เมทริกซ์ cu radio

1. เมทริกซ
รศ.ดร.กฤษณะ เนียมมณี
1. เมทริกซคืออะไร
บทนิยามที่ 1.1 เมทริกซ คือชุดของจํานวนที่อยูภายใตเครื่องหมาย ( ) หรือ [ ] เชน
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
210
321
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
210
321
การบอกตําแหนงของเมทริกซเราตกลงดังตอไปนี้
3หลักที่2หลักที่1หลักที่
2แถวที่
1แถวที่
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
210
321
เราจะกลาววา เมทริกซขางบนนี้มี 2 แถว 3 หลัก หรืออาจกลาววา เมทริกซขางบนเปนเมทริกซ ขนาด (มิติ) 2 × 3
และเรียกสมาชิกของเมทริกซ ดังตัวอยางตอไปนี้
สมาชิกแถวที่ 1 หลักที่ 2 คือ 2
สมาชิกแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือ 2
สมาชิกแถวที่ 2 หลักที่ 1 คือ 0
เปนตน
ตัวอยางที่ 1.1 กําหนดให
A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
3101
2101
3101
เราจะไดวา เมทริกซ A มีขนาด 3 × 4 (3 แถว 4 หลัก) และสมาชิกแถวที่ 1 หลักที่ 3 ของ A ก็คือ – 1 เปนตน
ขอตกลง ในกรณีที่เมทริกซ A กําหนดโดย
A =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
mn2m1m
n22221
n11211
a...aa
.
.
.
.
.
.
a...aa
a...aa
เราจะเขียนใหสั้นลงดังนี้
A = ( a i j )m × n
ซึ่งเมื่อเห็นสัญลักษณนี้เราก็จะทราบไดเลยวา A มีขนาด m × n และสมาชิกแถวที่ i หลักที่ j ของ A คือ a i j
เชนถา
A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
410
321
เราจะไดวา a11 = 1 , a12 = 2 , a13 = 3 ,
a21 = 0 , a22 = 1 และ a23 = 4

2. 2
2. การเทากัน , การบวก และการทรานสโพสของเมทริกซ
บทนิยามที่ 2.1 กําหนดให A = (a i j ) m × n และ B = (b i j )p × q
เราจะกลาววา A = B ก็ตอเมื่อ m = p และ n = q (มิติเทากัน) และ
a i j = b i j สําหรับทุกๆ i = 1 , 2 , … , m และ
j = 1 , 2 , … , n
ตัวอยางเชน
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 11
21
≠ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 011
021
เพราะวามิติไมเทากัน
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 11
21
≠ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 11
31
เพราะวาสมาชิกในแถวที่ 1 หลักที่ 2 ของเมทริกซทั้งสองไมเทากัน เปนตน
บทนิยามที่ 2.2 กําหนดให A = (a i j ) m × n และ B = (b i j ) m × n
เราจะไดวา A + B = (a i j + b i j ) m × n
ขอใหนักเรียนลองพิจารณาตัวอยางตอไปนี้
ตัวอยางที่ 2.1 กําหนดให
A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 101
321
และ B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 431
012
จงหา A + B
ขอสังเกต 1. เมทริกซสองเมทริกซจะบวกกันได ก็ตอเมื่อมีขนาดเทากัน
2. กําหนดให A , B และ C เปนเมทริกซที่มีขนาดเดียวกัน
เราจะได A + (B + C) = (A + B) + C
ตัวอยางที่ 2.2 กําหนดให A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
13
21
และ B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
121
100
เราจะเห็นไดวา A ไมสามารถบวกกับ B ได เพราะวาเปนเมทริกซคนละขนาดกัน
ตัวอยางที่ 2.3 กําหนดให
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
210
yx1
+ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−
233
yxx21
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
443
312
จงหาคา x และ y
ตัวอยางที่ 2.4 กําหนดให
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
211
0yx3
+ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
011
2xy
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
222
221
จงหาคา x และ y
บทนิยามที่ 2.3 กําหนดใหA = (a i j ) m × n แลว
ทรานสโพส ของ A คือ n × m เมทริกซที่มีหลักที่ i เหมือนกับแถวที่ i ของเมทริกซ A เมื่อ
i = 1 , 2 , … , m เราใชสัญลักษณ At
แทนทรานสโพสของ A นั่นคือ
At
= (a j i ) n × m

