1. Chương 3
Phân tích quá trình quá độ trong
mạch điện tuyến tính
Tóm tắt lý thuyết
Quá trình quá độ trong mạch điện là quá trình chuyển từ một trạng thái
xác lập này của mạch sang một trạng thái xác lập khác. Quá trình quá độ trong
mạch điện được bắt đầu từ thời điểm “đóng-mở mạch”, thường coi là từ t 0=0.
Nguyên nhân của quá trình quá độ là sự có mặt của các thông số quán tính L và
C trong mạch. Ta biết rằng các thông số quán tính L, C tích luỹ năng lượng W M
và WE nên khi quá trình quá độ diễn ra sẽ có sự phân bố lại năng lượng trong
dW ∆W
mạch. Tốc độ biến thiên của năng lượng chính là công suất: p(t)= ≈ .
dt ∆t
Như vậy thì tốc độ biến thiên của năng lượng p(t) phải ≠∞, tức không thể tồn tại
∆W≠0 khi ∆t=0. Từ đó ta có điện áp trên điện dung uC(t) và dòng điện qua điện
cảm iL(t) phải biến thiên liên tục. Giá trị của điện áp trên C và dòng điện qua L
tại thời điểm bắt đầu diễn ra quá trình quá độ là rất quan trọng. Chúng được gọi
là điều kiện ban đầu (ĐKBĐ) - đó chính là các điều kiện biên trong bài toán giải
phương trình vi phân. Nếu chúng bằng 0 thì gọi là điều kiện ban đầu không.
a) b) c)
f(t) f(t) f(t)
A
h h
0
t
0 t 0 τ t
H× 3.1.
nh
Để tiện phân tích mạch trong chế độ quá độ người ta chia nguồn tác động
thành các dạng tác động mẫu sau:
0 khi t < 0
-Nguồn bậc thang: f(t) =  (Hình 3.1a) (3.1)
h khi 0 ≤ t
0 khi t < 0

-Nguồn xung vuông f(t) = h khi 0 ≤ t ≤ τ (Hình 3.1b) (3.2)
0 khi τ < t

∞ khi t = 0
-Nguồn xung Dirac δ(t)=  (đồ thị trùng với trục tung) (3.3)
0 khi t ≠ 0
-Nguồn hình sin:
81

2. 0 khi t < 0
(Hình 3.1c) f (t) =  (3.4)
A cos ωt hoăo sin ωt khi 0 ≤ t
Mạch điện, ngoài đặc tính tần số còn đặc trưng bởi đặc tính quá độ h(t) và
đặc tính xung g(t). Chúng được định nghĩa như sau:
phan ung cua mach
h( t ) = (3.5)
tác đông bâc thang ĐKBĐ không
phan ung cua mach
g( t ) = (3.6)
Diên tích xung tác đông ĐKBĐ không
Phân tích trình quá độ của mạch điện là lập và giải hệ phương trình trạng
thái đặc trưng cho mạch bằng công cụ toán thích hợp. Hệ phương trình trạng thái
của mạch điện tuyến tính thường gặp là một hệ phương trình vi phân tuyến tính
hệ số hằng không thuần nhất. Nghiệm của hệ gồm hai thành phần:
- Nghiệm của hệ phương trình vi phân thuần nhất - đây chính là
dao động tự do trong mạch điện. Là dao động tự do nên khi t→∞
thì thành phần tự do phải tiến tới 0.
- Thành phần thứ hai là 1 nghiệm riêng - đó chính là dao động
cưỡng bức trong mạch điện.
Nghiệm tổng quát của hệ là là tổng (tức xếp chồng) của dao động tự do và
dao động cưỡng bức.
Việc phân tích quá trình quá độ có thể thực hiện bằng một công cụ toán
học nào đó để tìm các nghiệm tự do và nghiệm cưỡng bức. Ví dụ: chương trứơc
ta đã tìm thành phần cưỡng bức hình sin của mạch điện thông qua công cụ biểu
diễn phức.
Có hai phương pháp thông dụng phân tích quá trình quá độ: phương pháp
kinh điển và phương pháp toán tử Laplas.
1. Phương pháp kinh điển là lập và giải hệ phương trình vi phân của mạch điện.
Phương pháp này chỉ thực hiện tiện lợi với các mạch giản đơn vì với mạch phức
tạp việc giải hệ phương trình vi phân là một công việc nan giải. Như vậy phương
pháp này chỉ ứng dụng khi mạch được đặc trưng bởi một phương trình vi phân;
thậm chí là một phương trình vi phân bậc nhất. Khi có 1 phương trình vi phân
bậc 2 thì giải bằng toán tử cũng tỏ ra thuận tiện hơn. Đặc biệt nếu mạch có một
nguồn tác động là bậc thang hoặc hình sin với mạch chỉ có 1 loại thông số quán
tính ta có thể xác định ngay được các dòng điện và điện áp trong mạch thông qua
việc phân tích trực tiếp tiếp trên mạch tại thời điểm t=0 và t→∞. ở đây ta chỉ xét
trường hợp mạch có 1 điện dung C hoặc 1 điện cảm L mắc với nguồn bậc thang
hoặc nguồn hình sin với 1 số điện trở trong mạch.
a) Mạch dưới tác động của bậc thang.
Lúc đó mọi phản ứng fK(t) (dòng điện hoặc điện áp) ở nhánh thứ k nào đó
sẽ có dạng:
fK(t)=AKe-αt+BK (3.7)
Biến thiên theo quy luật hàm mũ.
82

