สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

1. บทที่ 1
บทนําสมการเชิงอนุพันธ
1.1 บทนํา
โดยนิยาม สมการเชิงอนุพันธ (differential equation) คือ สมการที่ประกอบดวยตัวแปร
ตามไมทราบคาหนึ่งตัว และอนุพันธตาง ๆ ของตัวแปรดังกลาว สมการเชิงอนุพันธจัดวาเปน
คณิตศาสตรแขนงหนึ่งที่มีความสําคัญอยางมากกับการประยุกตใชงานในทางวิศวกรรมไฟฟา
วิทยาศาสตร และในสาขาคณิตศาสตรประยุกต ปญหาตาง ๆ ในสาขาวิขาเหลานี้สามารถจําลองได
ในรูป ของสมการเชิ ง อนุพั น ธ เช น การวิ เ คราะหว งจรไฟฟ า การทํ า นายอัต ราการเติบ โตของ
ประชากร กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ปญหาของการนําความรอนในแทงโลหะ เปนตน สมการเชิง
อนุพันธสามารถแบงออกไดเปน 2 ประเภทใหญ ๆ ที่มีความสําคัญในทางปฏิบัติ ไดแก
• สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equation: ODE)
• สมการเชิงอนุพันธยอย (Partial Differential Equation: PDE)
เกณฑที่ใชในการแบงประเภทของสมการเชิงอนุพันธเปนดังนี้ ถาสมการเชิงอนุพันธประกอบดวย
อนุพันธแบบสามัญ (ordinary derivative) เทานั้น เราจะเรียกสมการดังกลาววา สมการเชิงอนุพันธ

2. 2 สมการเชิงอนุพนธสามัญ
ั
สามัญ หรือ ODE แตถาสมการเชิงอนุพันธประกอบดวยอนุพันธยอย (partial derivative) ดวย เรา
จะเรียกสมการดังกลาววา สมการเชิงอนุพันธยอย หรือ PDE ในหนังสือเลมนี้เราจะกลาวถึงเฉพาะ
สมการเชิงอนุพนธสามัญ
ั
1.2 การจําลองระบบดวยสมการเชิงอนุพันธ
หัวขอนี้กลาวถึงตัวอยางการประยุกตใชสมการเชิงอนุพันธเพื่อจําลองระบบที่เราสนใจ
โดยในที่นี้จะขอยกตัวอยางปญหางาย ๆ 2 ตัวอยางไดแก ปญหาการทํานายการเพิ่มขึ้นของจํานวน
ประชากรในหมูบานแหงหนึ่ง และปญหาการเย็นตัวของนิวตัน
1.2.1 การทํานายอัตราการเติบโตของจํานวนประชากร
พิจารณาการทํานายอัตราการเพิ่มขึ้นของจํานวนประชากรในหมูบานแหงหนึ่ง กําหนดให
P (t ) แทนจํ า นวนประชากรในหมู บ า นดั ง กล า ว ซึ่ ง ได เ ขี ย นเป น ฟ ง ก ชั น ที่ แ ปรผั น ตามเวลา t
คํ า ถามที่ เ ราอาจสนใจได คื อ จํ า นวนประชากรของหมู บ า นในอี ก 5 ป ข า งหน า ในที่ นี้ จ ะใช
แบบจําลองพื้นฐานที่มีชื่อเรียกวา แบบจําลองเลขชี้กําลัง (the exponential model) ซึ่งมีขอสมมุติ
วา อัตราการเพิ่มขึ้นของประชากรในหมูบานแปรผันตรงกับจํานวนประชากรที่มีอยู ดังนั้น เราจึง
สามารถจําลองพฤติกรรมการเพิ่มขึ้นของจํานวนประชากรไดในรูปสมการเชิงอนุพันธไดดังนี้
d
P(t ) = kP (t ) (1.1)
dt
โดย k เปนคาคงที่ (คาบวก) ซึ่งเรียกวาคาคงที่ของการแปรผัน เราสามารถหาผลเฉลยของสมการ
เชิงอนุพันธดังกลาวไดเปน
P (t ) = P0 e kt (1.2)
โดย P0 แทนจํานวนประชากรเริ่มตน กลาวคือ P(0) = P 0
ถา ณ เวลาปจ จุ บัน ในหมูบ า นมี ป ระชากรทั้ง หมด 1000 คน และให k = 0.1 จะได ว าจํ า นวน
ประชากรในอีก 5 ปขางหนามีคาเทากับ
P (5) = 1000e0.1×5 ≈ 1649 คน

