векторный анализ в_ортогональных_криволи-_нейных_координатах_учебное_пособие
1. Министерство образования Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
А. И. Григорьев
С. О. Ширяева
Векторный анализ
в ортогональных
криволинейных координатах
Учебное пособие
Ярославль 2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. 2
УДК 530.1:51–72
ББК В151.5я73
Г 83
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2009/10 года
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. В. А. Коромыслов;
кафедра прикладной математики и вычислительной техники
Ярославского государственного технического университета
Г 83
Григорьев, А. И. Векторный анализ в ортогональных криволи-
нейных координатах: учеб. пособие / А. И. Григорьев, С. О. Ширя-
ева; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2010. –
132 с.
ISBN 978-5-8397-0760-3
Пособие предназначено для студентов физических специально-
стей университетов. Изложение ведется в евклидовом пространстве
таким образом, чтобы дать читателю с минимальной математиче-
ской подготовкой представление о пространственной кривой, ска-
лярном, векторном и тензорном полях, правилах употребления опе-
ратора «набла» при бескоординатной записи физических выраже-
ний, использовании координатной формы записи линейных и квад-
ратичных дифференциальных выражений в ортогональных криво-
линейных координатах, основах тензорной алгебры, записи и
использовании дифференциальных векторных операций первого и
второго порядков в тензорной форме.
При написании учебного пособия
авторы пользовались поддержкой грантов Рособразования
№ РНП .2.1.1/3776, РФФИ № 09-01-00084-а и № 09-08-00148-а.
УДК 530.1:51–72
ББК В151.5я73
ISBN 978-5-8397-0760-3
Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. 3
Глава 1. Элементы
дифференциальной геометрии
§1. Дифференцирование векторных функций
1. Вектор-функция. Переменный вектор A
называется век-
тор-функцией скалярного аргумента t, если каждому значению
скаляра t из области допустимых значений соответствует опре-
деленное значение A
, т. е. tAA
.
Если A
есть функция от t, то функциями от того же аргумен-
та будут его проекции на оси tAA xx ; tAA yy ; tAA zz .
Справедливо и обратное утверждение, т. е.
ktAjtAitAtA zyx
.
Задание векторной функции tA
равносильно заданию трех
скалярных функций: tAtAtA zyx ,, .
2. Годографом вектор-функции tA
называется геометриче-
ское место точек, которое описывает конец этого вектора при
изменении аргумента t, когда начало A
помещено в фикси-
рованную точку пространства – в начало координат (рис. 1).
Годографом радиус-вектора движущейся точки будет сама
траектория этой точки. Годографом же скорости V
будет уже
другая линия (рис. 2).
3. Пределом вектора tB
в точке 0tt называется постоян-
ный вектор A
, если модуль разности между tB
и A
по мере
приближения значения t к 0t становится и остается меньше произ-
вольного положительного наперед заданного числа :
AtB
, т. е. AtB
tt
0
lim .
4. Производной вектора по скалярному аргументу t назы-
вается предел отношения приращения вектора B
к соответ-
ствующему приращению аргумента t при 0t :
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. 4
t
B
tB
t
0
lim , здесь tBttBB
.
Рис. 1.
Рис. 2.
5. Производная вектора по скаляру есть вектор, направлен-
ный по касательной к годографу исходного вектора в рассмат-
риваемой точке. Направлен вектор производной в ту сторону,
куда перемещается конец вектора по годографу, когда аргумент
растет.
6. Дифференциалом векторной функции B
от скалярного
аргумента t называется произведение производной этого вектора
по его аргументу на дифференциал аргумента:
dttBBd
.
Дифференциал векторной функции – вектор, направленный
по касательной к годографу. Отсюда ясно, что
dt
Bd
tB
.
7. Формула Тейлора для векторной функции. Как и в обыч-
ном математическом анализе, производная от tB
даст вторую
производную от tB
. Производная от tB
даст tB
– третью
производную от вектор-функции по скалярному аргументу.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. 5
Тогда векторная функция tB
(если существуют ее производ-
ные до n-го порядка включительно) может быть разложена в ряд
Тейлора:
tt
n
B
t
tB
t
tB
t
tB
tBttB n
n
i
!!3!2!1
32
;
где 0lim
0
t
t
.
Это легко доказать, если расписать
ktBjtBitBtB zyx
, разложить в ряд Тейлора скалярные
проекции вектора tB
, умножить разложения на орты и сложить.