3. Như vậy các dòng điện, điện áp trong các nhánh chỉ khác nhau các hằng
số AK và BK, có cùng hệ số tắt dần α. Việc giải bài toán thực chất là xác định 3
hằng số α, AK và BK. Chúng được xác định như sau:
- Hệ số α: xác định theo đường phóng-nạp của C hoặc L. Ae-αt là
thành phần dao động tự do có hệ số tắt dần α.
 1
R C NÕ m ¹ ch chØcã mé C
u t
 td
α= (3.8)
 R td NÕ m ¹ ch chØcã mé L
u t
 L

- Trong công thức trên thì Rtđ là điện trở tương đương “nhìn” từ 2
đầu của C hoặc L vào mạch khi cho nguồn tác động bằng 0.
(đường phóng-nạp của C hoặc L)
L
RtđC=τ hoặc R =τ; τ gọi là hằng số thời gian của mạch (thứ nguyên thời
td
gian). Thực tế thì quá trình quá độ chỉ kéo dải trong khoảng tXL≈3τ. tXL gọi là thời
gian xác lập của mạch (sau thời gian 3τ trong mạch chỉ còn các dao động cưỡng
bức, các thành phần dao động tự do ≈ 0).
- Thành phần BK: từ (3.7) ta thấy khi t→∞ thì chỉ còn lại thành phần BK,
lúc này mạch chuyển sang chế độ một chiều vì nguồn tác động là bậc thang. Như
vậy fk (t) = B K được xác định ở chế độ 1 chiều của mạch.
t→ ∞
- Thành phần AK: Từ (3.7) ta thấy khi t=0 thì fK(0)=
fk (t) = A k + B K - Giá trị fK(0) xác định theo điều kiện ban
t→ 0
đầu. Từ đó xác định AK, tức đã tính được fK(t).
Các điện áp và dòng điện khác cũng xác định tương tự hoặc nên sử dụng
các định luật Ôm và Kieckhop để xác định chúng từ fK(t) cho tiện.
Như vậy bài toán phải được bắt đầu từ xác định điều kiện ban đầu. Từ đó
xác định AK tại thời điểm t=0. Khi đó có 4 điều cần chú ý như sau:
Thứ nhất: Tại thời điểm t=0 mà uC(0)=0 thì C được thay bằng dây dẫn
trong sơ đồ tương đương để tính AK.
Thứ hai: Tại thời điểm t=0 mà uC(0)≠0 thì C được thay bằng nguồn sđđ
trong sơ đồ tương đương để tính AK.
Thứ ba: Tại thời điểm t=0 mà iL(0)=0 thì L được thay bằng đoạn hở mạch
trong sơ đồ tương đương để tính AK.
Thứ tư: Tại thời điểm t=0 mà iL(0)≠0 thì L được thay bằng nguồn dòng
trong sơ đồ tương đương để tính AK.
b) Mạch dưới tác động của hình sin.
Phản ứng của mạch sẽ có dạng:
fK(t)=AKe-αt+BK(t) (3.9)
83