3. บทที่ 1 บทนําสมการเชิงอนุพันธ 3
หากนําสมการที่ (1.2) มาวาดเปนกราฟจะไดผลดังแสดงในรูปที่ 1.1 สังเกตวาจํานวนประชากรมี
แตเพิ่มสูงขึ้นตามเวลาไปเรื่อย ๆ แตในสภาพความเปนจริงพฤติกรรมการเพิ่มขึ้นของประชากรอาจ
แตกตางไปจากนี้ เพราะมีปจจัยอื่น ๆ เชน สภาพแวดลอมทางธรรมชาติ ปริมาณอาหารที่มีอยูจํากัด
คาครองชีพ พื้นที่ทํากิน และที่อยูอาศัย ที่อาจจํากัดอัตราการเติบโตของประชากร หากตองการให
การทํ า นายประชากรสอดคล อ งกั บ สภาพความเป น จริ ง มากขึ้ น จะต อ งสร า งแบบจํ า ลองทาง
คณิตศาสตรท่ซับซอนมากขึ้น
ี
จํานวนประชากร
รูปที่ 1.1 ลักษณะการเพิ่มขึ้นของจํานวนประชากรในหมูบาน
1.2.2 กฎการเย็นตัวของนิวตัน
พิจารณาจากกฎการเย็นตัวของนิวตัน (Newton's law of cooling) เราพบวาอุณหภูมิบนผิว
ของวัตถุหนึ่งมีการเปลี่ยนแปลงดวยอัตราที่แปรผันตรงกับผลตางระหวางอุณหภูมิบนผิวของวัตถุ
นั้นกับอุณหภูมิของสิ่งแวดลอม กําหนดให T (t ) แทนอุณหภูมิบนพื้นผิวของวัตถุซึ่งเปนฟงกชัน
ของเวลา t เราสามารถจําลองอุณหภูมิบนพื้นผิวของวัตถุในรูปของสมการเชิงอนุพันธสามัญ
อันดับหนึ่งไดดังนี้
d
T (t ) = − k [T (t ) − Ts ] (1.3)
dt
โดย T เปนอุณหภูมิของสิ่งแวดลอม (สมมุติวามีคาคงที่) และ k เปนคาคงที่ (คาบวก)
s
สมการเชิงอนุพันธนี้สามารถหาผลเฉลยไดไมยากนักดังตอไปนี้

4. 4 สมการเชิงอนุพนธสามัญ
ั
dT (t )
= − kdt
[T (t ) − Ts ]
ln[T (t ) − Ts ] = −kt + c
T (t ) − Ts = e (
− kt + c )
T (t ) = Ts + c1e − kt
พิจารณาที่ t = 0 จะได T (0) = T s + c1 ฉะนั้น c1 = T (0) − Ts เมื่อแทนคา c1 กลับลงในสมการ
จะไดผลเฉลยดังนี้
T (t ) = Ts + [T (0) − Ts ]e − kt (1.4)
เราสามารถหาคา k ไดโดยเริ่มตนจากการพิจารณาคา T (t ) ที่เวลา t และ t ดังนี้ 1 2
T (t1 ) = Ts + [T (0) − Ts ]e − kt1
T (t2 ) = Ts + [T (0) − Ts ]e − kt2
นําสมการทั้งสองมาหารกัน (ยายขางคาของ T กอน) จะได s
T (t1 ) − Ts
= e − k ( t1 −t2 ) (1.5)
T (t2 ) − Ts
ดังนั้น
1 T (t1 ) − Ts
k= ln (1.6)
t2 − t1 T (t2 ) − Ts
ตัวอยาง 1.1 ■■
สมมุติวามีผูพบศพผูเสียชีวิตจากการฆาตกรรมในโรงแรมแหงหนึ่งในชวงเชาเวลา 09.00 นาฬิกา
ตรวจพบวารางกายของศพมีอุณหภูมิเทากับ 33 องศาเซลเซียส และอีกสองชั่วโมงตอมาพบวาศพ
มีอุณหภูมิลดลงเหลือเปน 30 องศาเซลเซียส ทั้งนี้ อุณหภูมิภายในหองมีคาคงที่เทากับ 25 องศา
จงหาวาผูเสียชีวิตถูกฆาตกรรมเวลากี่นาฬิกา
วิธีทํา
ใชสมการที่ 1.6 เพื่อคํานวณคาคงที่ k

