Dokumen tersebut membahas tentang bangun ruang dan sifat-sifatnya dalam 3 kalimat. Pertama, dibahas tentang konsep titik, garis, bidang, dan bangun ruang serta hubungannya. Kedua, dibahas tentang sifat-sifat garis dan bidang yang tegak lurus pada bangun ruang kubus. Ketiga, prosedur menggambar titik tembus garis pada bidang dan contoh soalnya.

1. 1. Tinjau ulang bangun ruang
2. Kedudukan titik, garis, dan
3. Sifat-sifat tegak lurus
bidang
4. Titik tembus garis pada
5. Irisan bidang dengan bangun
bidang
6. Jarak pada bangun
ruang
7. Proyeksi
ruang
8. Sudut pada bangun
ruang
Pilihan
Anda

2. 1. Kubus dan balok
2. Prisma
3. Limas
4. Bidang banyak
5. Kerucut, tabung, dan
bola
Pilihan
Anda

3. Nama : Kubus ABCD.EFGH
Titik sudut : A, B, C, D
H G E, F, G, H
E F Rusuk : AB, BC, CD, AD
EF, FG, GH, EH
AE, BF, CG, DH
D C Sisi : ABCD, EFGH
ABFE, CDGH
A B
BCGF, ADHE

4. H G
Diagonal sisi :
E F AC, BD, EG, FH
AF, BE, DG, CH
BG, CF, DE, AH
D C
A B Diagonal ruang :
AG, BH, CE, DF
Bidang diagonal :
ACGE, BDHF
ADGH, CDEF
BCHE, ADGF

5. Nama : Balok ABCD.EFGH
Titik sudut : A, B, C, D
H G E, F, G, H
E F Rusuk : AB, BC, CD, AD
EF, FG, GH, EH
AE, BF, CG, DH
D C
Sisi : ABCD, EFGH
A B ABFE, CDGH
BCGF, ADHE

6. H G
Diagonal sisi :
E F
AC, BD, EG, FH
AF, BE, DG, CH
BG, CF, DE, AH
D C
A B
Diagonal ruang :
AG, BH, CE, DF
Bidang diagonal :
ACGE, BDHF
ADGH, CDEF
BCHE, ADGF

7. Nama : Prisma ABC.DEF
D F Titik sudut : A, B, C,
D, E, F
E Rusuk : AB, BC, AC,
DE, EF, DF,
AD, BE, CF
Sisi : ABC, DEF
ABED, BCFE, ACFD
A C
Prisma segitiga ABC.DEF
B

8. Prisma beraturan
• Bangun alas dan atas berupa segitiga
atau segibanyak beraturan
Prisma segitiga beraturan
Prisma segi-empat beraturan
Prisma segi-lima beraturan
Prisma segi-enam beraturan

9. Nama : Limas T.ABC
Titik sudut : T, A, B, C
T
Rusuk : AB, BC, AC
TA, TB, TC
AE, BF, CG, DH
A C
Sisi : ABC,
TAB, TBC, TAC
B
Limas segitiga T.ABC

10. Limas beraturan
• Bangun alas berupa segitiga atau
segi-banyak beraturan dan proyeksi
titik puncak tepat di titik pusat
lingkaran alas
• Contoh:
Limas segitiga beraturan
Limas segi-empat beraturan
Limas segi-lima beraturan
Limas segi-enam beraturan

11. Bangun ruang dengan bidang
batas berupa bidang datar
disebut bidang banyak.
Kubus, balok, prisma, limas.

12. Bidang banyak beraturan
• Semua sisinya berupa segitiga atau
segibanyak beraturan yang kongruen
Bidang empat beraturan
Bidang enam beraturan
Bidang delapan beraturan
Bidang dua belas beraturan

13. Contoh gambar:
D H G
E F
A C
D C
B A B
Bidang empat Bidang enam
beraturan beraturan (kubus)
D.ABC ABCD.EFGH

14. Kerucut Tabung/ Bola
silinder

15. 1. Pengertian titik, garis, &
bidang
2. Kedudukan titik terhadap
garis
3. Kedudukan titik terhadap
bidang
4. Kedudukan dua
garis
5. Kedudukan garis thd
bidang
6. Kedudukan dua
bidang
Pilihan
Anda

16. Nama :
menggunakan huruf
kapital
•A •M
Gambar :
a. Titik A b. Titik M menggunakan noktah

17. Nama :
menggunakan huruf
kecil : g, h, a, b, dll
Garis g
Gambar :
menggunakan garis
lurus
B Nama :
Dengan menyebutkan
nama ujung-ujungnya:
en/ AB
A egm ris
S ga
AB, CD, dll
ruas Gambar :
sebagian garis lurus

