krishnamurthi

1. §¹i häc quèc gia Hµ néi
Tr­êng §¹i häc khoa häc tù nhiªn
T. N. Krishnamurti & L. Bounoua
NhËp m«n
Kü thuËt dù b¸o thêi tiÕt sè
Ng­êi dÞch: KiÒu thÞ Xin
Hµ néi, 52002
3

2. Lêi nãi ®Çu
Gi¸o tr×nh “NhËp m«n Kü thuËt dù b¸o thêi tiÕt sè “ cña hai t¸c gi¶ T. N.
Krishnamurti & L. Bounoua ®Çu tiªn ®­îc viÕt cho c¸c líp ®µo t¹o cña Tæ chøc KhÝ
t­îng thÕ giíi. Ng­êi tham gia c¸c líp nµy phÇn lín lµ nh÷ng sinh viªn xuÊt s¾c
chuÈn bÞ tèt nghiÖp. Trong lÇn xuÊt b¶n nµy tµi liÖu ®­îc më réng vµ cËp nhËt
hoµn toµn nh÷ng nguån sè liÖu míi, c¸c kÕt qu¶ vµ gi¶i thÝch code nguån ®­îc
tr×nh bµy chi tiÕt. C¸c ch­¬ng ®­îc s¾p xÕp logic theo tr×nh tù ph¸t triÓn cña dù
b¸o sè, tr¶i réng tõ c¸c ph­¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n ®Õn c¸c bµi tËp ®éng lùc häc
vµ nhiÖt ®éng lùc häc; cuèi cïng lµ giíi thiÖu nh÷ng m« h×nh dù b¸o ®¬n gi¶n. Mçi
mét ch­¬ng ®­îc so¹n th¶o cã tÝnh hîp lý riªng cña nã. Tuy vËy, ®Ó thuËn tiÖn c¸c
ch­¬ng tr×nh cÇn sö dông trong c¸c ch­¬ng kh¸c nhau ®­îc tËp hîp trong mét th­
viÖn Fortran duy nhÊt.
KÌm theo gi¸o tr×nh nµy, c¸c phÇn mÒm cho tÊt c¶ c¸c bµi tËp trÝch dÉn
trong gi¸o tr×nh ®­îc biªn tËp riªng trong Phô lôc hay l­u gi÷ trªn mét ®Üa mÒm.
C¸c ®o¹n m· nguån chÝnh còng nh­ nh÷ng tËp sè liÖu mÉu ®­îc giíi thiÖu trong
gi¸o tr×nh ®Ó minh ho¹ mét sè vÝ dô. Tuy nhiªn, ng­êi sö dông cÇn l­u ý lµ kh«ng
nhÊt thiÕt ph¶i nghiªn cøu chi tiÕt hÕt nh÷ng tr×nh bµy b»ng sö dông m· nguån
trong gi¸o tr×nh. Ngoµi ra, phÇn mÒm ®å ho¹ kh«ng cã trong th­ viÖn. C¸c m·
nguån ®­îc viÕt b»ng ng«n ng÷ Fortran chuÈn vµ ®­îc so¹n th¶o ®Ó cã thÓ ch¹y
trªn nhiÒu lo¹i m¸y tÝnh tr¹m (workstations) còng nh­ trªn m¸y tÝnh c¸ nh©n.
C«ng tr×nh nµy ®­îc biªn so¹n trong nhiÒu n¨m d­íi sù céng t¸c cña nhiÒu
nhµ khoa häc vµ nhiÒu sinh viªn thuéc Phßng thÝ nghiÖm tÝnh to¸n §¹i häc tæng
hîp California, víi nhiÒu nguån tµi trî kinh phÝ kh¸c nhau nh­ Quü khoa häc quèc
gia (NSF), Hµng kh«ng Vò trô Quèc gia (NASA), C¬ quan nghiªn cøu H¶i qu©n
(ONR) vµ C¬ quan qu¶n lý KhÝ quyÓn§¹i d­¬ng Quèc gia (NOAA).
Gi¸o tr×nh “NhËp m«n Kü thuËt dù b¸o thêi tiÕt sè “ ®­îc xuÊt b¶n n¨m 1996
t¹i Nhµ xuÊt b¶n CRC Press,Inc., 2000 Corporate Blvd., N.W., Boca Raton, Florida
33431.
ë ViÖt nam, t¹i Bé m«n KhÝ t­îng, Tr­êng §HTH Hµ néi tr­íc ®©y vµ Tr­êng
§HKHTN thuéc §HGQ Hµ néi hiÖn nay, mét m«n häc chuyªn nghµnh t­¬ng tù lµ
“ Dù b¸o thêi tiÕt b»ng ph­¬ng ph¸p sè “ ®· ®­îc gi¶ng d¹y trong nhiÒu n¨m qua,
4

3. chñ yÕu dùa theo c¸c tµi liÖu gi¸o khoa cña Liªn x« cò, xuÊt b¶n tõ nh÷ng n¨m 70
vÒ tr­íc. Trong lóc ®ã, cïng víi sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña Khoa häc m¸y tÝnh vµ
C«ng nghÖ viÔn th«ng, chuyªn nghµnh Dù b¸o thêi tiÕtkhÝ hËu b»ng ph­¬ng ph¸p
sè ®· vµ ®ang ph¸t triÓn cùc m¹nh trªn thÕ giíi trong kho¶ng 20 n¨m gÇn ®©y, c¶
vÒ lý thuyÕt vµ ¸p dông nghiÖp vô. ë c¸c n­íc ®· ph¸t triÓn (Mü, Anh, §øc, Ph¸p,
NhËt, ...) ®· vµ ®ang ¸p dông nghiÖp vô nh÷ng m« h×nh dù b¸o thêi tiÕt , khÝ hËu
toµn cÇu cùc hiÖn ®¹i, víi ®é ph©n gi¶i ngang ®Õn 0.5x 0.5 ®é kinh vÜ trªn 4050
mùc theo chiÒu ®øng.., trong sè ®ã ®· cã nh÷ng m« h×nh lång c¶ khÝ quyÓn vµ ®aÞ
d­¬ng. Lång ghÐp vµo m« h×nh toµn cÇu lµ nh÷ng m« h×nh khu vùc cã ®é ph©n gi¶i
ngang vµ ®øng rÊt cao h¬n, cã kh¶ n¨ng dù b¸o thêi tiÕt, khÝ hËu quy m« võa  
vµ   kh¸ tèt. Ph­¬ng ph¸p dù b¸o sè ®· hoµn toµn thèng trÞ ë rÊt nhiÒu n­íc
trªn thÕ giíi.
§Ó sinh viªn, NCS, c¸n bé nghiªn cøu vµ t¸c nghiÖp trong n­íc cã thÓ hiÓu
biÕt vµ tiÖm cËn víi c¸c lo¹i m« h×nh hiÖn ®¹i c«ng nghÖ cao nh­ vËy vµ tiÕn tíi
¸p dông chóng, trong chuyªn nghµnh Dù b¸o thêi tiÕtkhÝ hËu cÇn cËp nhËt nh÷ng
gi¸o tr×nh míi hiÖn ®¹i bæ sung lµm tµi liÖu tham kh¶o trong gi¶ng d¹y bËc ®¹i
häc vµ sau ®¹i häc , ®ång thêi cÇn cËp nhËt nh÷ng m« h×nh dù b¸o c«ng nghÖ cao
lµm ph­¬ng tiÖn nghiªn cøu trong nhµ tr­êng còng nh­ ¸p dông nghiÖp vô trong
s¶n xuÊt. ViÖc biªn dÞch gi¸o tr×nh “NhËp m«n Kü thuËt dù b¸o thêi tiÕt sè “ nh»m
gãp phÇn thùc hiÖn mét phÇn nhiÖm vô nªu ra nµy.
Trong vµi n¨m gÇn ®©y chóng t«i ®· thö trÝch giíi thiÖu mét sè phÇn trong
gi¸o tr×nh nµy cho SV n¨m thø 4, SV hÖ cö nh©n tµi n¨ng Ngµnh KhÝ t­îng,
Tr­êng §HKHTNHN d­íi d¹ng chuyªn ®Ò hÑp. Thùc tÕ cho thÊy, SV ®· tiÕp thu
rÊt hiÖu qu¶, s¸ng t¹o vµ rÊt lý thó. §èi víi SV ta hiÖn nay nhiÒu néi dung trong
gi¸o tr×nh nµy cßn cã thÓ dïng lµm c«ng cô tËp sù trong nghiªn cøu khoa häc.
Ng­êi biªn dÞch hy väng, gi¸o tr×nh “NhËp m«n Kü thuËt dù b¸o thêi tiÕt sè “
sÏ ®­îc dïng lµm tµi liÖu bæ Ých trong gi¶ng d¹y m«n Dù b¸o thêi tiÕt khÝ hËu
b»ng ph­¬ng ph¸p sè trong tr­êng ®¹i häc ë ViÖt nam vµo nh÷ng n¨m tíi, vµ lµ
tµi liÖu tham kh¶o lý thó cho c¸n bé nghiªn cøu, t¸c nghiÖp trong nghµnh KhÝ
t­îngThuû v¨n còng nh­ c¸c nghµnh kh¸c quan t©m ®Õn ph­¬ng ph¸p dù b¸o sè.
Ng­êi dÞch xin ch©n thµnh c¶m ¬n TS Phan V¨n T©n ®· trao ®æi vµ gãp
nhiÒu ý kiÕn bæ Ých trong qu¸ tr×nh dÞch, CN Vò Thanh H»ng vµ CN Hoµng Thanh
V©n ®· gãp nhiÒu c«ng søc trong viÖc chÕ b¶n ®iÖn tö vµ hoµn thiÖn b¶n dÞch nµy.
Ng­êi dÞch
Hµ néi, 5-2002.
5

4. Môc lôc
Ch­¬ng 1. NhËp m«n .................................................................................................. 9
Ch­¬ng 2. C¸c ph­¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n.................................................12
2.1 H×nh thµnh sai ph©n h÷u h¹n ..................................................................... 12
2.2 §¹o hµm bËc nhÊt........................................................................................ 12
2.3 §¹o hµm bËc hai.......................................................................................... 14
2.4 To¸n tö Laplaxian ....................................................................................... 16
2.5 To¸n tö Jacobian ......................................................................................... 21
2.6. Sai ph©n thêi gian ..................................................................................... 25
Ch­¬ng 3. TÝnh chuyÓn ®éng th¼ng ®øng ........................................................33
3.1. TÝnh tèc ®é th¼ng ®øng tõ sè liÖu giã ph©n bè kh«ng ®iÒu hßa
trong kh«ng gian ........................................................................................ 34
3.2. Tèc ®é th¼ng ®øng tõ sè liÖu giã ®iÒu hßa trong kh«ng gian ....................... 42
3.3. Tèc ®é th¼ng ®øng tõ ph­¬ng tr×nh omega tùa ®Þa chuyÓn......................... 43
3.4. Ph­¬ng tr×nh omega c©n b»ng phi tuyÕn ®a mùc........................................ 52
3.5. C¸c thuËt to¸n sè........................................................................................ 58
Ch­¬ng 4. X¸c ®Þnh hµm dßng, thÕ tèc ®é, Vµ ®é cao ®Þa thÕ vÞ
tõ tr­êng giã ....................................................................................................60
4.1. Ph­¬ng ph¸p láng dÇn (relaxation method) ................................................ 61
4.2. Ph­¬ng ph¸p biÕn ®æi Fourier .................................................................... 63
4.3. §é cao ®Þa thÕ vÞ tõ tr­êng giã.................................................................... 69
Ch­¬ng 5. Ph©n tÝch kh¸ch quan ........................................................................74
5.1. Ph­¬ng ph¸p Panofsky, gÇn ®óng ®a thøc.................................................. 74
5.2. Ph­¬ng ph¸p Cressman vµ kü thuËt hiÖu chØnh liªn tiÕp ........................... 76
5.3. S¬ ®å ph©n tÝch kh¸ch quan Barnes ........................................................... 81
5.4. Kü thuËt néi suy tèi ­u............................................................................... 87
Ch­¬ng 6. Nh÷ng kh¸i niÖm vËt lý c¬ b¶n........................................................94
6.1. BiÕn ®æi c¸c biÕn Èm................................................................................... 95
6.2. X¸c ®Þnh mùc ng­ng kÕt n©ng (LCL) .......................................................... 98
6.3. Profin ®o¹n nhiÖt Èm................................................................................ 101
6.4. §iÒu chØnh ®èi l­u .................................................................................... 102
6.5. Mét m« h×nh m©y ®¬n gi¶n ....................................................................... 108
Ch­¬ng 7. §èi l­u cumulus vµ ng­ng kÕt quy m« lín ..............................117
6