5. บทที่ 1 บทนําสมการเชิงอนุพันธ 5
1 T (t1 ) − Ts
k= ln
t2 − t1 T (t2 ) − Ts
จากโจทย t1 = 9 t2 = 11 T (t1 ) = 33 T (t2 ) = 30 และ T s = 25 ฉะนั้น
1 33 − 25
k = ln = 0.235
2 30 − 25
สมมุติวาผูเสียชีวิตกอนถูกฆาตกรรมมีอุณหภูมเิ ทาคนปกติคือ 37 องศาเซลเซียส จากสมการที่ 1.6
1 T (t1 ) − Ts
t2 − t1 = ln
k T (t2 ) − Ts
จากโจทย t 2 = 9 T (t1 ) = 37 T (t2 ) = 33 k = 0.235 และ T s = 25 ฉะนั้น
1 37 − 25
9 − t1 = ln
0.235 33 − 25
t1 = 7.2746
ดังนั้น เราประมาณไดวาฆาตกรรมเกิดขึ้นเวลา 07.16 นาฬิกา
1.3 สมการเชิงอนุพนธสามัญ
ั
สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equation: ODE) คือ สมการที่แสดง
ความสัมพันธระหวางฟงกชันไมทราบคาฟงกชันหนึ่งกับคาอนุพันธอันดับตาง ๆ ของมัน โดย
สมการเชิ งอนุ พั นธสามั ญอั น ดับที่ n หรือเรีย กโดยยอวา ODE อั น ดับที่ n สามารถเขีย นเป น
สมการไดดังนี้
F ( x, y, y ′,K , y ( n ) ) = 0 (1.7)
dny
โดย y เปนฟงกชันของ x, y′ =
dy
คืออนุพันธอันดับที่หนึ่งเมื่อเทียบกับ x และ y(n) =
dx dx n
คืออนุพันธอันดับที่ n เมื่อเทียบกับ x จะเห็นวา อันดับ (order) ของสมการเชิงอนุพันธคืออันดับ
สูงสุดของอนุพันธที่กระทํากับฟงกชัน y และนอกเหนือจากคําวา อันดับของสมการเชิงอนุพันธ
แลว เรายังมีการนิย ามคํ าวา ระดับขั้น (degree) เพื่อใชระบุวาพจนของสมการเชิงอนุพันธที่มี
อันดับสูงสุดมีคายกกําลังเทาใด

6. 6 สมการเชิงอนุพนธสามัญ
ั
1.3.1 สมการเชิงอนุพันธเชิงเสน
สมการเชิงอนุพันธสามัญจะจัดวา เปน สมการเชิงอนุพันธเชิงเสน (linear differential
equation) ที่มีอนดับเทากับ n ไดหากสามารถเขียนไดในรูปตอไปนี้
ั
dny d n −1 y dy
an ( x) n
+ an −1 ( x) n −1 + K + a1 ( x) + a0 ( x) y = f ( x) (1.8)
dx dx dx
หรือจะเขียนในอีกรูปหนึ่งไดคือ
an ( x) y ( n ) + an −1 ( x) y ( n −1) + K + a1 ( x) y′ + a0 ( x) y = f ( x) (1.9)
ใหสงเกตวาในสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนนั้นจะตองมีคุณลักษณะดังตอไปนี้
ั
1. ฟงกชัน y และอนุพันธอันดับตาง ๆ ของ y จะมีคายกกําลังเปน 1 เสมอ
2. ตองไมปรากฏมีพจนที่เปนคาการคูณกันของฟงกชัน y หรืออนุพันธอันดับตาง ๆ ของ y
แตอยางใด ตัวอยางเชน ตองไมมี yy′ ในสมการ เปนตน
3. ตองไมปรากฏมีฟงกชันอดิศัย1 (transcendental function) ของฟงกชัน y หรืออนุพันธ
อันดับตาง ๆ ของ y ตัวอยางเชน ตองไมมี sin( y ) log( y) หรือ e ปรากฏอยูในสมการ y
ตัวอยาง 1.2 ■■
จงพิจารณาวาสมการเชิงอนุพันธสามัญตอไปนี้จัดเปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนหรือไมเชิงเสน
จากนั้นระบุอันดับ และระดับขั้นของสมการดังกลาว
d2y
(ก)
dy
2
+ 4 x + 2 y = sin( x)
dx dx
(ข) ( y ′′ ) + 2 x 2 yy ′′′ + x 2 y = 0
2
1
ฟงกชันอดิสัย (transcendental function) หมายถึงฟงกชันที่ไมใชฟงกชันพีชคณิต (algebraic function) กลาวคือ เปนฟงกชันที่ไมสามารถ

