Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Curs 7: Colorare

1,042 views

Published on

  • Be the first to comment

Curs 7: Colorare

  1. 1. Curs 7: Colorare Teoria grafurilor Radu Dumbr˘veanu a Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti a, Facultatea de Stiinte Reale , , Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a a ¸ ¸ Distribuire-ˆ ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0) ¸ a B˘lti, 2013 a, R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 1/1
  2. 2. Colorare Definitie , Fie G = (V , E) un graf. O k-colorare a lui V , unde k ∈ N, poate fi definit˘ ca o functie c : V → {1, 2, ..., k}. a , Colorarea se numeste proprie dac˘ ∀u, v ∈ V , u si v vecine, c(u) = c(v). a , , Graful care contine bucle nu poate avea color˘ri proprii. a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 2/1
  3. 3. ˆ cele ce urmeaz˘ ˆ loc de termenul ”colorare proprie” vom folosi simplu In a ın termenul ”colorare”. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 3/1
  4. 4. ../../resources/diapozitive11/g90.png 3-colorare ../../resources/diapozitive11/g91.png 4-colorare ../../resources/diapozitive11/g92.png 5-colorare http://www.personal.kent.edu/ rmuhamma/GraphTheory/MyGraphTheory/coloring.htm R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 4/1
  5. 5. ../../resources/diapozitive11/g90.png 3-colorare ../../resources/diapozitive11/g91.png 4-colorare ../../resources/diapozitive11/g92.png 5-colorare http://www.personal.kent.edu/ rmuhamma/GraphTheory/MyGraphTheory/coloring.htm R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 4/1
  6. 6. ../../resources/diapozitive11/g90.png 3-colorare ../../resources/diapozitive11/g91.png 4-colorare ../../resources/diapozitive11/g92.png 5-colorare http://www.personal.kent.edu/ rmuhamma/GraphTheory/MyGraphTheory/coloring.htm R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 4/1
  7. 7. Num˘rul cromatic a Num˘rul minim de culori necesare unei color˘ri proprii a unui graf G s.n. a a num˘rul cromatic al grafului si se noteaz˘ cu χ(G). a a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 5/1
  8. 8. Num˘rul cromatic. Marginea de sus a Teorem˘ a Fie G un garf simplu atunci χ(G) ≤ ∆(G) + 1 Teorem˘ (Brook) a Fie G un graf simplu conex. Dac˘ G nu este un graf complet si nu este a , graful ciclu, atunci χ(G) ≤ ∆(G). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 6/1
  9. 9. Num˘rul cromatic. Marginea de sus a Teorem˘ a Fie G un garf simplu atunci χ(G) ≤ ∆(G) + 1 Teorem˘ (Brook) a Fie G un graf simplu conex. Dac˘ G nu este un graf complet si nu este a , graful ciclu, atunci χ(G) ≤ ∆(G). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 6/1
  10. 10. Num˘rarea color˘rilor a a Fie G = (V , E) un graf. Not˘m prin P(G, k) sau πk (G) num˘rul de a a color˘ri posibile cu k culori. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 7/1
  11. 11. Num˘rarea color˘rilor la En a a E1 P(G, k) = k E2 P(G, k) = k · k E3 P(G, k) = k · k · k ... En P(G, k) = k · k · ... · k = k n n R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 8/1
  12. 12. Num˘rarea color˘rilor la Kn a a K1 P(G, k) = k K2 P(G, k) = k(k − 1) K3 P(G, k) = k(k − 1)(k − 2) ... Kn P(G, k) = k(k − 1)(k − 2)...(k − (n − 1)) n R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 9/1
  13. 13. Polinomul cromatic I Teorem˘ a P(G, k) este un polinom. Mai mult, dac˘ graful G este simplu atunci a P(G, k) = P(G − e, k) − P(G/e, k). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 10 / 1
  14. 14. Demonstratie I , Demonstr˘m prin inductie pe n = ||G||. Pentru n = 0 avem graful nul a , pentru care P(En , k) = k n (polinom). Deci teorem este verificat˘. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 11 / 1
  15. 15. Demonstrata teorema are loc pentru orice graf cu num˘rul de muchii , ie II Presupunem c˘ a mai mic decˆ n. Fie G un graf cu n muchii, n ≥ 1. ˆ G alegem o muchie ıt In si not˘m capetele acesteia prin u si v. Dac˘ elimin˘m muchia e obtinem a a a , , , dou˘ grafuri noi: G − e si G/e. a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 12 / 1
  16. 16. DemonstratG − e avem mai multe posibilit˘ti de colorare decˆ pentru ie III Acum, pentru, a ıt , G: orice colorare a lui G − e ˆ care u si v au culori diferite este si o ın , , colorare a lui G, iar color˘rile ˆ care u si v au aceeasi culoare nu pot fi a ın , , considerate color˘ri ale lui G. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 13 / 1
  17. 17. Demonstratie IV , Pe de alt˘ parte aceste color˘ri sˆ color˘ri pentru G/e ˆ a a ınt a ıntrucˆ ˆ el u si ıt ın , v au fost combinate ˆ ıntr-un singur vˆ Deci ırf. P(G, k) = P(G − e, k) − P(G/e, k). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 14 / 1
  18. 18. Notatia P(G, k) se numeste polinom cromatic, iar demonstratia teoremei , , , poate fi utilizat˘ drept algoritm de determinare a polinomului cormatic. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 15 / 1
  19. 19. Propriet˘ti ale polinomului cromatic a, 1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul a , de vˆ ırfuri ale grafului. 2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a a grafului G 3. P(G, k) este divizibil prin k 4. Semnele coeficientilor alterneaz˘ a , 5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente a a a grafului 6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci a P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 16 / 1
  20. 20. Propriet˘ti ale polinomului cromatic a, 1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul a , de vˆ ırfuri ale grafului. 2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a a grafului G 3. P(G, k) este divizibil prin k 4. Semnele coeficientilor alterneaz˘ a , 5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente a a a grafului 6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci a P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 16 / 1
  21. 21. Propriet˘ti ale polinomului cromatic a, 1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul a , de vˆ ırfuri ale grafului. 2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a a grafului G 3. P(G, k) este divizibil prin k 4. Semnele coeficientilor alterneaz˘ a , 5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente a a a grafului 6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci a P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 16 / 1
  22. 22. Propriet˘ti ale polinomului cromatic a, 1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul a , de vˆ ırfuri ale grafului. 2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a a grafului G 3. P(G, k) este divizibil prin k 4. Semnele coeficientilor alterneaz˘ a , 5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente a a a grafului 6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci a P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 16 / 1
  23. 23. Propriet˘ti ale polinomului cromatic a, 1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul a , de vˆ ırfuri ale grafului. 2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a a grafului G 3. P(G, k) este divizibil prin k 4. Semnele coeficientilor alterneaz˘ a , 5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente a a a grafului 6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci a P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 16 / 1
  24. 24. Propriet˘ti ale polinomului cromatic a, 1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul a , de vˆ ırfuri ale grafului. 2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a a grafului G 3. P(G, k) este divizibil prin k 4. Semnele coeficientilor alterneaz˘ a , 5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente a a a grafului 6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci a P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 7: Colorare B˘lti, 2013 a, 16 / 1

×