5. 7.1 §èi l­u Cumulus ....................................................................................... 117
7.2. S¬ ®å tham sè ho¸ Cumulus cña Arakawa- Shubert ................................. 126
7.3 Ng­ng kÕt quy m« lín ............................................................................... 127
ch­¬ng 8. Líp biªn hµnh tinh..............................................................................130
8.1. TÝnh to¸n khÝ ®éng häc Bulk trªn ®¹i d­¬ng vµ trªn lôc ®Þa..................... 130
8.2. Tham sè gå ghÒ......................................................................................... 131
8.3. Nh÷ng th«ng l­îng bÒ mÆt tõ lý thuyÕt t­¬ng tù ..................................... 132
8.4. §é cao cña líp biªn trong ®iÒu kiÖn bÊt æn ®Þnh ....................................... 143
8.5. §é cao cña líp biªn hµnh tinh trong ®iÒu kiÖn æn ®Þnh............................. 145
8.6. Ph©n bè th¼ng ®øng cña c¸c th«ng l­îng ................................................. 146
Ch­¬ng 9. VËn chuyÓn bøc x¹ .............................................................................149
9.1. Bøc x¹ sãng dµi ........................................................................................ 149
9.2. Bøc x¹ sãng ng¾n...................................................................................... 152
9.3. §Æc ®iÓm m©y........................................................................................... 154
9.4. C©n b»ng nhiÖt bøc x¹ trªn mÆt ®Êt ......................................................... 155
9.5. M· nguån (code) ....................................................................................... 156
Ch­¬ng 10. M« h×nh chÝnh ¸p ...............................................................................160
10.1. §éng lùc häc cña m« h×nh chÝnh ¸p ........................................................ 161
10.2. C¸c tÝnh chÊt cña dßng chÝnh ¸p............................................................. 162
10.3. Trao ®æi n¨ng l­îng chÝnh ¸p ................................................................. 163
10.4. CÊu tróc m« h×nh vµ c¸c ®iÒu kiÖn biªn.................................................. 164
10.5. ThÓ hiÖn c¸c thµnh phÇn b×nh l­u vµ s¬ ®å sai ph©n thêi gian ............... 165
10.6. §iÒu kiÖn ban ®Çu .................................................................................. 165
10.7. M« t¶ ch­¬ng tr×nh nguån ...................................................................... 165
Ch­¬ng 11. M« h×nh ph­¬ng tr×nh nguyªn thuû mét mùc........................179
11.1. §éng lùc häc cña m« h×nh ph­¬ng tr×nh nguyªn thuû mét mùc .............. 179
11.2. Nh÷ng ®Æc ®iÓm cña m« h×nh ph­¬ng tr×nh nguyªn thuû mét mùc......... 180
11.3. CÊu tróc m« h×nh vµ c¸c ®iÒu kiÖn biªn.................................................. 181
11.4. Gi¶i c¸c sè h¹ng b×nh l­u vµ s¬ ®å sai ph©n thêi gian............................. 181
11.5. TÝnh nh÷ng hµm Ðp buéc (forcing) .......................................................... 182
11.6. Ban ®Çu ho¸ m« h×nh ph­¬ng tr×nh nguyªn thuû mét mùc..................... 183
Ch­¬ng 12. C¬ së d÷ liÖu cho dù b¸o thêi tiÕt sè ........................................190
12.1. Ph©n bè m­a tõ bøc x¹ ph¸t sãng dµi ..................................................... 191
12.2 .Tèc ®é m­a c¨n cø vµo SSM/I, tèc ®é giã vµ tæng m­a láng..................... 194
12.3. ChØ sè thùc vËt chªnh lÖch chuÈn ho¸..................................................... 200
12.4. §é phñ m©y ............................................................................................ 201
ch­¬ng 13. Nh÷ng s¶n phÈm c¶nh b¸o cña m« h×nh....................................202
13.1. N¨ng l­îng vµ c¸c thµnh phÇn biÕn ®æi n¨ng l­îng ............................... 202
13.2. TÝnh quü ®¹o bèn chiÒu........................................................................... 206
Tµi liÖu tham kh¶o ................................................................................................214
Danh môc c¸c ch­¬ng tr×nh con (Subroutines)..........................................218
7

6. 8

7. Ch­¬ng 1. NhËp m«n
§©y lµ mét gi¸o tr×nh nhËp m«n vÒ ph­¬ng ph¸p luËn cña dù b¸o thêi tiÕt sè.
Gi¸o tr×nh ®­îc viÕt cho tr×nh ®é sinh viªn tµi n¨ng tr­íc tèt nghiÖp vµ lµm tèt
nghiÖp ngµnh KhÝ t­îng. Tµi liÖu ®­îc tr×nh bµy giíi h¹n trong 13 ch­¬ng víi t­
liÖu thùc tËp trong mét häc kú. Thùc tËp syn«p tiÕp theo sÏ rÊt bæ Ých cho mçi sinh
viªn. Gi¸o tr×nh nµy còng thÝch hîp cho nh÷ng c¸n bé khoa häc muèn tù häc m«n
nµy.
Tµi liÖu nµy xuÊt ph¸t tõ mét gi¸o tr×nh ®µo t¹o mµ t¸c gi¶ cã kinh nghiÖm
®· viÕt cho Tæ chøc KhÝ t­îng thÕ giíi (WMO) b¾t ®Çu tõ n¨m 1982, ®· ®­îc sinh
viªn vµ c¸n bé khoa häc tõ nhiÒu Trung t©m nghiªn cøu vµ ®µo t¹o trªn thÕ giíi
quan t©m. V¨n b¶n hiÖn nay ®· ®­îc söa ®æi rÊt nhiÒu, më réng vµ ®­a vµo nhiÒu
tËp sè liÖu míi. V¨n b¶n ®­a vµo nh÷ng tËp sè liÖu mÉu, kÌm theo mét ®Üa mÒm
cïng víi m· nguån.
Gi¸o tr×nh nµy më ®Çu b»ng viÖc giíi thiÖu hÖ ph­¬ng ph¸p sai ph©n h÷u
h¹n, ®­îc tr×nh bµy trong ch­¬ng 2. Tr­íc hÕt lµ kü thuËt sai ph©n kh«ng gian, c¸c
s¬ ®å bËc hai vµ bËc bèn, biÓu diÔn c¸c to¸n tö Laplaxian, Jacobian vµ c¸ch gi¶i c¸c
ph­¬ng tr×nh d¹ng Poisson vµ Helmholtz. PhÇn lín ch­¬ng nµy dµnh cho m« t¶
kho¶ng biÕn ®æi rÊt réng cña phÇn lín c¸c s¬ ®å sai ph©n thêi gian phæ biÕn nhÊt
nªn dïng trong dù b¸o thêi tiÕt sè. §iÒu kiÖn æn ®Þnh ®èi víi tõng s¬ ®å còng ®­îc
bµn ®Õn trong ch­¬ng nµy.
Ch­¬ng 3 liÖt kª mét sè kü thuËt tÝnh tèc ®é th¼ng ®øng. Tèc ®é th¼ng ®øng
lµ biÕn khÝ t­îng kh«ng th¸m s¸t ®­îc; trong phÇn lín c¸c tr­êng hîp x¸c ®Þnh nã
®Òu kÌm theo tÝnh ph©n kú giã ngang. §é thiÕu chÝnh x¸c nhá trong ®o ®¹c giã
ngang sÏ g©y ra sai sè lín trong viÖc x¸c ®Þnh tèc ®é th¼ng ®øng. HiÓu biÕt ®­îc c¸c
ph­¬ng ph¸p tÝnh tèc ®é th¼ng ®øng lµ mét vÊn ®Ò quan träng.
Ch­¬ng 4 m« t¶ hai ph­¬ng ph¸p m¹nh vµ phæ biÕn ®Ó tÝnh hµm dßng vµ thÕ
tèc ®é, ®ã lµ kü thuËt láng dÇn (relaxation) vµ kü thuËt biÕn ®æi Fourier. ë ®©y cßn
giíi thiÖu c¶ mèi quan hÖ gi÷a ¸p vµ giã. Kh«ng gièng vïng «n ®íi n¬i sù Ðp buéc
®Þa chuyÓn lµ quan träng, ë vïng nhiÖt ®íi do giã kh«ng lµ giã ®Þa chuyÓn nªn ph¶i
kh¶o s¸t mét sè quan hÖ ®­îc gäi lµ “c©n b»ng”. Quan hÖ nµy sÏ gi¶i ®èi víi ¸p suÊt
vµ cho ra tr­êng giã. Ch­¬ng nµy sÏ cho thÊy tr­êng ¸p ®­îc rót ra tõ c¸c ®Þnh
luËt c©n b»ng tuyÕn tÝnh vµ phi tuyÕn nh­ thÕ nµo?
Ch­¬ng 5 viÕt vÒ ph©n tÝch kh¸ch quan, ch­¬ng nµy sÏ giíi thiÖu 4 ph­¬ng
ph¸p ph©n tÝch sè liÖu gÇn ®óng, tõ ®a thøc ®¬n gi¶n ®Õn néi suy tèi ­u. Chóng
9

8. minh häa sè liÖu th« ®­îc ph©n tÝch nh­ thÕ nµo vµo m¶ng nót l­íi.
C¸c qu¸ tr×nh vËt lý thùc sù quan träng ®èi víi sù tiÕn triÓn cña thêi tiÕt.
Ch­¬ng 6 ®­a vµo nh÷ng kh¸i niÖm vËt lý c¬ b¶n g¾n liÒn víi dù b¸o thêi tiÕt sè.
VÒ c¬ b¶n, ch­¬ng nµy ®Ò cËp ®Õn viÖc sö dông c¸c biÕn Èm trong khÝ t­îng cïng
víi mét sè thuËt to¸n m« t¶ vÒ c¸c khÝa c¹nh tÝnh to¸n. ë ®©y còng sÏ giíi thiÖu
mét sè nguyªn t¾c vÒ tÝnh æn ®Þnh.
Ch­¬ng 7 giíi thiÖu mét m« h×nh ®èi l­u ®¬n gi¶n minh häa sù tiÕn triÓn cña
lùc næi ®iÒu khiÓn khÝ quyÓn kh« vÒ nhiÖt. M« h×nh nµy lµ mét vÝ dô më ®Çu cña
m« h×nh ho¸ ®èi l­u. Bµi to¸n tæng hîp tham sè ho¸ ®èi l­u còng ®­îc giíi thiÖu
trong ch­¬ng nµy. Mét vµi s¬ ®å chung nhÊt x¸c ®Þnh tèc ®é m­a ph¸t sinh tõ ®èi
l­u cumulus còng ®­îc giíi thiÖu ë ®©y. Ch­¬ng nµy cßn cã mét tiÕt giíi thiÖu vÒ
ng­ng kÕt quy m« lín.
Líp biªn hµnh tinh lµ mét thµnh phÇn quan träng cÇn ®­îc m« h×nh ho¸.
Trong ch­¬ng 8 giíi thiÖu biÖn ph¸p tèt nhÊt ®Ó m« h×nh hãa c¸c th«ng l­îng ®éng
l­îng, nhiÖt vµ Èm tõ bÒ mÆt (c¶ trªn ®Êt vµ trªn biÓn). Ch­¬ng 8 tr×nh bµy mét sè
ph­¬ng ph¸p tÝnh c¸c th«ng l­îng nµy. ë ®©y cßn ®Ò cËp ®Õn mét líp khÝ quyÓn cña
c¸c th«ng l­îng kh«ng ®æi cã ®é cao kho¶ng vµi chôc mÐt s¸t bÒ mÆt. Ch­¬ng nµy
cßn tr×nh bµy c¸ch tÝnh c¸c th«ng l­îng bÒ mÆt còng nh­ ph©n bè th¼ng ®øng cña
chóng.
Ch­¬ng 9 giíi thiÖu c¸ch tÝnh vËn chuyÓn bøc x¹. Sù thÓ hiÖn cña ®é chãi bøc
x¹ sãng dµi vµ sãng ng¾n, vai trß cña m©y; c©n b»ng n¨ng l­îng mÆt ®Êt vµ kÕt qu¶
biÕn tr×nh ngµy cña chóng còng ®­îc nªu ra ë ®©y, tuy nhiªn chØ thÓ hiÖn qu¸ tr×nh
vËt lý c¬ b¶n quan träng nµy mét c¸ch ®¬n gi¶n vµ næi bËt.
Ch­¬ng 10 giíi thiÖu mét m« h×nh chÝnh ¸p ®¬n gi¶n. §èi víi nh÷ng øng dông
ë nhiÖt ®íi th× hµm dßng lµ mét biÕn phô thuéc c¬ b¶n vµ nhËn ®­îc tõ tr­êng giã
®· ®­îc ph©n tÝch. M« h×nh dù b¸o nµy ¸p dông nguyªn t¾c b¶o toµn xo¸y tuyÖt
®èi. Nãi chung ®©y lµ mét m« h×nh h÷u Ých ®Çu tiªn ®Ó b¾t ®Çu nghiªn cøu dù b¸o
sè. M« h×nh nµy cã kh¶ n¨ng ¸p dông thùc tÕ ®èi víi nh÷ng vïng nhÊt ®Þnh cña
nhiÖt ®íi (phÝa ®«ng §¹i T©y D­¬ng vµ T©y Phi).
Mét m« h×nh dù b¸o thêi tiÕt sè thø hai dùa vµo nguyªn t¾c b¶o toµn xo¸y thÕ
®­îc tr×nh bµy trong ch­¬ng 11. ë ®©y giíi thiÖu cho ng­êi ®äc m« h×nh ph­¬ng
tr×nh nguyªn thñy ®Çu tiªn. Dù b¸o giã còng nh­ ®é cao ®Þa thÕ vÞ ®­îc thùc hiÖn
trªn mét mùc ®¬n.
Ch­¬ng 12 liÖt kª mét sè tËp sè liÖu vÖ tinh hiÖn cã vµ dùa vµo m« h×nh thÝch
hîp cho dù b¸o thêi tiÕt sè.
TÝnh to¸n c¶nh b¸o tõ s¶n phÈm cña m« h×nh lµ mét lÜnh vùc quan träng, nã
gióp ta biÓu diÔn c¸c s¶n phÈm cña m« h×nh. NÕu nh­ dù b¸o cã ®é chÝnh x¸c cao
cã thÓ m« pháng ®­îc c¸c hiÖn t­îng nh­ xo¸y xo¸y thuËn th× nh÷ng nghiªn cøu
c¶nh b¸o nµy cã thÓ cho ta biÕt Ýt nhiÒu vÒ chu tr×nh sèng cña hiÖn t­îng Êy. NÕu
10