3. 3
ตัวอยางเชน ถา
A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
654
321
เราไดวา
At
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
63
52
41
(เราจะเห็นไดวา หลักที่ 1 ของ A เหมือนกับแถวที่ 1 ของ At
หลักที่ 2 ของ A เหมือนกับแถวที่ 2 ของ At
หลักที่ 3 ของ A เหมือนกับแถวที่ 3 ของ At
)
ทฤษฎีบทที่ 2.1 สําหรับเมทริกซ A ใดๆ เราจะไดวา (At
)t
= A
3. การคูณเมทริกซดวยจํานวนจริงและการคูณเมทริกซดวยเมทริกซ
บทนิยามที่ 3.1 ถา A = [a i j ] และ c เปนจํานวนจริง แลว
cA = [ca i j ]
ตัวอยางเชน ถา
A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
132
101
เราจะไดวา
–3A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−
)1(3)3(3)2(3
)1(3)0(3)1(3
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−
−
396
303
และ 2A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
)1(2)3(2)2(2
)1(2)0(2)1(2
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
264
202
เปนตน
ตัวอยางที่ 3.1 กําหนดให
A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
401
151
, B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 501
723
, C = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 042
831
จากสมการ 2A + D – 2B = C จงหาเมทริกซ D
ตัวอยางที่ 3.2 จงหาคา A จากสมการตอไปนี้
1. 3A + 5 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 02
12
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
98
47
2. A – ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
60
24
= 3 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 43
21
3.
t
60
24
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
– ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
01
10
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
31
22
+ A
บทนิยามที่ 3.2 การคูณเมทริกซดวยเมทริกซ
กําหนดให A = (a i j ) m × n และ B = (b i j ) n × r
ผลคูณ AB คือ
AB = (c i j ) m × r
โดยที่ c i j = a i 1 b 1 j + … + a i n b n j

4. 4
ตัวอยางที่ 3.3 จงหา AB และ BA เมื่อ
A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
201
101
และ B =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
− 01
12
11
ตัวอยางที่ 3.4 กําหนดให
A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
43
21
และ B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 101
110
จงหา AB และ BA
ขอสังเกต
1. เมทริกซจะคูณกันได ก็ตอเมื่อ จํานวนหลักของตัวตั้งเทากับจํานวนแถวของตัวคูณเทานั้น
2. จากตัวอยางที่ 3.3 ทําใหทราบวา AB อาจไมเทากับ BA
นั่นคือ กฎการสลับที่การคูณเมทริกซไมจริงเสมอไป
ขอตกลง สําหรับจํานวนนับ n ใดๆ
An
= 43421
ครั้งn
A...AA ⋅⋅⋅
แบบฝกหัดที่ 1
1. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
21
03
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
5
7
มีคาเทากับเทาไร
1. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
100
021
2. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
107
021
3. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
17
26
4. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
17
21
5. ไมมีคําตอบที่ถูก
2. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
12
43
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 51
20
มีคาเทากับเทาไร
1. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−− 114
14
2. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
11
144
3. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
91
267
4. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
93
147
5. ไมมีขอถูก
3. กําหนดให A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
01
53
และ B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
13
24
จงหาคา A2
– 3B
1. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
29
143
2. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
29
143
3. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
29
43
4. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 26
92
5. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
29
43

5. 5
4. ขอตอไปนี้ขอใดผิด
1. ถา ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
qp
12
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 01
yx
แลว x = 2, y = 1
2. ถา
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
z
1y
x
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
4
1
แลว x = 1 , y = 5
3. ถา A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−
643
125
แลว – A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
643
125
4. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
200
1510
= 5 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
40
32
5. กําหนดให A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
z3
2yx
, B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− y2
y2
, C = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
10
a1
ถา AB = C แลว
a จะมีคาเทากับคาในขอใดตอไปนี้
1.
36
29
2.
36
27
3.
36
19
4.
36
17
6. กําหนดเมทริกซ A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
b2
4a
ถา A2
– 4A – 5I = 0_ แลว a , b จะมีคาเทากับเทาใด
1. a = 1, b = – 3 หรือ a = – 3, b = 1
2. a = – 1, b = – 3 หรือ a = – 3, b = – 1
3. a = 1, b = 3 หรือ a = 3, b = 1
4. ขอ 1 , 2 และ 3 ไมมีขอใดถูก
7. ให a , b , c เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับระบบสมการ
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
100
110
121
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
c
b
a
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3
2
6
แลว a + b + c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. 1 2. 3 3. 5 4. 7
8. กําหนดให A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−− 47
73
และ B = [ x y]
เซตของจุด (x , y) ซึ่งสอดคลองสมการ BABt
= [12] เปนกราฟของขอใดตอไปนี้
1. วงรีซึ่งมีแกนเอกทับแกน X 2. วงรีซึ่งมีแกนเอกทับแกน Y
3. ไฮเพอรโบลาซึ่งมีแกนตามขวางทับแกน X 4. ไฮเพอรโบลาซึ่งมีแกนตามขวางทับแกน Y
9. กําหนดให A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
32
43
, B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 31
21
, x = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
dc
ba
ถา AX + B = A แลว b + c มีคากับขอใดตอไปนี้
1. 7 2. 9 3. 10 4. 11

