Matemat526

1. Формулы сокращенного умножения:
Квадрат суммы
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
Квадрат разности
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
Разность квадратов
a2
– b2
= (a + b)(a – b)
Куб суммы
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
Куб разности
(a - b)3
= a3
- 3a2
b + 3ab2
- b3
Сумма кубов
a3
+ b3
= (a + b)( a2
- ab + b2
)
Разность кубов
a3
– b3
= (a – b)( a2
+ ab + b2
)
Арифметическая прогрессия
Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый
следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d,
называется арифметической прогрессией:
an+ 1 = an + d, где d – разность прогрессии.
an = a1 + d(n –
1)
an = ak + d(n – k)
2an = an-1 + an+1 an + am = ak + al, если
n + m = k + l
1
2
na a
S nn
+
=
12 ( 1)
2
a d n
S nn
+ −
=
Геометрическая прогрессия
Определение: Последовательность, у которой задан первый член b1 ≠ 0, а
каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же
число q ≠ 0, называется геометрической прогрессией:
bn+ 1 = bn q, где q – знаменатель прогрессии.
bn = b1 qn – 1
bn = bk qn – k
bn
2
= bn-1 bn+1 bn bm = bk bl,
если n + m = k
+ l
q
nqb
nS
−
−
=
1
)1(1
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
q
b
S
−
=
1
1
Степень
Определение
aaaaan
⋅⋅⋅= ... , если n – натуральное число
a – основание степени, n - показатель степени
10
=a aa =1 m nm
n
aa =
n
n
a
a
1
=−
Формулы
mnmn
aaa +
=⋅ ( )nnn
baba ⋅=⋅
mn
m
n
a
a
a −
=
n
n
n
b
a
b
a






=
Арифметический квадратный корень
Определение
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - ( a )
- называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
( ) aa =
2
aa =2
baba ⋅=⋅
b
a
b
a
=
Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень
которого равна a.
( ) aa
kk = aa
k k
=
kkk
baba ⋅=⋅
k
k
k
b
a
b
a
=
( ) k mmk aa = kk
aa
1
=
Квадратное уравнение:
ax2
+ bx + c = 0
Дискриминант: D = b2
– 4ac
Теорема Виета
Приведенное квадратное уравнение: x2
+ px + q = 0
x1 + x2 = - p
x1 ⋅ x2 = q
x1 +x2 = -b/a
x1 ⋅ x2 = c/a
Логарифм
Определение
Логарифмом числа по b основанию a называется такое число,
обозначаемое balog , что ba ba
=log
.
a - основание логарифма (a > 0, a ≠ 1),
b - логарифмическое число ( b > 0)
Десятичный логарифм: bb 10loglg =
Натуральный логарифм: bb elogln = где e = 2,71828
Формулы
01log =a 1log =aa ( ) cbcb aaa logloglog +=⋅
cb
c
b
aaa logloglog −=




 bnb a
n
a loglog ⋅=
b
m
b aam log
1
log =
a
b
b
c
c
a
log
log
log =
a
b
b
a
log
1
log =
ba ba
=log ab c
c
ba
loglog
=
Дроби
Сложение
Деление с остатком:
db
bcda
d
c
b
a
⋅
⋅+⋅
=+
Вычитание
db
bcda
d
c
b
a
⋅
⋅−⋅
=−
Умножение
db
ca
d
c
b
a
⋅
⋅
=⋅
Деление
cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
⋅
⋅
=⋅=:
Составная дробь
b
abm
b
a
m
+⋅
=
Делимость натуральных чисел:
Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.
Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.
Число n называется простым, если его делителями являются
только единица и само число n.
Множество простых чисел:{2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}
Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет
общихделителей, кроме единицы.
Десятичные числа:
Стандартный вид: 317,3 = 3,173⋅ 102
; 0,00003173 = 3,173⋅ 10-5
Форма записи: 3173 = 3⋅ 1000 + 1⋅ 100 + 7⋅ 10 + 3
Модуль
Формулы Определение
• x ≥ 0
• x - y ≥ x - y



