Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Curs 4: Arbori

673 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

Curs 4: Arbori

  1. 1. Curs 4: Arbori Teoria grafurilor Radu Dumbr˘veanu a Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti a, Facultatea de Stiinte Reale , , Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a a ¸ ¸ Distribuire-ˆ ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0) ¸ a B˘lti, 2013 a, R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 1 / 23
  2. 2. Arbori Un arbore este un graf conex f˘r˘ cicluri. aa Vˆ ırfurile de gradul 1, ˆ ıntr-un arbore, se numesc frunze. Arborele care const˘ doar dintr-un vˆ se numeste arbore trivial; adic˘ K1 . a ırf a , Orice arbore netrivial are cel putin o frunz˘. a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 2 / 23
  3. 3. Arbori Un arbore este un graf conex f˘r˘ cicluri. aa Vˆ ırfurile de gradul 1, ˆ ıntr-un arbore, se numesc frunze. Arborele care const˘ doar dintr-un vˆ se numeste arbore trivial; adic˘ K1 . a ırf a , Orice arbore netrivial are cel putin o frunz˘. a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 2 / 23
  4. 4. Arbori Un arbore este un graf conex f˘r˘ cicluri. aa Vˆ ırfurile de gradul 1, ˆ ıntr-un arbore, se numesc frunze. Arborele care const˘ doar dintr-un vˆ se numeste arbore trivial; adic˘ K1 . a ırf a , Orice arbore netrivial are cel putin o frunz˘. a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 2 / 23
  5. 5. Arbori Un arbore este un graf conex f˘r˘ cicluri. aa Vˆ ırfurile de gradul 1, ˆ ıntr-un arbore, se numesc frunze. Arborele care const˘ doar dintr-un vˆ se numeste arbore trivial; adic˘ K1 . a ırf a , Orice arbore netrivial are cel putin o frunz˘. a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 2 / 23
  6. 6. Arbori R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 3 / 23
  7. 7. Arbori; Punti , Conexitatea arborelui este una slab˘; este de ajuns s˘ suprim˘m o muchie a a a sau un vˆ care nu-i frunz˘ din arbore si graful obtinut nu mai este conex. ırf a , , Din acest punct de vedere arborii sˆ grafuri minimal conexe. ınt Teorem˘ a Un graf conex G este arbore dac˘ si numai dac˘ orice muchie a sa este a , a punte. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 4 / 23
  8. 8. Arbori; Punti , Conexitatea arborelui este una slab˘; este de ajuns s˘ suprim˘m o muchie a a a sau un vˆ care nu-i frunz˘ din arbore si graful obtinut nu mai este conex. ırf a , , Din acest punct de vedere arborii sˆ grafuri minimal conexe. ınt Teorem˘ a Un graf conex G este arbore dac˘ si numai dac˘ orice muchie a sa este a , a punte. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 4 / 23
  9. 9. Arbori; Punti , Demonstratie. ¸ Suficienta. Fie G conex si orice muchie e punte. Atunci nici o muchie nu , , poate s˘ se contin˘ ˆ a a ıntr-un ciclu. , Deci este aciclic. Suficienta. Fie G arbore, deoarece nu contine cicluri reiese c˘ fiecare a , , muchie este punte. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 5 / 23
  10. 10. Arbori; Punti , Demonstratie. ¸ Suficienta. Fie G conex si orice muchie e punte. Atunci nici o muchie nu , , poate s˘ se contin˘ ˆ a a ıntr-un ciclu. , Deci este aciclic. Suficienta. Fie G arbore, deoarece nu contine cicluri reiese c˘ fiecare a , , muchie este punte. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 5 / 23
