Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
Structuri discrete (F.02.O.13)

Radu Dumbr˘veanu
a
Universitatea de Stat “A. Russo”...
Ce este (sau ce studiz˘) logica?
a

Logica poate fi definit˘ ca ¸tiint˘ a evalu˘rii argumentelor
a
s ¸a
a
(rationamentelor)....
Ce este (sau ce studiz˘) logica?
a

Logica poate fi definit˘ ca ¸tiint˘ a evalu˘rii argumentelor
a
s ¸a
a
(rationamentelor)....
Ce este (sau ce studiz˘) logica?
a

Exemplu (de argument)
Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este m...
Ce este (sau ce studiz˘) logica?
a

Exemplu (de argument)
Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este m...
Ce este (sau ce studiz˘) logica?
a

Exemplu (de argument)
Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este m...
Ce este (sau ce studiz˘) logica?
a

Exemplu (de argument)
Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este m...
Logica formal˘
a

ˆ literatura de specialitate deseori este utilizeaz˘ sinonimul “logica
In
a
formal˘”.
a

R. Dumbr˘veanu ...
Logica formal˘
a

ˆ literatura de specialitate deseori este utilizeaz˘ sinonimul “logica
In
a
formal˘”.
a
a ıntrucˆ se fac...
Logica formal˘
a

ˆ literatura de specialitate deseori este utilizeaz˘ sinonimul “logica
In
a
formal˘”.
a
a ıntrucˆ se fac...
Logica formal˘
a

ˆ literatura de specialitate deseori este utilizeaz˘ sinonimul “logica
In
a
formal˘”.
a
a ıntrucˆ se fac...
Propozitii
,

Definitie
,
Se numeste propozitie un enunt al limbajului natural sau al unui limbaj
¸
¸
simbolic despre care ...
Propozitii
,

Definitie
,
Se numeste propozitie un enunt al limbajului natural sau al unui limbaj
¸
¸
simbolic despre care ...
Propozitii
,

Exprimˇrile care nu sunt propozitii includ adesea ˆ
a
ıntrebˇri si comenzi –
a
acestea nu pot fi adevˇrate sa...
Propozitii
,

Exprimˇrile care nu sunt propozitii includ adesea ˆ
a
ıntrebˇri si comenzi –
a
acestea nu pot fi adevˇrate sa...
Valoare de adev˘r a unei propozitii
a
,

Este foarte important a observa cˇ fiecare propozitie este adevˇratˇ sau
a
a a
fal...
Valoare de adev˘r a unei propozitii
a
,

Este foarte important a observa cˇ fiecare propozitie este adevˇratˇ sau
a
a a
fal...
Valoare de adev˘r a unei propozitii
a
,

Este foarte important a observa cˇ fiecare propozitie este adevˇratˇ sau
a
a a
fal...
Notatii
,

Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r, s...) pentru a nota
propozitiile.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)...
Notatii
,

Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r, s...) pentru a nota
propozitiile.
,
Valorile de adev˘r le v...
Notatii
,

Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r, s...) pentru a nota
propozitiile.
,
Valorile de adev˘r le v...
Notatii
,

Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r, s...) pentru a nota
propozitiile.
,
Valorile de adev˘r le v...
Conectori/operatori logici
Conector unar:
Negatia.
,
Conectori binari:
Conjuctia;
,
Disjunctia;
,
Echivalenta;
,
Disjuncti...
Conectori logici: Negatia
,
p
0
1

¬p
1
0

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,

2013

10 / 36
Conectori logici: Negatia
,
p
0
1

¬p
1
0

Posibile simboluri: non p, p, ˜p.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logic˘ si calculul...
Conectori logici: Negatia
,
p
0
1

¬p
1
0

Posibile simboluri: non p, p, ˜p.
ˆ Pascal este operatorul “NOT”.
In

R. Dumbr˘...
Conectori logici: Negatia
,
p
0
1

¬p
1
0

Posibile simboluri: non p, p, ˜p.
ˆ Pascal este operatorul “NOT”.
In
ˆ C++ si J...
Conectori logici: Negatia
,
p
0
1

¬p
1
0

Posibile simboluri: non p, p, ˜p.
ˆ Pascal este operatorul “NOT”.
In
ˆ C++ si J...
Conectori logici: Negatia
,
p
0
1

¬p
1
0

Posibile simboluri: non p, p, ˜p.
ˆ Pascal este operatorul “NOT”.
In
ˆ C++ si J...
Conectori logici: Conjuctia
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∧q
0
0
0
1

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logic˘ si calculul propozitiona...
Conectori logici: Conjuctia
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∧q
0
0
0
1

Posibile simboluri: p AND q, p&q.

R. Dumbr˘veanu (USARB)...
Conectori logici: Conjuctia
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∧q
0
0
0
1

Posibile simboluri: p AND q, p&q.
ˆ Pascal este operatoru...
Conectori logici: Conjuctia
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∧q
0
0
0
1

Posibile simboluri: p AND q, p&q.
ˆ Pascal este operatoru...
Conectori logici: Conjuctia
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∧q
0
0
0
1

Posibile simboluri: p AND q, p&q.
ˆ Pascal este operatoru...
Conectori logici: Conjuctia
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∧q
0
0
0
1

Posibile simboluri: p AND q, p&q.
ˆ Pascal este operatoru...
Conectori logici: Disjunctia
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∨q
0
1
1
1

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logic˘ si calculul propozition...
Conectori logici: Disjunctia
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∨q
0
1
1
1

Posibile simboluri: p OR q, p + q.