6. 6
ประเภทของเมทริกซที่สําคัญ
1. เมทริกซศูนย คือเมทริกซที่มีสมาชิกทุกตัวเปนศูนย เขียนแกนดวย 0_ เชน
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
00
00
,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
00
00
00
เปนตน
2. เมทริกซแถว คือเมทริกซที่มีเพียงแถวเดียว เชน
[ 1 3 5 ] , [ 2 0 – 1 2 ]
3. เมทริกซหลัก คือเมทริกซที่มีเพียงหลักเดียว เชน
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
0
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
4
3
2
1
เปนตน
4. เมทริกซจัตุรัส คือเมทริกซที่มีจํานวนแถวเทากันจํานวนหลัก เชน
33
312
103
120
×
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
,
22
23
41
×
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
นอกจากนี้เรายังแบงเมทริกซจัตุรัสออกไดอีกหลายประเภทคือ
4.1 เมทริกซทะแยงมุม คือเมทริกซจัตุรัสที่มีสมาชิกที่ไมอยูในแนวเสนทะแยงมุมหลัก
(แนวทะแยงจากมุมซายบนลงไปยังมุมขวาลาง) เปนศูนยหมด เชน
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
200
030
001
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1000
0100
0010
0001
4.2 เมทริกซเอกลักษณ หรือ เมทริกซหนึ่งหนวย คือเมทริกซทะแยงมุมที่มีสมาชิกในแนวทะแยงมุมหลัก
เปนหนึ่งหมด เชน
[ 1 ] , ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
10
01
,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
100
010
001
เปนตน
เราจะใชสัญลักษณ In แทนเมทริกซเอกลักษณขนาด n × n
4.3 เมทริกซไมเอกฐาน (nonsingular matrix) เราจะเรียกเมทริกซจัตุรัส A วาเปนเมทริกซไมเอกฐาน ก็ตอเมื่อเรา
สามารถหาเมทริกซจัตุรัส B ซึ่งทําให
AB = BA = I
เมื่อ I คือเมทริกซเอกลักษณขนาดเดียวกันกับเมทริกซ A
4.4 เมทริกซเอกฐาน (singular matrix) คือเมทริกซจัตุรัสซี่งไมใชเมทริกซไมเอกฐาน

7. 7
4.5 เมทริกซสมมาตร (symmetry matrix) คือเมทริกซที่มีสมาชิกแถวที่ i หลักที่ j เหมือนกับสมาชิกแถวที่ j หลักที่ i
ตัวอยางเชน
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
381
820
101
ทฤษฎีบทที่ 3.1 กําหนดให A , B , C เปนเมทริกซขนาด n × m และ 0 เปนเมทริกซศูนยขนาด n × m เราจะไดวา
(3.1.1) A + B เปนเมทริกซขนาด n × m
(3.1.2) A + (B + C) = (A + B) + C
(3.1.3) A + 0 = A = 0 + A
(3.1.4) A + (– A) = 0 = (– A) + A
(3.1.5) A + B = B + A
จากทฤษฎีบทที่ 3.1 ขอ (3.1.1) – (3.1.4) ทําใหทราบวาเซตของเมทริกซขนาด n × m กับการบวกเมทริกซ เปนกรุป (group)
โดยมี 0 เปนเอกลักษณการบวก และเมื่อรวมกับคุณสมบัติ ขอ (3.1.5) แลว จะไดวา กรุปนี้เปนกรุปสลับที่ (abelian group)
ทฤษฎีบทที่ 3.2 กําหนดให A , B , C เปนเมทริกซขนาด n × n แลว
(3.2.1) A(BC) = (AB)C
(3.2.2) A(B + C) = AB + AC
(3.2.3) AIn = A = InA
(3.2.4) (AB)t
= Bt
At
และ (ABC)t
= Ct
Bt
At
จากทฤษฎีบทที่ 3.2 ขอ (3.2.1) – (3.2.3) ทําใหเราทราบวา เซตของเมทริกซไมเอกฐานขนาด n × n กับการคูณเมทริกซนั้น
เปนกรุปที่มี In เปนเอกลักษณการคูณ
แบบฝกหัดที่ 2
กําหนดให A , B และ C เปนเมทริกซขนาด 2 × 2 ขอความตอไปนี้ถูกหรือผิด
…………… 1) ถา AB = AC แลว B = C
…………… 2) ถา AB = AC และ A ≠ 0 แลว B = C
…………… 3) (A + B)2
= A2
+ 2AB + B2
…………… 4) ถา AB = 0 แลว A = 0 หรือ B = 0
…………… 5) ถา AA = 0 แลว A = 0
…………… 6) ถา A ≠ 0 และ B ≠ 0 แลว AB ≠ 0
…………… 7) ถา A + B = A + C แลว B = C
…………… 8) ถา A ≠ 0 , B ≠ 0 แลวจะหาเมทริกซ X ซึ่ง AX = B ได
…………… 9) ถา AA ≠ 0 แลว A ≠ 0
…………… 10) ถา k เปนจํานวนจริงใดๆ (kA)t
= kAt