<−
≥
=
0,
0,
xеслиx
xеслиx
x
• -x=x
• x ⋅ y = x ⋅ y
• x ≥ x
• x : y =x : y
• x + y ≤ x + y
x2
= x2
Неравенства
Определения:
Неравенством называется выражение вида:
a < b (a ≤ b), a > b (a ≥ b)




=
<
⇔≤
ba
ba
ba
Основные свойства:
abba >⇔< cacbиba <⇔<<
cbcaba +<+⇔< bcacсиba <⇔>< 0
bcacсиba >⇔<< 0 dbcadсиba +<+⇔<<
Модуль: уравнения и неравенства
1.
∅∈⇒>−=
=⇒=
±=⇒>=
xkkxfc
xfxfb
kxfkkxfa
)0()()
0)(0)()
)()0()()
2.
0)()()(
0)()()(
≤⇔−=
≥⇔=
xfxfxf
xfxfxf
3.
kayyxfyЗаменаkxfaxfkxafxf =+⇒==+⇒=+
2
)(:
2
)()()(
2
)(
4.
( ) ( ) 0)()()()()(
2
)(
2
)()( =+⋅−⇒=⇒= xgxfxgxfxgxfxgxf
5. ( ) ( ) 0)()(
2
)(
2
)( <+⋅−⇒<⇒< kxfkxfkxfkxf
Периодическая дробь
990
313173
)73(1,3...1737373,3
−
==
Правило:
99000
)(,
abcdeabcdefg
fgcdeab
−
=
Признаки делимости чисел:
Проценты
Определение:
Процентом называется сотая часть от числа. 1%A = 0,01A
Основные типы задач на проценты:
Сколько процентов составляет число A от числа B?
%100⋅=⇒
B
A
x
B - 100%
A - x%
Сложные проценты.
Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на
25%.
Как, в итоге, изменилось исходное число?
1) A1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A
2) A2 = (100% - 25%)A1 =75%A1 = 0,75A1 = 0,75⋅1,2A = 0,9A
= 90%A
3) A1 – A = 90%A – 100%A = -10%A
⇒ Ответ: уменьшилось на 10%. Изменение величины.
Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?
t
v
S
v
S
v
S
v
S
t
v
S
t %808,0
25,1
1
25,11
1 =====⇒=
⇒ Ответ: уменьшится на 20%
t
v
S
v
S
v
S
v
S
t
v
S
t %808,0
25,1
1
25,11
1 =====⇒=
⇒ Ответ: уменьшится на 20%
Среднее арифметическое, геометрическое
Среднее арифметическое:
n
aaaa n++++ ...321
Среднее геометрическое: k
kaaa ⋅⋅⋅ ...21
Уравнение движения
Пусть )(tS - уравнение движения материальной точки,
где S – путь, t – время движения.
Тогда: ( ) ( ) ( ) ( )tvtatStv ′=′= ; ,
где v – скорость, a - ускорение.
Определенный интеграл
( ) ( ) ( )aFbFdxxf
b
a
−=∫
Первообразная элементарных функций
№ f(x) F(x) № f(x) F(x)
1 k Ckx + 6 x2
cos
1
Ctgx +
2 n
x C
n
xn
+
+
+
1
1
7
x
2
sin
1 Cctgx +−
3
x
1
Cx +ln
4
xsin Cx +− cos
8 x
e Cex
+
5
cos Cx +sin
9 x
a C
a
ax
+
ln
Правила вычисления первообразной функции
Определение: Функция F(x) называется
первообразной для функции f(x), если ( ) ( )xfxF =′ .
Функция Первообразная
( )xfk ⋅ ( )xFk ⋅
( ) ( )xfxf 21 + ( ) ( )xFxF 21 +
( )baxf + ( )baxF
a
+
1
Правила вычисления производной функции
2
v
vuvu
v
u ′⋅−⋅′
=
′