R. Dumbr˘veanu (USAR...
Conectori logici: Disjunctia
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∨q
0
1
1
1

Posibile simboluri: p OR q, p + q.
ˆ Pascal este operato...
Conectori logici: Disjunctia
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∨q
0
1
1
1

Posibile simboluri: p OR q, p + q.
ˆ Pascal este operato...
Conectori logici: Disjunctia
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∨q
0
1
1
1

Posibile simboluri: p OR q, p + q.
ˆ Pascal este operato...
Conectori logici: Disjunctia
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∨q
0
1
1
1

Posibile simboluri: p OR q, p + q.
ˆ Pascal este operato...
Conectori logici: Echivalenta
,

p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p↔q
1
0
0
1

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logic˘ si calculul propoziti...
Conectori logici: Echivalenta
,

p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p↔q
1
0
0
1

ˆ Pascal este operatorul “=”.
In

R. Dumbr˘veanu (USAR...
Conectori logici: Echivalenta
,

p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p↔q
1
0
0
1

ˆ Pascal este operatorul “=”.
In
ˆ C++ si Java este op...
Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘
a
,
Este negatia echivalentei.
,
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logic˘ si calculul pr...
Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘
a
,
Este negatia echivalentei.
,
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p⊕q
0
1
1
0

R. Dumbr˘vean...
Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘
a
,
Este negatia echivalentei.
,
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p⊕q
0
1
1
0

ˆ Pascal: “XO...
Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘
a
,
Este negatia echivalentei.
,
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p⊕q
0
1
1
0

ˆ Pascal: “XO...
Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘
a
,
Este negatia echivalentei.
,
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p⊕q
0
1
1
0

ˆ Pascal: “XO...
Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘
a
,
Este negatia echivalentei.
,
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p⊕q
0
1
1
0

ˆ Pascal: “XO...
Conectori logici: conectorul lui Pierce

Este negatia disjunctiei.
,
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logic˘ si calculul propo...
Conectori logici: conectorul lui Pierce

Este negatia disjunctiei.
,
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p↓q
1
0
0
0

R. Dumbr˘veanu (...
Conectori logici: conectorul lui Pierce

Este negatia disjunctiei.
,
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p↓q
1
0
0
0

Simboluri: p NOR...
Conectori logici: conectorul lui Pierce

Este negatia disjunctiei.
,
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p↓q
1
0
0
0

Simboluri: p NOR...
Conectori logici: conectorul lui Sheffer

Este negatia conjunctiei.
,
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logic˘ si calculul propo...
Conectori logici: conectorul lui Sheffer

Este negatia conjunctiei.
,
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p|q
1
1
1
0

R. Dumbr˘veanu (...
Conectori logici: conectorul lui Sheffer

Este negatia conjunctiei.
,
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p|q
1
1
1
0

Simboluri: “↑”, ...
Conectori logici: conectorul lui Sheffer

Este negatia conjunctiei.
,
,
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p|q
1
1
1
0

Simboluri: “↑”, ...
Conectori logici: Implicatia
,

p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p→q
1
1
0
1

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logic˘ si calculul propozitio...
Conectori logici: Implicatia
,

p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p→q
1
1
0
1

Analogie: p → q este adev˘rat˘ dac˘ numai dac˘ p ≤ q
a ...
Implicatia
,

Implicatia este mai putin intuitiva decˆ ceilalti conectori logici.
ıt
,
,
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logi...
Implicatia
,

Implicatia este mai putin intuitiva decˆ ceilalti conectori logici.
ıt
,
,
,
S˘ consider˘m dou˘ calculatoare...
Implicatia
,

Implicatia este mai putin intuitiva decˆ ceilalti conectori logici.
ıt
,
,
,
S˘ consider˘m dou˘ calculatoare...
Implicatia
,

Implicatia este mai putin intuitiva decˆ ceilalti conectori logici.
ıt
,
,
,
S˘ consider˘m dou˘ calculatoare...
Implicatia: Conditii suficiente si necesare
,
,
,
Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie.
a
a ,
,

R. Dumbr˘vea...
Implicatia: Conditii suficiente si necesare
,
,
,
Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie.
a
a ,
,
Concluzia se ...
Implicatia: Conditii suficiente si necesare
,
,
,
Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie.
a
a ,
,
Concluzia se ...
Implicatia: Conditii suficiente si necesare
,
,
,
Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie.
a
a ,
,
Concluzia se ...
Implicatia: Conditii suficiente si necesare
,
,
,
Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie.
a
a ,
,
Concluzia se ...
Implicatia: Conditii suficiente si necesare
,
,
,
Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie.
a
a ,
,
Concluzia se ...
Implicatia: Conditii suficiente si necesare
,
,
,
Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie.
a
a ,
,
Concluzia se ...
Conectori logici

p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∧q
0
0
0
1

p∨q
0
1
1
1

p↔q
1
0
0
1

p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p↑q
1
1
1
0

p↓q
1
0
...
Conectori logici ˆ cadrul limbajului natural
ın
Limbaj natural
non p; nu p
p este fals
p si q; simultan
,
p sau q
fie p fie ...
Negatie corect˘ (absolut˘)
a
a
,
Enunt: LibreOffice este un program liber si gratuit.
,
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logic˘ ...
Negatie corect˘ (absolut˘)
a
a
,
Enunt: LibreOffice este un program liber si gratuit.
,
,
Negatie incorect˘: LibreOffice este ...
Negatie corect˘ (absolut˘)
a
a
,
Enunt: LibreOffice este un program liber si gratuit.
,
,
Negatie incorect˘: LibreOffice este ...
Negatie corect˘ (absolut˘)
a
a
,
Enunt: LibreOffice este un program liber si gratuit.
,
,
Negatie incorect˘: LibreOffice este ...
Ierarhia conectorilor logici

Lista conectorilor logici ˆ ordinea descresterii priorit˘tii: ¬, ∧, ∨, →, ↔.
ın
a,
,

R. Dum...
Ierarhia conectorilor logici

Lista conectorilor logici ˆ ordinea descresterii priorit˘tii: ¬, ∧, ∨, →, ↔.
ın
a,
,
Astfel ...
Ierarhia conectorilor logici

Lista conectorilor logici ˆ ordinea descresterii priorit˘tii: ¬, ∧, ∨, →, ↔.
ın
a,
,
Astfel ...
Aplicatii ale conectorilor logici
,

Filtrarea rezultatelor c˘ut˘rilor (Google, MS Access, SQL etc);
a a
Expresii logice ˆ...
Formule propozitionale
,

Orice propozitie obtinut˘ din alte propozitii prin intermediul conectorilor
a
,
,
,
logici se nu...
Formule propozitionale
,

Orice propozitie obtinut˘ din alte propozitii prin intermediul conectorilor
a
,
,
,
logici se nu...
Tautologii

O tautologie este o expresie care ˆ
ıntotdeauna este adev˘rat˘.
a a

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logic˘ si calcu...
Tautologii

O tautologie este o expresie care ˆ
ıntotdeauna este adev˘rat˘.
a a
De exemplu, p ∨ ¬p sau (p ∧ ¬p) → q.