18. Nama :
menggunakan huruf:
α
α, β, γ, …
Bidang α
U, V, W, …
U Gambar :
menggunakan:
segitiga, jajar genjang,
persegi panjang, dll
Bidang U

19. A
Titik A pada garis g
g
Garis
B
Titik B di luar garis g
g
Ga ris

20. Perhatikan kubus ABCD.EFGH
H G Titik terletak pada garis
E F 1. A pada AB
2. C pada CG
3. H pada GH
D C
Titik di luar garis
A B
1. A di luar EF
2. C di luar BF
3. H di luar AB

21. A
U
Titik A pada bidang U
B
Titik B di luar bidang U
U

22. Perhatikan kubus ABCD.EFGH
H G Titik terletak pada bidang
E F 1. A pada ABCD
2. C pada BCGF
3. H pada EFGH
D C
Titik di luar bidang
A B
1. A di luar BCGF
2. C di luar ABFE
3. H di luar ABCD

23. h
s
ari
A G g Garis g dan h
G aris berpotongan di titik A
a Garis a sejajar garis b
ris s
b
i
Ga ar
G

24. h
s
a ri Garis g dan h
G bersilangan
aris
g
G

25. Perhatikan kubus ABCD.EFGH
H Dua garis berpotongan
G
1. AB dan BC
E F
2. CD dan CG
Dua garis sejajar
D C 1. AB sejajar DC
2. AE sejajar BF
A B
Dua garis bersilangan
1. AB dan CG
2. CD dan BG

26. g
Garis g pada bidang U
U

27. h
Garis h di luar
bidang U
U
a
Garis a memotong/
• P menembus bidang U
U

28. Perhatikan kubus ABCD.EFGH
H Garis pada bidang
G
1. AB dan ABCD
E F
2. CD dan CDHG
Garis di luar (sejajar) bidang
D C 1. AB di luar CDHG
2. AE di luar BCGF
A B
Garis menembus bidang
1. AB menembus BCGF
2. BF menembus ABCD

29. V
Bidang U sejajar
bidang V
U

30. V
Bidang U dan V
berpotongan
Garis potong
U bidang U dan V
)
,V
ditulis (U, V)
(U

31. Perhatikan kubus ABCD.EFGH
H Dua bidang sejajar
G
1. ABCD dan EFGH
E F
2. CDHG dan ABFE
3. BCGF dan ADHE
D C Dua bidang berpotongan
A B 1. ABCD dan BCGF
2. CDHG dan ADHE
3. ABFE dan BCGF

32. 1. Sifat garis tegak lurus
bidangpenting berlaku pada
2. Hal
kubus
Pilihan
Anda

34. Sifat 1 : Garis g tegak lurus bidang
α jika dan hanya jika garis g
tegak lurus dua garis
berpotongan yang terletak
pada bidang α.
H G BF ⊥ AB
E F BF ⊥ BC
AB dan BC
berpotongan
D C
BF ⊥ ABCD
A B

35. Sifat 2 : Jika garis g tegak lurus
bidang α, maka garis g tegak
lurus setiap garis yang
terletak pada bidang α.
H G
AE ⊥ ABCD
E F BD pd ABCD
AE ⊥ BD
D C
A B

36. Sifat 3 : Jika garis g ⊥ bidang α
dan
bidang α // bidang β, maka
garis g ⊥ bidang β.
H G AE ⊥
E F ABCD
EFGH //
ABCD
D C AE ⊥ EFGH
A B

37. Sifat 4 : Jika bidang U ⊥ bidang W
dan
bidang V ⊥ bidang W,
maka
garis (U,V) ⊥ bidang W.
V
(U,V)
U
W

38. H G
E F ADHE ⊥ ABCD
CDHG ⊥ ABCD
D C DH = (ADHE,
CDHG)
A B DH ⊥ ABCD

39. Sifat 5 : Jika garis g tegak lurus
bidang α, maka setiap bidang
yang melalui
garis g akan tegak lurus
bidang α.
H G AE ⊥
E F ABCD
ABFE ⊥ ABCD
ACGE ⊥ ABCD
D C ADHE ⊥ ABCD
A B

40. Sifat 6 : Jika garis g dan h tegak
lurus bidang α, maka garis g
sejajar dengan garis h.
H G AE ⊥ ABCD
E F CG ⊥
ABCD
D C AE // CG
A B

41. Sifat 7 : Jika garis g // h dan g tegak
lurus bidang α, maka garis h
tegak lurus bidang α.
H G AE // CG
E F AE ⊥
ABCD
D C CG ⊥ ABCD
A B