  11. 11. Arbori; Punti , Demonstratie. ¸ Suficienta. Fie G conex si orice muchie e punte. Atunci nici o muchie nu , , poate s˘ se contin˘ ˆ a a ıntr-un ciclu. , Deci este aciclic. Suficienta. Fie G arbore, deoarece nu contine cicluri reiese c˘ fiecare a , , muchie este punte. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 5 / 23
  12. 12. Lant unic , Teorem˘ a ˆ Intr-un arbore pentru oricare dou˘ vˆ a ırfuri distincte, exist˘ un unic lant a , elementar care le uneste. , Demonstratie. ¸ Fie G = (V , E) un arbore. Presupunem, prin absurd, c˘ exist˘ dou˘ vˆ a a a ırfuri diferite u si v pentru care , G contine cel putin dou˘ u − v-lanturi elementare distincte. a , , , Not˘m aceste lanturi prin P1 si P2 . a , , ˆ Intrucˆ P1 = P2 exist˘ cel putin un vˆ x care apartine P1 si nu apartine ıt a ırf , , , , P2 . Dar atunci exist˘ o muchie e = xy ˆ P1 care nu apartine P2 . a ın , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 6 / 23
  13. 13. Lant unic , Teorem˘ a ˆ Intr-un arbore pentru oricare dou˘ vˆ a ırfuri distincte, exist˘ un unic lant a , elementar care le uneste. , Demonstratie. ¸ Fie G = (V , E) un arbore. Presupunem, prin absurd, c˘ exist˘ dou˘ vˆ a a a ırfuri diferite u si v pentru care , G contine cel putin dou˘ u − v-lanturi elementare distincte. a , , , Not˘m aceste lanturi prin P1 si P2 . a , , ˆ Intrucˆ P1 = P2 exist˘ cel putin un vˆ x care apartine P1 si nu apartine ıt a ırf , , , , P2 . Dar atunci exist˘ o muchie e = xy ˆ P1 care nu apartine P2 . a ın , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 6 / 23
  14. 14. Lant unic , Teorem˘ a ˆ Intr-un arbore pentru oricare dou˘ vˆ a ırfuri distincte, exist˘ un unic lant a , elementar care le uneste. , Demonstratie. ¸ Fie G = (V , E) un arbore. Presupunem, prin absurd, c˘ exist˘ dou˘ vˆ a a a ırfuri diferite u si v pentru care , G contine cel putin dou˘ u − v-lanturi elementare distincte. a , , , Not˘m aceste lanturi prin P1 si P2 . a , , ˆ Intrucˆ P1 = P2 exist˘ cel putin un vˆ x care apartine P1 si nu apartine ıt a ırf , , , , P2 . Dar atunci exist˘ o muchie e = xy ˆ P1 care nu apartine P2 . a ın , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 6 / 23
  15. 15. Lant unic , Teorem˘ a ˆ Intr-un arbore pentru oricare dou˘ vˆ a ırfuri distincte, exist˘ un unic lant a , elementar care le uneste. , Demonstratie. ¸ Fie G = (V , E) un arbore. Presupunem, prin absurd, c˘ exist˘ dou˘ vˆ a a a ırfuri diferite u si v pentru care , G contine cel putin dou˘ u − v-lanturi elementare distincte. a , , , Not˘m aceste lanturi prin P1 si P2 . a , , ˆ Intrucˆ P1 = P2 exist˘ cel putin un vˆ x care apartine P1 si nu apartine ıt a ırf , , , , P2 . Dar atunci exist˘ o muchie e = xy ˆ P1 care nu apartine P2 . a ın , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 6 / 23
  16. 16. Lant unic , Teorem˘ a ˆ Intr-un arbore pentru oricare dou˘ vˆ a ırfuri distincte, exist˘ un unic lant a , elementar care le uneste. , Demonstratie. ¸ Fie G = (V , E) un arbore. Presupunem, prin absurd, c˘ exist˘ dou˘ vˆ a a a ırfuri diferite u si v pentru care , G contine cel putin dou˘ u − v-lanturi elementare distincte. a , , , Not˘m aceste lanturi prin P1 si P2 . a , , ˆ Intrucˆ P1 = P2 exist˘ cel putin un vˆ x care apartine P1 si nu apartine ıt a ırf , , , , P2 . Dar atunci exist˘ o muchie e = xy ˆ P1 care nu apartine P2 . a ın , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 6 / 23