R. D...
Tautologii

O tautologie este o expresie care ˆ
ıntotdeauna este adev˘rat˘.
a a
De exemplu, p ∨ ¬p sau (p ∧ ¬p) → q.
p
0
0...
Tautologii

O tautologie este o expresie care ˆ
ıntotdeauna este adev˘rat˘.
a a
De exemplu, p ∨ ¬p sau (p ∧ ¬p) → q.
p
0
0...
Tautologii: Notatii
,

p⇔qˆ
ınseamn˘ c˘ p ↔ q este o tautologie
a a
p⇒qˆ
ınseamn˘ c˘ p → q este o tautologie
a a

R. Dumbr...
Identit˘ti remarcabile
a,
Comutativitatea
p∧q ≡q∧p
p∨q ≡q∨p

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logic˘ si calculul propozitional
a ...
Identit˘ti remarcabile
a,
Comutativitatea
p∧q ≡q∧p
p∨q ≡q∨p
Asociativitatea
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q...
Identit˘ti remarcabile
a,
Comutativitatea
p∧q ≡q∧p
p∨q ≡q∨p
Asociativitatea
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q...
Identit˘ti remarcabile
a,
Regulile lui De Morgan
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logic˘ s...
Identit˘ti remarcabile
a,
Regulile lui De Morgan
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Absorbtia
,
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (p ...
Identit˘ti remarcabile
a,
Regulile lui De Morgan
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Absorbtia
,
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (p ...
Identit˘ti remarcabile
a,

p∧0≡0
p∨0≡p

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,

2013

30 / 36
Identit˘ti remarcabile
a,

p∧0≡0
p∨0≡p
p∧1≡p
p∨1≡1

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,

2013...
Problem˘ (logic˘): Pentru sau anti colonizare?
a
a

Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversa...
Problem˘ (logic˘): Pentru sau anti colonizare?
a
a

Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversa...
Problem˘ (logic˘): Pentru sau anti colonizare?
a
a

Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversa...
Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”

a
a
a
a
a
Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din ...
Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”

a
a
a
a
a
Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din ...
Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”

a
a
a
a
a
Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din ...
Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”

a
a
a
a
a
Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din ...
Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”

a
a
a
a
a
Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din ...
Problem˘ (logic˘): Dou˘ auditorii
a
a
a

ˆ
Intr-o ¸coal˘ nou˘, ˆ fiecare dintre dou˘ auditorii libere poate s˘ se afle
s
a
a...
Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”
a

p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a

R. Dumbr...
Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”
a

p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
q : “ˆ al...
Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”
a

p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
q : “ˆ al...
Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”
a

p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
q : “ˆ al...
Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”
a

p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
q : “ˆ al...
Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”
a

p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
q : “ˆ al...
Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”; Continuare
a
Faptul c˘ inscriptiile de pe pl˘cute sunt sau ambele adev˘rate,...
Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”; Continuare
a
Faptul c˘ inscriptiile de pe pl˘cute sunt sau ambele adev˘rate,...
Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”; Continuare
a
Faptul c˘ inscriptiile de pe pl˘cute sunt sau ambele adev˘rate,...
Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”; Continuare
a
Faptul c˘ inscriptiile de pe pl˘cute sunt sau ambele adev˘rate,...
Leg˘turi utile
a

List of logic symbols, articol de pe Wikipedia, accesibil la adresa
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of...
Basic logic, accesibil la adresa
http://philosophy.hku.hk/think/logic/, consultat˘ la 2.01.2013.
a
Probleme de logic˘, acc...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Structuri discrete - Curs5: Calculul propozițional

854 views

Published on

Structuri discrete - Curs5: Calculul propozițional

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Structuri discrete - Curs5: Calculul propozițional