9. nh­ dù b¸o nghÌo nµn th× tÝnh to¸n c¶nh b¸o thùc hiÖn trªn s¶n phÈm cña m« h×nh
còng nh­ c¸c tr­êng ph©n tÝch cã thÓ cho ta nh÷ng nguyªn nh©n vÒ thiÕu sãt cña
m« h×nh. §©y lµ nh÷ng hîp phÇn quan träng ®èi víi viÖc ph¸t triÓn kh¶ n¨ng dù
b¸o thêi tiÕt sè vµ ®­îc ®Ò cËp ®Õn trong ch­¬ng 13.
§iÒu quan träng cÇn nhí lµ rÊt nhiÒu minh ho¹ trong gi¸o tr×nh nµy kh«ng
thÓ phôc håi nÕu thiÕu nh÷ng phÇn mÒm ®å ho¹. Ngoµi ra c¸c b¶ng minh ho¹ trong
gi¸o tr×nh kh«ng chÝnh x¸c nh­ trong phÇn mÒm. PhÇn mÒm ®­îc nªu ra trong
gi¸o tr×nh còng ®­îc biÓu diÔn rót gän. Sinh viªn häc qua gi¸o tr×nh nµy ph¶i cã
kiÕn thøc c¬ së vÒ khÝ t­îng ®éng lùc, khÝ t­îng vËt lý vµ khÝ t­îng syn«p. Ngoµi
ra cßn ®ßi hái sinh viªn ph¶i hiÓu biÕt vµ lµm viÖc tèt trªn ng«n ng÷ Fortran. Sau
®©y lµ nh÷ng tµi liÖu tham kh¶o cÇn thiÕt nhÊt
1. Wallace and Hobbs, 1977: Atmospheric Science.
2. Holton, 1992: An introduction to Dynamic Meteorology.
3. Houghton, 1985: Physical Meteorology.
4. Nyhoff and Leestma, 1988: Fortran 77 for Engineers and Scientists.
11

10. Ch­¬ng 2. C¸c ph­¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n
Trong khÝ t­îng, c¸c ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n thèng trÞ hoµn l­u xuÊt hiÖn trong
khÝ quyÓn nãi chung bao gåm mét hÖ c¸c ph­¬ng tr×nh vi ph©n riªng phi tuyÕn.
Chóng kh«ng cã nghiÖm gi¶i tÝch vµ ®­îc gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p sè. Nh÷ng to¸n tö
chung nhÊt th­êng gÆp trong khi gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh nµy cã d¹ng ®¹o hµm bËc
nhÊt vµ bËc hai, Jacobian vµ Laplaxian. Nh÷ng to¸n tö nµy lµ nh÷ng ®¹o hµm
kh«ng gian vµ ®ßi hái biÕt ®­îc biÕn t¹i mét thêi ®iÓm cè ®Þnh. §¹o hµm thêi gian
th­êng gÆp trong c¸c ph­¬ng tr×nh dù b¸o thêi tiÕt sè; tuy nhiªn v× biÕn cña tr¹ng
th¸i t­¬ng lai lµ ch­a biÕt nªn s¬ ®å sai ph©n h÷u h¹n kÌm theo nh÷ng sai sè phô
thuéc thêi gian. Chóng cã thÓ ®­îc khuyÕch ®¹i trong qu¸ tr×nh tÝch ph©n vµ sinh
ra bÊt æn ®Þnh tÝnh to¸n. Do vËy tÝch ph©n thêi gian c¸c ph­¬ng tr×nh dù b¸o thêi
tiÕt sè ®­îc thùc hiÖn nhê nh÷ng kü thuËt ®Æc biÖt vµ ®­îc bµn riªng trong ch­¬ng
nµy.
PhÐp gÇn ®óng c¸c ®¹o hµm kh«ng gian t¹i mét ®iÓm nót cho tr­íc dùa vµo
khai triÓn Taylor cña biÕn quanh ®iÓm nµy. C¸c gi¸ trÞ cña biÕn coi nh­ ®· biÕt
trªn nh÷ng ®iÓm rêi r¹c trong kh«ng gian, vµ nh÷ng tæ hîp kh¸c nhau cña c¸c khai
triÓn Taylor cã thÓ dÉn ®Õn x¸c ®Þnh ®­îc c¸c ®¹o hµm cña hµm sè víi møc ®é
chÝnh x¸c kh¸c nhau.
2.1 H×nh thµnh sai ph©n h÷u h¹n
Gi¶ sö cã hµm u(x) ®· biÕt trªn nh÷ng vÞ trÝ rêi r¹c ®iÒu hßa trong kh«ng gian
c¸ch nhau mét kho¶ng x. C¸c ®¹o hµm cña u(x) cã thÓ nhËn ®­îc nÕu sö dông sai
ph©n h÷u h¹n. Khai triÓn Taylor quanh ®iÓm x sÏ cho ta
du x d 2 u x 2 dn u x n
u(x+x)=u(x)+   ...  n , (2.1)
dx x 1! dx 2 2! dx n!
x x
hay nÕu gia sè h÷u h¹n x lµ ©m th×
du x d 2 u x 2 dnu x n
u(xx)=u(x)   ...  ( 1) n n . (2.2)
dx x 1! dx 2 2! dx n!
x x
2.2 §¹o hµm bËc nhÊt
Tõ nh÷ng khai triÓn nµy cã thÓ h×nh thµnh ba biÓu thøc vi ph©n kh¸c nhau
®Ó x¸c ®Þnh ®¹o hµm bËc nhÊt cña hµm u.
12

11. du u ( x  x )  u ( x ) d 2 u ( x ) x
   ... , (2.3)
dx x x dx 2 2!
hay
du u ( x )  u ( x  x ) d 2 u ( x ) x
   ... , (2.4)
dx x x dx 2 2!
hay cuèi cïng
du u ( x  x )  u ( x  x ) d 3u ( x ) x 2
 2  ... . (2.5)
dx x 2x dx 3 3!
BËc ®¹i l­îng cña ®é chÝnh x¸c trong s¬ ®å sè ®­îc x¸c ®Þnh bëi bËc cña sè
h¹ng lín nhÊt ®­îc bá qua trong chuçi khai triÓn trong qu¸ tr×nh lÊy gÇn ®óng
hµm. V× vËy (2.3), (2.4) vµ (2.5) cã thÓ viÕt l¹i nh­ sau :
du u ( x  x )  u ( x )
  ( x ) , (2.6)
dx x x
du u ( x )  u ( x  x )
  ( x ) , (2.7)
dx x x
du u ( x  x )  u ( x  x )
  (x ) 2 , (2.8)
dx x 2x
trong ®ã (x) vµ (x2) biÓu diÔn nh÷ng sai sè trong x¸c ®Þnh ®¹o hµm vµ ®­îc gäi
lµ sai sè bËc nhÊt vµ bËc hai cña x t­¬ng øng. C¸c ph­¬ng tr×nh (2.6) vµ (2.7) còng
®­îc coi lµ nh÷ng ®¹o hµm cña ®é chÝnh x¸c bËc nhÊt trong khi (2.8) l¹i lµ ®¹o hµm
cña ®é chÝnh x¸c bËc hai. Do mÉu cña c¸c ®iÓm dïng trong ®¸nh gi¸ sai ph©n h÷u
h¹n mµ c¸c s¬ ®å trªn ®­îc gäi lµ sai ph©n tiÕn, sai ph©n lïi vµ sai ph©n trung t©m
t­¬ng øng (H×nh 2.1).
  
u(x-x) u(x) u(x+x)
H×nh 2.1: MÉu ba ®iÓm
Còng theo c¸ch trªn cã thÓ më réng ®Ó nhËn ®¹o hµm bËc nhÊt cña hµm ®Õn
®é chÝnh x¸c bËc bèn. S¬ ®å bËc bèn tÊt nhiªn lµ chÝnh x¸c h¬n, nh­ng ®ßi hái ph¶i
biÕt gi¸ trÞ cña hµm ë 4 ®iÓm l©n cËn. S¬ ®å nµy dÉn ®Õn c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y:
du d 2u ( 2x ) 2 d 3 u ( 2 x ) 3 dnu (2x ) n
u(x2x)=u(x) 2 x  2  3  ...  (1) n n , (2.9)
dx x dx 2! dx 3! dx n!
x x x
du d2u x 2 d 3 u x 3 dnu x n
u(xx)=u(x) x  2  3  ...  ( 1) n n , (2.10)
dx x dx 2! dx 3! dx n!
x x x
du d u 2
x2
d u 3
x3 n
d u x n
u(x+x)=u(x)+ x  2  3  ...  n , (2.11)
dx x dx 2! dx 3! dx n!
x x x
13

12. du d 2u ( 2 x ) 2 d 3 u (2x ) 3 dn u ( 2x ) n
u(x+2x)=u(x)+ 2 x  2  3  ...  n . (2.12)
dx x dx 2! dx 3! dx n!
x x x
S¬ ®å chÝnh x¸c bËc bèn ®­îc h×nh thµnh nh­ mét tæ hîp tõ (2.9) ®Õn (2.12)
sao cho c¸c sè h¹ng trong x2 , x3 vµ x4 biÕn mÊt. §iÒu ®ã cã thÓ nhËn ®­îc b»ng
c¸ch viÕt
du
x = Au(x) + B[u(x+x)u(xx)]+C[u(x+2x)u(x2x)]+(x)5 . (2.13)
dx x
Sè h¹ng trong mãc ë ®©y cã thÓ khai triÓn ®Ó cho ta
du d 3u x 3 d 5 u x 5 d 2n 1 u x 2n 1
[u(x+x)u(xx)]= 2 x  3  5  ...  2 2n 1 , (2.14)
dx x dx 3 dx 60 dx ( 2n  1)!
x x x
vµ
du d3u ( 2 x ) 3 d 5 u ( 2 x ) 5 d 2n 1u (2x ) 2 n1
[u(x+2x)u(x2x)]= 2 2 x  3  5  ...  2 2n 1 .
dx x dx 3 dx 60 dx (2n  1)!
x x x
(2.15)
Tõ (2.13), (2.14) vµ (2.15) sÏ nhËn ®­îc
du du d3u x 3
x = Au(x)+(2B+4C) x+(B+8C) +(x5) , (2.16)
dx x dx x dx 3 x
3
trong ®ã c¸c hÖ sè A, B vµ C lµ nghiÖm cña hÖ sau
A  0