  17. 17. Lant unic , Teorem˘ a ˆ Intr-un arbore pentru oricare dou˘ vˆ a ırfuri distincte, exist˘ un unic lant a , elementar care le uneste. , Demonstratie. ¸ Fie G = (V , E) un arbore. Presupunem, prin absurd, c˘ exist˘ dou˘ vˆ a a a ırfuri diferite u si v pentru care , G contine cel putin dou˘ u − v-lanturi elementare distincte. a , , , Not˘m aceste lanturi prin P1 si P2 . a , , ˆ Intrucˆ P1 = P2 exist˘ cel putin un vˆ x care apartine P1 si nu apartine ıt a ırf , , , , P2 . Dar atunci exist˘ o muchie e = xy ˆ P1 care nu apartine P2 . a ın , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 6 / 23
  18. 18. Lant unic , Demonstratie; Continuare. , Din cele de mai sus reiese c˘ subgraful (P1 ∪ P2 ) − e este conex; adic˘ a a contine un x − y-lant. , , Dar ˆ asa caz subgraful (P1 ∪ P2 ) + e va contine un ciclu, ceea ce este ın , , imposibil deoarece G este arbore. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 7 / 23
  19. 19. Lant unic , Demonstratie; Continuare. , Din cele de mai sus reiese c˘ subgraful (P1 ∪ P2 ) − e este conex; adic˘ a a contine un x − y-lant. , , Dar ˆ asa caz subgraful (P1 ∪ P2 ) + e va contine un ciclu, ceea ce este ın , , imposibil deoarece G este arbore. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 7 / 23
  20. 20. Lant unic , Corolar Un graf este arbore dac˘ si numai dac˘ pentru oricare dou˘ vˆ a , a a ırfuri distincte, exist˘ un unic lant elementar care le uneste. a , , Demonstratie. ¸ Evident, dac˘ orice dou˘ vˆ a a ırfuri sˆ unite printr-un unic lant reiese c˘ G ınt a , este ˆ I rˆ conex si ˆ al II-lea rˆ aciclic. ın ınd ınd , ın R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 8 / 23
  21. 21. Lant unic , Corolar Un graf este arbore dac˘ si numai dac˘ pentru oricare dou˘ vˆ a , a a ırfuri distincte, exist˘ un unic lant elementar care le uneste. a , , Demonstratie. ¸ Evident, dac˘ orice dou˘ vˆ a a ırfuri sˆ unite printr-un unic lant reiese c˘ G ınt a , este ˆ I rˆ conex si ˆ al II-lea rˆ aciclic. ın ınd ınd , ın R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 8 / 23
  22. 22. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Teorem˘ a Dac˘ G este un arbore atunci G = |G| − 1. a Demonstratie. ¸ Demonstr˘m prin inductie tare pe n = |G| (num˘rul de vˆ a a ırfuri). , Pasul I: Pentru n = 1 avem graful trivial la care num˘rul de muchii este 0. a Deci teorema este verificat˘. a Pasul I: Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice arbore cu a a a num˘rul de vˆ a ırfuri mai mic decˆ n. ıt Fie G un arbore cu n vˆ ırfuri, n ≥ 2. Alegem o muchie e = uv ∈ E(G); atunci unicul u − v-lant este ˆ asi ıns˘ , , muchia e. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 9 / 23
  23. 23. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Teorem˘ a Dac˘ G este un arbore atunci G = |G| − 1. a Demonstratie. ¸ Demonstr˘m prin inductie tare pe n = |G| (num˘rul de vˆ a a ırfuri). , Pasul I: Pentru n = 1 avem graful trivial la care num˘rul de muchii este 0. a Deci teorema este verificat˘. a Pasul I: Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice arbore cu a a a num˘rul de vˆ a ırfuri mai mic decˆ n. ıt Fie G un arbore cu n vˆ ırfuri, n ≥ 2. Alegem o muchie e = uv ∈ E(G); atunci unicul u − v-lant este ˆ asi ıns˘ , , muchia e. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 9 / 23
