Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Curs 8: Grafuri planare

2,451 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Curs 8: Grafuri planare

  1. 1. Curs 8: Grafuri planare Teoria grafurilor Radu Dumbr˘veanu a Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti a, Facultatea de Stiinte Reale , , Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a a ¸ ¸ Distribuire-ˆ ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0) ¸ a B˘lti, 2013 a, R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 1 / 23
  2. 2. Exemplu fabrica; T´ran u R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 2 / 23
  3. 3. Grafuri planar; Graf plan Un graf G se numeste planar dac˘ poate fi reprezentat ˆ plan astfel ˆ ıt a ın ıncˆ , muchiile s˘ nu se intersecteze decˆ ˆ vˆ a ıt ın ırfuri. O astfel de reprezentare se numeste hart˘ (sau graf-plan), iar graful G se a , numeste graful suport al h˘rtii respective. a , , Graful K4 ˆ ımpreun˘ cu harta sa a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 3 / 23
  4. 4. Num˘rul de intersectii a , Num˘rul de intersectii este num˘rul de perechi diferite de muchii care se a a , intersecteaz˘ ˆ a ıntr-o reprezentare a grafului. Este logic s˘ vorbim despre num˘rul minim de astfel de perechi. a a Un graf planar are num˘rul minim de intersectii egal cu zero. a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 4 / 23
  5. 5. Fete , Orice reprezentare a unui graf planar ˆ ımparte planul ˆ regiuni numite fete. ın , Multimea fetelor se noteaz˘ prin F . a , , ˆ a a a a , a Intotdeauna exist˘ o fat˘ infinit˘/nem˘rginit˘ numit˘ fata exterioar˘. a ,a Orice fat˘ f este un poligon. ,a Num˘rul de muchii ale poligonului se noteaz˘ prin d(f ) si se numeste a a , , gradul fetei. , Teorem˘ a Pentru orice graf planar d(f ) = 2|E| f ∈F R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 5 / 23
  6. 6. Fete , u f0 z f1 v f2 x y |F | = 3; f0 este fata exterioar˘ a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 6 / 23
  7. 7. Fete , Teorem˘ a Fie G un graf plan si e o muchie din G, atunci: , 1. Dac˘ e apartine unui ciclu elementar C ⊆ G atunci e apartine a , , frontierei a exact dou˘ fete; a , 2. Dac˘ e nu apartine unui ciclu elementar atunci e apartine frontierei a a , , exact a unei fete; , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 7 / 23
  8. 8. Fete , u f0 z f1 v f2 x y Graf plan G Muchia uv apartine ciclului elementar (u, v, x, u) si ˆ acelasi timp apartine , , ın , , frontierei fetelor f0 si f1 . , , Muchia xz nu aprtine unui ciclu elementar si se afl˘ pe frontiera fetei f0 . a , , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 8 / 23
  9. 9. Fete , Corolar Un arbore plan are exact o fat˘. ,a Corolar Dac˘ un graf plan are fete diferite cu aceeasi frontier˘ atunci acesta este a a , , un graf ciclu. Corolar ˆ Intr-un graf 2-conex orice fat˘ este m˘rginit˘ de un ciclu. a a ,a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 9 / 23
  10. 10. Formula Euler Teorem˘ a Pentru orice graf G = (V , E) planar si conex , |V | − |E| + |F | = 2 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 10 / 23
  11. 11. Formula Euler Demonstratie. ¸ Demonstr˘m prin inductie tare pe m = ||G|| (num˘rul de muchii). a a , Pentru m = 0 avem graful nul cu un singur vˆ (ˆ ırf ıntrucˆ G trebuie s˘ fie ıt a conex); |V | = 1 si |F | = 1; teorema este verificat˘. a , Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice graf cu |E| < m. a a a Fie G un graf cu |E| = m, m ≥ 1. Alegem, ˆ mod arbitrar, o muchie e si cercet˘m subgraful H = G − e. ın a , Consider˘m dou˘ cazuri: H este conex si H nu este conex. a a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 11 / 23
  12. 12. Demonstratie. ¸ Cazul I. Dac˘ H este conex, reiese c˘ e nu este o punte ˆ G si deci a a ın , apartine unui ciclu. , ˆ acest caz e m˘rgineste dou˘ fete diferite, iar ˆ rezultatul elimin˘rii, In a a , ın a , aceste fete sau unit ˆ una singur˘, deci |F (H )| = |F | − 1. ın a , Astfel, ˆ ıntrucˆ V (G) = V (H ) obtinem: ıt , |V | − |E| + |F | = |V (H )| − (|E(H )| + 1) + (|F (H )| + 1) = |V (H )| − |E(H )| + |F (H )| − 1 + 1 = 2. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 12 / 23
