graficul relatiei ρ. , , ˆ particular, dac˘ A1 = A2 = ... = An = A spunem c˘ avem o relatie In a a , n-ar˘ omogen˘ pe A. a a Dac˘ R = A1 × A2 × ... × An relatia se numeste universal˘. a a , , Dac˘ R = ∅ - relatie vid˘. a a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 8 / 28
  24. 24. Relatii binare , Dac˘ ρ = (A, B, R) atunci ˆ a ınscierea aρb este echivalent˘ cu (a, b) ∈ R. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 9 / 28
  25. 25. Relatii binare , Dac˘ ρ = (A, B, R) atunci ˆ a ınscierea aρb este echivalent˘ cu (a, b) ∈ R. a De exemplu, fie A = {0, 1, 2} atunci relatia “<” este , (A, A, {(0, 1), (0, 2)}). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 9 / 28
  26. 26. Imaginea direct˘; Imaginea invers˘ a a Domeniul relatiei dom(ρ) = {a ∈ A : ∃b ∈ B ˆ ıt (a, b) ∈ R}. ıncˆ , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 10 / 28
  27. 27. Imaginea direct˘; Imaginea invers˘ a a Domeniul relatiei dom(ρ) = {a ∈ A : ∃b ∈ B ˆ ıt (a, b) ∈ R}. ıncˆ , Codomeniul relatiei codom(ρ) = {b ∈ B : ∃a ∈ A ˆ ıt (a, b) ∈ R}. ıncˆ , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 10 / 28
  28. 28. Imaginea direct˘; Imaginea invers˘ a a Domeniul relatiei dom(ρ) = {a ∈ A : ∃b ∈ B ˆ ıt (a, b) ∈ R}. ıncˆ , Codomeniul relatiei codom(ρ) = {b ∈ B : ∃a ∈ A ˆ ıt (a, b) ∈ R}. ıncˆ , Imaginea direct˘ a multimii X ⊆ A prin relatia ρ este a , , ρ(X ) = {b ∈ B : ∃a ∈ X , aρb}. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 10 / 28
  29. 29. Imaginea direct˘; Imaginea invers˘ a a Domeniul relatiei dom(ρ) = {a ∈ A : ∃b ∈ B ˆ ıt (a, b) ∈ R}. ıncˆ , Codomeniul relatiei codom(ρ) = {b ∈ B : ∃a ∈ A ˆ ıt (a, b) ∈ R}. ıncˆ , Imaginea direct˘ a multimii X ⊆ A prin relatia ρ este a , , ρ(X ) = {b ∈ B : ∃a ∈ X , aρb}. Imaginea invers˘ a multimii Y ⊆ B prin relatia ρ este a , , ρ−1 (Y ) = {a ∈ A : ∃b ∈ Y , aρb} R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 10 / 28
  30. 30. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple a , a Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 11 / 28
  31. 31. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple a , a Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}. , Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} si ρ = (A, B, R). , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 11 / 28
  32. 32. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple a , a Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}. , Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} si ρ = (A, B, R). , Atunci ρ({a}) = {1, 2}; R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 11 / 28
  33. 33. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple a , a Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}. , Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} si ρ = (A, B, R). , Atunci ρ({a}) = {1, 2}; ρ({a, b}) = {1, 2, 4}; R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 11 / 28
  34. 34. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple a , a Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}. , Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} si ρ = (A, B, R). , Atunci ρ({a}) = {1, 2}; ρ({a, b}) = {1, 2, 4}; ρ({c, d}) = ∅; R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 11 / 28
  35. 35. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple a , a Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}. , Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} si ρ = (A, B, R). , Atunci ρ({a}) = {1, 2}; ρ({a, b}) = {1, 2, 4}; ρ({c, d}) = ∅; ρ−1 ({1}) = {a}; R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 11 / 28
  36. 36. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple a , a Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}. , Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} si ρ = (A, B, R). , Atunci ρ({a}) = {1, 2}; ρ({a, b}) = {1, 2, 4}; ρ({c, d}) = ∅; ρ−1 ({1}) = {a}; ρ−1 ({1, 4}) = {a, b}; R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 11 / 28
  37. 37. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple a , a Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}. , Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} si ρ = (A, B, R). , Atunci ρ({a}) = {1, 2}; ρ({a, b}) = {1, 2, 4}; ρ({c, d}) = ∅; ρ−1 ({1}) = {a}; ρ−1 ({1, 4}) = {a, b}; ρ−1 ({3}) = ∅. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 11 / 28