  24. 24. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Teorem˘ a Dac˘ G este un arbore atunci G = |G| − 1. a Demonstratie. ¸ Demonstr˘m prin inductie tare pe n = |G| (num˘rul de vˆ a a ırfuri). , Pasul I: Pentru n = 1 avem graful trivial la care num˘rul de muchii este 0. a Deci teorema este verificat˘. a Pasul I: Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice arbore cu a a a num˘rul de vˆ a ırfuri mai mic decˆ n. ıt Fie G un arbore cu n vˆ ırfuri, n ≥ 2. Alegem o muchie e = uv ∈ E(G); atunci unicul u − v-lant este ˆ asi ıns˘ , , muchia e. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 9 / 23
  25. 25. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Teorem˘ a Dac˘ G este un arbore atunci G = |G| − 1. a Demonstratie. ¸ Demonstr˘m prin inductie tare pe n = |G| (num˘rul de vˆ a a ırfuri). , Pasul I: Pentru n = 1 avem graful trivial la care num˘rul de muchii este 0. a Deci teorema este verificat˘. a Pasul I: Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice arbore cu a a a num˘rul de vˆ a ırfuri mai mic decˆ n. ıt Fie G un arbore cu n vˆ ırfuri, n ≥ 2. Alegem o muchie e = uv ∈ E(G); atunci unicul u − v-lant este ˆ asi ıns˘ , , muchia e. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 9 / 23
  26. 26. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Teorem˘ a Dac˘ G este un arbore atunci G = |G| − 1. a Demonstratie. ¸ Demonstr˘m prin inductie tare pe n = |G| (num˘rul de vˆ a a ırfuri). , Pasul I: Pentru n = 1 avem graful trivial la care num˘rul de muchii este 0. a Deci teorema este verificat˘. a Pasul I: Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice arbore cu a a a num˘rul de vˆ a ırfuri mai mic decˆ n. ıt Fie G un arbore cu n vˆ ırfuri, n ≥ 2. Alegem o muchie e = uv ∈ E(G); atunci unicul u − v-lant este ˆ asi ıns˘ , , muchia e. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 9 / 23
  27. 27. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Teorem˘ a Dac˘ G este un arbore atunci G = |G| − 1. a Demonstratie. ¸ Demonstr˘m prin inductie tare pe n = |G| (num˘rul de vˆ a a ırfuri). , Pasul I: Pentru n = 1 avem graful trivial la care num˘rul de muchii este 0. a Deci teorema este verificat˘. a Pasul I: Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice arbore cu a a a num˘rul de vˆ a ırfuri mai mic decˆ n. ıt Fie G un arbore cu n vˆ ırfuri, n ≥ 2. Alegem o muchie e = uv ∈ E(G); atunci unicul u − v-lant este ˆ asi ıns˘ , , muchia e. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 9 / 23
  28. 28. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Teorem˘ a Dac˘ G este un arbore atunci G = |G| − 1. a Demonstratie. ¸ Demonstr˘m prin inductie tare pe n = |G| (num˘rul de vˆ a a ırfuri). , Pasul I: Pentru n = 1 avem graful trivial la care num˘rul de muchii este 0. a Deci teorema este verificat˘. a Pasul I: Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice arbore cu a a a num˘rul de vˆ a ırfuri mai mic decˆ n. ıt Fie G un arbore cu n vˆ ırfuri, n ≥ 2. Alegem o muchie e = uv ∈ E(G); atunci unicul u − v-lant este ˆ asi ıns˘ , , muchia e. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 9 / 23