 2B  4C  1 . (2.17)
 B  8C  0

VËy th×, bµi to¸n x¸c ®Þnh ®é chÝnh x¸c bËc bèn cña ®¹o hµm bËc nhÊt cña hµm u(x)
cã thÓ cã d¹ng cuèi cïng sau
du 4  u ( x  x )  u ( x  x )  1  u ( x  2x )  u ( x  2x ) 
=  3  . (2.18)
dx x 3  2x   4x 
2.3 §¹o hµm bËc hai
§¹o hµm bËc hai víi ®é chÝnh x¸c bËc hai cña hµm u(x) cã thÓ nhËn ®­îc dÔ
dµng b»ng c¸ch céng (2.10) vµ (2.11). §ã lµ
d2u x 2 d4u x 4 d 2n u x 2 n
u(x+x)+u(xx)=2u(x)+ 2 2 4  ...  2 2 n (2.19)
dx 2 x
2! dx x
4! dx x
2n!
VËy th×
d2u u ( x  x )  u ( x  x )  2u ( x )
=  (x 2 ) (2.20)
dx 2
x
x 2
d4u x 4
Céng (2.9) vµ (2.12) vµ thay cho cña (2.19) th× ®¹o hµm bËc hai víi ®é
dx 4 x
4!
14

13. chÝnh x¸c bËc bèn sÏ biÓu diÔn ®­îc d­íi d¹ng sau
d2u 1  1 4 1 
  5 u ( x )  3 u ( x  x )  u ( x  x )  12 u ( x  2x )  u ( x  2x )  (x ) .(2.21)
4
2
=
dx x 2  
MÆc dï ®èi víi nhiÒu nghiªn cøu c¶nh b¸o th× s¬ ®å chÝnh x¸c bËc hai lµ ®ñ,
nh­ng s¬ ®å bËc bèn thÝch hîp h¬n trong dù b¸o sè. Hai ch­¬ng tr×nh con DDX2 vµ
DDX4 x¸c ®Þnh ®¹o hµm bËc nhÊt víi ®é chÝnh x¸c bËc hai vµ bËc bèn t­¬ng øng. ë
®©y cung cÊp c¶ mét ch­¬ng tr×nh ®iÒu khiÓn (driver) (DERIV). KÕt qu¶ tõ bµi tËp
®¬n gi¶n nµy ®­îc tæng kÕt trong B¶ng 2.1.
B¶ng 2.1: §¹o hµm bËc hai vµ bËc bèn cña f(z) = p o exp(-az)
NghiÖm Gi¶i tÝch X¸c ®Þnh bËc hai X¸c ®Þnh bËc bèn
-0.125062 -0.117558
-0.110360 -0.110648
-0.097386 -0.097640 -0.097368
-0.085938 -0.086162 -0.085939
-0.075835 -0.076033 -0.075834
-0.066920 -0.067095 -0.066920
-0.059053 -0.059207 -0.059053
-0.052111 -0.052247 -0.052111
-0.045985 -0.046105
-0.040579 -0.043226
PROGRAM DERIV
C
C THIS SIMPLE PROGRAM COMPUTES THE FIRST DERIVATIVE OF A FUNCTION
C USING THE SECOND AND FOURTH ORDER ACCURATE SCHEMES. THE FOLLOWING
C DRIVER ESTIMATES THE DERIVATIVES OF P(Z) = PO*EXP(-A*Z)
C
PARAMETER(L=10)
REAL Z(L),P(L),P2(L),P4(L),ANAL(L)
C
DATA Z /0000.,1000.,2000.,3000.,4000.,
& 5000.,6000.,7000.,8000.,9000./
DATA A,P0,DZ/0.000125062,1000.,1000./
C
C INITIALIZE THE WORK ARRAYS
C
DO 2100 K = 1, L
P2(K) = 0.
P4(K) = 0.
2100 CONTINUE
C
DO 2102 K = 1, L
C
C CONSTRUCT THE FUNCTION P(Z)
C
P(K) = P0*EXP(-A*Z(K))
C
15

14. C COMPUTE THE ANALYTICAL DERIVATIVE
C
ANAL(K) = -A*P0*EXP(-A*Z(K))
C
2102 CONTINUE
C
C COMPUTE THE SECOND ORDER ESTIMATE
C
CALL DDX2 (P,P2,L,DZ,1)
C
C COMPUTE THE FOURTH ORDER ESTIMATE
C
CALL DDX4 (P,P4,L,DZ)
C
C WRITE OUTPUT . THE 4TH ORDER DERIVATIVE IS OMITTED AT THE FIRST
C AND LAST 2 POINTS SINCE IT IS NOT DEFINED AS 4TH ORDER.
C
WRITE (6,1000)
WRITE (6,1001)
C
DO 2104 K = 1, L
IF (K.LE.2.OR.K.GE.(L-1)) THEN
WRITE(6,1002) ANAL(K), P2(K)
ELSE
WRITE(6,1003) ANAL(K), P2(K), P4(K)
ENDIF
2104 CONTINUE
C
1000 FORMAT (5X,'ANALYTICAL',15X,'SECOND ORDER',13X,'FOURTH ORDER')
1001 FORMAT (5X,' SOLUTION ',15X,' ESTIMATE ',13X,' ESTIMATE ',/)
1002 FORMAT (5X,F10.6,15X,F10.6)
1003 FORMAT (5X,F10.6,15X,F10.6,15X,F10.6)
STOP
END
2.4 To¸n tö Laplaxian
Laplaxian cña hµm u(x,y) vÒ h×nh thøc ®­îc x¸c ®Þnh bëi
2u 2u
 2 u ( x , y)   (2.22)
x 2 y 2
vµ xuÊt hiÖn trong rÊt nhiÒu c¸c ph­¬ng tr×nh c¶nh b¸o vµ dù b¸o trong khÝ t­îng.
ViÖc øng dông t­¬ng tù h÷u h¹n cña chóng rÊt thuËn tiÖn cho viÖc gi¶i nhiÒu bµi
to¸n. Ph¸t triÓn d¹ng sai ph©n h÷u h¹n cña to¸n tö Laplaxian dùa vµo khai triÓn
Taylor hai chiÒu quanh mét ®iÓm (a,b)
u (a , b) u (a , b) ( x  a ) 2  2 u (a , b )
u(x,y) = u(a,b)+(xa) +(yb) +
x y 2! x 2
( y  b) 2  2 u ( a , b)  2 u ( a , b)
+ + (xa)(yb) +... . (2.23)
2! y 2 xy
16

15. Thõa nhËn mét l­íi ®iÒu hoµ theo hai h­íng x vµ y th× khai triÓn Taylor cña
hµm u(x  h, y  h) quanh (x, y) cã thÓ biÓu diÔn nh­ sau:
2
    h2    
u(x+h,y+h)=u(x,y)+ h  u ( x, y) 
 x y     u ( x , y)  ... ,
 x y  (2.24)
  2!  
2
    h2    
u(xh,yh)=u(x,y) h  u ( x, y) 
 x y     u ( x , y)  ... ,
 x y  (2.25)
  2!  
2
    h2    
u(xh,y+h)=u(x,y) h   u ( x, y) 
 x y     u ( x, y)  ... ,
 x y  (2.26)
  2!  
2
    h2    
u(x+h,yh)=u(x,y)+ h   u ( x, y) 
 x y     u ( x, y)  ... ,
 x y  (2.27)
  2!  
trong ®ã h lµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm kÒ nhau cña l­íi. T­¬ng tù, bèn ph­¬ng
tr×nh kh¸c cã thÓ viÕt cho u(x,y+h), u(x-h,y), u(x,y-h) vµ u(x+h,y) quanh (x,y). Céng
(2.24) ®Õn (2.27) sÏ nhËn ®­îc biÓu thøc sau
u(x+h,y+h)+u(xh,y+h)+u(xh,yh)+u(x+h,yh)=4u(x,y)+
 2u 2u  h 4  4 4  6
 4

2h 2  2  2     u  4  u  + h   6 u  12 2  u   (h 8 ) . (2.28)
 x
 y  6 
  x 2 y 2  180 
  x 2 y 2 

Sö dông bèn khai triÓn kh¸c ta sÏ t¹o ra tæng sau
u(x,y+h)+u(xh,y)+u(x,yh)+u(x+h,y)=4u(x,y)
  u 2u 
2
h 4  4u 4u  h6  6u 6u 
+ h2  2  2  +   4 +    + (h2) . (2.29)
 x y  12  x 4 y  360  x 6 y 6 
    
Tæng nµy sÏ ®­a ®Õn Laplaxian bËc hai mÉu l­íi 5 ®iÓm ( H×nh 2.2)
1
 2 u = 2 u ( x , y  h )  u ( x  h , y)  u ( x , y  h )  u ( x  h , y)  4( u ( x, y)   (h 2 ) . (2.30)
h
u(x,y+h)

u(x-h,y) u(x,y) u(x+h,y)
  
u(x,y-h)

H×nh 2.2. MÉu l­íi 5 ®iÓm
T­¬ng tù, sö dông (2.28) vµ (2.29) sÏ cã Laplaxian bËc hai trªn mÉu l­íi 9 ®iÓm.
(H×nh 2.3)
1
 2u = 44u ( x  h , y)  u (x  h , y)  u (x , y  h )  u (x , y  h )
6h 2
+ u ( x  h, y  h )  u ( x  h , y  h )  u ( x  h, y  h )  u ( x  h , y  h )  20u ( x, y) + (h 2 ) . (2.31)
17

16. u(x-h,y+h) u(x+h,y+h)
  
u(x,y)
  
  
u(x-h,y-h) u(x+h,y-h)
H×nh 2.3. MÉu l­íi 9 ®iÓm
CÇn l­u ý: c¶ hai biÓu thøc (2.30) vµ (2.31) ®Òu lµ s¬ ®å chÝnh x¸c bËc hai. S¬
®å mÉu l­íi 9 ®iÓm nãi chung chÝnh x¸c h¬n s¬ ®å mÉu l­íi 5 ®iÓm trong nhiÒu øng
dông. Tuy nhiªn trong nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh Laplax ®èi víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn
kh«ng thuÇn nhÊt th× Laplaxian t­¬ng ®­¬ng kh«ng vµ do ®ã s¬ ®å mÉu 9 ®iÓm trë
thµnh chÝnh x¸c bËc bèn. Gi¶i Laplaxian mÉu 9 ®iÓm chÝnh x¸c bËc bèn tæng qu¸t
nhËn ®­îc b»ng kü thuËt lÆp. Qu¸ tr×nh nµy bao gåm ®¸nh gi¸ liªn tiÕp 4g =2f,
trong ®ã f = 2g, víi sö dông mÉu 9 ®iÓm trªn gi¸ trÞ lÆp cña f b¾t ®Çu tõ f = 0 ë lÇn
lÆp ®Çu tiªn.
Sau ®©y lµ m· nguån m¸y tÝnh c¸c Laplaxian kh¸c nhau. Sè liÖu dïng ®Ó
®¸nh gi¸ nh÷ng gi¸ trÞ kh¸c nhau cña Laplaxian t¹o ra b»ng mét hµm l­îng gi¸c
cã nghiÖm ®· biÕt. Sai sè trung b×nh b×nh ph­¬ng gi÷a c¸c x¸c ®Þnh sai ph©n h÷u
h¹n vµ nghiÖm lý thuyÕt còng ®· ®­îc tÝnh. Ch­¬ng tr×nh ®iÒu khiÓn dïng ba
ch­¬ng tr×nh con kh¸c nhau: LAP94, LAP92 vµ LAP52; Chóng x¸c ®Þnh nh÷ng
Laplaxian bËc bèn 9 ®iÓm, bËc hai 9 ®iÓm vµ bËc hai 5 ®iÓm t­¬ng øng. S¶n phÈm
(outputs) minh häa vÝ dô nµy cho trong B¶ng 2.2.
18