42. Berlaku pada kubus
ABCD.EFGH
Diagonal ruang Bidang yang tegak
lurus digonal ruang
AG BDE dan CFH
BH ACF dan DGE
CE AFH dan BDG
DF BGE dan ACH

43. 1. Prosedur gambar titik
tembus
2. Contoh :
Pilihan
Anda

44. Prosedur menggambar titik tembus
garis pada bidang
Langkah-langkah yang diperlukan untuk
menentukan titik tembus garis g pada
bidang U:
1. Memilih bidang yang
melalui garis g,
misalnya bidang V.
V
g 2. Menentukan garis
potong bidang U dan V,
yaitu (U,V).
(U,V) P 3. Menentukan titik
U potong garis g dan
(U,V), yang merupakan
titik tembus garis g
pada bidang U.

45. Gambarlah titik tembus PQ pada bidang TBD
T
P
A D
Q
B
C

46. Keterangan:
1. Memilih bid TAC
T (bid yg mell PQ)
2. M = ttk potong AC & BD
P 3. TM = (TAC, TBD)
4. N = ttk potong PQ & TM
N N = titik tembus PQ
A D pada bidang TBD
M Q
B
C

47. Gambarlah titik tembus
CE pada bidang AFH
H G
E F
D C
A B

48. Keterangan:
H G
P 1. ACGE = bidang
E F yg melalui CE
2. P = ttk potong
Q GE dan FH
3. AP = grs potong
ACGE dan AFH
D C 4. Q = ttk potong
CE dan AP
Q = titik tembus CE
A B pada bidang AFH

49. Gambarlah titik tembus PQ
pada bidang ABCD
T
P
Q
A D
B
C

50. Keterangan:
1. Memilih bid TAD
T (bid yg mell PQ)
2. AD = (TAD, ABCD)
P 3. R = ttk potong PQ & AD
Q
R
A D
R = titik tembus PQ
B pada bidang ABCD
C

51. Gambarlah titik tembus
CE pada bidang BDHF
H G
E F
D C
A B

52. Keterangan:
1. ACGE = bidang
yg melalui CE
H G 2. P = ttk potong
P GE dan FH
E F 3. Q = ttk potong
AC dan BD
4. PQ = grs potong
R
ACGE dan AFH
5. R = ttk potong
D CE dan AP
C
Q
R = titik tembus CE
A B pada bidang AFH

53. Gambarlah titik tembus PQ
pada bidang ABCD
T
Q : titik pada
bidang TCD
P
Q
A D
B
C

54. Keterangan:
Q : titik pada 1. E = ttk potong TQ & CD
bidang TCD 2. TAE = bid yg mell PQ
3. AE = (TAE, ABCD)
T 4. R = ttk potong AE & PQ
P R = titik tembus PQ
pada bidang ABCD
Q
A D
R
E
B
C

55. 1. Pengertian
2. Contoh :
Irisan
Pilihan
Anda

56. Irisan bidang dengan
bangun ruang
Yang dimaksud dengan irisan
bidang dengan bangun ruang bersisi
datar adalah segitiga atau segi
banyak yang sisi-sisinya merupakan
garis potong bidang pengiris
dengan bidang batas bangun ruang.

57. Lukis irisan
bidang PQR
T dengan limas
T.ABCD
P
Q
A D
R
B
C

58. T Keterangan:
1. E = ttk potong AD & PQ
2. F = ttk potong AC & PR
P 3. EF = sumbu afinitas
4. G = ttk potong BC & EF
Q
S E
A D
R 5. S = ttk potong TB
dan GR
B
C G PQRS : irisan bid PQR
dengan limas T.ABCD
F

59. Lukis irisan
bidang PQR
T dengan limas
T.ABCD
P
Q
A D
R
B
C

60. Keterangan:
1. Dipilih TAC : bid yang
T melalui PR
2. E = ttk potong AC & BD
3. TE = (TAC, TBD)
P 4. F = ttk potong PR & TE
(ttk tembus PR pd TBD)
F Q 5. S = ttk potong QF & TB
S (ttk tembus TB pd PQR)
A D
R PQRS : irisan bid PQR
E
B dengan limas T.ABCD
C

61. Lukis irisan bidang PQR
dengan kubus
ABCD.EFGH
H Q
P G
E F
D R
C
A B

62. L
H Q
P G
K Keterangan:
E F 1. K : ttk potong
N
M FE dan QP
2. L : ttk potong
FG dan PQ
D R 3. M : ttk potong
C AE dan RK
4. N : ttk potong
A B CG dan RL
PQNRM : irisan bid
PQR dengan kubus
ABCD.EFGH