8. 8
4. ดีเทอรมินันต (Determinant)
บทนิยามที่ 4.1 ถา A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2221
1211
aa
aa
เปนเมทริกซจัตุรัสขนาด 2 × 2 แลว
เรานิยาม ดีเทอรมินันตของ A คือ a11a22 – a21a12 และเราจะใชสัญลักษณ
det (A) , | A | หรือ
2221
1211
aa
aa
แทนดีเทอรมินันตของ A
ตัวอยางที่ 4.1 ให A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
12
43
และ B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
30
14
จงหา det(A) และ det(B)
วิธีทํา det (A) = (– 3) (1) – (4) (2) = – 11
det (B) = (4) (3) – (0) (– 1) = 12
บทนิยามที่ 4.2 กําหนดเมทริกซ A = ( a i j )n × n ซึ่ง n > 2 เราจะนิยาม
ไมเนอรของ a i j ดวยดีเทอรมินันตของเมทริกซที่ไดจากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ A ออก
เขียนแทนไมเนอรของ a i j ดวย M i j (A)
ตัวอยางที่ 4.2 กําหนดให
A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
321
110
213
จงหา M32(A) และ M12(A)
บทนิยามที่ 4.3 กําหนดให A = (a i j) โดยที่ n > 2 เรานิยามโคแฟคเตอรของ a i j คือ (– 1)i+j
M i j(A)
เราใชสัญลักษณ c i j(A) แทนโดยแฟคเตอรของ a i j นั่นคือ
c i j(A) = (– 1)i+j
M i j(A)
ตัวอยางที่ 4.3
ให a , b , c เปนจํานวนจริง และ A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
11c
11b
01a
ให C i j(A) คือโคแฟคเตอรของสมาชิกในตําแหนงแถวที่ i หลักที่ j ของ A
ถา C12(A) = 1 และ det (A) = – 5 แลว a เทากับคาในขอใดตอไปนี้
1. – 5 2. – 1 3. 2 4. 3
ตัวอยางที่ 4.4
กําหนดให A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
1yx
083
4yx
โดยที่โคแฟคเตอรของ a21 = – 6 , โคแฟคเตอรของ a23 = 4
แลวโคแฟคเตอรของ a32 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. – 14 2. – 13 3. 13 4. 14

9. 9
บทนิยามที่ 4.4 กําหนด A = ( a i j ) โดยที่ n > 2
ดีเทอรมินันตของ A คือ
a11C11(A) + a12C12(A) + … + a1nC1n(A)
เขียนแทนดีเทอรมินันตของ A ดวย det(A) , | A | หรือ
nnn2n1
n22221
n11211
a...aa
...
a...aa
a...aa
ตัวอยางที่ 4.5 จงหาดีเทอรมินันตของเมทริกซ A ตอไปนี้
A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
121
083
421
ตัวอยางที่ 4.6 เซตของจํานวนจริง x ทั้งหมดที่ทําใหเมทริกซ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
53x
012
x01 2
เปนเมทริกซเอกฐานคือขอใด
1.
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ −+
2
535
,
2
535
,1 2. {1, 5 + 3 3 , 5 – 3 3 }
3.
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ −+
4
53
,
4
53
,1 4. {1, 3 + 5 , 3 – 5 }
ตัวอยางที่ 4.7 กําหนดให
A =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
1211
0831
4213
2511
จงหา det(A)
ทฤษฎีบทที่ 4.1 กําหนดให
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
det (A) = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)
– (a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12)
ซึ่งมีวิธีจําดังนี้
a31a22a13 a32a23a11 a33a21a12 .......(*)
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 .......(**)
det(A) = ผลบวกในแถว (**) – ผลบวกในแถว (*) นั่นเอง

