Successfully reported this slideshow.
Your SlideShare is downloading.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

ст лекция 7

  1. 1. Статика Лекция 7 РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ Пусть поверхности двух взаимодействующих друг с другом тел  шероховаты. Тогда реакция в точке контакта R A отклоняется от общей нормали к соприкасающимся поверхностям. Ее можно разложить на две  составляющие: N A , направленную   по общей нормали к поверхностям RA NA соприкасающихся тел в точке А, и  лежащую в касательной FTP ,  плоскости. Составляющая NA называется нормальной реакцией,   А составляющая FTP называется силой FTP трения скольжения – она препятствует скольжению рассматриваемого тела по поверхности другого, являющегося связью.
  2. 2. Статика Лекция 7 Основные приближенные закономерности трения скольжения при покое могут быть сформулированы следующим образом. 1. Сила трения скольжения расположена в касательной плоскости к соприкасающимся поверхностям в точке их контакта и направлена в сторону, противоположную той, куда активные силы стремятся переместить тело. Величина силы трения зависит от активных сил и принимает любые значения от нуля до своего предельного значения, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия, т.е. max 0 ≤FTP ≤FTP 2. Максимальная сила трения скольжения не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей. 3. Максимальная сила трения скольжения прямо пропорциональна нормальной реакции: max FTP =f N . Это соотношение носит название закона Амонтона – Кулона.
  3. 3. Статика Лекция 7 Рассмотрим тело, находящееся на шероховатой поверхности. Пусть в результате действия активных сил и сил реакции тело находится в предельном равновесии.  R  R  N φ  R  N φ φ  max FTP y  F α  R  N φ  FTP а) б) x в)  Угол φ между предельной реакцией R и нормалью к поверхности называется углом трения. max FTP tgϕ = f . tgϕ = , или N Геометрическое место всех возможных направлений предельной  реакции R образует коническую поверхность – конус трения
  4. 4. Статика Лекция 7 РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ Уравнения равновесия для цилиндра для схемы а)  X s = F − FTP = 0, ∑ Ys = N − P = 0, ∑ mO ( Fs ) = − rF = 0, ∑ s s s (1) 0 ≤ FTP ≤ f N . y y  r F   P N  FTP  R  N  F r x O а) O  FTP y  P  F r  P  N x h δ  FTP б) M TP x O в)
  5. 5. Статика Лекция 7 Из уравнений (1) следует, что равновесие возможно лишь при F = . 0 Для устранения отмеченного несоответствия теории с опытом необходимо отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела (рис.б).  Уравнения равновесия для схемы б) действия сил (плечо силы F вследствие незначительной деформации считаем равным радиусу r цилиндра):  X F F 0 Y N P 0 m − hN 0 ∑ s = − TP = , ∑s = − = , ∑ O (Fs ) = rF + = , s s s (2) 0 ≤ TP ≤f N . F Из уравнений (2) находим: FTP = , N = . Таким образом, на F P     цилиндр действуют две пары (F , FTP ) и (P, N ), которые образуют уравновешенную систему.   Момент пары (P, N ) называется моментом трения качения, его величина M TP = h . N (3)
  6. 6. Статика Лекция 7 Из уравнения моментов в (2) получим Fr h= . (4) N Таким образом, если имеет место равновесие, то выполняется условие (5) h ≤δ . Величина δ называется коэффициентом трения качения, она имеет размерность длины. Экспериментально установлено, что величина δ пропорциональна радиусу цилиндра и различна для разных материалов. В справочниках дается отношение коэффициента трения качения к радиусу цилиндра λ =δ r , (6) обычно λ называют безразмерным коэффициентом трения качения. Очевидно, что максимальный момент трения качения прямо пропорционален нормальной реакции max M TP =δ N =λrN . (7)