17. B¶ng 2.2. TÝnh Laplacian ®é chÝnh x¸c bËckh¸c nhau
9 ®iÓm . bËc 4 RMS = 0.3526635E - 07 RMS ERROR/RMS ZTA = 0.195E + 01 %
9 ®iÓm . bËc 2 RMS = 0.2346851E - 06 RMS ERROR/RMS ZTA = 0.129E + 02 %
5 ®iÓm . bËc 2 RMS = 0.1656866E - 06 RMS ERROR/RMS ZTA = 0.914E + 01 %
§iÓm NghiÖm ph©n tÝch NghiÖm x¸c ®Þnh NghiÖm x¸c ®Þnh NghiÖm x¸c ®Þnh
I J bËc 4, 9 ®iÓm bËc 2, 9 ®iÓm bËc 2, 5 ®iÓm
1 4 0.30498759E-05 0.30498759E-05 0.30498759E-05 0.30498759E-05
2 4 -0.41585830E-04 -0.41345917E-04 -0.34947032E-04 -0.36936442E-04
3 4 -0.24536503E-04 -0.23390865E-04 -0.20471325E-04 -0.21700844E-04
4 4 0.30636264E-04 0.31358573E-04 0.26373036E-04 0.27602553E-04
5 4 0.47685582E-04 0.47303711E-04 0.40848721E-04 0.42838128E-04
6 4 0.30498677E-05 0.20453918E-05 0.29508433E-05 0.29508442E-04
7 4 -0.41585830E-04 -0.41290550E-04 -0.34947028E-04 -0.36936435E-04
8 4 -0.24536515E-04 -0.23376351E-04 -0.20471340E-04 -0.21700860E-04
9 4 0.30636271E-04 0.31288360E-04 0.26373045E-04 0.27602566E-04
10 4 0.47685582E-04 0.47685582E-04 0.47688582E-04 0.47685582E-04
PROGRAM LAPLACIAN
C
C THIS PROGRAM COMPUTES THE LAPLACIAN USING THE FIVE-POINT SECOND
C ORDER,NINE-POINT SECOND ORDER AND THE ITERATED NINE-POINT FOURTH
C ORDER LAPLACIAN SCHEMES.IT ALSO COMPUTES THE ROOT MEAN SQUARE ER
C -RORS AND COMPARES THE ACCURACY OF THE DIFFERENT SCHEMES TO THE A
C -NALYTICAL SOLUTION.
C
PARAMETER (L=10,M=20)
C
C DECLARE VARIABLES AND DEFINES SOME CONSTANTS.
C
REAL PSI(L,M),ZTA(L,M),A(L,M)
REAL B (L,M),C(L,M),X(L),Y(M)
PI = 4.*ATAN(1.0)
H = 200.
YK = 2.*PI/1000.
YL = PI / 1000.
C
X(1) = 0.
Y(1) = 0.
DO 2200 I = 2, L
IM1 = I-1
DO 2200 J = 2, M
JM1 = J-1
X(I) = X(IM1) + H
Y(J) = Y(JM1) + H
2200 CONTINUE
19

18. SUM = 0.
C
C CONSTRUCT THE STRAMFUNCTION(PSI) PSI = SIN (KX)*SIN(LY)+ COS(LY)
C AND THE VORTICITY (ZTA) AS ZTA = D2(PSI)/DX2 + D2(PSI)/DY2
C
DO 2202 I = 1, L
DO 2202 J = 1, M
PSI(I,J) = SIN(YK*X(I)) * SIN(YL*Y(J)) + COS(YL*Y(J))
ZTA(I,J) = -(YK**2+YL**2)*SIN(YK*X(I)) * SIN(YL*Y(J))
& -YL**2 * COS(YL*Y(J))
A(1,J) = ZTA(1,J)
A(L,J) = ZTA(L,J)
A(I,1) = ZTA(I,1)
A(I,M) = ZTA(I,M)
SUM = SUM + (ZTA(I,J) / (L*M))**2
2202 CONTINUE
SU = SQRT( SUM )
N = 1
25 GO TO ( 30,40,50,60 ) N
30 WRITE(6,1000)
C
C COMPUTE THE 9 PTS 4TH ORDER.
C
CALL LAP94 (PSI,A,B,C,H,L,M)
C
GO TO 70
40 WRITE(6,1001)
C
C COMPUTE THE 9 PTS 2TH ORDER.
C
CALL LAP92 (PSI,A,H,L,M)
C
GO TO 70
50 WRITE(6,1002)
C
C COMPUTE THE 5 PTS 2TH ORDER.
C
CALL LAP52 (PSI,A,H,L,M)
C
70 CONTINUE
DIF = 0.
DO 2204 I = 1, L
DO 2204 J = 1, M
DIF = DIF + ((ZTA(I,J) - A(I,J)) / (L*M))**2
2204 CONTINUE
DIF = SQRT(DIF)
SUM = (DIF / SU ) * 100
WRITE(6,1003) DIF, SUM
C
C OUTPUT DISPLAY FOR ONE COLONE.
C
WRITE(6,1004) ((I,J,ZTA(I,J),A(I,J),I=1,L), J=4,4)
N = N + 1
20

19. GO TO 25
60 CONTINUE
1000 FORMAT(//,20X,'NINE POINTS FOURTH ORDER LAPLACIAN SCHEME.'//)
1001 FORMAT(//,20X,'NINE POINTS SECOND ORDER LAPLACIAN SCHEME.'//)
1002 FORMAT(//,20X,'FIVE POINTS SECOND ORDER LAPLACIAN SCHEME.'//)
1003 FORMAT(9X, 'RMS ERROR = ',E13.7,8X, 'RMS ERROR/RMS ZTA = ',
&E9.3,1X, 'PERCENT.'//,2X,'I J',5X, 'ANALYTICAL
SOL',1X,'ESTIMATED
& SOL.',2X,'I J',5X, 'ANALYTICAL SOL',1X,'ESTIMATED SOL',/)
1004 FORMAT( 2(2I3,4X,2E15.8) )
STOP
END
2.5 To¸n tö Jacobian
Jacobian còng lµ mét to¸n tö th­êng dïng trong khi gi¶i nhiÒu bµi to¸n ®Þa
vËt lý. PhÇn lín nã xuÊt hiÖn trong c¸c sè h¹ng b×nh l­u phi tuyÕn. VÝ dô trong
ph­¬ng tr×nh xo¸y, b×nh l­u cña xo¸y sinh ra bëi giã ngang cho b»ng

A d  Vg. p  . (2.32)

Vg lµ vect¬ giã ®Þa chuyÓn vµ x¸c ®Þnh bëi
   gz  
Vg  k     k   ,
f  (2.33)
 o
trong ®ã g lµ gia tèc träng tr­êng, z lµ ®é cao, fo lµ tham sè Coriolis. Xo¸y t­¬ng
®èi,  , x¸c ®Þnh bëi
 
 = k .  V   2  , (2.34)
trong ®ã  lµ hµm dßng ®Þa chuyÓn. Nh­ vËy
    
A d =  k  . p  =  . (2.35)
y x x y
§¹i l­îng nµy th­êng biÓu diÔn t­îng tr­ng b»ng
A d =  J (  , ) . (2.36)
J lµ Jacobian. To¸n tö nµy xuÊt hiÖn trong rÊt nhiÒu ph­¬ng tr×nh, trong ®ã mét sè
®¹i l­îng lµ bÊt biÕn (invariant). Tuy nhiªn, khi mét t­¬ng tù sai ph©n h÷u h¹n
®­îc ¸p dông vµo c¸c ph­¬ng tr×nh nh­ vËy th× cÇn thËn träng ®Ó cho sai sè sinh ra
bëi ph­¬ng ph¸p sai ph©n sÏ kh«ng lµm sai lÖch c¸c nguyªn lý b¶o toµn. VÝ dô,
trong ®éng lùc häc chÝnh ¸p th× Jacobian xuÊt hiÖn trong ph­¬ng tr×nh xo¸y d¹ng
sau:
 a 
=  J (  , )   , (2.37)
t x
f
trong ®ã = vµ f lµ tham sè Coriolis. C¸c biÕn a vµ  biÓu diÔn xo¸y tuyÖt ®èi vµ
y
t­¬ng ®èi t­¬ng øng. Khi lÊy tÝch ph©n trªn mét vïng khÐp kÝn th× ph­¬ng tr×nh
21

20. 2
  2 
nµy cã hai ®¹i l­îng bÊt biÕn vïng. §ã lµ ®éng n¨ng tæng trung b×nh   vµ
 2 
 
xo¸y b×nh ph­¬ng trung b×nh  2   f  2
. Nh÷ng bÊt biÕn tÝch ph©n nµy sÏ ®­îc bµn
trong hai ch­¬ng 10 vµ 11. Arakawa (1966) ®· nghiªn cøu rÊt nhiÒu vÒ thiÕt lËp
nªn nh÷ng t­¬ng tù sai ph©n h÷u h¹n Jacobian vµ ®­a ra ba d¹ng sau ®©y
   
J ( , ) =  , (2.38)
x y y x
       
J (  , ) =     , (2.39)
x  y  y  x 
 
       
J ( , ) =      . (2.40)
y  x  x  y 
 
D¹ng ®Çu tiªn gäi lµ d¹ng b×nh l­u, cßn hai d¹ng cuèi lµ hai d¹ng th«ng l­îng
cña Jacobian. ë ®©y cßn cã thÓ chøng minh ®­îc sù b¶o toµn cña ®éng n¨ng trung
b×nh vïng, vµ c¸c ®iÒu kiÖn xo¸y b×nh ph­¬ng trung b×nh cã thÓ biÓu diÔn t­¬ng
øng b»ng
.J(, ) =0 , (2.41)
vµ
.J( , ) =0 . (2.42)
2.5.1 Jacobian bËc hai
Trong tr­êng hîp nµy, thiÕt lËp c¸c Jacobian sai ph©n h÷u h¹n nªn chän
thÝch hîp ®Ó tháa m·n nh÷ng yªu cÇu trªn. D¹ng sai ph©n cña (2.38), (2.39) vµ
(2.40) cho b»ng:
1
JJ1 =  i1, j   i1, j  i, j1   i, j1    i, j1   i, j1 i1, j   i1, j  , (2.43)
4h 2
1
JJ 2     
 i, j1  i 1, j1   i 1, j1   i, j1  i 1, j1   i 1, j1 
4h 2 , (2.44)
   
  i 1, j  i 1, j1   i 1, j1   i 1, j  i 1, j1   i 1, j1 
1
JJ 3     
 i 1, j  i 1, j1   i 1, j1   i 1, j  i 1, j1   i 1, j1 
4h 2 . (2.45)
  
  i, j1  i 1, j1   i 1, j1   i , j1  i 1, j1   i 1, j1 
Arakawa chØ ra r»ng, Jacobian chÝnh x¸c bËc hai sau ®©y
1
JJ  JJ1  JJ 2  JJ 3  (2.46)
3
tháa m·n nh÷ng ®ßi hái tÝch ph©n vÒ ®éng n¨ng toµn phÇn vµ xo¸y b×nh ph­¬ng
trung b×nh. §Ó chøng minh ®iÒu ®ã ®em nh©n JJ víi  hoÆc  vµ céng víi nhau
trªn mét mÉu 9 ®iÓm. Khö bá hîp lý gi÷a c¸c ®iÓm c¹nh nhau ®Ó cho c¸c ®¹i l­îng
nµy biÕn mÊt trªn toµn vïng.
22