  1. 1. Logic˘ si calculul propozitional a , , Structuri discrete (F.02.O.13) Radu Dumbr˘veanu a Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti a, Facultatea de Stiinte Reale , , Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a a ¸ ¸ Distribuire-ˆ ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0) ¸ a 2013 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 1 / 36
  2. 2. Ce este (sau ce studiz˘) logica? a Logica poate fi definit˘ ca ¸tiint˘ a evalu˘rii argumentelor a s ¸a a (rationamentelor). , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 2 / 36
  3. 3. Ce este (sau ce studiz˘) logica? a Logica poate fi definit˘ ca ¸tiint˘ a evalu˘rii argumentelor a s ¸a a (rationamentelor). , Un argument, ˆ logic˘, este un sir de enunturi (sau judec˘ti) ˆ care ın a a , ın , , ultimul enunt, numit concluzie, rezult˘ din celelate enunturi, numite a , , premize. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 2 / 36
  4. 4. Ce este (sau ce studiz˘) logica? a Exemplu (de argument) Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este muritor. ¸ R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 3 / 36
  5. 5. Ce este (sau ce studiz˘) logica? a Exemplu (de argument) Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este muritor. ¸ Exemplu (de argument) Z˘pada este alb˘. Alb este adjectiv. Deci z˘pada este adjectiv. a a a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 3 / 36
  6. 6. Ce este (sau ce studiz˘) logica? a Exemplu (de argument) Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este muritor. ¸ Exemplu (de argument) Z˘pada este alb˘. Alb este adjectiv. Deci z˘pada este adjectiv. a a a [Deci ]Argumentele (rationamentele) pot fi adev˘rate sau false (valide sau a , invalide, corecte sau incorecte ...). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 3 / 36
  7. 7. Ce este (sau ce studiz˘) logica? a Exemplu (de argument) Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este muritor. ¸ Exemplu (de argument) Z˘pada este alb˘. Alb este adjectiv. Deci z˘pada este adjectiv. a a a [Deci ]Argumentele (rationamentele) pot fi adev˘rate sau false (valide sau a , invalide, corecte sau incorecte ...). [Iar ]Logica ne ofer˘ cadrul teoretic pentru a evalua corectitudinea a argumentelor. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 3 / 36
  8. 8. Logica formal˘ a ˆ literatura de specialitate deseori este utilizeaz˘ sinonimul “logica In a formal˘”. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 4 / 36
  9. 9. Logica formal˘ a ˆ literatura de specialitate deseori este utilizeaz˘ sinonimul “logica In a formal˘”. a a ıntrucˆ se face abstractie de continutul ıt Logica este o stiint˘ formal˘ ˆ , , , ,a rationamentelor; acestea sˆ cercetate ˆ general. ınt ın R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 4 / 36
  10. 10. Logica formal˘ a ˆ literatura de specialitate deseori este utilizeaz˘ sinonimul “logica In a formal˘”. a a ıntrucˆ se face abstractie de continutul ıt Logica este o stiint˘ formal˘ ˆ , , , ,a rationamentelor; acestea sˆ cercetate ˆ general. ınt ın Exemplu x este y. y este z. Deci x este z. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 4 / 36
  11. 11. Logica formal˘ a ˆ literatura de specialitate deseori este utilizeaz˘ sinonimul “logica In a formal˘”. a a ıntrucˆ se face abstractie de continutul ıt Logica este o stiint˘ formal˘ ˆ , , , ,a rationamentelor; acestea sˆ cercetate ˆ general. ınt ın Exemplu x este y. y este z. Deci x este z. Dac˘ acest argument este adev˘rat, este adev˘rat si argumentul cu a a a , Socrate. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 4 / 36
  12. 12. Propozitii , Definitie , Se numeste propozitie un enunt al limbajului natural sau al unui limbaj ¸ ¸ simbolic despre care se poate spune c˘ este adev˘rat sau fals. a a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 5 / 36
  13. 13. Propozitii , Definitie , Se numeste propozitie un enunt al limbajului natural sau al unui limbaj ¸ ¸ simbolic despre care se poate spune c˘ este adev˘rat sau fals. a a “Vlad Tepes este fiul predecesorului s˘u”; a , , “«S˘rmanul Dionis» este o carte scris˘ de Mircea Eliade”; a a “Z˘pada este alb˘”; a a “3 < 7”; R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 5 / 36
  14. 14. Propozitii , Exprimˇrile care nu sunt propozitii includ adesea ˆ a ıntrebˇri si comenzi – a acestea nu pot fi adevˇrate sau false, desi pot fi inteligibile sau absurde. a [G.M.Panaitescu] R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 6 / 36
  15. 15. Propozitii , Exprimˇrile care nu sunt propozitii includ adesea ˆ a ıntrebˇri si comenzi – a acestea nu pot fi adevˇrate sau false, desi pot fi inteligibile sau absurde. a [G.M.Panaitescu] “Stinge lumina.”; “Tu esti Mircea?”; , “Esti catolic?”; , “x:=2” (Limbajul Pascal). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 6 / 36
  16. 16. Valoare de adev˘r a unei propozitii a , Este foarte important a observa cˇ fiecare propozitie este adevˇratˇ sau a a a falsˇ ˆ raport cu o lume posibilˇ (sau universul discursului). a ın a [G.M.Panaitescu] R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 7 / 36
  17. 17. Valoare de adev˘r a unei propozitii a , Este foarte important a observa cˇ fiecare propozitie este adevˇratˇ sau a a a falsˇ ˆ raport cu o lume posibilˇ (sau universul discursului). a ın a [G.M.Panaitescu] aa De exemplu propozitia “orice fiint˘ vie nu poate exista mult timp f˘r˘ , ,a ap˘” este adev˘rat˘ ˆ lumea nostr˘; cine stie cum stau lucrurile ˆ alte a a a ın a ın , sisteme solare. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 7 / 36
  18. 18. Valoare de adev˘r a unei propozitii a , Este foarte important a observa cˇ fiecare propozitie este adevˇratˇ sau a a a falsˇ ˆ raport cu o lume posibilˇ (sau universul discursului). a ın a [G.M.Panaitescu] aa De exemplu propozitia “orice fiint˘ vie nu poate exista mult timp f˘r˘ , ,a ap˘” este adev˘rat˘ ˆ lumea nostr˘; cine stie cum stau lucrurile ˆ alte a a a ın a ın , sisteme solare. Sau, de exemplu, afirmatia “printr-un punct la o dreapt˘ putem duce doar a , o singur˘ paralel˘” este adev˘rat˘ doar ˆ geometria lui Euclid, dar nu si ˆ a a a a ın , ın geometriile Bolyai-Lobacevski si Riemann. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 7 / 36
  19. 19. Notatii , Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r, s...) pentru a nota propozitiile. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 8 / 36
  20. 20. Notatii , Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r, s...) pentru a nota propozitiile. , Valorile de adev˘r le vom nota prin “1” pentru adev˘r si “0” pentru fals. a a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 8 / 36
  21. 21. Notatii , Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r, s...) pentru a nota propozitiile. , Valorile de adev˘r le vom nota prin “1” pentru adev˘r si “0” pentru fals. a a , Simbolul “:” imediat dup˘ simbolul unei propozitii va fi utilizat cu sens de a , a explica care este continutul propozitiei. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 8 / 36