  7. 7. Статика Лекция 7 Ввиду малости деформации, вновь вернемся к гипотезе абсолютно твердого тела, но реакцию плоскости дополним моментом трения качения (схема в). Момент трения качения всегда препятствует активным силам повернуть (катить) цилиндр и при равновесии изменяется в пределах от нуля до своего максимального значения: max 0 ≤ M TP ≤ M TP . (8) Уравнения равновесия цилиндра для схемы в):  ∑ X s = F − FTP = 0, ∑ Ys = N − P = 0, ∑ mO ( Fs ) = − rF + M TP = 0, s s s 0 ≤ FTP ≤ f N , 0 ≤ M TP ≤ δN . Итак, при решении задач с учетом трения качения уравнения равновесия дополняются неравенствами для моментов трения качения.
  8. 8. Статика Лекция 7   Fs = Fse e ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ ( s = 1,..., n ) , Fse (1)  Fs здесь – проекции силы  на направление e . Тогда главный вектор   системы сил ( F1 ,..., Fn )  n   n e  R = ∑ Fs =  ∑ Fs  e . (2)  s= 1  s= 1 Будем предполагать, что главный вектор не равен нулю: n e ∑ Fs ≠ 0 s= 1  F1  e ∗ R  F2 z  Fs  rs  r С  Fn  rС O (3) y x Главный момент заданной системы сил относительно начала координат равен   n  n    n   M O = ∑ mO ( Fs ) = ∑ rs , Fse e =   ∑ Fse rs  , e  .    s= 1   s= 1 s= 1  [ ] (4)
  9. 9. Статика Лекция 7     ∗ Из (2) и (.4) следует, что R ⊥M O и, следовательно, (F1 ,..., Fn ) ~ R . Таким образом, любая система параллельных сил, главный вектор которой не равен нулю, имеет равнодействующую. Тогда по теореме эквивалентности  ∗  n e  R = ∑Fs e , (5) s =  1   ∗  n e     (6) mO R = ∑Fs rs , e .   1 s = После подстановки (5) в (6), получим   n e    n e     r , s∑Fs e  =s∑Fs rs , e .   1 1   =    = и запишем это выражение в следующем виде  n e   n e     s∑Fs r −s∑Fs rs , e  =0 .   1 1  =   = ( )
  10. 10. Статика Лекция 7 Последнее равенство справедливо при     n F e r −  n F e r  = λ e , (7) ∑ s  ∑ s s  s =1   s =1  где λ – любое действительное число.  Отсюда получим вектор r :   n F er   ∑ s s e   s =1  +λ , (8) r = n n  Fe   Fe  ∑ s  ∑ s   s =1   s =1  который своим концом для всевозможных λ будет определять ∗ точки приложения равнодействующей R , находящиеся на прямoй линии, т.е. линию действия равнодействующей.
  11. 11. Статика Лекция 7  Ясно, что при всяких направлениях e линии действия равнодействующих таких систем пройдут через одну точку С, радиус – вектор которой получится из (8) при λ = 0 : n   ∑ F er    s =1 s s  . (9) rC =  n  ∑ Fe   s   s =1  Точка С называется центром параллельных сил. Кратко можно сказать так: Центр параллельных сил, это точка пересечения линий действий равнодействующих систем параллельных сил, полученных при одинаковом изменении направления сил.
  12. 12. Статика Лекция 7 ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ Величина равнодействующей сил тяжести всех элементарных объемов равна n P = lim ∑ ∆ Ps n→ ∞ s = 1 и называется весом тела, а центр этих параллельных сил – центром тяжести тела. Его положение в соответствии с (21.9) задается радиусом - вектором n 1   rC = lim ∑ ∆ Ps rs , P n→ ∞ s = 1 z As  rs O x  ∆ Ps С  rС  P y
  13. 13. Статика Лекция 7 МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ 1. Метод симметрии. ∆ ϑ k = ∆ ϑ s , xk = x s , y k = y s , z k = − z s ∆ϑ . 1 ∑ ( ∆ ϑ s z s + ∆ ϑ k zk ) = 0 . V Таким образом, если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести лежит в этой плоскости. s z zC = y O x ∆ϑk Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести лежит на этой оси. Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести совпадает с этим центром.
  14. 14. Статика Лекция 7 2. Метод разбиения. Этот метод заключается в том, что тело разбивается на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжестей которых известны. После этого применяют выведенные ранее формулы. 3. Метод отрицательных весов. Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, полагают сплошным, а вес свободных полостей считают отрицательным. Вид формул для определения координат центра тяжести тела при этом не меняется.

    Be the first to comment

    Login to see the comments

Views

Total views

291

On Slideshare

0

From embeds

0

Number of embeds

7

Actions

Downloads

2

Shares

0

Comments

0

Likes

0

×