63. Lukis irisan bidang
PQR dengan limas
T.ABCD
T
PQ // AD
P Q
A D
R
C
B

64. Keterangan :
1. RS // QP
T
PQRS : irisan bid PQR
P Q dengan limas T.ABCD
A D
S R
C
B

65. Lukis irisan bidang
PQR dengan kubus
ABCD.EFGH
H Q G
P
E F
D C
A R B

66. H Q G L
P Keterangan:
K E F 1. K = ttk potong
FE dan QP
2. L = ttk potong
M FG dan PQ
3. M = ttk potong
S AE dan RK
D C 4. RN // PQ
N 5. S = ttk potong
A R B CG dan NL
PQSNRM : irisan Bid PQR
dgn kubus ABCD.EFGH

67. Lukis irisan bidang
PQR dengan limas
T.ABCD
T
Titik R terletak pada
bidang TBC
P
Q
A D
R
C
B

68. Keterangan:
1. K = ttk potong AD & PQ
2. E = ttk potong TR & BC
3. L = ttk potong PR & AE
T 4. KL = sumbu afinitas
5. V = ttk potong KL & BC
P 6. M = ttk potong VR & TC
Q 7. N = ttk potong VR & TB
A D
N R K
M
C V
B E PQMN : irisan bidang
L PQR dengan limas
T.ABCD

69. 1. Jarak dua titik
2. Jarak titik ke garis
3. Jarak titik ke bidang
4. Jarak dua garis sejajar
5. Jarak garis dan bidang yg
sejajar
6. Jarak dua bidang sejajar
Pilihan
Anda

70. 1. Pengertian jarak dua titik
2. Contoh :
Pilihan
Anda

71. B
A
Jarak dua titik =
panjang ruas garis
hubung terpendek
kedua titik

72. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm.
Lukis dan hitung jarak C
dan E.
H G
E F
D C
A B

73. H G
E F
D C
A B

74. E G
A C
AC 2 = AB 2 + BC 2 = 144 + 144 = 288
CE 2 = AC 2 + AE 2 = 288 + 144 =
432
CE = √432 = 12√3
cm

75. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm. P
adalah titik potong AC dan
BD.
Lukis dan hitung jarak H
dan P.
H G
E F
D C
P
A B

76. H G
E F
D C
P
A B

77. H F
D B
P
BD 2 = AB 2 + AD 2 = 144 + 144 =
288
PH 2 = PD 2 + DH 2 = 72 + 144 =
216
PH = √216 = 6√6 cm

78. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm. P
adalah titik tengah CG.
Lukis dan hitung jarak E
dan P.
H G
E F
P
D C
A B

79. H G
E F
P
D C
A B

80. E G
P
A C
GE 2 = EF 2 + FG 2 = 144 + 144 =
288
PE 2 = PG 2 + GE 2 = 36 + 288 =
324
PE = √324 = 18 cm

81. 1. Pengertian jarak titik ke
garis
2. Contoh :
Pilihan
Anda

82. U adalah bidang
yang mell. titik A
g dan garis g.
B h adalah garis pada
bidang U yang mell.
h
A dan tegak lurus
A garis g.
U B adalah titik
potong garis g dan
h.
Panjang AB = jarak
titik A ke garis g.

83. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm.
Lukis dan hitung jarak E
ke garis AC.
H G
E F
D C
A B

84. Keterangan:
H 1. ACGE : bidang
G
yg mell E dan AC
2. EA tegak lurus
E F ACAE = Jarak E ke
3.
AC
D C AE = 12
cm
A B

85. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm.
Lukis dan hitung jarak H
ke garis AC.
H G
E F
D C
A B

86. Keterangan:
1. ACH : bidang
H G yang H dan AC
2. P = (AC, BD)
E F 3. HP : grs yg tgk lrs
AC HP = jarak H ke
4.
AC
BD 2 = AB 2 + AD 2
D C = 144 + 144 = 288
P HP 2 = DH 2 + DP 2
A B = DH 2 + (½ BD) 2
= DH 2 + ½ BD 2
= 144 + 72 = 216
HP = √216 = 6√6 cm

87. 1. Pengertian jarak titik ke
bidang
2. Contoh :
Pilihan
Anda

88. Jarak titik ke bidang
g adalah garis
A yang mell. A dan
tegak lurus
g bidang U
B adalah titik
tembus garis g
pada bidang U
B
AB = jarak A ke
U bidang U

89. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm.
Lukis dan hitung jarak F
ke bidang ABCD.
H G
E F
D C
A B