  29. 29. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Demonstratie; Continuare. , Atunci G − e este neconex si G − e const˘ exact din dou˘ componente; a a , fiecare dintre acest dou˘ componente fiind arbore. a A G F B D C E H I J R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 10 / 23
  30. 30. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Demonstratie; Continuare. , Atunci G − e este neconex si G − e const˘ exact din dou˘ componente; a a , fiecare dintre acest dou˘ componente fiind arbore. a A G F B D C E H I J R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 10 / 23
  31. 31. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Demonstratie; Continuare. , Atunci G − e este neconex si G − e const˘ exact din dou˘ componente; a a , fiecare dintre acest dou˘ componente fiind arbore. a A G F G1 B D C E H G2 I J Not˘m prin G1 si G2 acessi doi arbori. a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 10 / 23
  32. 32. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Demonstratie; Continuare. , Evident, |G1 |, |G2 | < n; dar atunci G1 = |G1 | − 1 (1) G2 = |G2 | − 1. (2) si , Aplicˆ (1) si (2) obtinem ınd , , G R. Dumbr˘veanu (USARB) a = G1 + G2 + 1 = (|G1 | − 1) + (|G2 | − 1) + 1 = |G1 | + |G2 | − 1 = |G| − 1. Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 11 / 23
  33. 33. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Demonstratie; Continuare. , Evident, |G1 |, |G2 | < n; dar atunci G1 = |G1 | − 1 (1) G2 = |G2 | − 1. (2) si , Aplicˆ (1) si (2) obtinem ınd , , G R. Dumbr˘veanu (USARB) a = G1 + G2 + 1 = (|G1 | − 1) + (|G2 | − 1) + 1 = |G1 | + |G2 | − 1 = |G| − 1. Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 11 / 23
  34. 34. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Corolar Orice arbore netrivial are cel putin dou˘ vˆ a ırfuri cu gradul 1. , Demonstratie. ¸ Fie G = (V , E) un (n, m)-arbore netrivial atunci v∈V d(v) = 2m = 2(n − 1) = 2n − 2. Pe de alt˘ parte G este netrivial si deci d(v) ≥ 1, ∀v ∈ V . a , Reiese c˘ G trebuie s˘ aib˘ cel putin dou˘ vˆ a a a a ırfuri cu gradul 1. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 12 / 23
  35. 35. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Corolar Orice arbore netrivial are cel putin dou˘ vˆ a ırfuri cu gradul 1. , Demonstratie. ¸ Fie G = (V , E) un (n, m)-arbore netrivial atunci v∈V d(v) = 2m = 2(n − 1) = 2n − 2. Pe de alt˘ parte G este netrivial si deci d(v) ≥ 1, ∀v ∈ V . a , Reiese c˘ G trebuie s˘ aib˘ cel putin dou˘ vˆ a a a a ırfuri cu gradul 1. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 12 / 23
  36. 36. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Corolar Orice arbore netrivial are cel putin dou˘ vˆ a ırfuri cu gradul 1. , Demonstratie. ¸ Fie G = (V , E) un (n, m)-arbore netrivial atunci v∈V d(v) = 2m = 2(n − 1) = 2n − 2. Pe de alt˘ parte G este netrivial si deci d(v) ≥ 1, ∀v ∈ V . a , Reiese c˘ G trebuie s˘ aib˘ cel putin dou˘ vˆ a a a a ırfuri cu gradul 1. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 12 / 23
  37. 37. Num˘rul de vˆ a ırfuri vs. num˘rul de muchii a Corolar Orice arbore netrivial are cel putin dou˘ vˆ a ırfuri cu gradul 1. , Demonstratie. ¸ Fie G = (V , E) un (n, m)-arbore netrivial atunci v∈V d(v) = 2m = 2(n − 1) = 2n − 2. Pe de alt˘ parte G este netrivial si deci d(v) ≥ 1, ∀v ∈ V . a , Reiese c˘ G trebuie s˘ aib˘ cel putin dou˘ vˆ a a a a ırfuri cu gradul 1. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 12 / 23