4. Trong đó fk (t) = B K (t) được xác định ở chế độ hình sin xác lập của
t→ ∞
mạch. Chế độ này dùng biểu diễn phức như đã xét trong chương 2. Tiếp theo là
AK cũng xác định theo điều kiện ban đầu.
2. Phương pháp toán tử Laplas:
Phương pháp này phải biến đổi hệ phương trình vi phân về hệ phương
trình đại số với các hàm ảnh. Phương pháp này được tiến hành trong 5 bước:
Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu - xác định các điện áp trên các điện
dung và dòng điện qua các điện cảm tại thời điểm bắt đầu “đóng- mở” mạch.
Bước 2: Biến đổi mạch điện về dạng toán tử tương đương.
Bước3: Lập hệ phương trình cho mạch ở dạng hàm ảnh.
Bước 4: Giải hệ phương trình tìm hàm ảnh.
Bước 5: Biến đổi hàm ảnh về dạng bảng để tra bảng 3.1, tìm hàm gốc.
Chú ý:+ Bước 2:
-Biến đổi các nguồn tác động mẫu về dạng ảnh dùng bảng 3.1
-Biến đổi thông số R về dạng toán tử - vẫn giữ nguyên R như một giá trị
hằng.
a) b) c)
d)
L.I L0
L i(t) Lp i(p) Lp i(p)
Lp
u(t) u(p) i(p)
u(p)
I L0
p
H× 3.2
nh
u(p)
-Biến đổi điện cảm L được thực hiện như ở hình 3.2. Trong đó mạch ở
1
t
dạng hàm gốc hình 3.2.a) có quan hệ i (t) = ∫ u (t)dt + I L 0 (3.10)
L 0
Chuyển sang dạng ảnh:
Biến đổi Laplas cả 2 vế (3.9) sẽ có:
u (p ) I L 0 u (p ) + LI L0
i (p ) = + = ha u (p ) = pL (p ) − L
y i I L0 (3.11)
pL p pL
Công thức 3.11 cho ta sơ đồ tương đương hình 3.2b) khi điều kiện ban đầu
không, tức IL0=0; sẽ có mạch tương đương hình 3.2c) khi điều kiện ban đầu khác
không, tức IL0≠0. Từ mạch hình 3.2c) có thể chuyển sang mạch nguồn dòng
tương đương hình 3.2d). Chú ý: chiều của nguồn sđđ dạng ảnh hình 3.2c) có
chiều như chiều của dòng điện ở mạch gốc hình 3.2.a) và có trị số là L.I L0 với L
có thứ nguyên Henri, IL0-Ampe; nguồn dòng hình 3.2d) cũng có chiều như vậy và
có trị số là LIL0/pL=IL0/p.
84

5. - Biến đổi điện dung C được thực hiện như trên hình 3.3. Mạch ở
1
t
C∫
dạng hàm gốc hình 3.3. a) theo quan hệ: u (t) = i (t)dt + u C 0
0
(3.12)
Bảng 3.1
TT Hàm ảnh Hàm gốc
1 1 σ(t)
2 A Aσ(t)
A
3 p A
A
4 p2 At
A
tn −1
A
5 p n (n − 1 )!
A
6 p+α Ae-αt
A A
tn −1 e −αt
7 (p + α ) n (n − 1 )!
A A
(1 − e −αt )
8 p (p + α ) α
A A
sin ω t
9 p +ω
2 2 ω
Aω
10 p 2 + ω2 A sin ω
Ap
11 p + ω2
2 Acosωt
A A − αt
e sin ω1 t
12 p + 2 αp
2
+ ω2
0
ω1
Ap − αt α
Ae (cos ω1 t − sin ω1 t)
13 p 2 + 2 αp + ω 2
0
ω1
A1 p + A 2 A 2 − αA 1
e −αt (A 1 cos ω1 t + sin ω1 t)
14 p 2 + 2 αp + ω 2
0
ω1
A A
(1 − cos ωt)
15 p (p + ω )
2 2
ω2
A A α
[1 − e − αt (cos ω1 t + sin ω1 t)
16 p (p + 2 α p
2
+ ω2 )
0 ω0
2
ω1
85