  22. 22. Notatii , Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r, s...) pentru a nota propozitiile. , Valorile de adev˘r le vom nota prin “1” pentru adev˘r si “0” pentru fals. a a , Simbolul “:” imediat dup˘ simbolul unei propozitii va fi utilizat cu sens de a , a explica care este continutul propozitiei. , , p : “Londra este capitala Marii Britanii”. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 8 / 36
  23. 23. Conectori/operatori logici Conector unar: Negatia. , Conectori binari: Conjuctia; , Disjunctia; , Echivalenta; , Disjunctia exclusiv˘; a , Conectorul lui Sheffer; Conectorul lui Pierce. Implicatia; , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 9 / 36
  24. 24. Conectori logici: Negatia , p 0 1 ¬p 1 0 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 10 / 36
  25. 25. Conectori logici: Negatia , p 0 1 ¬p 1 0 Posibile simboluri: non p, p, ˜p. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 10 / 36
  26. 26. Conectori logici: Negatia , p 0 1 ¬p 1 0 Posibile simboluri: non p, p, ˜p. ˆ Pascal este operatorul “NOT”. In R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 10 / 36
  27. 27. Conectori logici: Negatia , p 0 1 ¬p 1 0 Posibile simboluri: non p, p, ˜p. ˆ Pascal este operatorul “NOT”. In ˆ C++ si Java este operatorul “!”. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 10 / 36
  28. 28. Conectori logici: Negatia , p 0 1 ¬p 1 0 Posibile simboluri: non p, p, ˜p. ˆ Pascal este operatorul “NOT”. In ˆ C++ si Java este operatorul “!”. In , ¬p : “Cursul «Structuri discrete» nu este destinat studentilor de la , specialit˘tile socioumane. a, R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 10 / 36
  29. 29. Conectori logici: Negatia , p 0 1 ¬p 1 0 Posibile simboluri: non p, p, ˜p. ˆ Pascal este operatorul “NOT”. In ˆ C++ si Java este operatorul “!”. In , ¬p : “Cursul «Structuri discrete» nu este destinat studentilor de la , specialit˘tile socioumane. a, p : ??? R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 10 / 36
  30. 30. Conectori logici: Conjuctia , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 11 / 36
  31. 31. Conectori logici: Conjuctia , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1 Posibile simboluri: p AND q, p&q. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 11 / 36
  32. 32. Conectori logici: Conjuctia , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1 Posibile simboluri: p AND q, p&q. ˆ Pascal este operatorul “AND”. In R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 11 / 36
  33. 33. Conectori logici: Conjuctia , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1 Posibile simboluri: p AND q, p&q. ˆ Pascal este operatorul “AND”. In ˆ C++ si Java este operatorul “&&”. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 11 / 36
  34. 34. Conectori logici: Conjuctia , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1 Posibile simboluri: p AND q, p&q. ˆ Pascal este operatorul “AND”. In ˆ C++ si Java este operatorul “&&”. In , p ∧ q : “Orele de curs la SD sˆ Luni si Joi” ınt , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 11 / 36
  35. 35. Conectori logici: Conjuctia , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1 Posibile simboluri: p AND q, p&q. ˆ Pascal este operatorul “AND”. In ˆ C++ si Java este operatorul “&&”. In , p ∧ q : “Orele de curs la SD sˆ Luni si Joi” ınt , p : ???; q : ??? R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 11 / 36
  36. 36. Conectori logici: Disjunctia , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 12 / 36
  37. 37. Conectori logici: Disjunctia , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1 Posibile simboluri: p OR q, p + q. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 12 / 36
  38. 38. Conectori logici: Disjunctia , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1 Posibile simboluri: p OR q, p + q. ˆ Pascal este operatorul “OR”. In R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 12 / 36
  39. 39. Conectori logici: Disjunctia , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1 Posibile simboluri: p OR q, p + q. ˆ Pascal este operatorul “OR”. In ˆ C++ si Java este operatorul “||”. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 12 / 36
  40. 40. Conectori logici: Disjunctia , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1 Posibile simboluri: p OR q, p + q. ˆ Pascal este operatorul “OR”. In ˆ C++ si Java este operatorul “||”. In , p ∨ q : “Pentru a ridica diploma de absolvent aveti nevoie de buletinul de , identitate sau de permisul de conducere” R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 12 / 36
  41. 41. Conectori logici: Disjunctia , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1 Posibile simboluri: p OR q, p + q. ˆ Pascal este operatorul “OR”. In ˆ C++ si Java este operatorul “||”. In , p ∨ q : “Pentru a ridica diploma de absolvent aveti nevoie de buletinul de , identitate sau de permisul de conducere” p : ???; q : ??? R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 12 / 36
  42. 42. Conectori logici: Echivalenta , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↔q 1 0 0 1 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 13 / 36
  43. 43. Conectori logici: Echivalenta , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↔q 1 0 0 1 ˆ Pascal este operatorul “=”. In R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 13 / 36
  44. 44. Conectori logici: Echivalenta , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↔q 1 0 0 1 ˆ Pascal este operatorul “=”. In ˆ C++ si Java este operatorul “==”. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 13 / 36
  45. 45. Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘ a , Este negatia echivalentei. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 14 / 36
  46. 46. Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘ a , Este negatia echivalentei. , , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p⊕q 0 1 1 0 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 14 / 36
  47. 47. Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘ a , Este negatia echivalentei. , , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p⊕q 0 1 1 0 ˆ Pascal: “XOR”. In R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 14 / 36
  48. 48. Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘ a , Este negatia echivalentei. , , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p⊕q 0 1 1 0 ˆ Pascal: “XOR”. In XOR - eXclusive OR R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 14 / 36
  49. 49. Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘ a , Este negatia echivalentei. , , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p⊕q 0 1 1 0 ˆ Pascal: “XOR”. In XOR - eXclusive OR ˆ Java: “ˆ”. In R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 14 / 36
  50. 50. Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘ a , Este negatia echivalentei. , , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p⊕q 0 1 1 0 ˆ Pascal: “XOR”. In XOR - eXclusive OR ˆ Java: “ˆ”. In ˆ C++ “ˆ” este disjunctia exclusiv˘ la nivel de bit. In a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 14 / 36
  51. 51. Conectori logici: conectorul lui Pierce Este negatia disjunctiei. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 15 / 36
  52. 52. Conectori logici: conectorul lui Pierce Este negatia disjunctiei. , , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↓q 1 0 0 0 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 15 / 36