21. Ch­¬ng tr×nh con JAC x¸c ®Þnh Jacobian bËc hai Arakawa vµ tháa m·n c¸c
quan hÖ tÝch ph©n cña b¶o toµn ®éng n¨ng toµn phÇn vµ xo¸y b×nh ph­¬ng trung
b×nh. Mét vÝ dô cña tÝnh to¸n Jacobian Arakawa víi sö dông cïng mét hµm gi¶i
tÝch nh­ trong (LAPLACIAN) d­îc thùc hiÖn bëi ch­¬ng tr×nh (JACOBIAN). S¶n
phÈm tõ ch­¬ng tr×nh nµy ®­îc biÓu diÔn trong B¶ng 2.3.
B¶ng 2.3. S¬ ®å Jacobian Arakawa
§iÓm ­íc l­îng Jacobian
I J
1 4 -0.38074524E-09
2 4 -0.14543172E-09
3 4 0.38074521E-09
4 4 0.38074513E-09
5 4 -0.14543179E-09
6 4 -0.47062687E-09
7 4 -0.14543169E-09
8 4 0.38074519E-09
9 4 0.38074519E-09
10 4 -0.38074521E-09
2.5.2 Jacobian bËc bèn
Jacobian Arakawa víi ®é chÝnh x¸c bËc bèn cã thÓ nhËn ®­îc b»ng mét tæ
hîp ®Çy ®ñ cña nh÷ng Jacobian bËc hai 5 ®iÓm víi mÉu 13 ®iÓm nh­ trªn H×nh 2.4.
Nguyªn t¾c lµ tæ hîp sÏ cung cÊp cho ta mét phÐp khö chÝnh x¸c nh÷ng sè h¹ng bËc
hai vµ bËc ba. CÊu tróc cña Jacobian chÝnh x¸c bËc bèn gièng víi cÊu tróc cña
chÝnh x¸c bËc hai vµ sÏ kh«ng ®­îc tr×nh bµy trong gi¸o tr×nh nµy. Khã kh¨n c¬
b¶n gÆp ph¶i trong qu¸ tr×nh gi¶i sè c¶ Jacobian bËc bèn vµ bËc hai lµ ë x¸c ®Þnh
®iÒu kiÖn biªn. Sù b¶o toµn nh÷ng bÊt biÕn bËc hai, trong nh÷ng biÓu diÔn sai
ph©n h÷u h¹n, ®ßi hái khö J ( , ) ,  J ( , ) vµ  J ( , ). §ã lµ khö bá tõng sè
h¹ng trong khai triÓn biÓu thøc trªn cho tõng nót l­íi g¾n liÒn víi nh÷ng phÇn
®ãng gãp tõ nh÷ng ®iÓm ®øng c¹nh trùc tiÕp. §iÒu nµy dÔ dµng øng dông cho
nh÷ng ®iÓm cña miÒn trong cña vïng, nh­ng l¹i ®ßi hái mét gÇn ®óng cho c¸c biÓu
thøc sai ph©n h÷u h¹n ë trªn vïng biªn ®Ó ®¶m b¶o ®­îc phÐp khö nªu trªn lµ hîp
lý. TÝnh hîp lý nµy ®­îc tr×nh bµy trong Arakawa (1966). Tuy nhiªn, kinh nghiÖm
cho thÊy r»ng viÖc chän hµm dßng bÊt biÕn theo thêi gian vµ c¸c ®iÒu kiÖn xo¸y
trªn biªn däc theo kinh tuyÕn cïng víi mét ®iÒu kiÖn biªn chu kú däc theo vÜ tuyÕn
lµ ®¬n gi¶n h¬n vµ kh«ng cã h¹i cho c¸c bÊt biÕn b×nh ph­¬ng ®èi víi Jacobian
Arakawa bËc hai 9 ®iÓm. Ng­êi ta cßn t×m thÊy r»ng c¸c ®¹i l­îng nµy duy tr× gÇn
nh­ kh«ng ®æi trong ba ®Õn bèn ngµy tÝch ph©n.
23

22. 
  
    
  

H×nh 2.4. MÉu l­íi 13 ®iÓm
PROGRAM JACOBIAN
C
C THIS PROGRAM COMPUTES THE ARAKAWA JACOBIAN OVER A DOMAIN OF GRID
C -ED DATA.IT USES A NINE POINT FOUTH ORDER SCHEME.
C
PARAMETER (L=10,M=20,L1=L-1,M1=M-1,L2=L-2,M2=M-2)
REAL PSI(L,M),ZTA(L,M),A(L,M),X(L),Y(M),DX(M)
PI = 4.*ATAN(1.0)
H = 200.
DY = H
DO 2300 J = 1, M
2300 DX(J) = DY
YK = 2.*PI/1000.
YL = PI / 1000.
X(1) = 0.
Y(1) = 0.
DO 2302 I = 2, L
IM1 = I-1
DO 2302 J = 2, M
JM1 = J-1
X(I) = X(IM1) + H
Y(J) = Y(JM1) + H
2302 CONTINUE
SUM = 0.
DO 2304 I = 1, L
DO 2304 J = 1, M
C
C DEFINE THE ANALYTICAL FUNCTIONS PSI AND ZTA.
C
PSI(I,J) = SIN(YK*X(I)) * SIN(YL*Y(J)) + COS(YL*Y(J))
ZTA(I,J) = -(YK**2+YL**2)*SIN(YK*X(I))*SIN(YL*Y(J))-
& YL**2 * COS(YL*Y(J))
A(1,J) = ZTA(1,J)
A(L,J) = ZTA(L,J)
A(I,1) = ZTA(I,1)
A(I,M) = ZTA(I,M)
SUM = SUM + (ZTA(I,J) / (L*M))**2
2304 CONTINUE
C
C COMPUTE THE JACOBIAN
C
CALL JAC (A,PSI,ZTA,DX,DY,L,M,L1,M1,L2,M2)
C
24

23. C DISPLAY OUTPUTS FOR 1 COLUMN .
C
WRITE (6,1000)
WRITE (6,1001)
WRITE (6,1002)((I,J,A(I,J),I=1,L),J=4,4)
1000 FORMAT(//,20X,'ARAKAWA JACOBIAN SCHEME.',//)
1001 FORMAT(2X,'I J',10X, 'ESTIMATED JACOBIAN',//)
1002 FORMAT( (2I3,8X,E15.8) )
STOP
END
2.6. Sai ph©n thêi gian
Mét vÊn ®Ò kh¸c th­êng gÆp khi gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh thèng trÞ chuyÓn ®éng
trong khÝ quyÓn lµ vÊn ®Ò tÝch ph©n thêi gian. Nh÷ng kh¸i niÖm to¸n häc chi tiÕt
sö dông trong kü thuËt sai ph©n h÷u h¹n ®Ó gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh vi ph©n riªng
v­ît ngoµi khu«n khæ gi¸o tr×nh nµy. Tuy vËy, ë ®©y còng giíi thiÖu kh¸i qu¸t mét
sè khÝa c¹nh quan träng vèn cã g¾n liÒn víi viÖc gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh phô thuéc
thêi gian b»ng c¸c ph­¬ng ph¸p sè. Kh«ng gièng nh­ c¸c s¬ ®å sai ph©n kh«ng
gian, s¬ ®å sai ph©n thêi gian ®ßi hái ®é chÝnh x¸c bËc nhÊt vµ bËc hai. Nh÷ng s¬
®å bËc cao h¬n thÓ hiÖn qu¸ cång kÒnh vµ kh«ng ®­îc øng dông réng r·i trong dù
b¸o thêi tiÕt sè.
§Ó ®¬n gi¶n vµ kh«ng lµm mÊt tÝnh tæng qu¸t cña c¸c s¬ ®å sai ph©n thêi
gian, vÊn ®Ò bµn ®Õn sau ®©y tËp trung vµo tÝch ph©n mét ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
®¬n gi¶n d¹ng sau:
u ( x, t ) u ( x, t )
c 0 , (2.47)
t x
trong ®ã c lµ mét h»ng sè. Ta thõa nhËn u(x,t) lµ mét hµm cã d¹ng

u(x,t)= Re u ( t )e ikx  , (2.48)
trong ®ã k lµ mét h»ng sè. ThÕ vµo (2.47) víi sö dông  = -kc sÏ ®­a ®Õn
u ( x , t )
 iu ( x , t )  0 . (2.49)
t
LÊy tÝch ph©n gi÷a hai mùc thêi gian , t0 vµ t, vµ thõa nhËn t0 = 0 ta sÏ cã
u(x,t)= u ( x , t 0 )e it , (2.50)
trong ®ã u(x,t0) lµ biªn ®é cña hµm t¹i thêi ®iÓm t0. CÇn nhí r»ng u(x,y) ®­îc x¸c
®Þnh chÝnh x¸c t¹i bÊt kú thêi ®iÓm t nµo víi ®iÒu kiÖn biªn ®é ban ®Çu cña nã ®·
biÕt. Bëi vËy nã cho ta gi¸ trÞ chÝnh x¸c nÒn ®Ó so s¸nh víi c¸c nghiÖm cña (2.47)
nhËn ®­îc nhê sö dông bÊt kú s¬ ®å sai ph©n thêi gian nµo. Thªm vµo ®ã, v× biªn
®é cña sãng bÞ giíi h¹n bëi u ( x , t 0 ) , nªn bÊt kú sù biÕn ®æi nµo cña u(x,t) ngoµi
nh÷ng giíi h¹n nµy trong qu¸ tr×nh tÝch ph©n (2.49) b»ng ph­¬ng ph¸p sè ®Òu quy
kÕt cho s¬ ®å tÝch ph©n. VËy th×, rÊt quan träng lµ x¸c ®Þnh ®­îc nh÷ng s¬ ®å sai
ph©n thêi gian nµo kh«ng lµm khuyÕch ®¹i nghiÖm. Cuèi cïng (2.50) cã thÓ viÕt l¹i
25

24. d¹ng sau
u(x,nt)= u ( x, t 0 )e int (2.51)
trong ®ã n lµ mùc thêi gian. NÕu bá qua täa ®é kh«ng gian vµ chØ kh¶o s¸t tÝch
ph©n thêi gian th× cuèi cïng cã thÓ biÓu diÔn (2.51) d­íi d¹ng sau
u(nt)= u ( t 0 )e int . (2.52)
§Ó x¸c ®Þnh ®­îc ®é æn ®Þnh cña s¬ ®å, ng­êi ta ®­a vµo sö dông nh©n tè khuyÕch
®¹i  sau
u n 1  u n . (2.53)
§é æn ®Þnh cña s¬ ®å khi ®ã x¸c ®Þnh bëi
 1 æn ®Þnh ,
 0 phiÕm ®Þnh (2.54)
 1 bÊt æn ®Þnh .
Víi sö dông ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh ®¬n gi¶n, nh­ng quan träng nµy th×
®é æn ®Þnh cña mét sè s¬ ®å sai ph©n thêi gian cæ ®iÓn sÏ ®­îc bµn trong c¸c tiÕt
sau. ë ®©y cÇn nhí r»ng, sù thiÕt lËp s¬ ®å sai ph©n thêi gian ph¶i lµ quan träng
trung t©m trong viÖc m· hãa mét m« h×nh phô thuéc thêi gian.
2.6.1. S¬ ®å tiÕn (Euler), s¬ ®å lïi vµ s¬ ®å bËc thang
Kh¸i niÖm c¬ b¶n cña tÝch ph©n thêi gian lµ dù b¸o gi¸ trÞ cña mét hµm phô
thuéc thêi gian ë mùc thêi gian (n+1) khi gÝa trÞ cña nã ë mùc thêi gian n ®· biÕt.
Bëi vËy ta viÕt l¹i (2.49) d¹ng sau
du ( t )
 F(u , t ) , (2.55)
dt
vµ lÊy tÝch ph©n nã gi÷a thêi ®iÓm nt vµ (n+1)t ta sÏ nhËn ®­îc
( n 1) t
u n 1  u n   F(u, t )dt , (2.56)
nt
trong ®ã F(u,t) lµ hµm b¾t buéc vµ nhËn c¸c gi¸ trÞ
F  F n
 t¹i t  nt
 , (2.57)
F  F n 1
 t¹i t  (n  1)t
NÕu Fn+1 lµ hµm cña un+1 th× s¬ ®å ®­îc gäi lµ s¬ ®å Èn, ng­îc l¹i sÏ ®­îc gäi lµ s¬
®å hiÖn. Trong kho¶ng (nt, (n+1)t), F(u,t) cã thÓ ®­îc biÓu diÔn b»ng mét tæ hîp
c¸c gi¸ trÞ cña nã ë c¸c b­íc thêi gian n vµ (n+1) d¹ng sau
F  F n  F n 1 . (2.58)
Trong tr­êng hîp nµy (2.56) cã thÓ viÕt l¹i d¹ng
 
u n 1  u n  t F n   F n 1 víi +=1 , (2.59)
26

25. trong ®ã c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña  vµ  sÏ ®­a ®Õn c¸c s¬ ®å kh¸c nhau. VÝ dô
 = 1,  = 0 s¬ ®å tiÕn (Euler) ,
 = 0,  = 1 s¬ ®å lïi ,
 = 1/2,  = 1/2 s¬ ®å bËc thang .
Thay c¸c gi¸ trÞ nµy vµo hÖ sè cña F trong (2.59) sÏ cho ta

u n 1  u n  t (iu n )  (iu n 1 )  (2.60)
hay
1  i t n
u n1  u . (2.61)
1  it
Nh©n tè khuyÕch ®¹i khi ®ã sÏ nhËn gi¸ trÞ sau
1
 