เขียนในรูปพีชคณิต ตัวอยางของฟงกชันอดิสัย ไดแก ฟงกชันเลขชี้กําลัง (exponential function) และฟงกชันตรีโกณมิติ (trigonometric function)

7. บทที่ 1 บทนําสมการเชิงอนุพันธ 7
วิธีทํา
(ก) จัดเปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน เพราะมีรูปแบบตรงตามนิยามในสมการ 1.8 สังเกตวา แม
สมการนี้จะมีฟงกชันอดิศัยปรากฏอยู คือ sin( x ) แตยังจัดวาเปนสมการเชิงเสนไดเพราะฟงกชัน
อดิศัยนี้มิไดเปนฟงกชนของตัวแปร y สมการนี้มีอันดับเทากับ 2 และระดับขั้นเทากับ 1
ั
(ข) จัดเปนสมการเชิงอนุพันธไมเชิงเสน เพราะมีทั้งพจนยกกําลังสองของ y ′′ และการคูณกันของ
y และ y ′′′ ซึ่ ง ไม ส อดคล อ งตามนิ ย ามในสมการ 1.8 สมการนี้ มี อั น ดั บ เท า กั บ 3 และระดั บ ขั้ น
เทากับ 1
ตัวอยาง 1.3 ■■
พิจารณาตัวอยางสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่งที่เรียบงายตอไปนี้
y′ = 6 x
จงหาผลเฉลยของสมการพรอมวาดกราฟประกอบ
วิธีทํา
จัดรูปสมการใหมเปน
dy = 6 x ⋅ dx
หาคาปริพันธของสมการทั้งสองดานจะได
∫ dy = ∫ 6 x ⋅ dx
y = 3x 2 + c
พิจารณาจากผลเฉลยที่ไดจะเห็นวามี c ซึ่งเปนคาคงตัวที่ยังไมไดเจาะจงปรากฏอยู ดังนั้น เมื่อนํา
ผลเฉลยไปวาดเปนกราฟจะไดเปนกราฟพาราโบลาที่มีจุดตัดแกน y ที่แตกตางกันตามคาของ c

8. 8 สมการเชิงอนุพนธสามัญ
ั
y
80
60
c = 20
40
c=0
20 c = −20
-5 0 x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-20
รูปที่ 1.2 เสนกราฟ y = 3x 2 + c สําหรับคา c ตาง ๆ กัน
ตัวอยาง 1.4 ■■
พิจารณาตัวอยางสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่งตอไปนี้
y′ = 5 y
จงหาผลเฉลยของสมการพรอมวาดกราฟประกอบ
วิธีทํา
จัดรูปสมการใหมเปน
dy
= 5dx
y
หาคาปริพันธของสมการทั้งสองดานจะได
1
∫ y dy = 5∫ dx
ln y = 5 x + ln c
เราสามารถเขียนผลเฉลยของสมการนี้ไดในรูป
y = ce5 x