  38. 38. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple a , a Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si , B = {Curs1, Curs2, ..., Curs∞ }. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 12 / 28
  39. 39. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple a , a Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si , B = {Curs1, Curs2, ..., Curs∞ }. Fie R = {(Student1, Curs2), (Student2, Curs2), (Student2, Curs4) , (Student3, Curs1)} si ρ = (A, B, R). , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 12 / 28
  40. 40. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple a , a Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si , B = {Curs1, Curs2, ..., Curs∞ }. Fie R = {(Student1, Curs2), (Student2, Curs2), (Student2, Curs4) , (Student3, Curs1)} si ρ = (A, B, R). , Utilizati diagrame. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 12 / 28
  41. 41. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple a , a Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si , B = {Curs1, Curs2, ..., Curs∞ }. Fie R = {(Student1, Curs2), (Student2, Curs2), (Student2, Curs4) , (Student3, Curs1)} si ρ = (A, B, R). , Utilizati diagrame. , Atunci ρ({Student1, Student2}) = {Curs2}; R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 12 / 28
  42. 42. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple a , a Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si , B = {Curs1, Curs2, ..., Curs∞ }. Fie R = {(Student1, Curs2), (Student2, Curs2), (Student2, Curs4) , (Student3, Curs1)} si ρ = (A, B, R). , Utilizati diagrame. , Atunci ρ({Student1, Student2}) = {Curs2}; ρ({Student4}) = ∅; R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 12 / 28
  43. 43. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple a , a Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si , B = {Curs1, Curs2, ..., Curs∞ }. Fie R = {(Student1, Curs2), (Student2, Curs2), (Student2, Curs4) , (Student3, Curs1)} si ρ = (A, B, R). , Utilizati diagrame. , Atunci ρ({Student1, Student2}) = {Curs2}; ρ({Student4}) = ∅; ρ−1 ({Curs1, Curs2, Curs4}) = {Student1, Student2, Student3}; R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 12 / 28
  44. 44. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple a , a Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si , B = {Curs1, Curs2, ..., Curs∞ }. Fie R = {(Student1, Curs2), (Student2, Curs2), (Student2, Curs4) , (Student3, Curs1)} si ρ = (A, B, R). , Utilizati diagrame. , Atunci ρ({Student1, Student2}) = {Curs2}; ρ({Student4}) = ∅; ρ−1 ({Curs1, Curs2, Curs4}) = {Student1, Student2, Student3}; ρ−1 ({Curs3}) = ∅; R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 12 / 28
  45. 45. Relatii binare , Relatia ρ este surjectiv˘ dac˘ ρ(A) = B. a a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 13 / 28
  46. 46. Relatii binare , Relatia ρ este surjectiv˘ dac˘ ρ(A) = B. a a , Relatia ρ este total˘ dac˘ ρ−1 (B) = A. a a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 13 / 28
  47. 47. Relatii binare , Relatia ρ este surjectiv˘ dac˘ ρ(A) = B. a a , Relatia ρ este total˘ dac˘ ρ−1 (B) = A. a a , Relatia este injectiv˘ dac˘ pentru orice a ∈ A este cel mult un element a a , b ∈ B ˆ ıt (a, b) ∈ R. ıncˆ R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 13 / 28
  48. 48. Relatii binare omogene , Fie o relatie binar˘ omogen˘ ρ = (A, A, R); ˆ acest caz putem folosi a a ın , expresiile: “ρ relatie binar˘ pe multimea A” a , , “A este ˆ ınzestrat˘ cu o relatie binar˘“ a a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 14 / 28
  49. 49. Reprezentarea relatiilor binare omogene; Matrice binare , Fie R = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, b)} definit˘ pe A = {a, b, c}; a Matricea binar˘ (imaginar pe rˆ a ınduri si , multimii a) ,  1  Aρ =  0 0 R. Dumbr˘veanu (USARB) a pe coloane scrieti elementele ,  1 0  1 0  1 0 Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 15 / 28
  50. 50. Reprezentarea relatiilor binare omogene; Matrice binare , Fie R = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, b)} definit˘ pe A = {a, b, c}; a Graful orientat d c a b