 
 1   p 2 2     2 p 2  2
 , (2.62)

 
1  p2 2 2
 

trong ®ã p = t.
2.6.1.1. S¬ ®å tiÕn Euler
Trong tr­êng hîp nµy  = 1,  = 0, vµ nh©n tè khuyÕch ®¹i cho b»ng
1
  1  p2  
2 . (2.63)
V× p2 lu«n lu«n d­¬ng,  lu«n lu«n lín h¬n ®¬n vÞ vµ s¬ ®å ®­îc gäi lµ bÊt æn ®Þnh.
2.6.1.2. S¬ ®å lïi
ë ®©y  = 0,  = 1, vµ nh©n tè khuyÕch ®¹i trë thµnh
1
  1 p2   
2 (2.64)
S¬ ®å nµy lµ æn ®Þnh v« ®iÒu kiÖn v× nh©n tè khuyÕch ®¹i  lu«n lu«n nhá
h¬n mét. H¬n n÷a nh©n tè khuyÕch ®¹i gi¶m khi tÇn sè sãng t¨ng, vµ do ®ã lµm
suy yÕu nhanh h¬n nh÷ng mode cao tÇn. Bëi vËy, viÖc sö dông s¬ ®å lïi lµ mong
muèn khi b¾t ®Çu tÝch ph©n m« h×nh ®Ó lµm gi¶m biªn ®é sãng träng tr­êng.
2.6.1.3. S¬ ®å bËc thang
§èi víi s¬ ®å nµy  =  = 1/2 vµ nh©n tè khuyÕch ®¹i cho b»ng
 =1 . (2.65)
Nh÷ng s¬ ®å nh­ vËy ®­îc gäi lµ s¬ ®å phiÕm ®Þnh hay s¬ ®å kh«ng khuyÕch ®¹i .
27

26. 2.6.2. S¬ ®å Matsuno vµ s¬ ®å Heun
Lo¹i c¸c s¬ ®å nµy ®­îc gäi lµ c¸c s¬ ®å dù b¸o-hiÖu chØnh (predictor-
corrector) vµ ®­îc dïng trong ph­¬ng ph¸p hai b­íc. ë ®©y còng dïng ph­¬ng
tr×nh sãng c¬ b¶n (basic) ®Ó thùc hiÖn s¬ ®å vµ ph©n tÝch ®é æn ®Þnh cña nã. §ã lµ
du
=F . (2.66)
dt
Ph­¬ng tr×nh nµy ®­îc tÝch ph©n hai lÇn liªn tiÕp. Tr­íc hÕt dù b¸o u n 1 ®­îc thùc
* *
hiÖn vµ ký hiÖn lµ u ( n 1) . B­íc thø hai bao gåm ®¸nh gi¸ F n 1 víi sö dông u ( n 1) .
*
Cuèi cïng F ( n 1) ®­îc dïng ®Ó hoµn thiÖn gi¸ trÞ ®Çu tiªn cña u n 1 . ThiÕt lËp sai
ph©n h÷u h¹n cña qu¸ tr×nh nµy viÕt ®­îc nh­ sau
*
b­íc dù b¸o u ( n 1) = u n  tF n , (2.67)
 *
b­íc hiÖu chØnh u n 1 = u n  t F n   F ( n 1)  , (2.68)
 
* *
trong ®ã F ( n 1) nhËn ®­îc b»ng sö dông u ( n 1) .
Thay thÕ ®èi víi F vµ kÕt hîp (2.67) víi (2.68) sÏ cho ta
 
u n 1 = u n  it u n   u n  itu n  , (2.69)
hay
 
u n 1 = 1   2 t 2  i(  )t  u n .  (2.70)
V× ( + ) = 1 nªn nh©n tè khuyÕch ®¹i ®èi víi c¸c lo¹i s¬ ®å nµy cã thÓ biÓu
diÔn b»ng
1



   1   2 t 2 2
  t 2 22


(2.71)
2.6.2.1. S¬ ®å Matsuno
§èi víi s¬ ®å nµy  = 0,  = 1. Nh­ vËy nh©n tè khuyÕch ®¹i trë nªn ®¬n gi¶n
lµ
1



   1  p2 
2
p 22


, (2.72)
hay
2
  p4  p2 1 , (2.73)
vµ ®iÒu kiÖn æn ®Þnh biÓu diÔn bëi
  1 nÕu t  1 . (2.74)
S¬ ®å nµy nãi chung kh«ng thÝch hîp cho nh÷ng mode cao tÇn.
2.6.2.2 S¬ ®å Heun
1 1
Trong tr­êng hîp nµy  = vµ  = vµ ®é æn dÞnh cho b»ng
2 2
28

27. 1
 p4  2
  1   . (2.75)

 4

Nh­ vËy s¬ ®å Heun lµ bÊt æn ®Þnh kh«ng ®iÒu kiÖn.
2.6.3. S¬ ®å Adams Bashforth
§©y lµ mét s¬ ®å ba mùc thêi gian, thiÕt lËp sai ph©n cña nã cho b»ng
3 1 
u n 1 = u n  ikc t  u n  u n 1  . (2.76)
2 2 
Trong thiÕt lËp nµy ®¹o hµm kh«ng gian cña hµm nhËn ®­îc d­íi d¹ng tæ hîp
tuyÕn tÝnh cña nh÷ng gi¸ trÞ cña chóng ë c¸c mùc thêi gian n vµ n-1. Thay cho un+1
vµ un sÏ nhËn ®­îc d¹ng sau ®©y ®èi víi ®iÒu kiÖn æn ®Þnh
 3  1
2  1  i t   it  0 , (2.77)
 2  2
trong ®ã  = -kx. §©y lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi  vµ cã hai nghiÖm
1  3  9 2 2 
1  1  i t   1   t  it  , (2.78)
2 
 2  4 

1  3  9 2 2 
2  1  i t   1   t  it  . (2.79)
2 
 2  4 

Râ rµng, s¬ ®å nµy lµ bÊt æn ®Þnh ®èi víi nh÷ng b­íc thêi gian lín. Tuy vËy khi t
gi¶m vµ tiÕn tíi kh«ng, 1  1 vµ  2  0 . 1 lµ nh©n tè khuyÕch ®¹i ®èi víi nghiÖm
vËt lý, ng­îc l¹i  2 biÓu diÔn mode tÝnh to¸n.
2.6.4. S¬ ®å Leap Frog
§©y còng lµ mét s¬ ®å ba mùc thêi gian. S¬ ®å sö dông nh÷ng gi¸ trÞ qu¸ khø
vµ hiÖn t¹i cña hµm ®Ó dù b¸o tr¹ng th¸i t­¬ng lai cña nã. Ngoµi ra s¬ ®å Leap
Frog ®­îc sai ph©n ë t©m theo kh«ng gian vµ do ®ã cßn gäi lµ s¬ ®å sai ph©n trung
t©m theo kh«ng gian, sai ph©n trung t©m theo thêi gian. §©y lµ mét trong nh÷ng
s¬ ®å sö dông phæ biÕn nhÊt trong dù b¸o thêi tiÕt sè. Khi ®ã nghiÖm cña mét
ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cã thÓ rêi r¹c hãa bëi
u(mx,nt)=u(nt) e ikmx , (2.80)
trong ®ã mx = x vµ nt = t. Thay vµo ph­¬ng tr×nh sãng vµ sö dông sai ph©n ë
t©m theo kh«ng gian vµ thêi gian ta sÏ cã
u m1  u m1
n n
u n1  u m1
n
 c m1 , (2.81)
2t 2 x
hay
u n 1  u n 1 
m m
x

ct n n
u m 1  u m 1  . (2.82)
29

28. Nhê thay u b»ng (2.80) sÏ nhËn ®­îc
u n1e ikmx  u n 1e ikmx  
x

ct n ik ( m1) x
u e  u n e ik ( m1) x  . (2.83)
Ph­¬ng tr×nh nµy sÏ ®­îc ®¬n gi¶n thµnh
2ict
u n1  u n 1   sin( kx )u n . (2.84)
x
Sö dông (2.53) sÏ thiÕt lËp ®­îc ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh sau
2ict
2   sin( kx )  1  0 . (2.85)
x
NghiÖm cña nã sÏ lµ
1
 c 2 t 2 2 ct
1  1  2
sin 2 (kx )   i sin( kx ) , (2.86)

 x 
 x
vµ
1
 c 2 t 2 2 ct
 2   1  2
sin 2 ( kx )  i sin( kx ) . (2.87)

 x 
 x
VËy th×
1   2  1 , (2.88)
vµ s¬ ®å lµ phiÕm ®Þnh. Tuy nhiªn ®iÒu quan träng cÇn l­u ý lµ: t tiÕn tíi kh«ng,
 1 tiÕn tíi 1 sÏ biÓu diÔn nghiÖm vËt lý, vµ  2 tiÕn tíi –1 biÓu diÔn nghiÖm tÝnh
to¸n. Ngoµi ra, ta cßn dÔ dµng nhËn thÊy r»ng, ®Ó cho ®¹i l­îng d­íi c¨n d­¬ng th×
®iÒu kiÖn sau ®©y cÇn ®­îc tháa m·n
ct
1 . (2.89)
x
§©y chÝnh lµ ®iÒu kiÖn quen ®­îc gäi lµ ®iÒu kiÖn Courant-Friedrichs-Levy, gäi t¾t
lµ ®iÒu kiÖn CFL.
2.6.5 C¸c s¬ ®æ Èn
C¸c s¬ ®å Èn th­êng kinh tÕ h¬n so víi s¬ ®å hiÖn t­¬ng øng cña chóng v× s¬
®å Èn cho phÐp chän b­íc thêi gian lín h¬n nhiÒu so víi b­íc thêi gian ®ßi hái bëi
CFL. Chóng cßn lµm suy yÕu dÇn biªn ®é cña nh÷ng sãng träng tr­êng chuyÓn
®éng nhanh. Trong c¸c s¬ ®å nµy th× ®¹o hµm kh«ng gian ë b­íc thêi gian n ®­îc
lÊy b»ng gi¸ trÞ trung b×nh gi÷a c¸c ®¹o hµm kh«ng gian t¹i c¸c b­íc thêi gian
(n+1) vµ (n-1). Kü thuËt nµy t­¬ng ®­¬ng víi ®¸nh gi¸ ®¹o hµm thêi gian ë b­íc
thêi gian 1/2. V× s¬ ®å thõa nhËn Èn mét gi¸ trÞ t­¬ng lai ch­a biÕt, nªn ®­îc gäi lµ
s¬ ®å Èn.
2.6.5.1 S¬ ®å hoµn toµn Èn
D­íi d¹ng Èn, mét t­¬ng tù sai ph©n h÷u h¹n cña ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
30

29. ®­îc viÕt nh­ sau
ct  u n11  u n 11 u n 1  u n 1 
u n 1  u n1  
m m 
m m
 m m
 . (2.90)
x  2x 2 x 