  38. 38. Arbori “scufundate” ˆ alte grafuri ın Teorem˘ a Fie G un arbore cu m muchii si H un graf cu δ(H ) ≥ m. Atunci H are un , subgraf izomorf cu G. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 13 / 23
  39. 39. Arbore de acoperire Definitie , Un subgraf de acoperire conex si f˘r˘ cicluri se numeste arbore de aa , , acoperire. Doar un graf conex poate avea arbore de acoperire. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 14 / 23
  40. 40. Arbori de acoperire u u u v x v x v x z y z y z y De la stˆ ınga spre dreapta: un graf ˆ ımpreun˘ cu doi arbori de acoperire ai s˘i a a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 15 / 23
  41. 41. Aplicatii ale arborilor de acoperire , ??? R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 16 / 23
  42. 42. Arbori de acoperire Corolar Orice graf conex G contine un arbore de acoperire. , Demonstratie. ¸ Fie H un subgraf minimal de acoperire al lui G care este conex. Atunci pentru orice muchie e din H , H − e nu mai este conex. Reiese c˘ orice muchie a lui H este punte, concludem c˘ H este un a a arbore. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 17 / 23
  43. 43. Arbori de acoperire Corolar Dac˘ G este conex atunci G ≥ |G| − 1. a Demonstratie. ¸ Fie H un arbore de acoperie al lui G atunci pe de o parte H = |H | − 1, iar pe de alt˘ parte G ≥ H si |G| = |H |. a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 18 / 23
  44. 44. Arbori de acoperire Corolar Un graf conex G este arbore dac˘ si numai dac˘ G = |G| − 1 a , a Demonstratie. ¸ Necesitatea a fost deja demonstrat˘. a Suficienta. Presupunem, prin absurd, c˘ G nu este arbore. a , Atunci pentru dou˘ vˆ a ırfuri u si v putem g˘si dou˘ uv-lanturi elementare. a a , , Reiese c˘ G contine un ciclu C . a , Fie e o muchie din C atunci G − e r˘mˆ conex. a ıne Dar atunci G − e = G − 1 si G − e = n − 2 adic˘ G − e nu mai a , este conex; Contradictie. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 19 / 23
  45. 45. Num˘rul de arbori de acoperire a ˆ general, dup˘ cum s-a observat, un graf conex poate avea mai mult de In a un arbore de acoperire. Vom nota prin τ (G) num˘rul de arbori de acoperire ale grafului G. a Evident, dac˘ G este arbore atunci τ (G) = 1. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 20 / 23
  46. 46. Num˘rul de arbori de acoperire a Teorem˘ a Dac˘ G este un graf conex atunci a τ (G) = τ (G − e) + τ (G/e) ∀e ∈ E(G). Acest˘ teorem˘ poate fi utilizat˘ pentru a calcula, ˆ a a a ıntr-un mod recursiv, num˘rul de arbori de acoperire a unui graf conex. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 21 / 23
  47. 47. Aplicatii , v1 v2 v1 v0 v3 v2 v1 v1 v0 v3 G1 R. Dumbr˘veanu (USARB) a v0 v3 G1 = G − v0 v1 G v2 v4 v2 v3 G2 = G/v0 v1 v4 v0 v3 G3 = G1 − v1 v2 Curs 4: Arbori v2 v0 v3 G4 = G1 /v1 v2 B˘lti, 2013 a, 22 / 23
  48. 48. v4 v2 v4 v4 v2 v3 G2 v3 G5 = G − v2 v4 v3 G6 = G/v2 v4 τ (G) = τ (G1 ) + τ (G2 ) = (τ (G3 ) + τ (G4 )) + (τ (G5 ) + τ (G6 )) = (2 + 3) + (3 + 4) = 12. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 4: Arbori B˘lti, 2013 a, 23 / 23

×