9. บทที่ 1 บทนําสมการเชิงอนุพันธ 9
ผลเฉลยที่ไดแสดงใหเห็นวาเปนฟงกชันเลขชี้กําลังที่ถูกคูณดวยคาคงตัวไมเจาะจง c และเมื่อ
นํามาวาดเปนกราฟจะเปนเสนที่มีความโคงมากนอยตางกัน ดังแสดงในรูปที่ 1.3 จากตัวอยางนี้เรา
สามารถขยายผลตอไดวาสมการ y′ = ky จะมีผลเฉลยในรูป y = ce โดย k เปนคาคงตัว kx
y
c = 20
80
60
c = 10
40
c=5
20
-5 -4 -3 -2 -1 00 1 2 3 4 5
x
-20
c = −5
-40
c = −10
-60
-80 c = −20
รูปที่ 1.3 เสนกราฟ y = ce5 x สําหรับคา c ตาง ๆ กัน
คําตอบของผลเฉลยที่ไดในตัวอยางทั้งสองตัวอยางแสดงอยูในรูปของ ผลเฉลยทั่วไป
(general solution) กลาวคือ ผลเฉลยจะตองมีคาคงตัวไมเจาะจงปรากฏอยูในผลเฉลยอยางนอย
หนึ่งตัวเสมอ แตเมื่อมีการแทนคาคงตัวไมเจาะจงดวยตัวเลขคาหนึ่งแลว ผลเฉลยที่ไดจะเรียกวา
ผลเฉลยเฉพาะราย (particular solution) วิธีการหนึ่งที่สามารถนํามาใชในการกําหนดคาตัวเลข
ใหกับคาคงตัวไมเจาะจงคือ การระบุความตองการเพิ่มเติมวาใหผลเฉลยตองตัดผานจุด ( x , y ) 0 0
จุดหนึ่งที่กาหนด หรือมักจะกําหนดในรูปของเงื่อนไขคาตั้งตน (initial condition) ของระบบก็ได
ํ
1.3.2 การทวนสอบวาฟงกชันเปนผลเฉลยจริงของสมการเชิงอนุพันธ
หากเรารูผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธสามัญสมการหนึ่งแลว เราสามารถทวนสอบ
(verify) ไดวาฟงกชันดังกลาวเปนผลเฉลยที่แทจริงของสมการเชิงอนุพันธสามัญดังกลาวหรือไม
โดยวิธีการงาย ๆ คือ หาอนุพันธอันดับตาง ๆ ของฟงกชันนั้น แลวแทนคากลับลงในพจนตาง ๆ
ของสมการเชิงอนุพันธที่จะทวนสอบ หากพบวาคาของสมการทั้งสองดานมีคาเทากันก็แสดงวา
ฟงกชันดังกลาวเปนผลเฉลยจริง

10. 10 สมการเชิงอนุพันธสามัญ
ตัวอยาง 1.5 ■■
จงทวนสอบ (verify) ดูวา y = c1e − x + c2 e 2 x เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับสอง
ตอไปนี้
y ′′ − y ′ − 2 y = 0
สําหรับคาคงตัว c และ c ใด ๆ
1 2
วิธีทํา
จากฟงกชัน y = c1e − x + c2 e 2 x ที่โจทยกําหนดให เราหาอนุพันธอันดับหนึ่งและอันดับสองไดเปน
y ′ = − c1e − x + 2c2 e 2 x
y ′′ = c1e − x + 4c2 e 2 x
เมื่อแทน y′ และ y′′ ลงในสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับสองดานซายมือของสมการจะได
c1e − x + 4c2 e 2 x − ( − c1e − x + 2c2 e 2 x ) − 2 ( c1e − x + c2 e 2 x )
= ( c1 + c1 − 2c2 ) e − x + ( 4c2 − 2c2 − 2c2 ) e 2 x
=0
ซึ่งมีคาเปนศูนย ดังนั้น เราจึงสรุปไดวา
y = c1e − x + c2 e 2 x เปนผลเฉลยของสมการ y ′′ − y ′ − 2 y = 0 จริง
โจทยตัวอยางขอนี้แสดงใหเห็นวาถาเรารูผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธสามัญสมการหนึ่งแลว
เราสามารถทวนสอบวาฟงกชันดังกลาวเปนผลเฉลยที่แทจริงของสมการเชิงอนุพันธสามัญดังกลาว
หรือไม เปนเรื่องที่งายและเปนประโยชนในการตรวจสอบคําตอบ
ใหสังเกตวาสมการในตัวอยาง 1.3 และ 1.4 ซึ่งเปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่ง
ใหผลเฉลยที่มีคาคงตัวไมเจาะจง 1 ตัว และสมการในตัวอยาง 1.5 ซึ่งเปนสมการเชิงอนุพันธสามัญ
อันดับสองใหผลเฉลยที่มคาคงตัวไมเจาะจง 2 ตัว เราพบวาในกรณีทั่วไปสมการเชิงอนุพันธสามัญ
ี
อันดับ n จะใหผลเฉลยที่มีคาคงตัวไมเจาะจงจํานวน n ตัว