CÇn nhí r»ng, tÊt c¶ c¸c biÕn ë b­íc thêi gian (n+1) lµ ch­a biÕt, vµ c¸c biÕn nµy
®­a vµo ba vÞ trÝ kh¸c nhau. VÒ nguyªn t¾c, ®èi víi nh÷ng bµi to¸n tuyÕn tÝnh th×
hÖ c¸c ph­¬ng tr×nh cã thÓ gi¶i b»ng ®¶o ma trËn víi ®iÒu kiÖn c¸c ®iÒu kiÖn biªn
®· cho tr­íc. Ph­¬ng ph¸p nµy kh«ng thËt thÝch hîp khi sè ®iÓm nót lín, vµ v×
thÕ ph­¬ng ph¸p láng dÇn ®­îc ­a thÝch h¬n.
NÕu thõa nhËn nghiÖm u n  u n e ikmx , th× (2.90) sÏ sÏ cã d¹ng
m
ct
u m1  u n  i
n
m
2

sin kx u m1  u n
n
m  . (2.91)
V× u n 1  u n nªn sÏ nhËn ®­îc
m m
ct
1 i
sin kx
 x , (2.92)
ct
1 i sin kx
x
ct
vµ   1 víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña . S¬ ®å nµy lµ æn ®Þnh v« ®iÒu kiÖn.
x
2.6.5.2 S¬ ®å nöa Èn
Trong thiÕt lËp tÝch ph©n thêi gian nöa Èn, c¸c sãng chuyÓn ®éng nhanh vµ
chuyÓn ®éng chËm ®­îc ph©n chia riªng biÖt. C¸c mode thÊp tÇn ®­îc thÓ hiÖn râ
trong khi c¸c mode cao tÇn ®­îc kh¶o s¸t Èn. Gi¶ sö
 =  +  vµ  >  , (2.93)
trong ®ã  vµ  biÓu diÔn c¸c phÇn cña sãng thÊp tÇn vµ cao tÇn t­¬ng øng. C«ng
u
thøc sai ph©n h÷u h¹n cña  iu v× thÕ ®­îc biÓu diÔn nh­ sau
t
u m1  u m1
n n
u n 1  u m1
n
 i u n  i  m
m , (2.94)
2t 2
trong ®ã c¸c sè h¹ng thø nhÊt vµ thø hai cña vÕ ph¶i biÓu diÔn c¸c phÇn hiÖn vµ Èn
t­¬ng øng.
Ph­¬ng tr×nh (2.94) cã thÓ viÕt l¹i nh­ sau
 u n 1  u n 1 
u n 1  u n1  2t iu n  i m
m m m
m
 . (2.95)

 2 

CÇn nhí r»ng, nÕu  = 0 th× Èn u n 1 xuÊt hiÖn trong c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh vµ
m
s¬ ®å sÏ hoµn toµn Èn
 u n 1  u n1 
u n1  u n 1  i2t  m
m m
m
 . (2.96)

 2 

MÆt kh¸c nÕu  = 0 th× Èn chØ xuÊt hiÖn ë vÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh vµ do ®ã s¬ ®å
31

30. sÏ hoµn toµn hiÖn
u n 1  u n 1  i 2tu n
m m m (2.97)
C¸c s¬ ®å Èn lu«n lu«n æn ®Þnh vµ cho phÐp b­íc thêi gian lín. C¸c s¬ ®å nöa Èn
cho phÐp b­íc thêi gian lín h¬n so víi hÇu hÕt c¸c s¬ ®å râ.
NÕu thõa nhËn nghiÖm u (mx , nt )  u n e ikmx th× (2.95) sÏ cã d¹ng
  u n1  u n1 
u n1  u n 1  2t iu n  i

 ,
 (2.98)

  2 
nÕu sö dông u n 1  u n ta sÏ cã mét ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi  d¹ng sau
(1  it) 2  2it  (1+it) = 0 . (2.99)
Hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nµy sÏ lµ
1 
 
2it  4 1   2 t 2  4 2 t 2
, (2.100)
21  it 
vµ
2 
 
2it  4 1   2 t 2  4 2 t 2
. (2.101)
21  it 
Ta nhËn thÊy, nÕu t  0,  1  1 vµ  2  1 . VËy th×  1 cho ta mode vËt lý, vµ 2 lµ
nghiÖm tÝnh to¸n. Trong thùc tÕ  1 cã thÓ viÕt nh­ sau
 2i  2 1  2  2
 1  i 

2 1 2 1
1    , (2.102)
2
2 1  1 
trong ®ã 1 = t vµ 2 = t
Cuèi cïng, vËn dông ®¬n gi¶n (2.102) cho thÊy r»ng, nh©n tè khuyÕch ®¹i
 =1 vµ s¬ ®å lµ æn ®Þnh.
32

31. Ch­¬ng 3. TÝnh chuyÓn ®éng th¼ng ®øng
Tèc ®é giã th¼ng ®øng lµ biÕn kh«ng ®o ®­îc trong khÝ t­îng vµ viÖc x¸c ®Þnh
nã lµ mét trong nh÷ng vÊn ®Ò khã kh¨n nhÊt. Tèc ®é th¼ng ®øng lµ thµnh phÇn
tÝch ph©n cña cÊu tróc ba chiÒu cña chuyÓn ®éng khÝ quyÓn vµ b¾t gÆp trong rÊt
nhiÒu bµi to¸n c¶nh b¸o vµ dù b¸o. Ph­¬ng ph¸p ®¬n gi¶n nhÊt ®Ó tÝnh tèc ®é
th¼ng ®øng cã lÏ lµ tÝch ph©n ph­¬ng tr×nh liªn tôc khèi l­îng víi sö dông th¸m
s¸t giã ngang quy m« lín vµ lý gi¶i hiÖu chØnh ph©n kú. Tuy nhiªn sù th­a thít cña
sè liÖu th¸m s¸t lµm c¶n trë nghiªm träng ®èi víi ph­¬ng ph¸p ®­îc gäi lµ ®éng
häc nµy. H¬n n÷a, do tÝnh kh«ng chÝnh x¸c vèn cã trong th¸m s¸t giã sÏ g©y ra
nh÷ng sai sè lín trong tÝnh to¸n ph©n kú ngang vµ ®­a ®Õn nh÷ng sai sè trÇm
träng trong x¸c ®Þnh tèc ®é th¼ng ®øng.
Ngoµi tèc ®é th¼ng ®øng ®éng häc ,cßn cã mét sè ph­¬ng ph¸p kh¸c ®Ó tÝnh
chuyÓn ®éng th¼ng ®øng cña khÝ quyÓn. Trong sè ®ã cã thÓ l­u ý ®Õn ph­¬ng ph¸p
®o¹n nhiÖt dùa vµo ph­¬ng tr×nh n¨ng l­îng nhiÖt ®éng vµ kh«ng nh¹y ®èi víi sai
sè trong tr­êng giã th¸m s¸t. Trong tr­êng hîp nµy b×nh l­u nhiÖt cã thÓ ®­îc x¸c
®Þnh rÊt chÝnh x¸c víi sö dông giã ®Þa chuyÓn; ®Æc biÖt ë vÜ ®é trung b×nh, n¬i cã
th¸m s¸t dµy. Ph­¬ng ph¸p nµy cã thÓ dïng khi cã sè liÖu vÒ nhiÖt vµ ®Þa thÕ vÞ.
Tuy nhiªn, ph­¬ng ph¸p ®o¹n nhiÖt kÌm theo xu thÕ nhiÖt ®é kh«ng ®­îc khuyÕn
khÝch ®èi víi mét vïng réng. Tèc ®é th¼ng ®øng còng cã thÓ x¸c ®Þnh b»ng sö dông
d¹ng ®¬n gi¶n hãa cña ph­¬ng tr×nh xo¸y. Trong ph­¬ng ph¸p gäi lµ ph­¬ng ph¸p
xo¸y th× b×nh l­u th¼ng ®øng cña xo¸y vµ sè h¹ng ®­îc gäi lµ xo¾n ®­îc bá qua, vµ
xo¸y t­¬ng ®èi ®­îc coi lµ nhá so víi tham sè Coriolis trong sè h¹ng ph©n kú. Xu
thÕ thêi gian vµ b×nh l­u ngang cña xo¸y ®Þa chuyÓn khi ®ã cã thÓ x¸c ®Þnh víi ®é
chÝnh x¸c hîp lý. Ph­¬ng ph¸p nµy sÏ cho nh÷ng gi¸ trÞ cña tèc ®é th¼ng ®øng thùc
h¬n so víi x¸c ®Þnh ®­îc b»ng ph­¬ng ph¸p ®éng häc. Cuèi cïng, tèc ®é th¼ng ®øng
cßn cã thÓ nhËn ®­îc b»ng sö dông ph­¬ng tr×nh «mega tùa ®Þa chuyÓn. Ph­¬ng
ph¸p nµy lµ hoµn toµn c¶nh b¸o vµ x¸c ®Þnh chuyÓn ®éng th¼ng ®øng trong c¸c sè
h¹ng cña gi¸ trÞ ®Þa thÕ vÞ tøc thêi. Ngoµi ra, viÖc sö dông ph­¬ng tr×nh «mega tùa
®Þa chuyÓn kh«ng ®ßi hái th¸m s¸t giã vµ kh«ng kÌm theo xu thÕ thêi gian. Ph­¬ng
ph¸p nµy lµ tèt h¬n h¼n so víi c¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c.
Trong ch­¬ng nµy sÏ ph¸t triÓn c¸c c«ng nghÖ kh¸c nhau x¸c ®Þnh chuyÓn
®éng th¼ng ®øng. Ta sÏ kh¶o s¸t c¶ hai tr­êng hîp cã sè liÖu ph©n bè ®iÒu hßa vµ
kh«ng ®iÒu hßa trong kh«ng gian trªn vïng ngang.
33

32. 3.1. TÝnh tèc ®é th¼ng ®øng tõ sè liÖu giã ph©n bè kh«ng ®iÒu hßa
trong kh«ng gian
Mét trong nh÷ng kü thuËt dïng ®Ó x¸c ®Þnh tèc ®é th¼ng ®øng tõ th¸m s¸t
giã kh«ng ®iÒu hßa trong kh«ng gian lµ ph­¬ng ph¸p ®a thøc. Ph­¬ng ph¸p nµy ®·
®­îc Yanai vµ CS (1973) m« t¶, ®ã lµ sù phï hîp ®a thøc víi sè liÖu tõ m¹ng l­íi
th¸m s¸t ph©n bè kh«ng ®iÒu hßa. Kü thuËt nµy dùa vµo xÊp xØ b×nh ph­¬ng nhá
nhÊt.
3.1.1.BiÓu diÔn tam gi¸c
Môc nµy minh häa mét vÝ dô x¸c ®Þnh tèc ®é th¼ng ®øng b»ng sö dông
ph­¬ng ph¸p tam gi¸c trªn l­íi cã ba tr¹m thêi tiÕt. Trong tr­êng hîp nµy c¸c
thµnh phÇn giã vÜ h­íng vµ kinh h­íng ®­îc biÓu diÔn b»ng nh÷ng hµm tuyÕn tÝnh
cña c¸c vÞ trÝ th¸m s¸t
u = ax + by + c , (3.1)
v = px + qy + r . (3.2)
Kü thuËt tÝnh lµ x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè a, b, c, p, q vµ r b»ng sö dông gÇn ®óng b×nh
ph­¬ng nhá nhÊt. §ã lµ tèi thiÓu hãa tæng sai sè vµ gi¶i ph­¬ng tr×nh th­êng sau
cN  a  x i  b y i   u i , (3.3)
c x i  a  x i2  b x i y i   x i u i , (3.4)
c y i  a  x i y i  b y i2   y i u i . (3.5)
C¸c biÕn x i vµ y i x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña tr¹m. Gi¶i hÖ nµy sÏ cho ta a, b vµ c. C¸c hÖ
sè p, q vµ r ®èi víi thµnh phÇn kinh h­íng sÏ nhËn ®­îc b»ng chÝnh biÖn ph¸p trªn
nh­ sau. B»ng c¸ch thiÕt lËp nµy ph©n kú vµ xo¸y sÏ ®­îc x¸c ®Þnh ®¬n gi¶n. VÝ dô
®é ph©n kú ®­îc biÓu diÔn nh­ sau
 u v 
   aq ,
 x y  (3.6)
 
vµ xo¸y biÓu diÔn b»ng
 v u 
  pb .
 x y  (3.7)
 
C¸c hÖ sè c vµ r biÓu diÔn phÐp tÞnh tiÕn giã so víi gèc cña hÖ täa ®é (x=0,
y=0). Trong bµi to¸n nhiÒu mùc viÖc tÝnh c¸c hÖ sè b×nh ph­¬ng nhá nhÊt ®­îc thùc
hiÖn trªn mäi mùc khÝ ¸p. V× nh÷ng sai sè vèn cã, tÝch ph©n th¼ng ®øng cña ph©n
kú nãi chung lín vµ kh«ng tháa m·n sù bï trõ Dynes. §Ó tháa m·n ®iÒu kiÖn nµy
sai sè trong ph©n kú ®­îc coi lµ tØ lÖ víi gi¸ trÞ cña nã
   
 
.V c  .V u   .V  
u p
, (3.8)
trong ®ã chØ sè u chØ ph©n kú kh«ng ®óng vµ chØ sè c chØ ph©n kú ®óng. Sè h¹ng 
34