  53. 53. Conectori logici: conectorul lui Pierce Este negatia disjunctiei. , , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↓q 1 0 0 0 Simboluri: p NOR q R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 15 / 36
  54. 54. Conectori logici: conectorul lui Pierce Este negatia disjunctiei. , , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↓q 1 0 0 0 Simboluri: p NOR q NOR - Not OR R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 15 / 36
  55. 55. Conectori logici: conectorul lui Sheffer Este negatia conjunctiei. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 16 / 36
  56. 56. Conectori logici: conectorul lui Sheffer Este negatia conjunctiei. , , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p|q 1 1 1 0 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 16 / 36
  57. 57. Conectori logici: conectorul lui Sheffer Este negatia conjunctiei. , , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p|q 1 1 1 0 Simboluri: “↑”, p NAND q R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 16 / 36
  58. 58. Conectori logici: conectorul lui Sheffer Este negatia conjunctiei. , , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p|q 1 1 1 0 Simboluri: “↑”, p NAND q NAND - Not AND R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 16 / 36
  59. 59. Conectori logici: Implicatia , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p→q 1 1 0 1 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 17 / 36
  60. 60. Conectori logici: Implicatia , p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p→q 1 1 0 1 Analogie: p → q este adev˘rat˘ dac˘ numai dac˘ p ≤ q a a a a p → q : “Dac˘ p atunci q” a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 17 / 36
  61. 61. Implicatia , Implicatia este mai putin intuitiva decˆ ceilalti conectori logici. ıt , , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 18 / 36
  62. 62. Implicatia , Implicatia este mai putin intuitiva decˆ ceilalti conectori logici. ıt , , , S˘ consider˘m dou˘ calculatoare, A si B, izolate de Internet si de orice a a a , , retea local˘. Ele sˆ conectate doar ˆ a ınt ıntre ele. Se stie c˘ dac˘ A devine a a , , infectat de virusi de calculator atunci ˆ scurt timp si B va fi infectat. ın , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 18 / 36
  63. 63. Implicatia , Implicatia este mai putin intuitiva decˆ ceilalti conectori logici. ıt , , , S˘ consider˘m dou˘ calculatoare, A si B, izolate de Internet si de orice a a a , , retea local˘. Ele sˆ conectate doar ˆ a ınt ıntre ele. Se stie c˘ dac˘ A devine a a , , infectat de virusi de calculator atunci ˆ scurt timp si B va fi infectat. ın , , Cazuri: R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 18 / 36
  64. 64. Implicatia , Implicatia este mai putin intuitiva decˆ ceilalti conectori logici. ıt , , , S˘ consider˘m dou˘ calculatoare, A si B, izolate de Internet si de orice a a a , , retea local˘. Ele sˆ conectate doar ˆ a ınt ıntre ele. Se stie c˘ dac˘ A devine a a , , infectat de virusi de calculator atunci ˆ scurt timp si B va fi infectat. ın , , Cazuri: p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 A A A A nu este infectat nu este infectat este infectat este infectat R. Dumbr˘veanu (USARB) a B B B B nu este infectat este infectat nu este infectat este infectat Logic˘ si calculul propozitional a , , p→q Adev˘rat a Adev˘rat a Fals Adev˘rat a 2013 18 / 36
  65. 65. Implicatia: Conditii suficiente si necesare , , , Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie. a a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 19 / 36
  66. 66. Implicatia: Conditii suficiente si necesare , , , Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie. a a , , Concluzia se mai numeste conditie necesar˘ pentru ipotez˘. a a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 19 / 36
  67. 67. Implicatia: Conditii suficiente si necesare , , , Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie. a a , , Concluzia se mai numeste conditie necesar˘ pentru ipotez˘. a a , , Ipoteza la rˆ ındul s˘u se numeste conditie suficient˘ pentru concluzie. a a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 19 / 36
  68. 68. Implicatia: Conditii suficiente si necesare , , , Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie. a a , , Concluzia se mai numeste conditie necesar˘ pentru ipotez˘. a a , , Ipoteza la rˆ ındul s˘u se numeste conditie suficient˘ pentru concluzie. a a , , Ele sˆ legate ˆ felul urm˘tor: ınt ın a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 19 / 36
  69. 69. Implicatia: Conditii suficiente si necesare , , , Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie. a a , , Concluzia se mai numeste conditie necesar˘ pentru ipotez˘. a a , , Ipoteza la rˆ ındul s˘u se numeste conditie suficient˘ pentru concluzie. a a , , Ele sˆ legate ˆ felul urm˘tor: ınt ın a Dac˘ nu se ˆ a ındeplineste conditia necesar˘ atunci nu-i ipoteza; a , , Dac˘ este ipoteza atunci este concluzia. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 19 / 36
  70. 70. Implicatia: Conditii suficiente si necesare , , , Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie. a a , , Concluzia se mai numeste conditie necesar˘ pentru ipotez˘. a a , , Ipoteza la rˆ ındul s˘u se numeste conditie suficient˘ pentru concluzie. a a , , Ele sˆ legate ˆ felul urm˘tor: ınt ın a Dac˘ nu se ˆ a ındeplineste conditia necesar˘ atunci nu-i ipoteza; a , , Dac˘ este ipoteza atunci este concluzia. a Exemplu Din expresia “Nu-i fum f˘r˘ foc” reiese c˘ fumul este o conditie necesar˘ aa a a , pentru foc. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 19 / 36
  71. 71. Implicatia: Conditii suficiente si necesare , , , Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie. a a , , Concluzia se mai numeste conditie necesar˘ pentru ipotez˘. a a , , Ipoteza la rˆ ındul s˘u se numeste conditie suficient˘ pentru concluzie. a a , , Ele sˆ legate ˆ felul urm˘tor: ınt ın a Dac˘ nu se ˆ a ındeplineste conditia necesar˘ atunci nu-i ipoteza; a , , Dac˘ este ipoteza atunci este concluzia. a Exemplu Din expresia “Nu-i fum f˘r˘ foc” reiese c˘ fumul este o conditie necesar˘ aa a a , pentru foc. Si de aici reiese c˘ “Dac˘ este foc atunci este fum”. a a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 19 / 36
  72. 72. Conectori logici p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1 p∨q 0 1 1 1 p↔q 1 0 0 1 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↑q 1 1 1 0 p↓q 1 0 0 0 p⊕q 0 1 1 0 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 20 / 36
  73. 73. Conectori logici ˆ cadrul limbajului natural ın Limbaj natural non p; nu p p este fals p si q; simultan , p sau q fie p fie q p dac˘ si numa dac˘ q; a , a necesar si suficient , p implic˘ q a dac˘ p, atunci q a p este necesar pentru q R. Dumbr˘veanu (USARB) a Conector logic negatia , Expresia logic˘ a p sau ¬p conjunctie , disjunctie , p∧q p∨q echivalent˘ a p↔q implicatie , p→q implicatie , q→p Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 21 / 36
  74. 74. Negatie corect˘ (absolut˘) a a , Enunt: LibreOffice este un program liber si gratuit. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 22 / 36