( ) uCuC ′⋅=
′
⋅
( ) ''' vuvu +=+ Сложная функция:
( )( ) ''
xfyxfy ϕϕ ϕ ⋅=′⇒=( ) vuvuvu ′⋅+⋅′=
′
⋅
Производные элементарных функций
№ Функ
ция
Произво
дная
№ Функ
ция
Произво
дная
1 n
x 1−n
nx 6 x
e x
e
2
xsin xcos
7 x
a aa x
ln
3
xcos xsin−
8
xln
x
1
4 tgx x2
cos
1
5
ctgx
x2
sin
1
−
9
xalog
ax ln
1
⋅
Равносильные уравнения:
Исходное
уравнение
Равносильное
уравнение (система)
)()( xgxf = ⇔ CxgCxf +=+ )()(
0)()( =⋅ xgxf ⇔ 


=
=
0)(
0)(
xg
xf
0
)(
)(
=
xg
xf
⇔



≠
=
0)(
0)(
xg
xf
0)()( 22
=+ xgxf ⇔



=
=
0)(
0)(
xg
xf
Числовые множества:
Натуральные числа N = { 1; 2; 3; 4; . .}
Целые числа Z = N ∪ { 0; -1; -2; -3; …}
Рациональные числа
Q = Z ∪






−− ...;
3
1
;
3
1
;
2
1
;
2
1
Действительные числа
R = Q ∪
{ }...;14,3.;.;3;2 =πдти
Признак Пример
На 2 Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой …….6
На 4
Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 4.
……1
2
На 8
Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 8.
…..10
4
На 3 Числа, сумма цифр которых делится на 3.
57061
2
На 9 Числа, сумма цифр которых делится на 9.
35945
1
На 5 Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5.
…….5
На 25
Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 25.
……7
5
На 10 Числа, оканчивающиеся нулём. ……0
Если D < 0
D = 0
D > 0
то
уравнение
не имеет корней
имеет один корень
имеет два корня
x ∈ ∅
x1
x1; x2
Формула
деления с остатком: n =
m⋅k + r,
где n – делимое, m -
делитель, k - частное, r –
остаток: 0 ≤ r < m
Пример:
Любое число можно
представить в виде:
n = 2k + r, где r = {0; 1}
или n = 4k + r, где r = {0; 1;
2; 3}
0)'( =C