90. Keterangan:
1. BF garis yg melalui
H F dan tegak lurus
G
bidang ABCD
2. B : ttk tembus BF
E F pada bidang ABCD
3. BF : jarak titik F
ke bidang ABCD
D C
BF = 12 cm
A B

91. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm.
Lukis dan hitung jarak C
ke bidang AFH.
H G
E F
D C
A B

92. Keterangan:
1. CE : grs yg mell
H G C & tgk lurus AFH
M 2. ACGE : bid yg mell
E F CE
3. M : ttk potong GE &
N FH
4. AM = (ACGE, AFH)
5. N : ttk potong AM &
D CE CN : jarak C ke bid
6.
C
AFH
A B

93. E M G Perhatikan
∆AGE
PE dan AM
N
adalah garis
P berat, maka EN
= 2 / 3 PE
A C = 2 / 3 × 1 / 2 CE
CN = CE – 1 / 3 = 1 / 3 CE
CE = 2 / 3 CE
CN
CN = 2 / 3 √(AB 2 + BC 2 + AE 2 )
CN = 2 / 3 √(144 + 144 + 144) = 2 / 3
√432 2 / × 12√3 = 8√3 cm
CN = 3

94. Diketahui limas
beraturan T.ABCD
dengan panjang AB = 6
cm dan TA = 9 cm.
Lukis dan hitung jarak
T ke bidang ABCD.
T
D C
A B

95. Keterangan:
1. E : titik potong
T AC & BD
2. TE = (TAC, TBD)
3. TE = jarak T ke
bidang ABCD
D C
E
A B

96. T
AC 2 = AB 2 + BC 2
= 36 + 36
= 72
A E C TE 2 = TA 2 – AE 2
= 81 – 18
= 63
TE = √63
= 3√7 cm

97. 1. Pengertian jarak dua garis
sejajar
2. Contoh :
Pilihan
Anda

98. U adalah bidang
yang melalui
garis a dan b.
a
A c adalah garis
c pada bidang U
B b yang tegak lurus
U A titik a dan b.a
garis potong
dan c. B titik
potong b dan c.
AB = jarak garis a dan
b.

99. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm.
Lukis dan hitung jarak AB
ke garis EF.
H G
E F
D C
A B

100. Keterangan:
1. ABFE : bidang yang
H G melalui AB & EF
E F 2. AE : garis yang tgk
lurus AB & EF
3. AE : jarak AB ke EF
D C
A B AE = 12
cm.

101. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm.
Lukis dan hitung jarak AC
ke garis EG.
H G
E F
D C
A B

102. Keterangan:
1. ACGE : bidang yang
H G melalui AC & GE
E F 2. AE : garis yang tgk
lurus AC & GE
3. AE : jarak AC ke GE
D C
A B AE = 12
cm.

103. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm.
Lukis dan hitung jarak AE
ke garis CG.
H G
E F
D C
A B

104. Keterangan:
1. ACGE : bidang yang
H G melalui AE & CG
E F 2. GE : garis yang tgk
lurus AE & CG
3. GE : jarak AE ke CG
D C GE2 = EF2 + FG2
= 144 + 144
A B = 288
GE = √288 = 12√2
cm.

105. 1. Pengertian jarak garis ke
bidang
2. Contoh :
Pilihan
Anda

106. Jarak garis dan bidang sejajar
A sembarang
g titik pada garis
A g.
h adalah garis
h yang melalui A
dan tegak lurus
bidang U.
B adalah titik
B tembus garis
U h pada bidang
U.
AB = jarak garis g ke
bidang U.

107. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm.
Lukis dan hitung jarak AB
ke bidang EFGH.
H G
E F
D C
A B

108. Keterangan:
H G 1. A : titik pada AB
2. AE : grs yg tegak
E F
lurus EFGH
3. AE : jarak AB ke
bidang EFGH
D C
A B AE = 12
cm.

109. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm.
Lukis dan hitung jarak EF
ke bidang ABGH.
H G
E F
D C
A B

110. Keterangan:
1. F : titik pada EF
2. FC : grs yg tegak
H G lurus ABGH
3. P : titik potong
E F BG & FC
(ttk tembus FC
P pd bid ABGH)
4. FP : jarak F ke bid
D C ABGH
A B FP = ½ FC = ½ √288
FC2 = BC2 + BF2 = ½ × 12√2
= 144 + 144
= 288 AE = 6√2

111. 1. Pengertian jarak dua bidang
sejajar
2. Contoh :
Pilihan
Anda

112. Jarak dua bidang sejajar
A adalah
sembarang titik
pada bidang U.
A g adalah garis
yang melalui titik
U A dan tegak lurus
g bidang U dan V.
B adalah titik
B tembus garis g
V pada bidang V.
AB = jarak bidang
U ke bidang
V.

113. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm.
Lukis dan hitung jarak
bidang ABCD ke bidang
EFGH.
H G
E F
D C
A B

114. Keterangan:
1. E : ttk pada EFGH
H G
2. EA : grs yg ⊥ EFGH
E F 3. EA : jarak bidang
ABCD ke bid EFGH
D C AE = 12
A B cm.

115. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm.
Lukis dan hitung jarak
bidang BGE ke bidang
ACH.
H G
E F
D C
A B

116. Keterangan:
H G 1. DF : grs yang tegak
P lurus ACH & bid BGE
bid
E F 2. BDHF : bidang yang
S melalui DF
3. BP = (BGE, BDHF)
R 4. QH = (ACH, BDHF)
D C 5. R = titik potong QH &
A
Q DFS = titik potong BP &
6.
B DFRS = jarak bidang
7.
DF 2 = BD 2 + BF 2 BGE ke ACH
bidang
= DA 2 + AB 2 +
BF 2
= 144 +144 + RS = 1 / 3 DF = 4√3
144
= 432 cm.
DF = √432 =
12√3

117. 1. Proyeksi titik pada
bidang
Contoh
:
2. Proyeksi garis pada
bidang
Contoh
:
Pilihan
Anda

118. A g adalah garis
yang melalui titik
g A dan tegak lurus
bidang U
B adalah titik
tembus garis g
B pada bidang U
B adalah proyeksi
U titik A pada
bidang U

119. Diketahui kubus
ABCD.EFGH.
Lukis :
a. Proyeksi E pada bidang
ABCD
b. Proyeksi F pada bidang
a ACH b.
H G H G
.
E F E F
D C D C
A B A B

120. a Keterangan:
. 1. EA : grs yg mell A &
H G
tgk lrs ABCD
E F 2. A : ttk tembus EA
pd bid. ABCD
D C
A B
A : proyeksi E pada bidang ABCD

121. Keterangan:
b. H 1. DF : grs yg melalui F
G
dan tgk lrs ACH
E F 2. BDHF : bid yg mell DF
3. P = (AC, BD)
Q 4. PH = (ACH, BDHF)
D C
5. Q = (DF, PH)
P
A B = proyeksi F pd ACH

122. B A dan B
g sembarang titik
A pada garis g.
A′ = proyeksi A
pada bidang
B′ = U
proyeksi B
A′ B′ pada bidang
U
g′ g′ = garis yg mell
U ttk A′ dan B′.
g′ = proyeksi garis
g pada bidang
U.

123. Diketahui kubus
ABCD.EFGH.
Lukis :
Proyeksi FH pada bidang
ABCD.
H G
E F
D C
A B

124. H G Keterangan:
1. F & H titik pd FH
E F
2. B : proyeksi F pd
ABCDproyeksi H pd
3. D :
ABCD
4. BD : proyeksi FH
D C
pada bidang ABCD
A B

125. Diketahui limas beraturan
T.ABCD.
Lukis proyeksi TA pd bdg
ABCD.
T
D C
A B

126. Keterangan:
T 1. E : titik potong AC
dan BD
2. E : proyeksi T pada
bidang ABCD
3. AE : proyeksi TA
D C
pd bid ABCD
E
A B
Catatan:
1. Proyeksi ruas grs TA pd ABCD adalah ruas grs AE
2. Proyeksi grs TA pd ABCD adalah grs AE (grs AC)

127. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm.
Lukis dan hitung panjang :
Proyeksi ruas garis BF
pada bidang BGE
H G
E F
D C
A B

128. Keterangan:
1. DF : grs mell F ⊥
H G BGE
2. BDHF : bid yang mell
P DFBP = (BDHF, BGE)
3.
E F
4. Q = ttk potong BP &
Q DF proyeksi F pd
5. B =BGE
proyeksi B pd
D C BGE
6. BQ = proyeksi BF pd
BGE
A B BQ = √(144 –
Perhatikan 48)
BQ = √96
∆BQF 1
QF = / 3 DF =
4√3 = √(BF 2 –
BQ
BQ = 4√6 cm
QF 2 )

129. Diketahui kubus
ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 12 cm.
Lukis dan hitung panjang:
Proyeksi ruas garis BF
pada bidang BGE
H G
E F
D C
A B