  13. 13. Demonstratie. ¸ Cazul al II-lea. Graful H nu este conex. Reiese c˘ e este o punte si ˆ a ıt a , ıntrucˆ am eliminat doar o muchie H const˘ din dou˘ compoenente conexe H1 = (V1 , E1 ) si H2 = (V2 , E2 ). a , Iar ˆ ıntrucˆ atˆ H1 cˆ si H2 are un numar de muchii mai mic ca m pentru ıt ıt ıt , ele este adev˘rat˘ formula lui Euler: a a |V1 | − |E1 | + |F1 | = 2 si , |V2 | − |E2 | + |F2 | = 2 Dar |V | = |V1 | + |V2 |, |E| = |E1 | + |E2 | + 1 si |F | = |F1 | + |F2 | − 1 si , , |V | − |E| + |F | = |V1 | + |V2 | − (|E1 | + |E2 | + 1) + (|F1 | + |F2 | − 1) = |V1 | − |E1 | + |F1 | + |V2 | − |E2 | + |F2 | − 1 − 1 =2+2−1−1=2 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 13 / 23
  14. 14. Aplicatii ale formulei Euler , Graful K3,3 nu este planar. Demonstratie. ¸ Presupunem, prin absurd, c˘ K3,3 este planar. Atunci din formula lui Euler a avem: |F | = 2 − |V | + |E| = 2 − 6 + 9 = 5. Deci trebuie s˘ fie 5 fete. Deoarece cel mai scurt ciclu ˆ K3,3 are a ın , lungimea 4 reiese c˘ orice fat˘ trebuie s˘ aib˘ gradul ≥ 4. Acum a a a ,a d(f ) ≥ 5 · 4 = 20 18 = 2|E| = f ∈F Contradictie. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 14 / 23
  15. 15. Aplicatii ale formulei Euler , K5 nu este planar. Demonstrati analog aceast˘ propozitie a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 15 / 23
  16. 16. Aplicatii ale formulei Euler , Graful Petersen nu este planar. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 16 / 23
  17. 17. Teorema lui Kuratowski Definitie , O subdiviziune a unui graf este un graf nou obtinut din G prin inserarea , de vˆ ırfuri (de gradul 2) ˆ muchiile lui G ın Cˆ ıteva observatii: , 1. dac˘ G este planar atunci orice subgraf al acestuia este planar. a 2. dac˘ o subdiviziune a unui graf G este un graf planar atunci G este a planar Teorem˘ (Kuratowski) a Un graf nu este planar dac˘ si numai dac˘ o subdiviziune a lui K3,3 sau K5 a , a este un subgraf al lui G. Ar˘tati c˘ Petersen verific˘ teorema lui Kuratowski. a , a a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 17 / 23
  18. 18. Graf dual Fie G un graf plan. a Amplas˘m cˆ un vˆ ˆ fiecare fat˘ a grafului G; si not˘m multimea a ıte ırf ın , , ,a acestor vˆ ırfuri prin V ∗ . Pentru fiecare muchie e unim dou˘ vˆ a ırfuri din V ∗ printr-o muchie e ∗ dac˘ a aceste vˆ ırfuri sˆ localizate ˆ fetele cu care acest˘ muchie este incident˘. ınt ın , a a Dac˘ muchia e este incident˘ cu o singur˘ fat˘ atunci vˆ a a a ,a ırfului asociat acestei fete ˆ facem o bucl˘ care intersecteaz˘ e. ıi a a , Graful G ∗ = (V ∗ , E ∗ ) se numeste graful dual al lui G. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 18 / 23
  19. 19. Graf dual u v z x y Graful dual G ∗ R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 19 / 23
  20. 20. Graf dual T˘ieturile minimale din G ∗ sˆ cilcurile din G si invers. a ınt , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 20 / 23
  21. 21. Definitie , Un poliedru este un corp 3 dimensional la care fetele sˆ poligoane. ınt , Un poliedru este convex dac˘ orice segment care uneste dou˘ puncte din a a , interiorul poliedrului contine numai puncte din interiorul poliedrului. Un , poliedru convex poate fi proiectat ˆ plan obtinˆ un graf-plan. ın ınd , Definitie , Un poliedru convex se numste corp platonic dac˘ exist˘ m ≥ 3 si n ≥ 3 a a , , ıncˆ ırf a ˆ ıt orice vˆ are gradul m si orice fata are gradul n (sau echivalent, dac˘ , , toate fetele sˆ poligoane regulate congruente). ınt , De ce se numesc corpuri platonice? Cubul este un corp platonic cu m = 3 si n = 4. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 21 / 23
  22. 22. Teorem˘ a Exist˘ exact 5 corpuri platonice. a Demonstratie. ¸ Fie G un graf planar obtinut la proiectia corpului platonic. Atunci , , d(v) = m|V | 2|E| = v∈V d(f ) = n|F | 2|E| = f ∈F ˆ acelasi timp, din formula lui Euler In , |V | − |E| + |F | = 2 ˆ rezultatul, ˆ In ınmultind cu mn , 2mn = mn|V | − mn|E| + mn|F | = 2n|E| − mn|E| + 2m|E| Deci R. Dumbr˘veanu (USARB) a 2mnCurs 8: Grafuri planare 2mn B˘lti, 2013 a, 22 / 23
  23. 23. m 3 4 3 5 3 n 3 3 4 3 5 —V— 4 6 8 12 20 —E— 6 12 12 30 30 R. Dumbr˘veanu (USARB) a —F— 4 8 6 20 12 platonic solid tetraedru octaedru cub icosaedru dodecaedru Curs 8: Grafuri planare B˘lti, 2013 a, 23 / 23

×