2. Тригонометрия
Основные триг. формулы
1cossin 22
=+ αα ⇒ αα 22
cos1sin −=
αα 22
sin1cos −=
α
α
α
cos
sin
=tg
α
α
α
sin
cos
=ctg ⇒ 1=⋅ αα ctgtg
α
α 2
2
cos
1
1 =+ tg
α
α 2
2
sin
1
1 =+ ctg
Формулы суммы функций
2
cos
2
sin2sinsin
βαβα
βα
−+
=+
2
sin
2
cos2sinsin
βαβα
βα
−+
=−
2
cos
2
cos2coscos
βαβα
βα
−+
=+
2
sin
2
sin2coscos
βαβα
βα
−+
−=−
( )
βα
βα
βα
coscos
sin +
=+ tgtg
( )
βα
βα
βα
coscos
sin −
=− tgtg
Формулы суммы аргументов:
( ) βαβαβα sincoscossinsin +=+
( ) βαβαβα sincoscossinsin −=−
( ) βαβαβα sinsincoscoscos −=+
( ) βαβαβα sinsincoscoscos +=−
( )
βα
βα
βα
tgtg
tgtg
tg
−
+
=+
1
( )
βα
βα
βα
tgtg
tgtg
tg
+
−
=−
1
Формулы произведения функций
( ) ( )( )βαβαβα +−−= coscos
2
1
sinsin
( ) ( )( )βαβαβα ++−= coscos
2
1
coscos
( ) ( )( )βαβαβα ++−= sinsin
2
1
cossin
Формулы половинного аргумента
2
cos1
2
sin2 αα −
=
2
cos1
2
cos2 αα +
=
α
α
α
αα
sin
cos1
cos1
sin
2
−
=
+
=tg
Формулы двойного аргумента
ααα cossin22sin =
ααααα 2222
sin211cos2sincos2cos −=−=−=
α
α
α 2
1
2
2
tg
tg
tg
−
=
Формула дополнительного угла
( )ϕααα ++=+ sincossin 22
baba где
22
sin
ba
b
+
=ϕ 22
cos
ba
a
+
=ϕ
Определение тригонометрических функций
Универсальная подстановка
α
α
α 2
1
2
2sin
tg
tg
+
=
α
α
α 2
2
1
1
2cos
tg
tg
+
−
=
Свойства тригонометрических функций
Функ
ция
Свойства
Область
определения
Множес
тво
значени
й
Четность-
нечетность
Период
cosx
( )∞∞−∈ ;x [ ]1;1−
cos(-x)= cosx 2π
sinx
( )∞∞−∈ ;x [ ]1;1− sin(-x)= -sinx 2π
tgx Znnx ∈+≠ ,
2
π
π ( )∞∞− ;
tg(-x)= -tgx π
ctgx
Znnx ∈≠ ,π ( )∞∞− ;
ctg(-x)= -ctgx π
Тригонометрические уравнения
Косинус:
nxx π
π
+=⇒=
2
0cos
nxx π21cos =⇒=
nxx ππ 21cos +=⇒−=
Znnaxax ∈+±=⇒= ,2arccoscos π
Уравнения с синусом
Частные формулы:
nxx π=⇒= 0sin nxx π
π
2
2
1sin +=⇒=
nxx π
π
2
2
1sin +−=⇒−=
Общая формула:
( ) Znnaxax
n
∈+−=⇒= ,arcsin1sin π
Уравнения с тангенсом и котангенсом
Znnarctgax
atgx
∈+=
⇒=
,π Znnarcctgax
actgx
∈+=
⇒=
,π
Формулы обратных триг функций
2
arccosarcsin
π
=+ xx
2
π
=+arcctgxarctgx
Если 0 < x ≤ 1, то
arccos(-x) = π -
arccosx
arcsin(-x) = - arcsinx
Если x > 0 , то
arctg(-x) = - arctgx
arcctg(-x) = π - arcctgx
Обратные триг функции
Функция
Свойства
Область
определения
Множество
значений
arccosx [ ]1;1− [0; π]
arcsinx [ ]1;1− [-π/2; π/2]
arctgx ( )∞∞− ; (-π/2; π/2)
arcctgx ( )∞∞− ; (0; π)
α
10
-
β
0
900
1800
2700
cosα
cosβ
0
-
1
0
0
90
0
1800
2700
α
β
sinβ
sinα
0
-
1
900
1800
2700
α
β
tgβ
tgα
0
- 1
00
1800
270
0
α
β
ctgβ ctgα
α
α
α
cos
sin
=tg
α
α
α
sin
cos
=ctg

3. α
α
2α
вписанные углы
центральный
угол
Геометрия
Теорема косинусов, синусов
Теорема косинусов:
γcos2222
⋅⋅⋅−+= babac
Теорема синусов:
R
cba
2
sinsinsin
===
γβα
Площадь треугольника
ahaS ⋅=
2
1 ( )( )( )cpbpappS −−−=
γsin
2
1
⋅⋅= baS
R
abc
S
4
= rpS ⋅=
Средняя линия
Средняя линия – отрезок,
с соединяющий середины двух
с сторон треугольника.
Средняя линия параллельна
т третьей стороне и равна
е её половине:
bnb
2
1
=
Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь
которого равна одной четверти от исходного
Равносторонний треугольник
треугольник, у которого все стороны равны.
 Все углы равны 600
.
 Каждая из высот является одновременно
биссектрисой и медианой.
 Центры описанной и вписанной окружностей
совпадают.
 Радиусы окружностей:
3
3
;
6
3 a
R
a
r ==
Площадь
4
32
a
S=
Равнобедренный треугольник
треугольник, у которого две стороны равны.
1.Углы, при основании треугольника, равны
2.Высота, проведенная из вершины, является
б биссектрисой и медиан
Прямоугольный треугольник
 Теорема Пифагора: 222
bac += Площадь:
baS ⋅=
2
1
 Тригонометрические соотношения:
a
b
tg
c
b
c
a
=== ααα ;sin;cos
 Центр описанной окружности лежит на середине
гипотенузы.
 Радиусы окружностей:
2
;
2
c
R
cba
r =
−+
=
 Высота, опущенная на гипотенузу:
cb
ca
b
a
c
ba
cbcah =
⋅
=⋅= 