6. Chú ý: -Từ công thức 12 trở đi ω1 = ω 0 − α 2
2
-Các công thức 9÷13 đếu suy từ 14; 15 suy từ 16
Chuyển sang dạng ảnh:
Biến đổi Laplas cả 2 vế (3.12) sẽ có:
1 u u (p )
u (p ) = i (p ) + C 0 ha i (p ) =
y − Cu C0
pC p 1 (3.13)
pC
a) b) c) d)
1 1 u 1
C_ i(t) i(p) − C0 i(p)
pC
+ pC pC p
i(p)
u(p) -CuC0
u(t) u(p)
H× 3.3
nh
u(p)
Công thức 3.13 cho ta sơ đồ tương đương hình 3.3b) khi điều kiện ban đầu
không, tức uC0=0; sẽ có mạch tương đương hình 3.3c) khi điều kiện ban đầu khác
không, tức uC0≠0. Từ mạch hình 3.3c có thể chuyển sang mạch nguồn dòng tương
đương hình 3.2d). Chú ý: nguồn sđđ dạng ảnh hình 3.3c) có chiều như chiều của
dòng điện nạp cho điện dung ở mạch gốc hình 3.3.a) thì nó phải mang dấu “-”,
nếu lấy ngược chiều-mang dấu “+”; nguồn dòng hình 3.3d) cũng có chiều được
xác định như vậy.
Buớc 5: Bíên đổi về dạng bảng sử dụng phương pháp hằng số bất định
hoặc công thức Heaviside.
Công thức Heaviside khi ảnh của phản ứng FK(p) là tỷ số của hai đai thức
M (p )
hữu tỷ F K (p ) = được ứng dụng rất thuận tiện khi đa thức mẫu số có các
N (p )
nghiệm thực. Giả sử N(p) là đa thức bậc n, có 1 nghiệm thực bội bậc q là pb và có
r=n-q nghiệm thực đơn thì:
M (p ) A1 A2 Ar C1 C2 Cq
F K (p ) = = + + .. + + + + .. +
N (p ) p − p 1 p − p 2 p − p r p − p b (p − p b ) 2 (p − p b ) q
Trong đó: Các hệ số AK xác định theo công thức (3.14) hoặc (3.15):
M (p )
Ak = (p − p k ) (3.14)
N (p ) p = pk
M (p )
Ak = (3.15)
N ' (p ) p = p k
các hệ số CK xác định theo công thức (3.16) hoặc:
86

7. M (p ) d M (p )
Cq =[ (p − p b ) q ] ; C q −1 = [ (p − p b ) q ] ...
N (p ) p = pb dp N (p ) p = pb
(3.16)
1 d [ q −1] M (p )
C1 = [ (p − p b ) q ]
(q − 1)! dp [ q −1]
N (p ) p = pb
3. Phương pháp tích phân Duhamel và tích phân Green: Nếu tác động không
thuộc dạng mẫu ta áp dụng các công thức tích phân để tính phản ứng f2(t) khi tác
động là f1(t). Tính được thực hiện qua đặc tính quá độ h(t) và đặc tính xung g(t)
với nhánh tương ứng của mạch.
Công thức tích phân Duhamen:
t t
f2 (t) = f1 (0). h (t) + ∫ f (x ). h (t − x )dx = f1 (0). h (t) + ∫ f1' (t − x ). h (x )dx (3.17)
1
'
0 0
Công thức tích phân Green:
t t
f2 (t) = ∫ f1 (x ). g(t − x )dx = ∫ f1 (t − x ). g(x )dx . (3.18)
0 0
Tất nhiên nếu tác động thuộc dạng mẫu thì các công thức trên vẫn giữ
nguyên hiệu lực.
Bài tập
3.1. Mạch điện hình 3.4 là mạch nạp điện cho điện
K R
dung C=20µF, dùng nguồn một chiều E=100V nạo
qua điện trở R=5 KΩ bằng cách đóng cầu dao K tại
thời điểm t=0. E C
1. Tìm uC(t), uR(t), i(t) và vẽ đồ thị của chúng
bằng 2 cách H× 3.4
nh
a) Lập và giải phương trình vi phân.
b) Phân tích theo công thức (3.7).
2. Tại sao phải nạp cho C qua R? (Thay R bằng dây dẫn có được không?)
3.2. Cho mạch điện hình 3.5 với L=0,5H, R=100Ω và K R
nguồn một chiều E=50V. Tại thời điểm t=0 khoá K được
đóng lại. Tìm uL(t), uR(t), i(t) và vẽ đồ thị của chúng. L
E
3.3. Mạch điện gồm hai cuộn cảm mắc nối tiếp có điện trở
và điện cảm tương ứng là R1, L1 và R2, L2, được đóng vào H× 3.5
nh
nguồn một chiều U=300V tại thời điểm t0=0. Biết: hằng số
thời gian củat mạch τ=0,01s, điện áp trên 2 cực của cuộn thứ nhất tại thời điểm
t0=0 là U1(0)=200V, điện áp trên 2 cực của cuộn thứ hai tại thời điểm t1=0,02s là
U2(t1)=186,5V, giá trị của dòng điện khi xác lập là 10A. Hãy xác định các thông
số mạch R1, L1 và R2,
L2. K R i 1(t)
1 K i
i3(t) i1
uC(t) C
R i2
L 87
R3 E R1
E R2 R2
i 2(t)
H× 3.6
nh H× 3.7
nh