11. บทที่ 1 บทนําสมการเชิงอนุพันธ 11
1.3.3 การหาสมการเชิงอนุพันธจากฟงกชันผลเฉลย
นอกจากการทวนสอบวาผลเฉลยสอดคลองกับสมการเชิงอนุพันธสามัญที่กําหนดมาให
เปนเรื่องงายแลว เรายังพบอีกวาถารูผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ เราจะสามารถหาสมการ
เชิงอนุพันธไดดวยเชนกัน วิธีการคือใหหาอนุพันธอันดับตาง ๆ ของฟงกชันผลเฉลยที่ได แลว
พยายามกําจัดคาคงตัวไมเจาะจงออกไปจากสมการ
ตัวอยาง 1.6 ■■
จงหาสมการเชิงอนุพันธอันดับสองที่มผลเฉลยดังตอไปนี้
ี
y = ae x + b cos x
โดยที่ a และ b เปนคาคงตัวไมเจาะจง
วิธีทํา
หาอนุพันธอันดับหนึ่งและอันดับสองไดผลดังนี้
y ′ = ae x − b sin x
y ′′ = ae x − b cos x
กําจัดคาคงตัว b โดยนํา y และ y ′′ มาบวกกันและจัดพจนเพื่อหาคา a
( y + y ′′)
a=
2e x
กําจัดคาคงตัว a โดยนํา y และ y ′′ มาลบกันและจัดพจนเพื่อหาคา b
( y − y ′′)
b=
2 cos x
แทนค า a และ b ที่ ไ ด ล งในสมการผลเฉลย y = ae x + b cos x และนํ า ไปแทนลงในสมการ
y ′ = ae x − b sin x ผลที่ไดคือ
( y + y ′′) x ( y − y ′′)
y′ = e − sin x
2e x 2cos x

12. 12 สมการเชิงอนุพันธสามัญ
1 1
= ( y + y ′′) − ( y − y ′′) tan x
2 2
จัดรูปสมการใหมได
[1 + tan x ] y ′′ − 2 y ′ + [1 − tan x ] y = 0
1.3.4 แนวทางการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
สมการเชิงอนุพันธสามัญมีรูปแบบที่เปนไปไดจํานวนมากทั้งที่เปนเชิงเสนและไมเปนเชิง
เสน มีอันดับที่แตกตางกันไดมากมายตั้งแตอันดับหนึ่ง อันดับสอง ไปจนถึงอันดับที่สูงกวานี้
ดั ง นั้ น การหาผลเฉลยของสมการเชิ ง อนุ พั น ธ ส ามั ญ จึ ง เป น เรื่ อ งยุ ง ยากซั บ ซ อ นมาก ดั ง นั้ น
โดยทั่วไปจึงมั ก จะแบ งพิ จารณาสมการเชิงอนุพั น ธ สามัญออกเปนประเภทยอย และแยกการ
วิเคราะหสมการเชิงอนุพันธสามัญแตละประเภทดวยวิธีหรือเทคนิคที่แตกตางกัน ในที่นี้ไดแบง
ประเภทของปญหาสมการเชิงอนุพันธสามัญโดยใชเกณฑตามอันดับของสมการ กลาวคือ จะ
เริ่มตนจากการพิจารณาสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่งกอน ซึ่งเปนเนื้อหาที่บรรจุไวในบทที่
2 จากนั้ น จะได ศึ ก ษาถึ ง สมการเชิ ง อนุ พั น ธ ส ามั ญ อั น ดั บ สองในบทที่ 3 และสํ า หรั บ สมการเชิ ง
อนุพันธสามัญที่มีอันดับสูงขึ้นไปจะไดกลาวถึงในบทที่ 4