2
;
 Катеты: cbbcaa cc ⋅=⋅= ;
Основные соотношения в треугольнике
 Неравенство треугольника:
a + b > c; a + c > b; b + c > a
 Сумма углов: α + β + γ = 1800
 Против большей стороны лежит больший угол, и обратно,
против большего угла лежит большая сторона.
 Против равных сторон лежат равные углы, и обратно,
против равных углов лежат равные стороны.
Биссектриса
Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и
делящий угол пополам.
• Биссектриса делит противолежащую сторону на части ,
пропорциональные прилежащим сторонам: ab : ac = b : c
• Биссектриса делит площадь треугольника,
пропорционально прилежащим сторонам.
•
cb
aacbw ⋅−⋅=
Конус
HRV 2
3
1
π=
LRбокS π=
Sбок.= πR(R+L)
Усеченный конус
)
2
221
2
1(
3
1
RRRRHV ++= π
LRRбокS )( 21
+=π
Вписанная окружность
• Центр окружности, вписанной в треугольник,
лежит на пересечении биссектрис треугольника.
• Если окружность вписана в произвольный
четырехугольник, тогда попарные суммы
противолежащих сторон равны между собой:
a + b = c + d
Описанная окружность
Касательная, секущая
•
• Центр окружности, описанной около треугольника,
лежит на пересечении серединных перпендикуляров к
его трем сторонам.
• Центр окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, лежит на середине гипотенузы.
• Около трапеции можно описать окружность только
тогда, когда трапеция равнобочная.
• Если окружность описана около произвольного
четырехугольника, тогда попарные суммы
противолежащих углов равны между собой:
γφβα +=+
Длина окружности, площадь
Хорда
Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.
• Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен
хорде.
• В окружности равные хорды равноудалены от центра
окружности.
• Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:
MDCMMBAM ⋅=⋅
Шар
3
3
4
RV π=
2
4 R
бок
S π=
Шаровой сектор
HRV 2
3
2
π= 2
2 HRHR
бок
S −= π
Шаровой сегмент
RHS π2=
)3(
3
1 2
HRHV −= π
Центральный, вписанный угол
Сектор
Касательная, секущая
Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну
общую точку.
Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие
точки.
 ( ) ( ) ( ) ( )OCACOBAB ⊥⊥
 ACAB =
 2
ABAKAPANAM =⋅=⋅
Призма
HоснSV ⋅=
прямая
призма
Цилиндр
RHбокS π2=
HRV 2
π=
Медиана
Медиана – отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противоположной стороны.
• Медианы треугольника точкой их пересечения
делятся в отношении 2:1 (считая от вершины
треугольника).
• Медиана делит треугольник на два треугольника с
равными площадями.
( ) 222222
2
3
2
22
2
1
acba mmmaacbm −+=−+=
Правильная пирамида
Правильная пирамида
пирамида, у которой в основании
и правильный многоугольник, а вершина с
м проецируется в центр основания.
М Все боковые рёбра равны между м
м собой и все боковые грани – равные
м равнобедренные треугольники.
,
2
1
;
3
1
hP
бок
SH
осн
SV ⋅=⋅=
Усеченная пирамида
HPPS )(
2
1
21бок +=
)(
3
1
2121 SSSSV ⋅++=
A
B
C
a
b
c
α
β
γ
a
ha
a
b c
a
b
γ
A
B
C
a
b
c
nb
a
b b
a
b
ac – проекция катета
α
bc
h
A
B
C
a
b
c w
ac
ab
H
R
R
R
H
куб
3aV =
O
a
b
c d
O
O O O
α
β
φ
γ
R
d
хорда
дуга
диаметр
радиус
O
Длина окружности: Rdl ⋅=⋅= ππ 2
Площадь круга:
2RS ⋅=π
A
BC
D
M
H
R
H
R
O
A
B
α
Сектор – часть круга,
ограниченная двумя
его радиусами.
Длина дуги сектора:
0
180
απR
l =
Площадь сектора:
0
2
360
απR
S =
O K
A
B
C
N
M
P
A
B
C
a
b
c m