8. 3.4. Mạch điện hình 3.6 có R1=20Ω, R2=18 Ω, R3=30Ω, C ≈ 66,67 µF. Tại thời
điểm t =0 người ta đóng khoá K. Tìm i1(t), i2(t), i3(t) và uC(t), biết E=44V,UC0=0
3.5. Trong mạch điện hình 3.7 biết nguồn một chiều E=140,4V, R=24Ω;
R1=18Ω, R2=12Ω, L=0,65H. Tìm các dòng điện trong các nhánh của mạch và
điện áp trên điện cảm sau khi đóng khoá K tại thời điểm t=0, biết iL(0)=0.
3.6. Mạch điện hình 3.8. có R0=R=10Ω, nguồn một chiều E=100V, khoá K được
đóng tại thời điểm t=0. Tìm giá trị của điện cảm L, biết điện áp trên cuộn dây là
UC tại thời điểm t1=0,04s có trị số UC(t1)=60V.
K R1 i 1(t) K
R0 i 1(t) i3(t)
i2(t) i 2(t)
R R2 E1
K R3
UC C1
E L E L R2 C2
iK(t) R1
E2
H× 3.8
nh H× 3.9.
nh H× 3.10.
nh
3.7. Mạch điện hình 3.9. có R1=R2=10 Ω, L=100 mH, nguồn một chiều E=100V.
Tại thời điểm t=0 khoá K được đóng lại, sau đó1s khoá K được hở ra. Tìm biểu
thức của các dòng điện i1(t), i2(t), iK(t) và vẽ đồ thị của chúng.
3.8. Mạch điện hình 3.10 có các nguồn một chiều một chiều E 1=30V, E2=12V,
C1=500µF, C2=200µF, R1=10Ω, R2=15Ω, R3=9 Ω. Tại thời điểm t=0 người ta hở
khóa K. Tìm các dòng điện i1(t), i2(t), i3(t) và các điện áp uC1(t), uC2(t), vẽ đồ thị
của chúng; biết rằng trước khi hở khoá K mạch đã xác lập.
3.9. Cho mạch điện hình hình 3.11 với nguồn hình sin e(t)=Emsin (100t+αe ). Tại
thời điểm điện áp nguồn chuyển qua giá trị cực đại dương thì khoá K được đóng
lại. Tìm biểu thức dòng điện sau khi đóng khoá K biết R 0=R=10Ω, L=0,1H và
trước khi đóng khoá K thì Ampe kế chỉ 2 5 A.
R0 R1 K
i (t)
i1(t) i2(t) 1 2
K
R R2
K +
R
e(t) L E L C _
iK(t)
A
H× 3.11
nh H× 3.12.
nh H× 3.13.
nh
88

9. 3.10. Người ta đóng mạch RL mắc nối tiếp vào nguồn hình sin e(t)=Emsin(ωt+αe)
tại thời điểm t=0. Biết rằng khi xác lập thì điện áp trên điện cảm là:
uL(t)=120 sin314t [V] và R=XL=10Ω. Hãy xác định i(t) và uR(t).
3.11. Mạch điện hình 3.12. có nguồn hình sin biên độ Em=100V, tần số góc
ω=314rad/s, biết R1=4Ω; R2=2Ω, L1=9,57mH, L2=15,9 mH. Tại thời điểm nguồn
đạt giá trị dương cực đại thì khoá K được đóng lại. Xác định các dòng điện và vẽ
đồ thị thời gian của chúng.
3.12. Người ta đóng điện dung C vào nguồn 1 chiều E=200V qua điện trở R. Biết
hằng số thời gian của mạch là τ=0,25s, dòng điện tại thời điểm đóng mạch
i(0)=0,04A.
a) Tìm biểu thức của uC(t)
b) Tìm giá trị của R và C.
3.13. Mạch điện hình 3.13 có C=1000µF, R=50Ω. Tại thời điểm t=0 khoá K
được chuyển từ vị trí tiếp điểm 1 sang 2. Biết năng lượng C nạp được tại thời
điểm t=0 là WE(0)=5 Jun. Hãy xác định
a) uC(t), i(t).
b) Khoảng thời gian mà một nửa năng lượng được biến thành nhiệt năng.
3.14. Tụ điện C=5µF được nạp điện từ nguồn một chiều U=200V qua điện trở
R=5KΩ. Hãy xác định:
a) Năng lượng nạp trong tụ khi tụ đã nạp đầy.
b) Nhiệt năng tiêu hao trong quá trình nạp.
3.15. Mạch điện hình 3.14. có R1=R2=R3=1Ω, C=1F. Hãy xác định hằng số thời
gian τ của mạch trong 2 trường hợp:
a) Nguồn tác động là nguồn điện áp.
b) Nguồn tác động là nguồn dòng.
K K K K
R1
i1 L
C C C C
R3 R E
N guån R2 E R2 1
E R1
R R2
iC
H× 3.14
nh H× 3.15
nh H× 3.16
nh H× 3.17
nh
89