  75. 75. Negatie corect˘ (absolut˘) a a , Enunt: LibreOffice este un program liber si gratuit. , , Negatie incorect˘: LibreOffice este un program neliber si contra cost. a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 22 / 36
  76. 76. Negatie corect˘ (absolut˘) a a , Enunt: LibreOffice este un program liber si gratuit. , , Negatie incorect˘: LibreOffice este un program neliber si contra cost. a , , Legile lui DeMorgan: ¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q) ¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 22 / 36
  77. 77. Negatie corect˘ (absolut˘) a a , Enunt: LibreOffice este un program liber si gratuit. , , Negatie incorect˘: LibreOffice este un program neliber si contra cost. a , , Legile lui DeMorgan: ¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q) ¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q) Negatie corect˘: LibreOffice este un program neliber sau contra cost. a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 22 / 36
  78. 78. Ierarhia conectorilor logici Lista conectorilor logici ˆ ordinea descresterii priorit˘tii: ¬, ∧, ∨, →, ↔. ın a, , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 23 / 36
  79. 79. Ierarhia conectorilor logici Lista conectorilor logici ˆ ordinea descresterii priorit˘tii: ¬, ∧, ∨, →, ↔. ın a, , Astfel formula p ∨ q ∧ ¬r ↔ p → q R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 23 / 36
  80. 80. Ierarhia conectorilor logici Lista conectorilor logici ˆ ordinea descresterii priorit˘tii: ¬, ∧, ∨, →, ↔. ın a, , Astfel formula p ∨ q ∧ ¬r ↔ p → q este echivalent˘ cu a (p ∨ (q ∧ (¬r))) ↔ (p → q) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 23 / 36
  81. 81. Aplicatii ale conectorilor logici , Filtrarea rezultatelor c˘ut˘rilor (Google, MS Access, SQL etc); a a Expresii logice ˆ algoritmi. ın R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 24 / 36
  82. 82. Formule propozitionale , Orice propozitie obtinut˘ din alte propozitii prin intermediul conectorilor a , , , logici se numeste formul˘ propozitional˘. a a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 25 / 36
  83. 83. Formule propozitionale , Orice propozitie obtinut˘ din alte propozitii prin intermediul conectorilor a , , , logici se numeste formul˘ propozitional˘. a a , , Ramura logicii care se ocupa cu formule propozitionale, operatiile cu ele , , etc. se numeste “logica propozitiilor” sau “calculul propozitional”. , , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 25 / 36
  84. 84. Tautologii O tautologie este o expresie care ˆ ıntotdeauna este adev˘rat˘. a a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 26 / 36
  85. 85. Tautologii O tautologie este o expresie care ˆ ıntotdeauna este adev˘rat˘. a a De exemplu, p ∨ ¬p sau (p ∧ ¬p) → q. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 26 / 36
  86. 86. Tautologii O tautologie este o expresie care ˆ ıntotdeauna este adev˘rat˘. a a De exemplu, p ∨ ¬p sau (p ∧ ¬p) → q. p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 ¬p 1 1 0 0 p ∨ ¬p 1 1 1 1 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 26 / 36
  87. 87. Tautologii O tautologie este o expresie care ˆ ıntotdeauna este adev˘rat˘. a a De exemplu, p ∨ ¬p sau (p ∧ ¬p) → q. p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 ¬p 1 1 0 0 p ∨ ¬p 1 1 1 1 R. Dumbr˘veanu (USARB) a p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 ¬p 1 1 0 0 p ∧ ¬p 0 0 0 0 Logic˘ si calculul propozitional a , , (p ∧ ¬p) → q 1 1 1 1 2013 26 / 36
  88. 88. Tautologii: Notatii , p⇔qˆ ınseamn˘ c˘ p ↔ q este o tautologie a a p⇒qˆ ınseamn˘ c˘ p → q este o tautologie a a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 27 / 36
  89. 89. Identit˘ti remarcabile a, Comutativitatea p∧q ≡q∧p p∨q ≡q∨p R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 28 / 36
  90. 90. Identit˘ti remarcabile a, Comutativitatea p∧q ≡q∧p p∨q ≡q∨p Asociativitatea p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 28 / 36
  91. 91. Identit˘ti remarcabile a, Comutativitatea p∧q ≡q∧p p∨q ≡q∨p Asociativitatea p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r Distributivitatea p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 28 / 36
  92. 92. Identit˘ti remarcabile a, Regulile lui De Morgan ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 29 / 36
  93. 93. Identit˘ti remarcabile a, Regulile lui De Morgan ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q Absorbtia , p ∧ (p ∨ q) ≡ p p ∨ (p ∧ q) ≡ p R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 29 / 36
  94. 94. Identit˘ti remarcabile a, Regulile lui De Morgan ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q Absorbtia , p ∧ (p ∨ q) ≡ p p ∨ (p ∧ q) ≡ p Idempotenta , p∧p ≡p p∨p ≡p R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 29 / 36
  95. 95. Identit˘ti remarcabile a, p∧0≡0 p∨0≡p R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 30 / 36
  96. 96. Identit˘ti remarcabile a, p∧0≡0 p∨0≡p p∧1≡p p∨1≡1 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 30 / 36
  97. 97. Problem˘ (logic˘): Pentru sau anti colonizare? a a Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor a a a a a misc˘rii contra luptei ˆ ¸ a ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ a ın a de ani. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 31 / 36
  98. 98. Problem˘ (logic˘): Pentru sau anti colonizare? a a Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor a a a a a misc˘rii contra luptei ˆ ¸ a ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ a ın a de ani. Care era atitudinea lui Aurel ˆ privinta coloniz˘rii altor planete? ın ¸ a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 31 / 36
  99. 99. Problem˘ (logic˘): Pentru sau anti colonizare? a a Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor a a a a a misc˘rii contra luptei ˆ ¸ a ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ a ın a de ani. Care era atitudinea lui Aurel ˆ privinta coloniz˘rii altor planete? ın ¸ a [http://www.logicus.ro/index.php/rationament/ 355-pentru-sau-anti-colonizare, 2.01.2013] R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 31 / 36
  100. 100. Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?” a a a a a Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor misc˘rii contra luptei ˆ ¸ a ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ a ın a de ani. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 32 / 36
  101. 101. Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?” a a a a a Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor misc˘rii contra luptei ˆ ¸ a ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ a ın a de ani. ¬¬¬¬¬¬¬ “coloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ de ani”. a ın a 7 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 32 / 36
  102. 102. Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?” a a a a a Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor misc˘rii contra luptei ˆ ¸ a ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ a ın a de ani. ¬¬¬¬¬¬¬ “coloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ de ani”. a ın a 7 Un num˘r impar de negatii se reduce la o singur˘ negatie. a a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 32 / 36