130. Keterangan:
1. DF : grs yg mell F
H dan tgk lrs BGE
G
P 2. BDHF : bid yg mell DF
E F 3. P = (GE, FH)
Q 4. PB = (BGE, BDHF)
5. Q = (DF, PB)
6. BQ = proyeksi ruas grs
D C BF pd bid BGE
A B
Perhatikan ∆BQF
BQ = √(144 –
QF = 1 / 3 DF = 4√3 48) = √96
BQ
BQ = √(BF 2 – BQ = 4√6
QF 2 )

131. 1. Sudut yg dibentuk oleh garis dan
bidang
2. Sudut yg dibentuk oleh dua
bidang
3. Sudut yg dibentuk oleh dua
bersilangan
garis
Pilihan
Anda

132. 1. Pengertian sudut antara garis dan
bidang
2. Contoh :
Pilihan
Anda

133. Cara menentukan sudut yang dibentuk
oleh garis g dan bidang U.
g′ = proyeksi garis g
A
pada bidang U
g
α = sudut yang
dibentuk oleh
garis g dan g′
α A′ α = sudut yang
g′ dibentuk oleh
U garis g dan
bidang U
Catatan:
Jika proyeksi garis g pada bidang U berupa titik,
dikatakan garis g tegak lurus bidang U.

134. Catatan:
Perhatikan sudut yang dibentuk oleh garis g
dan h berikut.
h
2 1 g
P
Sudut yang dibentuk oleh garis g dan h pada
gambar di atas dapat ∠P1, tetapi dapat pula ∠P2,
sehingga menimbulkan kerancuan.
Sehubungan dengan itu, jika α adalah sudut
yang dibentuk oleh 2 buah garis, maka
besar sudut α ditentukan sebagai berikut:
0o < α < 90o.o
1. α = 0 jika garis g & h berimpit.
2. α = 90o jika garis g ⊥ h.

135. Diketahui kubus ABCD.EFGH. α
adalah sudut yang dibentuk
oleh BF dan bidang BGE.
Lukis sudut α dan hitung nilai
tan α.
H G
E F
D C
A B

136. Keterangan:
1. DF : grs yg ⊥ BGE
H P G
2. BDHF : bid yg mell DF
E F 3. BP = (BGE, BDHF)
Q 4. Q = ttk potong BP & DF
α 5. BQ = proyeksi BF pd
bid BGE
D C
6. α = sdt yang dibentuk
A B oleh BF & BQ
α = sdt yang dibentuk
oleh BF & bid BGE

137. Perhatikan ∆BPF
P Misalkan AB = 2
F
Maka PF = √ 2
Q
PF
tan α
BF
=
α √ 2 = ½ √2
tan α
2
B =

138. Diketahui bidang empat
beraturan D.ABC. α adalah
sudut yang dibentuk oleh DA
dan bidang ABC.
Lukis sudut α dan hitung nilai
cos α.
D
A C
B

139. Keterangan:
D 1. AP & CQ : garis tinggi
(garis berat)
2. R : ttk potong AP & CQ
(ttk tinggi ∆ABC)
α
A C 3. R : proyeksi D pd ABC
4. α : sdt yg dibentuk oleh
Q R P DA & AR
B α : sdt yg dibentuk oleh
DA & bid ABC

140. Perhatikan
∆DAP
D Misalkan AB = 6
Maka AP = 3√3 dan AR =
2√3 A
cos α =
R
A
α P D
A cos α =
3√3
= 1 / 3 √3
R 6

141. Diketahui limas beraturan
T.ABCD dengan panjang
AB = 6 cm dan TA = 9 cm.
α adalah sudut yang
dibentuk oleh TA dan
bidang TBD.
Lukis α dan hitung nilai
cos α.
T
D C
A B

142. Keterangan:
1. AC : grs yg mell A dan
T tgk lurus TBD
2. E : ttk potong AC & BD
α 3. E : proyeksi A pd TBD
4. TE : proyeksi TA pada
D C bidang TBD
5. α : sdt yg dibentuk oleh
TA & TE
E
A α : sdt yg dibentuk
B
oleh & bid TBD
TA

143. Perhatikan ∆TAE
AE = ½ AC
T = ½ √(AB2 + BC2)
= ½ √(36 + 36)
α = ½ √72
= ½ × 6√2 = 3√2
TE = √(TA2 – AE2)
A C = √(81 – 18)
E
= √63 = 3√7
TE
cos α =
TA
3√7
cos α = = 1 / 3 √7
9

