1. 形状解析のための楕円フーリエ変換
-理論と実装と応用-
東大・情報生命・岩崎研
博士二年 福永 津嵩
@第二回 ImageK

2. 自己紹介
研究テーマ：
「動画解析から迫るメダカの社会性行動」
Fukunaga et al. submitted

3. フーリエ変換とは？
• ある周期関数は、波長の異なる正弦波の
和として表現出来る、という事。
– 波長は周期の1/n (nは整数)
周期
＝ ＋ ＋ +
n = 1 n = 2 n = 3
…

4. フーリエ変換とは？
• 数式での表現
– ある周期関数f(x)は、
と表す事が出来る。
• f(x)が既知の時、各フーリエ級数は以下の
ように求まる。(導出は付録に)

5. 楕円フーリエ変換とは？
スタートから始めて、以下の物体の輪郭を
なぞっていく点を考えると、輪郭をなぞり
終わってスタート地点に戻ってくるまでを
一周期と考える事が出来る。
この点の動きをx軸方向と
y軸方向に分割し、それぞれ
フーリエ変換する。
start

6. 楕円フーリエ変換とは？
• start地点を原点(0,0)とすると
x座標の位置は、
y座標の位置は、
start
t
t
y
x

7. 楕円フーリエ変換の長所
• 物質の輪郭を数値(フーリエ級数)で表現する事
が出来るので、分類や識別などの解析を行う事
が出来る。(主成分分析がよく使われる)
– 相同性のないデータも同一の土俵で解析出来る
• 輪郭は二値化などの簡単な画像処理で抽出でき
る。(ランドマーク解析は自動化が大変)
• 元の形状を曖昧な形状に再構成出来る。

8. 曖昧な形状の再構成
• 波長の長い(nが小さい)周期関数は、f(x)の概形
を表現し、波長の短い(nが大きい)周期関数は、
f(x)の細部を表現している。
• nを∞まで足し合わせるのではなく、小さい値で
打ち切る事で、完全な形状ではなく曖昧な形状
を再現する事が出来る。

9. 曖昧な形状の再構成
• Example
n = 5 n = 10
n = 20 n = 100
オリジナル画像

10. 曖昧な形状の研究への利用
• Ex) 最近の私の研究
「メダカが他のメダカを見つけた時に、モー
ション(動き)のみで雌雄を識別出来るか？」
• ヒレの情報を排除するために、画像処理でメ
ダカを抽出した後に低次の楕円フーリエ変換
で再構成
• どう使うかを考えるのも研究だ！

11. 曖昧な形状の研究への利用

12. 曖昧な形状の研究への利用

13. 楕円フーリエ変換の
具体的な応用例
• 品種改良 (作物の形の定量評価)
• 細胞の識別 (がん細胞と通常細胞)
• 葉の形状に基づく種の同定

14. 付録:フーリエ係数をどのように求めるか？
• 前提
nが非負整数の時、
nが正整数の時、

15. 付録:フーリエ係数をどのように求めるか？
• 元の式を積分する事を考える
• この時、第二項は0になるので、
• 後は、f(t)cosntと、f(t)sinntを同様に積分すれ
ば、各フーリエ係数が求まる。

16. 付録:形状の楕円フーリエ変換における
フーリエ係数の求め方
• 楕円フーリエ変換では、物体の輪郭を長さLの道
のりとみなし、そのx座標とy座標の関数をx(l),
y(l)とみなしてフーリエ展開する。
• この積分を求めるには一工夫必要。

17. 付録:関数x(l)の形状
• 下のようなオブジェクトの輪郭をなぞる事を考
える。この時、矢印の変化は縦横４種類、斜め
４種類の８種類しかない。
• 矢印が の時、Δy = 0, Δx = 1,
Δt = 1.
• 矢印が の時、Δy = 1, Δx = 1,
Δt = √2.
• x(l)は右のようなカクカクな
関数である(イメージ) l
x

18. 付録:積分とは面積を求める事
• よって、
• 他の係数を求めるために、次にx(l)の微分
を考える。
l
x
Δlp
xp
xp-1

19. 付録:フーリエ係数の求め方
• x(l)を微分すると、
• また、微分された関数そのもののフーリ
エ展開を考える事も出来る。
– 定数項は、差分の和なので0になる

20. 付録:フーリエ係数の求め方
これを前の式に代入すると、
anについても同様に求められる。