Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

обратные операции

589 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

обратные операции

  1. 1. МЕТОДИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ Выполнили: студентки группы 08ФАПИ спец. 080801 «ПИ в экономике» Воинова А.В., Курилова Е.И. Научный руководитель: Часов К.В., кпн, доцент кафедры ОНД АМТИ В математике зачастую применяют так называемые обратные опера-ции. К ним относятся: умножение – деление, сложение – вычитание, диффе-ренцирование – интегрирование, и т.д. Изучение обратных операций позволяет, несомненно, лучше понятьизучаемый материал, подметить «тонкости» в теории. Поставленная задачаможет быть легче проанализирована и распознана. В результате будет прощесоставить план решения и, собственно, решить задачу. Заметим, что только выполняя обратные операции можно увидеть иосознать те логические связи в соответствующем разделе или теме (а также имежду ними), которые до этого были не известны, или воспринимались фор-мально, со слов учителя, без обдумывания. Умение видеть и выполнять обратные операции позволяют иной раз за-метить кроме стандартных способов решения поставленной задачи и нестан-дартные. Так, к примеру, в прошлом учебном году студент Кендюхов Вадим изгруппы 07-ФА-ПИ нестандартно подошел к действиям над квадратными мат-рицами. Он предложил для нахождения неизвестной матрицы-множителяследующий метод решения. Вместо «классической» схемы действий, в кото-рой необходимо найти обратную матрицу, он нашел неизвестное по извест-ным данным (результату умножения и другой матрице-множителю) просторазделив матрицу-произведение на известную матрицу-множитель. Очевидно, что это уже не просто обратная операция, а новый метод вы-
  2. 2. числения неизвестной матрицы, модификация собственных знаний. Самостоятельное получение выведенных формул значит для студентанамного больше, чем информация, сообщенная учителем не лекции илизаученная накануне коллоквиума или экзамена. Кроме того, выполняется зна-чительное множество математических операций, применяются полученныеранее знания. Предложенный Кендюховым метод деления квадратных матриц можетбыть использован для решения, к примеру, такого задания, как № 412 из«Сборника задач по высшей алгебре» Д.К.Фаддеева и И.С.Соминского. Решить систему (в матрицах второго порядка): Задание приведено в параграфе «Обратная матрица» главы «Системылинейных уравнений, матрицы, квадратичные формы», и предполагается, чторешать его необходимо с помощью вычисления обратных матриц. Зная операцию вычисления обратной матрицы, студенты обычно реша-ют приведённый выше пример следующим образом (планируют применениематематических операций по методу Гаусса): 1. Вычисляют обратную матрицу для матрицы-множителя при матрицеХ в первом уравнении; 2. Умножают на неё первое уравнение, получая при матрице Х единич-ную матрицу; 3. Умножают слева обе части первого уравнения на матрицу-множи-тель при матрице Х второго уравнения; 4. Вычитают из второго уравнения полученное новое уравнение пер-вое; 5. Во втором уравнении остается неизвестной только матрица У, для еёматрицы-множителя вычисляют обратную матрицу; 6. На полученную матрицу умножают слева обе части второго уравне-
  3. 3. ния, после чего в левой части получают искомую матрицу У; 7. Подставляют матрицу У в первое уравнение и получают матрицу Х Мы предлагаем применить к решению примера правила, полученныеВадимом Кендюховым. С этой целью, опять же применяя метод Гаусса реше-ния систем линейных уравнений 1. Делим обе части первого уравнения слева на матрицу-множительпри матрице Х; 2. Умножаем обе части первого уравнения слева на матрицу-множи-тель при матрице Х второго уравнения; 3. Вычитаем из обеих частей второго уравнения соответствующие ча-сти полученного первого уравнения – во втором уравнении слева останетсятолько произведение некоторой известной матрицы и матрицы У; 4. Делим обе части второго уравнения слева на известную матрицу –множитель при матрице У – получим искомую матрицу У; 5. Подставляем матрицу У в первое уравнение, полученное после пер-вого шага алгоритма, получаем искомую матрицу Х. Очевидно, что оба способа, и стандартный и нестандартный, приводятк одному и тому же результату, что и было продемонстрировано во времястуденческой научной конференции. На наш взгляд, нестандартный способпроще и «прозрачнее». Процесс получения обратной матрицы весьма искус-ственный, хотя для чего её получают – очевидно. Следующим рассмотрим вопрос об арифметических операциях над не-квадратными матрицами. Рассматривать будем только так называемые согла-сованные матрицы (не всякие неквадратные матрицы можно перемножать). Решая аналогично приведённым ранее рассуждениям задачу нахожде-ния неизвестной матрицы-множителя по известным множителю и произведе-нию для неквадратных матриц, получим систему уравнений, в которой коли-чество переменных и количество уравнений не совпадает. Как известно, вэтом случае решение системы может быть получено в бесчисленном виде(т.е. решений – бесконечное множество).
  4. 4. Тем самым, можно сделать вывод о том, что в случае перемножениянеквадратных согласованных матриц обратная операция (нахождения неиз-вестной матрицы-множителя по известной другой и результату) приводит кмножественному результату (единственность решения нарушается). И, толь-ко в частных случаях возможно единственное решение. Нами также замечено, что чем больше различается количество строк истолбцов в рассматриваемых матрицах, тем большая неопределенность воз-никает в решении. Таким образом, мы можем сказать, что в некоторых случаях примене-ние обратных математических операций приводит к однозначному результа-ту, в других же возникает неопределённость (неоднозначность) в решении. Сметодической точки зрения применение прямых и обратных математическихопераций очень важно – позволяет заметить в учебном материале взаимо-связь, осваивается такой учебный материал заметно глубже и основательней,переходя из информативных сведений в наши долговременные знания. Важ-ной стороной исследования явилась также работа с литературными источни-ками, на что в школе практически не уделялось времени. Исследование, аналогичное проведённому нами, несомненно, влияет наинтеллектуальное развитие, творческую самостоятельность студентов (вчастности, нашу). Литература:1. Кендюхов В.С., Часов К.В. Операция деления матрицы на матрицу (квад-ратные). Сборник студенческих работ, отмеченных наградами XIV студенче-ской научной конференции АМТИ. – Армавир: Изд-воАМТИ.– Вып.1, 20082. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. Учебноепособие для студентов физмат специальностей вузов.– М.: Наука, 1977

×