144. 1. Pengertian sudut antara dua
bidang
2. Contoh :
Pilihan
Anda

145. Sudut yang dibentuk
oleh dua bidang
Menentukan (U,V)
Memilih/
W membuat bidang
yang tegak lurus
V (U,V), mis. W
(V,W
Menentukan
(U,W) dan (V,W)
)
,V
α α = sudut yang
(U (U,W dibentuk oleh
) ) U bidang U dan
V o
0o < α < 90

146. Diketahui kubus ABCD.EFGH.
α adalah sudut yang dibentuk
oleh bidang ACH dan ABCD.
Lukis sudut α dan hitung nilai
sin α.
H G
E F
D C
A B

147. Keterangan:
1. AC = (ACH, ABCD)
H G 2. BDHF : bidang yang ⊥ AC
3. BD = (BDHF, ABCD)
E F
4. P : ttk potong AC & BD
5. PH = (BDHF, ACH)
6. α = sdt yang dibentuk
D α P C oleh BD & PH
A B
α = sdt yang dibentuk oleh ACH & ABCD

148. Perhatikan
∆PDH
H F Misalkan AB = 2
Maka DP = √2
PH = √(DP 2 +
DH 2 = √(2 + 4) =
PH )
α √6 D
D P B sin α
H
P
=
H2
sin α = 1 / 3 √6
√6
=

149. Diketahui bidang empat
beraturan D.ABC.
α adalah sudut yang dibentuk
oleh bidang DAB dan ABC.
Lukis sudut α dan hitung
nilai cos α.
D
A C
B

150. Keterangan:
D 1. AB = (DAB, ABC)
2. CQ & DQ : garis tinggi
3. DQC : bid yg tgk lurus AB
4. AP : garis tinggi
A C 5. R : ttk potong AP & CQ
α 6. R : proyeksi D pd ABC
Q R P 7. α : sudut yang dibentuk
B oleh DQ & QC
α : sudut yang dibentuk oleh bid DAB & ABC

151. Perhatikan ∆DQR
D Misalkan AB = 6
Maka DQ = CQ = 3√3
dan QR = √3
α Q
Q C cos α =
R
R D
Q√3
cos α = = 1/ 3
3√
3

152. Diketahui limas beraturan T.ABCD
dengan panjang AB = 6 cm dan TA =
9 cm.
α adalah sudut yang dibentuk oleh
bidang TAD dan bidang ABCD.
Lukis α dan hitung nilai cos α.
T
D C
A B

153. Keterangan:
T 1. AD = (TAD, ABCD)
2. TP = garis tinggi
3. PQ // AB
4. TPQ : bid yg ⊥ grs AD
5. α : sdt yg dibentuk
D C oleh TP & PQ
α
P Q
A B
α : sdt yg dibentuk bid TAD & bid ABCD

154. T
Perhatikan ∆TAP
AP = ½ AD = ½ × 6 = 3
TP = √(TA2 – AP2)
= √(81 – 9) = √72 = 6√2
A D
P
Perhatikan ∆TPQ
T TQ = TP = 6√2 cm, PQ = 6 cm
TQ2 = TP2 + PQ2 – 2(TP)(PQ) cos α
72 = 72 + 36 – 2(6√2)(6) cos α
2(6√2)(6) cos α = 36
P α Q cos α =
36
= ¼ √2
72√2

155. 1. Pengertian sudut antara dua
bersilangan
garis
2. Contoh :
Pilihan
Anda

156. Sudut yang dibentuk
oleh dua garis bersilangan
Garis g & h
bersilangan
A : semabarang titik
V
Garis g′ // g melalui
h h titik Ah′ // h melalui
Garis
′α titik A
g A α = sudut yang
g dibentuk oleh g′
U
′ dan h′
α = sudut yang dibentuk oleh g dan h

157. Diketahui kubus ABCD.EFGH.
α adalah sudut yang dibentuk
oleh AE dan FG.
Lukis sudut α dan hitung nilai
sin α.
H G
E F
D C
A B

158. Keterangan:
H G 1. Dipilih titik B
2. BF // AE
E F 3. BC // FG
4. α : sdt yg dibentuk
oleh BF & BC
D C
α 5. ∠FBC = 90 o  α =
A 90 o
B
sin α = sin 90 o =
1

159. Diketahui kubus ABCD.EFGH.
α adalah sudut yang dibentuk
LukisBG dan α dan hitung nilai
oleh sudut CH.
cos α .
H G
E F
D C
A B

160. Keterangan:
H G 1. Dipilih titik B
2. BE // CH
E F 3. α : sudut yg
dibentuk
oleh BE & BG
4. Karena ∆BGE sama
maka α = 60 o
sisi,
D α C
A B
cos α = cos 60 o =
1
/2

161. Udah selesai
yaa?