10. 3.16. Mạch điện hình 3.15. có nguồn một chiều E=150V, R 1=75Ω; R2=25Ω;
C=80µF. Tại thời điểm t=0 khoá K được đóng lại, sau đó 1s khoá K được hở ra.
Tìm biểu thức uC(t), iC(t) và i1(t) và vẽ đồ thị thời gian của chúng.
3.17. Mạch điện hình 3.16 có R=10Ω, C=100µF, khoá K được đóng tại thời điểm
t=0 vào nguồn 1 chiều E. Bíêt tốc độ biến biến thiên cực đại của năng lượng điện
trường là pC(t)max=250 [VA] (Von-Ampe). Hãy xác định:
a) i(t), uC (t)
b) Năng lượng và điện tích điện dung được nạp.
c) Năng lương tiêu hao trong quá trình nạp.
3.18. Mạch điện hình 3.17. có E=150V, L=20mH, C=133,3µF, hằng số thời gian
của các nhánh τ1=1 ms; τ2=2ms. Xác định các dòng điện sau khi đóng K.
3.19. Mạch điện hình 3.18 có e(t)=60 2 sin(1000t+αe)[V], R=R1=20Ω,
L=40mH, C=50µF. Tại thời điểm nguồn chuyển qua giá trị không thì khoá K hở
ra. Hãy xác định iL(t) và uC(t).
K K
R i
L K R R i1 i2 i3
C C
e(t) R1
e(t) R1 E
C L R R2
H× 3.18
nh H× 3.19
nh H× 3.20
nh
3.20. Mạch điện hình 3.19. có e(t)=200sin(1000t+αe)[V], R=50Ω, L=50mH,
C=20µF. Tại thời điểm nguồn đạt giá trị dương bằng giá trị hiệu dụng thì khoá K
hở ra. Hãy xác định iL(t) và uC(t).
3.21. Cho mạch điện hình 2.20 với nguồn một chiều E=150V, R=R1=R2=10Ω,
C=40µF. Khoá K đóng tại thời điểm t = 0.
a) Lập phương trình vi phân đặc trưng cho mạch với các biến khác nhau: i(t),
i1(t), i2(t) và uC(t).
b) Tìm i(t), i1(t), i2(t) và uC(t).
a) b) c) d)
R
R
C C C
R R
R C
C R C R
R
H× 3.21
nh
90

11. 3.22. Các mạch điện hình 2.21 có các điện trở và điện dung có trị số giống nhau,
trong đó mạch hình 2.21a có hằng số thời gian τ=1ms. Hãy xác định hằng số thời
gian của các mạch còn lại.
3.23. Mạch điện hình 3.22. có nguồn một chiều E=80V, R=R 2=10Ω, R1=5Ω,
L=0,2H. Tại thời điểm t=0 khoá K được đóng lại. Tìm các dòng điện trong mạch
bằng cả hai phương pháp kinh điển và toán tử Laplas, biết iL(0)=0.
3.24. Mạch điện hình 2.23 có khoá K được đóng lại tại thời điểm t=0. Tìm các
dòng điện trong mạch bằng phương pháp toán tử; biết e(t)=100sin314t[V] và
uC(0)=0.
K K i(t) M K
i i N
R i2 R1 L1 R
5Ω i i2
L 1
L
R3 _
R2 C +
R1 318µF
E e(t) 10 Ω e(t) C
i1 R3 L2
H× 3.22
nh H× 3.23
nh H× 3.24
nh H× 3.25
nh
3.25. Mạch điện đã được nạp với i(0)=2A, uC(0)=5V có chiều như trên hình 3.24.
Tìm biểu thức uMN(t) và uC(t), biết R1=1 Ω, R2=2 Ω, R3=1Ω, L1=2H, L2=1H,
C=1F. 1
3.26. Trong mạch điện hình 3.25, khoá K được đóng tại thời điểm t=0. Tìm i(t)
và uC(t), biết C=144µF, L=2,82mH, R=4Ω, e(t)=100sin(314t-340).
3.27. Mạch điện hình 3.26 có E=100V, R=10Ω, R1=20Ω, L=10mH, C=100F. Khi
mạch đã xác lập thì khoá K được đóng lại. Hãy xác định các dòng điện trong
mạch.
3.28. Trong mạch điện hình 3.27 điện dung C=50µF được nạp sẵn đến giá trị
100V có chiều như ký hiệu trong hình. Hãy xác định các dòng nhánh và điện áp
trên điện dung C sau khi đóng khoá K (tại thời điểm t=0), biết R=25Ω,
L=166,7mH, các nguồn một chiều E1=100V, E2=200V
1
Bài tập trên lớp ngày 09/3/2007
91