10. 10
ตัวอยางที่ 4.8
ให R เปนเซตของจํานวนจริง และ f : R → R กําหนดโดย
f(x) = det
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
−
x3log
x53log
1x
x
เซตคําตอบของสมการ f(x) = 0 เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้
1. [0 , 1] 2. {0} ∪ (1 , ∞)
3. [– 1 , 0] 4. (– ∞ , – 1) ∪ {0}
ตัวอยางที่ 4.9
สําหรับจํานวนจริง x ใดๆ ให Ax เปนเมทริกซ กําหนดโดย
Ax =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
xcosxcos2
xsin2xsin2
2
2
ถา S = { x | – 2π ≤ x ≤ 2π และ Ax เปนซิงกูลารเมทริกซ}
แลว S จะมีจํานวนสมาชิกกี่ตัว
ตัวอยางที่ 4.10 จงหาจํานวนเต็มบวก x ทั้งหมดที่ทําให เมทริกซ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
x1
xx
มีคาดีเทอรมินันตไมเกิน 30
ทฤษฎีบทที่ 4.2 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับดีเทอรมินันตที่ควรทราบ มีดังนี้
ถา A = [ a i j ] โดยที่ a i j ∈ R และ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 2 แลว
(สําหรับขอ 4.2.3 – 4.2.7 ใชไดในกรณีที่ n = 2 ดวย)
(4.2.1) det (A) = a i 1 C i 1 (A) + a i 2 C i 2 (A) + … + a i n C i n (A)
(4.2.2) det (A) = a 1 j C 1 j (A) + a 2 j C 2 j(A) + … + a n j C n j (A)
(4.2.3) ถา A มีสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่ง (หรือหลักใดหลักหนึ่ง) เปนศูนยทุกตัวแลว det (A) = 0
(4.2.4) ถาสลับที่กันระหวางแถว สองแถวใดๆ (หรือหลัก สองหลักใดๆ) ของ A แลว ดีเทอรมินันตของ
เมทริกซใหมคือ – det (A)
(4.2.5) ถา A มีสมาชิกสองแถว (หรือสองหลักใด) เหมือนกันแลว det (A) = 0
(4.2.6) ถาคูณสมาชิกทุกตัวในแถวใดแถวหนึ่ง (หรือหลักใดหลักหนึ่ง) ของ A ดวยคาคงตัว c แลว
ดีเทอรมินันตของเมทริกซใหม คือ c det (A)
(4.2.7) ถาเปลี่ยนแถวใดแถวหนึ่ง (หรือหลักใดหลักหนึ่ง) ของ A โดยใชคาคงตัวที่ไมใชศูนยคูณสมาชิก
ทุกตัวในแถวใดแถวหนึ่ง (หรือหลักใดหลักหนึ่ง) ของ A แลวนําไปบวกกับสมาชิกในแถว (หรือหลัก)
ที่ตองการเปลี่ยนนั้นโดยบวกสมาชิกในลําดับเดียวกันเขาดวยกัน แลวใชผลบวกแทนที่สมาชิกเดิม
แลวดีเทอรมินันตของเมทริกซใหมจะเทากับ det (A)

11. 11
ทฤษฎีบทที่ 4.3 ถา A = ( a i j ) , B = ( b i j ) เมื่อ n ≥ 2 แลว
(4.3.1) det (A) = det (At
)
(4.3.2) det (AB) = det(A) det (B) ดังนั้น det (An
) = (det A)n
(4.3.3) det (cA) = cn
det (A)
(4.3.4) det (In) = 1
แบบฝกหัด
1. กําหนดให A และ B เปน 2 × 2 เมทริกซใดๆ ขอใดตอไปนี้ถูก
1. ถา det (A) = det (B) แลว A = B 2. det (A2
) = 2 det (A)
3. det ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
A
=
2
1
det(A) 4. det(AB) = det(B) det(A)
2. ให A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−12
31
และ B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 21
y4
ถา det (AB + B) = 84 แลว y มีคาเทากับเทาใด
3. ถา A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
13
31
แลว det(–2A3
At
(A + At
) ) เทากับขอใดตอไปนี้
1. 768 2. – 768 3. 384 4. – 384
4. ให A เปนเมทริกซจัตุรัสมิติ 4 × 4 และ Mij(A) คือไมเนอรของ aij
ถา M23(A) = 5 แลว M32(2At
) เทากับขอใดตอไปนี้
1. 10 2. 20 3. 40 4. 80
5. กําหนดให A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
x3cosx2cos
x3sinx2sin
โดยที่ x ∈ [–
2
π
,
2
π
]
จงหาคา x ที่ทําให
det (A2
) + det (– A) + det (2I) = 6
6. ถา A = [ ] nnija
×
เมื่อ aij เปนจํานวนจริง และ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 แลว
ขอความตอไปนี้ ขอใดผิด
1. det(AAt
) = det(A2
)
2. det(kA)2
= k2n
det(A2
) เมื่อ k เปนจํานวนจริง
3. det(A2
+ A) = [det(A) + 1]det(A)
4. [det(A)] I = A(adjA) = (adj A)A
5. การหาอินเวอรสการคูณของเมทริกซ
ทฤษฎีบทที่ 5.1 ถา A = (a i j ) เมื่อ n > 1 แลว
A เปนเมทริกซเอกฐาน (ไมมีอินเวอรสการคูณ) ก็ตอเมื่อ det (A) = 0
A เปนเมทริกซซึ่งไมเอกฐาน (มีอินเวอรสการคูณ) ก็ตอเมื่อ det (A) ≠ 0

