Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Upcoming SlideShare
×

# Curs 7: Colorare

1,042 views

Published on

• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
Your message goes here
• Be the first to comment

### Curs 7: Colorare

1. 1. Curs 7: Colorare Teoria grafurilor Radu Dumbr˘veanu a Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti a, Facultatea de Stiinte Reale , , Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a a ¸ ¸ Distribuire-ˆ ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0) ¸ a B˘lti, 2013 a, R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 1/1
2. 2. Colorare Deﬁnitie , Fie G = (V , E) un graf. O k-colorare a lui V , unde k ∈ N, poate ﬁ deﬁnit˘ ca o functie c : V → {1, 2, ..., k}. a , Colorarea se numeste proprie dac˘ ∀u, v ∈ V , u si v vecine, c(u) = c(v). a , , Graful care contine bucle nu poate avea color˘ri proprii. a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 2/1
3. 3. ˆ cele ce urmeaz˘ ˆ loc de termenul ”colorare proprie” vom folosi simplu In a ın termenul ”colorare”. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 3/1
4. 4. ../../resources/diapozitive11/g90.png 3-colorare ../../resources/diapozitive11/g91.png 4-colorare ../../resources/diapozitive11/g92.png 5-colorare http://www.personal.kent.edu/ rmuhamma/GraphTheory/MyGraphTheory/coloring.htm R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 4/1
5. 5. ../../resources/diapozitive11/g90.png 3-colorare ../../resources/diapozitive11/g91.png 4-colorare ../../resources/diapozitive11/g92.png 5-colorare http://www.personal.kent.edu/ rmuhamma/GraphTheory/MyGraphTheory/coloring.htm R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 4/1
6. 6. ../../resources/diapozitive11/g90.png 3-colorare ../../resources/diapozitive11/g91.png 4-colorare ../../resources/diapozitive11/g92.png 5-colorare http://www.personal.kent.edu/ rmuhamma/GraphTheory/MyGraphTheory/coloring.htm R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 4/1
7. 7. Num˘rul cromatic a Num˘rul minim de culori necesare unei color˘ri proprii a unui graf G s.n. a a num˘rul cromatic al grafului si se noteaz˘ cu χ(G). a a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 5/1
8. 8. Num˘rul cromatic. Marginea de sus a Teorem˘ a Fie G un garf simplu atunci χ(G) ≤ ∆(G) + 1 Teorem˘ (Brook) a Fie G un graf simplu conex. Dac˘ G nu este un graf complet si nu este a , graful ciclu, atunci χ(G) ≤ ∆(G). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 6/1
9. 9. Num˘rul cromatic. Marginea de sus a Teorem˘ a Fie G un garf simplu atunci χ(G) ≤ ∆(G) + 1 Teorem˘ (Brook) a Fie G un graf simplu conex. Dac˘ G nu este un graf complet si nu este a , graful ciclu, atunci χ(G) ≤ ∆(G). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 6/1
10. 10. Num˘rarea color˘rilor a a Fie G = (V , E) un graf. Not˘m prin P(G, k) sau πk (G) num˘rul de a a color˘ri posibile cu k culori. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 7/1
11. 11. Num˘rarea color˘rilor la En a a E1 P(G, k) = k E2 P(G, k) = k · k E3 P(G, k) = k · k · k ... En P(G, k) = k · k · ... · k = k n n R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 8/1
12. 12. Num˘rarea color˘rilor la Kn a a K1 P(G, k) = k K2 P(G, k) = k(k − 1) K3 P(G, k) = k(k − 1)(k − 2) ... Kn P(G, k) = k(k − 1)(k − 2)...(k − (n − 1)) n R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 9/1
13. 13. Polinomul cromatic I Teorem˘ a P(G, k) este un polinom. Mai mult, dac˘ graful G este simplu atunci a P(G, k) = P(G − e, k) − P(G/e, k). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 10 / 1
14. 14. Demonstratie I , Demonstr˘m prin inductie pe n = ||G||. Pentru n = 0 avem graful nul a , pentru care P(En , k) = k n (polinom). Deci teorem este veriﬁcat˘. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 11 / 1
15. 15. Demonstrata teorema are loc pentru orice graf cu num˘rul de muchii , ie II Presupunem c˘ a mai mic decˆ n. Fie G un graf cu n muchii, n ≥ 1. ˆ G alegem o muchie ıt In si not˘m capetele acesteia prin u si v. Dac˘ elimin˘m muchia e obtinem a a a , , , dou˘ grafuri noi: G − e si G/e. a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 12 / 1
16. 16. DemonstratG − e avem mai multe posibilit˘ti de colorare decˆ pentru ie III Acum, pentru, a ıt , G: orice colorare a lui G − e ˆ care u si v au culori diferite este si o ın , , colorare a lui G, iar color˘rile ˆ care u si v au aceeasi culoare nu pot ﬁ a ın , , considerate color˘ri ale lui G. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 13 / 1
17. 17. Demonstratie IV , Pe de alt˘ parte aceste color˘ri sˆ color˘ri pentru G/e ˆ a a ınt a ıntrucˆ ˆ el u si ıt ın , v au fost combinate ˆ ıntr-un singur vˆ Deci ırf. P(G, k) = P(G − e, k) − P(G/e, k). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 14 / 1
18. 18. Notatia P(G, k) se numeste polinom cromatic, iar demonstratia teoremei , , , poate ﬁ utilizat˘ drept algoritm de determinare a polinomului cormatic. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 15 / 1
19. 19. Propriet˘ti ale polinomului cromatic a, 1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul a , de vˆ ırfuri ale grafului. 2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a a grafului G 3. P(G, k) este divizibil prin k 4. Semnele coeﬁcientilor alterneaz˘ a , 5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente a a a grafului 6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci a P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 16 / 1
20. 20. Propriet˘ti ale polinomului cromatic a, 1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul a , de vˆ ırfuri ale grafului. 2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a a grafului G 3. P(G, k) este divizibil prin k 4. Semnele coeﬁcientilor alterneaz˘ a , 5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente a a a grafului 6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci a P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 16 / 1
21. 21. Propriet˘ti ale polinomului cromatic a, 1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul a , de vˆ ırfuri ale grafului. 2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a a grafului G 3. P(G, k) este divizibil prin k 4. Semnele coeﬁcientilor alterneaz˘ a , 5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente a a a grafului 6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci a P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 16 / 1
22. 22. Propriet˘ti ale polinomului cromatic a, 1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul a , de vˆ ırfuri ale grafului. 2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a a grafului G 3. P(G, k) este divizibil prin k 4. Semnele coeﬁcientilor alterneaz˘ a , 5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente a a a grafului 6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci a P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 16 / 1
23. 23. Propriet˘ti ale polinomului cromatic a, 1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul a , de vˆ ırfuri ale grafului. 2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a a grafului G 3. P(G, k) este divizibil prin k 4. Semnele coeﬁcientilor alterneaz˘ a , 5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente a a a grafului 6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci a P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 16 / 1
24. 24. Propriet˘ti ale polinomului cromatic a, 1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul a , de vˆ ırfuri ale grafului. 2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a a grafului G 3. P(G, k) este divizibil prin k 4. Semnele coeﬁcientilor alterneaz˘ a , 5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente a a a grafului 6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci a P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 16 / 1