12. i1 R K L i K R
+ - i
2 2
R1 i3 C
i1 i2 iC
+ L
_ L
C R e(t) C
E K E1 E2
i2 iL
H× 3.26
nh H× 3.27
nh H× 3.28
nh
3.29. Cho mạch hình 3.28.
1. Lập phương trình vi phân đặc trưng cho mạch với các biến số là i, i1, i2 và uC.
0 khi t < 0 ,
2. a) Cho tác động là nguồn e(t)=  -αt cho quan hệ L=4R2C. Tìm biểu
E 0 e khi 0 ≤ t
thức tức thời của i(t).
b) Cho E0=100V, α=100/s; L=0,25H, C=100µF, R=25Ω. Tìm uC(t) và vẽ đồ
thị của nó.
3.30. Khoá trong mạch điện hình 3.29 được đóng khi mạch ở trạng thái xác lâp.
Tìm các dòng điện trong mạch và điện áp trên C sau khi đóng khóa K, biết
E=100V, R=50Ω, L=58,75mH, C=100µF.
3.31. Mạch điện hình 3.30 có E=100V, R=40Ω, L1=L2=0,3H, M=0,1H,
C=250µF. Khi tụ đã nạp đầy người ta chuyển khoá K từ vị trí tiếp điểm “1” sang
tiếp điểm “2”. Hãy xác định các dòng điện trong mạch.
L K K K K
i i i
i 1 2 i2 i2 i1 i2
iR M R M M
iC i1 i1 * *
C R + * * * L L
_ E R L1 L1 L1 L2
E e(t) E R
C
H× 3.29
nh H× 3.30
nh H× 3.31
nh H× 3.32
nh
3.32. Mạch điện hình 3.31 có e(t)=80sin(100t+900)[V], R=20Ω, L1=L2=L=0,2H,
M=0,1H. Xác định các dòng điện sau khi đóng khoá K tại thời điểm t=0, biết
rằng trước đó mạch đã xác lập.
3.33. Trong mạch điện hình 3.32 biết nguồn một chiều E=120V, R=60Ω,
L=0,2H, M=0,1H. Khi mạch đã xác lập khoá K được đóng lại. Xác định các dòng
điện trong mạch.
92

13. 3.34. Mạch điện hình 3.33. có E1=240V, E2=120V, R=60Ω, L1=L2=0,2H,
M=0,1H. Xác định các dòng điện sau khi đóng khoá K tại thời điểm t=0, biết
rằng trước đó mạch đã xác lập.
R M K u(t)
* * R M
L1 L2 * * i1
i L1 i3 10V
K
1
i2 L2
K R1 L C
R e(t)
E1 E2 R2 t x =12,5 mS
i3 C e t
i2
0 mS
H× 3.33
nh H× 3.35
nh H× 3.36
nh
H× 3.34
nh
3.35. Cho mạch điện hình 3.34. Hãy xác định phương trình đặc trưng của mạch.
Phương trình này có bao nhiêu nghiệm ? Các nghiệm này có thể nằm ở đâu trên
mặt phẳng phức khi ta thay đổi các thông số mạch.
3.36. Hãy lập phương trình vi phân cho mạch hình 3.35 với biến số là biến là i2(t)
và xác định các giá trị i1(t), i2(t), i3(t) tại thời điểm t=(+0)
3.37. Cho một xung vuông điện áp hình 3.36 tác động lên mạch mạch RC nối
tiếp có R=500Ω, C=10µF. Xác định i(t),uC(t), uR(t) và vẽ đồ thị của chúng.
3.38. Xung vuông hình 3.36. tác động lên mạch RL nối tiếp với R=50Ω;
L=0,25H. Xác định i(t),uL(t), uR(t)và vẽ đồ thị của chúng.
3.39. Một xung điện áp răng cưa hình 3.37 tác động lên cuộn dây có L=0,1H điện
trở tổn hao r =10Ω. Tìm biểu thức giải tích của dòng điện và tính giá trị của nó
tại các thời điểm t1=0,02s, t2=0,03s.
u(t) u(t) u(t)
100 V
20 V 0,02 t
0 0,01 s
t t
0 0,01 s 0 0,005 s -100 V
H× 3.37
nh
H× 3.38
nh H× 3.39
nh
3.40. Mạch điện có R=200Ω mắc nối tiếp với C=100µF chịu tác động của xung
điện áp có quy luật hàm mũ hình 3.38.:
0 khi t < 0
 −100 t
u(t)= 100e khi 0 ≤ t ≤ 0,005s
0 khi 0,005 s < t