4. Скалярное произведение
bababa zzyyxxba
baba
++=⋅
⋅=⋅


αcos
a

b

ba

−
Скалярное произведение
Сумма, разность векторов
);;(
);;(
);;();;(
bababa
bababa
abbaaa
zzyyxxba
zzyyxxba
zyxbиzyxa
−−−=−
+++=+



Углы на плоскости
Перпендикулярность, коллинеарность
Перпендикулярные вектора:
0=⋅⇔⊥ baba

Коллинеарные вектора:
baba
z
z
y
y
x
x
ba
b
a
b
a
b
a
λ
λ
=⇔
===⇔


Координаты вектора
Координаты вектора: kzjyixazyxa aaaaaa

++=⇔);;(
Длина вектора:
222
aaa
zyxa ++=

Умножение вектора на число: );;( aaa
zyxa λλλλ =

Свойства прямых и плоскостей
(SO) – перпендикуляр к плоскости (ABCD). O – проекция точки S.
SO – расстояние от точки S до плоскости (ABCD).
α – двугранный угол между плоскостями (SAB) и (ABCD).
Теорема о трёх перпендикулярах: ( ) ( ) ( ) ( )OMABSMAB ⊥⇔⊥
Функция
Значения
0 0
0 π
6
300 π
4
450 π
3
600 π
2
900
cosx 1
2
3
2
2
2
1
0
sinx 0
2
1
2
2
2
3 1
tgx 0
3
3 1 3 -
ctgx - 3 1
3
3 0
Выпуклый четырёхугольник
Произвольный выпуклый четырёхугольник:
 Сумма всех углов равна 3600
.
 Площадь:
ϕsin
2
1
21
⋅⋅= ddS
Правильный многоугольник
Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого
все стороны и углы равны между собой.
 Около всякого правильного многоугольника можно описать
окружность и в него вписать окружность, причём центры этих
окружностей совпадают.
 Сторона правильного n–угольника:
n
Ran
0
180
sin2=
Площадь правильного n–угольника:
n
nRSrPS nnn
0
2 360
sin
2
1
;
2
1
⋅⋅==
Произвольный выпуклый многоугольник
Произвольный выпуклый многоугольник:
 Сумма всех углов равна ( ) ( )21802 0
−− nилиnπ
 Число диагоналей:
( )3
2
1
−⋅ nn
Трапеция
Трапеция:
Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а
другие не параллельны, называется трапецией.
 Средняя линия трапеции параллельна основаниям и
равна:
2
ba
n
+
= Площадь:
nhh
ba
S =
+
=
2
Квадрат
Квадрат:
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется
квадратом.
 Диагональ квадрата 2ad = Площадь:
22
2
1
daS ==
Ромб
Ромб:
Параллелограмм, все стороны которого равны
называется ромбом.
 Диагональ ромба является его осью симметрии.
Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали
являются биссектрисами углов.
 Площадь:
212
1
ddS ⋅=
Параллелограмм
Параллелограмм:
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны
попарно параллельные называется параллелограммом.
 Середина диагонали является центром симметрии.
 Противоположные стороны и углы равны.
 Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных
треугольника.
 Диагонали делятся точкой пересечения пополам:
)(2 222
2
2
1 badd +=+
 Площадь:
ϕα sin
2
1
sin 21 ⋅⋅=⋅⋅=⋅= ddbahaS a
Прямоугольный параллелепипед
V=abc d2
=a2
+b2
+c2
a

b

∝
a

b

ba

+
внутренние
односторонние
вертик
α 1800
−α
смежные углы
α
A
S
O
B
M
C
D
βA
A
B
B
d1
d2
φ
O
r
R
a
b
h
n
a
a d
d1
d2
A
B C
D
α
a
b
ha
φ