12. 12
บทนิยามที่ 5.1 ถา A = ( a i j ) เมื่อ n > 1 แลว
เมทริกซผูกพัน (adjoint matrix) ของ A คือทรานสโพสของเมตริกซ ( C i j (A) )
เราจะใชสัญลักษณ adj A แทนเมทริกซผูกพันของ A ดังนั้น
adj A = ( C i j (A) )t
เมื่อ C i j (A) คือ โคแฟคเตอรของ a i j
(ดูตัวอยางการหา adj A ไดจากตัวอยางที่ 5.2)
ทฤษฎีบทที่ 5.2 ถา A = ( a i j ) เมื่อ n > 1 แลว
A–1
=
)Adet(
1
adj A
เมื่อ det (A) ≠ 0 และ A–1
คืออินเวอรสการคูณของ A
ขอสังเกต เมทริกซจัตุรัส A ที่จะมีอินเวอรสการคูณไดนั้นจําเปนที่คาดีเทอรมินันตตองไมเทากับศูนย
ทฤษฎีบทที่ 5.3 ถา A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
dc
ba
และ det (A) ≠ 0
A–1
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
− ac
bd
bcad
1
ตัวอยางที่ 5.1 กําหนดให A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
43
21
จงหา A–1
ตัวอยางที่ 5.2 กําหนดให A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
210
210
321
จงหา A–1
(ถามี)
แบบฝกหัด
1. ให M =
⎭
⎬
⎫
≠≠⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0b,0a
b,a
0b
a0
และ
ริงเปนจํานวนจ
สําหรับเมทริกซ A , B ใดๆ ใน M ขอใดตอไปนี้เปนจริง
1. A–1
∈ M และ At
B ∈ M
2. A–1
∈ M และ At
B ∉ M
3. A–1
∉ M และ At
B ∈ M
4. A–1
∉ M และ At
B ∉ M
2. กําหนดให A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
012
010
321
และ x =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
r
q
p
ถา A2
(adj A) X =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
6
1
แลว P มีคาเทากับเทาไร

13. 13
3. กําหนดให A =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
13
31
2
1
ถา B เปนเมทริกซ 2 × 2 ที่สอดคลองสมการ
BA–1
= At
แลว B คือเมทริกซในขอใดตอไปนี้
1. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
01
10
2. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
01
10
3. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
10
01
4. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
11
11
4. ให A เปนเมทริกซ และ I เปนเมทริกซเอกลักษณ มิติ 3 × 3
ถา B =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
012
103
121
และ C =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
120
213
320
สอดคลองกับสมการ
AB – AC –
2
1
I = 0 แลว A–1
คือเมทริกซในขอใดตอไปนี้
1.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−
112
110
201
2.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−
224
220
402
3.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
112
110
201
4.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
224
220
402
5. ให A , B เปนเมทริกซจัตุรัสมิติ 3 × 3 และ I เปนเมทริกซเอกลักษณมิติ 3 × 3
ถา AB = BA = I และ A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
101
312
111
แลว เมทริกซผูกพันของ B(adj B) เทากับเทาใดตอไปนี้
1.
3
1
A 2. – 3A 3.
3
1
At
4. – 3At
6. กําหนดให A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
21
10
, B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
31
12
และ C = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
21
01
ถา X = (B + C)A แลว X–1
คือเมทริกซในขอใดตอไปนี้
1. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
01
12
2. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−− 11
12
3. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
01
11
4. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
01
11
7. กําหนดให A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
51
32
แลว A–1
คือขอใดตอไปนี้
1.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
13
2
13
1
13
3
13
5
2.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
13
2
13
1
13
3
13
5
3.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
13
5
13
1
13
3
13
2
4.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
13
5
13
1
13
3
13
2
ทฤษฎีบทที่ 5.4 กําหนดให A และ B เปนเมทริกซไมเอกฐานที่มีมิติเดียวกัน เราจะไดวา
(5.4.1) (AB)–1
= B–1
A–1
(5.4.2) (A–1
)–1
= A
(5.4.3) (At
)–1
= (A–1
)t

14. 14
(5.4.4) (cA)–1
=
c
1
A–1
(5.4.5) det (A–1
) =
)Adet(
1
ตัวอยางที่ 5.4 กําหนดให A , B , C , I เปนเมทริกซมิติ 2 × 2
det (– A3
) = det (2 2 I) , det (C–1
) = 4 และ ABt
C = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
24
16
แลว det (B) มีคาเทากับเทาไร
ตัวอยางที่ 5.5 กําหนดให A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ−θ
θθ
cossin
sincos
และ B = A2
+ (A–1
)2
+ 2I จงหา (A–1
)2
B
แบบฝกหัด
1. กําหนดให A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
23
41
B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− y4
x2
และ C = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
71
51
ถา det (–
2
1
AB) = det (C–1
) แลวคาของ y + 2x เทากับขอใดตอไปนี้
1. –
5
1
2. –
2
1
3.
5
2
4.
10
1
2. ให det A = a ซึ่ง a > 0 และ a2
– 2a – 3 = 0 คาของ det A–1
คือขอใดตอไปนี้
1.
3
1
2.
3
2
3. 1 4. 3
3. กําหนดให A และ B เปนแอนซิงกูลารเมทริกซขนาด 2 × 2 โดยที่ det(A–1
) = –
2
1
และ B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
yx
21
เมื่อ x และ y เปนจํานวนจริง ถา AB + 3A = 2I แลว x + y เทากับในขอใดตอไปนี้
1. 2 2. – 2 3. 4 4. – 4
4. ให A และ B เปนเมทริกซจัตุรัสมิติ 4 × 4 และ I เปนเมทริกซเอกลักษณมิติ 4 × 4 โดยที่ A(adj A) – BA = I
ถา det B = 0 แลว det A มีคาเทากับเทาใดตอไปนี้
1. – 1 2. 0 3. 1 4. 2
5. กําหนดให A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
011
112
121
และ I =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
100
010
001
ถา B เปนเมทริกซที่ทําให AB = BA = I แลวคาของ det(adj B–1
) เทากับขอใดตอไปนี้
1. 1 2. 16 3. 25 4. 36
6. ขอใดตอไปนี้ผิด
1. กําหนดเมทริกซ A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
11
01
และ B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ab
0a
a , b เปนจํานวนจริง จะไดวา AB = BA
2. ถา A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
3k1
22k
เปนนอนซิงกูลารเมทริกซแลว k ≠ 1 และ k ≠ 4
3. ถา A เปน 2 × 2 เมทริกซและ k เปนจํานวนจริงใดๆ ซึ่ง k ≠ 1 และ det(kA)t
= k det(A)
4. ถา A และ B เปนเมทริกซ 2 × 2 ที่หา A–1
และ B–1
ไดแลว det ( )1
)AB( −
= det ( )1
B−
det ( )1
A−