Tìm i(t), uC(t).
93

14. 3.41. Mạch điện có R=100Ω mắc nối tiếp với C=100µF chịu tác động của một
xung vuông điện áp u(t) có 2 cực tính hình 3.39. Tìm
a) i(t), uC(t) và vẽ đồ thị của chúng.
b) Năng lượng tiêu tán trong khoảng thời gian tồn tại của xung.
c) Quy luật biến thiên của điện tích q(t) tích trong C.
3.42. Mạch điện có R=10Ω, L=100mH mắc nối tiếp, chịu tác động của dãy xung
vuông dài vô hạn có độ cao E=50V, độ rộng và độ rỗng của xung như nhau:
tR=tX=5mS (tức chu kỳ T=2tX) - Hình 3.40. Tìm quy luật biến thiên của dòng điện
i(t) và vẽ đồ thị của nó.
E
0 tX tR t
T H× 3.40
nh
u(t)
E
0 tX t
H× 3.41
nh
3.43. Mạch điện có R=100Ω, C=100µF mắc nối tiếp, chịu tác của dãy xung
răng cưa dài vô hạn tuần hoàn có độ cao E=200V, tX=0,01s -Hình 3.41. Tìm quy
luật biến thiên của điện áp uC(t) và vẽ đồ thị của nó.
3.44. Mạch R
a)
điện hình
C
3.42a có u(t)
R=1KΩ, b)
C=1µF; chịu h u(t)
tác động của
dãy 4 xung
vuông điện
áp hình 0 t 2X 3 5 6 8 9 11 t [mS]
3.42b), có độ T H× 3.42
nh
cao h=20V,
chu kỳ lặp
T=3ms, độ rộng của xung tX=2ms. Tính điện áp uC(t) và vẽ đồ thị của nó.
94

15. 3.45. Mạch điện hình 3.43a) chịu tác động của 2 xung điện áp răng cưa
hình 3.43. b). Biết R=200Ω, R1=300Ω; C=8,333µF. Tìm biểu thức của điện áp
uC(t).
a)
R b)
u(t) [V]
20
u(t) C R1
2 4 [mS]
H× 3.43.
nh
3.46. Tác động lên mạch địên hình 3.44 a) là nguồn xung dòng điện hình sin
tuần hoàn dài vô hạn hình 3.44b) với chu kỳ thứ nhất có biểu thức giải tích:
0 Khi t < 0

i 0 (t) = 2. cos 10 6 t [ A] khi 0 ≤ t ≤ tX = 6,2832 mS ;
0 khi t < t < T = 3t
 X X
Xác định iL(t) và uC(t), biết R=10KΩ, L=0,1mH, C=10nF, T=2tX.
i 0 (t) b)
a)
iL(t)
i 0(t)
t
u(t)
tX T
H× 3.44.
nh
3.47. Trong mạch điện hình 3.45 biết E=24V. Sau khi đóng khoá K dòng điện
nhánh chính là i(t)= 16 - 4e-1,5t[A].
a) Hãy xác định biểu thức tổng trở toán tử của mạch.
b) Các thông số của mạch.
3.48. Cũng trong mạch điện hình 3.45 biết E=12V, i 2(t)=4+2e-15t. Hãy xác định
các thông số của mạch.
95

16. K K K
i R i2 R R1 i2
R1 R2
E L R3
R2 e(t) C e(t)
L C
H× 3.45
nh H× 3.46
nh H× 3.47
nh
3.49. ở mạch điện hình 3.46. biết e(t)=1- e-10t[V]. , khoá K được đóng lại tại thời
7 7 7 −50 t
điểm t=0, điện áp trên C là uC(t)= e −10 t − e − 20 t + e [V]. Hãy xác định các
4 3 12
thông số R, L, C của mạch.
3.50. Mạch điện có R=2KΩ, C=10µF mắc nối tiếp, được đóng vào nguồn sđđ:
e(t)=100e-100t. Hãy xác định điện áp uC(t) bằng 3 phương pháp:
a) Bằng phương pháp toán tử.
b) Bằng phương pháp tích phân Duhamel
c) Bằng phương pháp tích phân bọc Green.
d) Vẽ đồ thị của điện áp này.
3.51. Mạch điện hình 3.47 có R1=R2=20Ω; R3=30Ω, C≈83,33µF được đóng vào
nguồn e(t)=128te-100t[V] tại thời điểm t=0. Hãy tìm dòng điện i2(t) trong mạch
bằng:
a) Phương pháp tích phân Duhamel.
b) Phương pháp toán tử.
96