  51. 51. Reprezentarea relatiilor binare omogene; Matrice binare , Fie R = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, b)} definit˘ pe A = {a, b, c}; a Graful orientat d c a bucle b R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 16 / 28
  52. 52. Propriet˘ti; Reflexivitate a, Relatia ρ = (A, A, R) se numeste reflexiv˘ dac˘ pentru orice a ∈ A avem a a , , (a, a) ∈ R (sau aρa). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 17 / 28
  53. 53. Reflexivitate Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”≤“. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 18 / 28
  54. 54. Reflexivitate Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”≤“. ,      1 0 0 0 1 1 0 0 R. Dumbr˘veanu (USARB) a 1 1 1 0 1 1 1 1      Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 18 / 28
  55. 55. Reflexivitate Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”≤“. ,      1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1      Diagonala principal˘ este 1. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 18 / 28
  56. 56. Reflexivitate Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”≤“. , 3      1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1      2 0 1 Diagonala principal˘ este 1. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 18 / 28
  57. 57. Reflexivitate Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”≤“. , 3      1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1      2 0 1 Diagonala principal˘ este 1. a Toate vˆ ırfurile au bucle. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 18 / 28
  58. 58. Propriet˘ti; Antireflexivitate a, Relatia ρ = (A, A, R) se numeste antireflexiv˘ dac˘ pentru orice a ∈ A a a , , avem (a, a) ∈ R. / R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 19 / 28
  59. 59. Antireflexivitate Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”<“. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 20 / 28
  60. 60. Antireflexivitate Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”<“. ,      0 0 0 0 1 0 0 0 R. Dumbr˘veanu (USARB) a 1 1 0 0 1 1 1 0      Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 20 / 28
  61. 61. Antireflexivitate Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”<“. ,      0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0      Diagonala principal˘ este 0 a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 20 / 28
  62. 62. Antireflexivitate Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”<“. , 3      0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0      2 0 1 Diagonala principal˘ este 0 a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 20 / 28
  63. 63. Antireflexivitate Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”<“. , 3      0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0      2 0 1 Diagonala principal˘ este 0 a Nu sˆ bucle ınt R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 20 / 28
  64. 64. Propriet˘ti; Simetrie a, Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R a a , , avem (b, a) ∈ R. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 21 / 28
  65. 65. Propriet˘ti; Simetrie a, Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R a a , , avem (b, a) ∈ R. De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(3, 2), (1, 1), (2, 3), (0, 2), (2, 0)}. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 21 / 28
  66. 66. Propriet˘ti; Simetrie a, Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R a a , , avem (b, a) ∈ R. De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(3, 2), (1, 1), (2, 3), (0, 2), (2, 0)}. , Construiti matricea acestei relatii. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 21 / 28
  67. 67. Propriet˘ti; Simetrie a, Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R a a , , avem (b, a) ∈ R. De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(3, 2), (1, 1), (2, 3), (0, 2), (2, 0)}. , Construiti matricea acestei relatii. , , Construiti matricea transpus˘. a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 21 / 28
  68. 68. Propriet˘ti; Simetrie a, Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R a a , , avem (b, a) ∈ R. De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(3, 2), (1, 1), (2, 3), (0, 2), (2, 0)}. , Construiti matricea acestei relatii. , , Construiti matricea transpus˘. a , Matricea relatiei este simetric˘. a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 21 / 28