  103. 103. Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?” a a a a a Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor misc˘rii contra luptei ˆ ¸ a ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ a ın a de ani. ¬¬¬¬¬¬¬ “coloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ de ani”. a ın a 7 Un num˘r impar de negatii se reduce la o singur˘ negatie. a a , , Respectiv ˆ ıntreaga expresie “Aurel ... ” se reduce la “nu coloniz˘rii altor a planete ˆ viitoarea sut˘ de ani”. ın a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 32 / 36
  104. 104. Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?” a a a a a Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor misc˘rii contra luptei ˆ ¸ a ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ a ın a de ani. ¬¬¬¬¬¬¬ “coloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ de ani”. a ın a 7 Un num˘r impar de negatii se reduce la o singur˘ negatie. a a , , Respectiv ˆ ıntreaga expresie “Aurel ... ” se reduce la “nu coloniz˘rii altor a planete ˆ viitoarea sut˘ de ani”. ın a Adic˘ Aurel este ˆ a ımpotriva coloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ a ın a de ani. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 32 / 36
  105. 105. Problem˘ (logic˘): Dou˘ auditorii a a a ˆ Intr-o ¸coal˘ nou˘, ˆ fiecare dintre dou˘ auditorii libere poate s˘ se afle s a a ın a a Laboratorul de Fizic˘” sau Cabinetul de Informatic˘”. Pe usile a a ¸ ” ” auditoriilor a fost instalat˘ cˆte o pl˘cut˘ glumeat˘: pe prima us˘, pl˘cuta a a a ¸a ¸a ¸a a ¸ cu inscriptia Cel putin ˆ una din aceste dou˘ auditorii este plasat ¸ ¸ ın a ” Cabinetul de Informatic˘”; pe a doua us˘, Laboratorul de Fizic˘ se afl˘ ˆ a ¸a a a ın ” ˆ alt auditoriu”. Intre timp, apare o inspectie din exterior, care cunoaste doar ¸ ¸ c˘ inscriptiile de pe pl˘cute sunt sau ambele adev˘rate, sau ambele false. a ¸ a ¸ a V˘ propunem s˘-l ajutati pe inspector s˘ g˘seasc˘, pe cale logic˘, unde a a ¸ a a a a este Cabinetul de Informatic˘”. a ” [http://www.agir.ro/buletine/249.pdf, 2.01.2013] R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 33 / 36
  106. 106. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii” a p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”. In a a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 34 / 36
  107. 107. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii” a p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”. In a a q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”. In a a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 34 / 36
  108. 108. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii” a p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”. In a a q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”. In a a ¬p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘”. In a a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 34 / 36
  109. 109. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii” a p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”. In a a q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”. In a a ¬p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘”. In a a ¬q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘”. In a a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 34 / 36
  110. 110. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii” a p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”. In a a q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”. In a a ¬p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘”. In a a ¬q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘”. In a a Afirmatiei de pe pl˘cuta unui auditoriu (primului) ˆ corespunde expresia ¸ a ¸ ıi logic˘: p ∨ q. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 34 / 36
  111. 111. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii” a p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”. In a a q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”. In a a ¬p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘”. In a a ¬q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘”. In a a Afirmatiei de pe pl˘cuta unui auditoriu (primului) ˆ corespunde expresia ¸ a ¸ ıi logic˘: p ∨ q. a Afirmatiei de pe pl˘cuta celuilalt (al doilea) ˆ corespunde expresia logic˘: ¸ a ¸ ıi a ¬p. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 34 / 36
  112. 112. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”; Continuare a Faptul c˘ inscriptiile de pe pl˘cute sunt sau ambele adev˘rate, sau ambele a ¸ a ¸ a false ˆ ınseamn˘ c˘: p ∨ q ↔ ¬p. a a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 35 / 36
  113. 113. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”; Continuare a Faptul c˘ inscriptiile de pe pl˘cute sunt sau ambele adev˘rate, sau ambele a ¸ a ¸ a false ˆ ınseamn˘ c˘: p ∨ q ↔ ¬p. a a p 0 0 1 1 R. Dumbr˘veanu (USARB) a q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1 ¬p 1 1 0 0 p ∨ q ↔ ¬p 0 1 0 0 Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 35 / 36
  114. 114. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”; Continuare a Faptul c˘ inscriptiile de pe pl˘cute sunt sau ambele adev˘rate, sau ambele a ¸ a ¸ a false ˆ ınseamn˘ c˘: p ∨ q ↔ ¬p. a a p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1 ¬p 1 1 0 0 p ∨ q ↔ ¬p 0 1 0 0 Unicul caz cˆ echivalenta este adev˘rat˘ este atunci cˆ p este 0 si q ınd a a ınd , 1. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 35 / 36
  115. 115. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”; Continuare a Faptul c˘ inscriptiile de pe pl˘cute sunt sau ambele adev˘rate, sau ambele a ¸ a ¸ a false ˆ ınseamn˘ c˘: p ∨ q ↔ ¬p. a a p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1 ¬p 1 1 0 0 p ∨ q ↔ ¬p 0 1 0 0 Unicul caz cˆ echivalenta este adev˘rat˘ este atunci cˆ p este 0 si q ınd a a ınd , 1. Astfel, ˆ primul auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘, iar ˆ al ın a a ın doilea auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘. a a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 35 / 36
  116. 116. Leg˘turi utile a List of logic symbols, articol de pe Wikipedia, accesibil la adresa http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_logic_symbols, consultat˘ a la 2.01.2013. Logical connective, articol de pe Wikipedia, accesibil la adresa http://en.wikipedia.org/wiki/Logical_connective, consultat˘ la a 2.01.2013. A The Comprehensive LTEXSymbol List, accesibil la adresa http://www.tex.ac.uk/tex-archive/info/symbols/ comprehensive/symbols-a4.pdf, consultat˘ la 2.01.2013. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 36 / 36
  117. 117. Basic logic, accesibil la adresa http://philosophy.hku.hk/think/logic/, consultat˘ la 2.01.2013. a Probleme de logic˘, accesibil la adresa http://www.invatasingur.ro/ a logica/index.php/Pagina_principal%C4%83, consultat˘ la 2.01.2013. a Eating at Quonk: A tough puzzle, accesibil la adresa http://www.cs4fn.org/quonk.html, consultat˘ la 2.01.2013. a Mihai Jalobeanu, Note la cursul de Logic˘ Computational˘, accesibil la a ¸ a adresa http://www.itim-cj.ro/˜jalobean/Cursuri/LogComp/note.html, consultat˘ la 2.01.2013. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Logic˘ si calculul propozitional a , , 2013 36 / 36

×