15. 15
7. ถา A , B และ C เปนเมทริกซมิติ 2 × 2 แลว ขอใดตอไปนี้เปนจริง
1. (AB)–1
= A–1
B–1
2. ถา AB = AC แลว B = C
3. ถา AB = 0 แลว A = 0 หรือ B = 0 4. det (AB) = det(A) det(B)
8. กําหนดให A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
c1
1c
และ det ( ) ( )322
c1A2 −+ det ( )t1
A−
= 45
จงหาวาจํานวนจริง C ทั้งหมด ซึ่งสอดคลองกับสมการขางตนอยูในเซตใดตอไปนี้
1. {– 3, – 2, 5 } 2. {2, 3, – 5 }
3. {– 2 , 2, 3} 4. { 2 , – 2, 2}
9. ขอใดตอไปนี้ถูก
1. ถา A, B และ C เปน 2 × 2 เมทริกซใดๆ แลว AB + AC = (B + C)A
2. ถา A , B เปนเมทริกซใดๆ และ AB = 0 แลว A = 0 หรือ B = 0
3. เอกลักษณการคูณของ 2 × 2 เมทริกซ คือ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
11
11
4. ถา A , B , C เปน 2 × 2 เมทริกซ ซึ่ง det(A) < 0 และ AB = AC แลว B = C
6. การหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสน
ทฤษฎีบทที่ 6.1 (กฎของคราเมอร)
จากระบบสมการ เขียนสมการเมทริกซไดดังนี้
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
.
.
a...aa
a...aa
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
2
1
x
.
.
.
x
x
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
2
1
b
.
.
.
b
b
ซึ่งอยูในรูป AX = B
ถา A เปนเมทริกซมิติ n × n โดยที่ det (A) ≠ 0 แลวระบบสมการที่เขียนในรูปสมการเมทริกซ
AX = B เมื่อตัวไมทราบคาคือ x1, x2, …, xn และ b1, b2, …, bn เปนคาคงตัว
โดยที่ X =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
2
1
x
.
.
.
x
x
, B =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
2
1
b
.
.
.
b
b
มีคําตอบคือ x1 =
)Adet(
)Adet( 1
, x2 =
)Adet(
)Adet( 2
, …, xn =
)Adet(
)Adet( n
เมื่อ Ai คือเมทริกซที่ไดจากการแทนหลักที่ i ของ A ดวยหลักของ B
ตัวอยาง กําหนดระบบสมการเชิงเสน
2x + 4y + z = 1
x + 2y = – 2
– x – 3y + 2z = 3