  69. 69. Propriet˘ti; Simetrie a, Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R a a , , avem (b, a) ∈ R. De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(3, 2), (1, 1), (2, 3), (0, 2), (2, 0)}. , Construiti matricea acestei relatii. , , Construiti matricea transpus˘. a , Matricea relatiei este simetric˘. a , Construiti graful orientat. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 21 / 28
  70. 70. Propriet˘ti; Asimetrie a, Relatia ρ = (A, A, R) se numeste asimetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R a a , , avem (b, a) ∈ R. / R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 22 / 28
  71. 71. Propriet˘ti; Asimetrie a, Relatia ρ = (A, A, R) se numeste asimetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R a a , , avem (b, a) ∈ R. / De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(3, 2), (2, 3), (0, 2)}. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 22 / 28
  72. 72. Propriet˘ti; Antisimetrie a, Relatia ρ = (A, A, R) se numeste antisimetric˘ dac˘ pentru orice a a , , (a, b) ∈ R avem (b, a) ∈ R cu exceptia cazurilor cˆ a = b. / ınd , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 23 / 28
  73. 73. Propriet˘ti; Antisimetrie a, Relatia ρ = (A, A, R) se numeste antisimetric˘ dac˘ pentru orice a a , , (a, b) ∈ R avem (b, a) ∈ R cu exceptia cazurilor cˆ a = b. / ınd , Relatia antisimetric˘ este o relatie asimetric˘ cu cel putin o pereche de a a , , , formatul (a, a). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 23 / 28
  74. 74. Propriet˘ti; Antisimetrie a, Relatia ρ = (A, A, R) se numeste antisimetric˘ dac˘ pentru orice a a , , (a, b) ∈ R avem (b, a) ∈ R cu exceptia cazurilor cˆ a = b. / ınd , Relatia antisimetric˘ este o relatie asimetric˘ cu cel putin o pereche de a a , , , formatul (a, a). De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(3, 2), (1, 1), (0, 2)}. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 23 / 28
  75. 75. Propriet˘ti; Tranzitivitate a, Relatia ρ = (A, A, R) se numeste tranzitiv˘ dac˘ pentru orice a a , , (a, b), (b, c) ∈ R avem (a, c) ∈ R. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 24 / 28
  76. 76. Propriet˘ti; Tranzitivitate a, Relatia ρ = (A, A, R) se numeste tranzitiv˘ dac˘ pentru orice a a , , (a, b), (b, c) ∈ R avem (a, c) ∈ R. De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(2, 1), (3, 2), (3, 1)}. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 24 / 28
  77. 77. Operatii; Reuniunea , Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci , , ρ1 ∪ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, b) ∈ R1 sau (a, b) ∈ R2 }. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 25 / 28
  78. 78. Operatii; Reuniunea , Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci , , ρ1 ∪ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, b) ∈ R1 sau (a, b) ∈ R2 }. Aρ1 ⊕ Aρ2 : aij OR bij R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 25 / 28
  79. 79. Operatii; Intersectia , , Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci , , ρ1 ∩ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, b) ∈ R1 si (a, b) ∈ R2 }. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 26 / 28
  80. 80. Operatii; Intersectia , , Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci , , ρ1 ∩ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, b) ∈ R1 si (a, b) ∈ R2 }. , Aρ 1 Aρ2 : aij AND bij R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 26 / 28
  81. 81. Operatii; Compunerea , Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci , , ρ1 ◦ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, c) ∈ R1 si (c, b) ∈ R2 }. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 27 / 28
  82. 82. Operatii; Compunerea , Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci , , ρ1 ◦ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, c) ∈ R1 si (c, b) ∈ R2 }. , Aρ 1 Aρ 2 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 27 / 28
  83. 83. Operatii; Inversarea , Fie relati ρ = (A, A, R) atunci , ρ−1 = {(a, b) ∈ A2 : (b, a) ∈ R}. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii a, , , 2013 28 / 28

×