16. 16
คาของ x ที่เปนคําตอบของระบบสมการนี้เทากับขอใดตอไปนี้
1. 20 2. 9 3. – 9 4. – 20
การดําเนินการตามแถว (row operation)
การเขียนวิธีดําเนินการตามแถวกํากับไวหลังเมทริกซใหมที่ไดในตัวอยางตอไป มีขอตกลงเบื้องตนดังนี้
1. เขียน Rij แทน การสลับที่ระหวางแถวที่ i กับแถวที่ j
2. เขียน cRi แทน การคูณสมาชิกทุกตัวในแถวที่ i ดวยคาคงตัว c โดยที่ c ≠ 0
3. เขียน Ri + cRj แทน การบวกแถวที่ i ดวย c เทาของแถวที่ j
ตัวอยาง
กําหนดให A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
− c01
b32
a21
, x =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
z
y
x
, B =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
1
1
โดยที่ a, b, c เปนจํานวนจริง
ถา AX = B และ A ∼
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
201
110
321
R2 – 2R1 แลว x มีคาเทากับเทาใดตอไปนี้
1. – 1 2. –
3
2
3.
4
3
4. 2
แบบฝกหัดระคน
1. กําหนดให A , B และ C เปน 2 × 2 เมทริกซใดๆ ถานิยาม A*B =
2
1
(AB + BA) แลวขอสรุปใดตอไปนี้ไมจริง
1. A*A = A2
2. A*B = B*A
3. (A*B)*C = A*(B*C) 4. A*(B+C) = (A*B) + (A*C)
2. กําหนดให I เปนเมทริกซเอกลักษณมิติ 2 × 2 ขอความใดตอไปนี้ไมจริง
1. ถา A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θθ−
θθ
cossin
sincos
แลว A–1
= At
2. ถา A =
2
1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
13
31
แลว A–1
= A2
3. ถา A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
32
21
แลว A–1
= A – 4I
4. ถา A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
20
11
แลว A–1
= 3I – A
3. ขอใดถูก
1. ถาเมทริกซ U = [ 1 – 1 – 4 ] , X = [ 0 1 2 ]
V =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1
0
5
และ Y =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
2
1
1
แลวเมทริกซ 3UV – 2XY = [ 3 ]
2. ถา ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
aa
12
2 เปนซิงกูลารเมทริกซแลว a = 2
3. ถา A และ B เปนเมทริกซจัตุรัสที่มีมิติเดียวกัน และ det(AB) = 0 แลว det(A) = 0 หรือ det (B) =
0

17. 17
4. ถา A เปนนอนซิงกูลารเมทริกซมิติ 2 × 2 แลว det ( (2A)–1
) = det (2A–1
)
4. ถา A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
02
1a
และ B เปนเมทริกซ ซึ่ง BA = A–1
และ 2B – 2A–1
+ I = 0 แลว เมทริกซ B คือ
1.
2
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
02
11
2.
2
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
12
11
3.
2
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
11
21
4.
2
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
11
21
5. พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ถา A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
dc
b1
เมื่อ b , c และ d เปนจํานวนจริง โดยที่ A ≠ I และ A2
= I
แลว d = – 1 และ bc = 0
ข. ถา A , B เปนเมทริกซใดๆ ขนาด 2 × 2 และ c เปนสเกลารใดๆ det((cA) (cB)) = c2
(det A) (det
B)
ค. ถา A , B และ C เปนเมทริกซใดๆ และ A2
B + A2
C = 0 แลว A = 0 หรือ B = – C
ง. ถา At
= A2
แลว det A = – 1
ขอใดตอไปนี้ถูก
1. ขอ ก, ข, ค, ง ผิดหมดทุกขอ 2. มีผิด 3 ขอเทานั้น
3. มีผิด 2 ขอเทานั้น 4. มีผิด 1 ขอเทานั้น
6. ให A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θθ−
θθ
cossin
sincos
คา θ > 0 ที่เล็กที่สุดทําให A16
= I และ A16
= – I คือ θ = θ1
และ θ = θ2 ตามลําดับ
แลวคา (θ1 , θ2) จะเทากับ
1. (
16
π
, 0) 3. (0 ,
16
π
)
3. (
16
π
,
16
π
) 4. ขอ 1, 2 และ 3 ไมมีขอใดถูก
7. ถา A และ B เปนเซตของเมทริกซ กําหนดโดย
A =
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ต็มบวกเปนจํานวนเn
10
11
n
B =
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
ต็มบวกเปนจํานวนเn
10
11
n
แลวขอใดตอไปนี้เปนจริง
1. A เปนเซตจํากัด และ B เปนเซตจํากัด 2. A เปนเซตจํากัด และ B เปนเซตอนันต
3. A เปนเซตอนันต และ B เปนเซตจํากัด 4. A เปนเซตอนันต และ B เปนเซตอนันต
8. ให a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ ที่ไมเปนศูนยพรอมกัน
กําหนดเมทริกซ A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
b
a
และ B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θθ−
θθ
2cos2sin
2sin2cos
คาของมุม θ ในชวง [0 ,
2
π
] ที่จะทําใหเมทริกซผลคูณ At
BA เปนเมทริกซศูนย คือคาในขอใด

18. 18
1.
6
π
2.
3
π
3.
4
π
4.
2
π
9. ให A และ B เปนเมทริกซมิติ 2 × 2 จงพิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ถา A = – At
แลวสมาชิกในแนวทะแยงมุมจากบนซายถึงลางขวาของ A เปน 0 ทั้งหมด
ข. ถา A2
= B และ B เปนนอนซิงกูลารเมทริกซ แลว A เปนนอนซิงกูลาร
ขอใดตอไปนี้ถูก
1. ก. ถูก ข. ถูก 2. ก. ถูก ข. ผิด
3. ก. ผิด ข. ถูก 4. ก. ผิด ข. ผิด