§2. Дифференциальная геометрия линии
в пространстве
1. Всякую линию в пространстве можно представить как
годограф некоторого радиус-вектора trr
, непрерывно
зависящего от скалярного аргумента t.
Уравнение зависимости радиус-вектора текущей линии от
аргумента t: trr
назовем векторным уравнением линии.
2. Касательной к линии в данной точке называется предель-
ное положение секущей, проходящей через данную точку и
бесконечно к ней близкую точку.
Можно рассматривать радиус-вектор r
текущей точки
кривой как функцию от ее дуги s: srr
, где дуга s берется
между данной фиксированной точкой кривой и текущей точкой
той же кривой. Каждому положению точки на кривой
соответствует определенное значение дуги s и радиус-вектора r
.
Дуга считается положительной, если текущая точка смещается в
положительном направлении, и отрицательной в противном
случае.
3. Производная от радиус-вектора по дуге
ds
rd
по модулю
равна единице, а по направлению совпадает с касательной к дуге
в этой точке:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. 6
s
r
ds
trd
S 0
lim ,
где – орт касательной.
4. Соприкасающейся плоскостью в данной точке M кривой
называется предельное положение плоскости, проходящей через
касательную в данной точке M и точку, бесконечно близкую к
точке M.
Следствие: Соприкасающаяся плоскость плоской кривой
совпадает с плоскостью, в которой лежит данная кривая.
Теорема: Первая и вторая производная от радиус-вектора
tr
текущей точки кривой располагаются в соответствующей
соприкасающейся плоскости.
Доказательство элементарно: разложив tr
в окрестности
данной точки в ряд Тейлора и ограничившись первыми двумя
членами, увидим, что tr
является линейной комбинацией
векторов tr
и tr
, а это значит, что tr
лежит в одной с ними
плоскости.
Следствие: Производные tr
и tr
, взятые в одной точке,
определяют положение соприкасающейся плоскости в этой точке
(если tr
и tr
не коллинеарны).
5. Всякая прямая, проходящая через данную точку M
пространственной кривой и перпендикулярная касательной в
данной точке, называется нормалью. Нормаль, лежащая в
соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью.
Нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости,
называется бинормалью.
Бинормаль определится вектором: trtrB
.
Главная нормаль определится вектором:
trtrtrN
.
6. Кривизной линии в данной точке назовем предел отно-
шения угла поворота касательной в данной точке при пере-
ходе в бесконечно близкую точку к величине дуги s , заключен-
ной между точками:
s
K
S
0
lim .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. 7
Величина, обратная к кривизне, называется радиусом
кривизны:
K
RK
1
.
7. Найдем производную от орта касательной по дуге:
ds
d
. Для
этого рассмотрим на нашей кривой две точки: sM и ssM
(рис. 1).
Рис. 1.
Проведем в них орты касательных и изменения
, соот-
ветствующие приращению s . Пусть
повернется на , тогда
модуль приращения
будет равен:
2
sin2
,
следовательно
sds
d
S
0
lim
sS
)2sin(2
lim
0
sS
22
2
2sin
lim
0
K
sS
00
lim
2
2sin
lim .
Чтобы найти направление
ds
d
, продифференцируем по s ра-
венство 1)( 2
; получим 02
ds
d
, т. е.
ds
d
, т. е.
ds
d
направ-
лен по одной из нормалей к касательной.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. 8
С другой стороны,
ds
d
; 2
2
ds
d
ds
d
, а известно, что )(tr и
)(tr определяют положение соприкасающейся плоскости. Зна-
чит,
ds
d
лежит в этой плоскости и совпадает по направлению с
главной нормалью.
Орт
ds
d
обозначается
и называется ортом главной
нормали.
В итоге
K
ds
d
;
ds
d
K
.
Производная от орта касательной по дуге равна
произведению кривизны линии на направление главной нормали.
8. Перемножив векторно
и
, получим орт бинормали:
.
9. Кручением T кривой в данной точке M называется предел
отношения угла поворота соприкасающейся плоскости при пере-
ходе из данной точки M в бесконечно близкую точку к длине
дуги s , заключенной между этими точками:
s
T
s
0
lim .
Кручение положительно, если при движении вдоль кривой
бинормаль совершает правовинтовое движение, и отрицательно в
противном случае.
10. Найдем производную
ds
d
. Рассуждения, аналогичные
приведенным в пункте 7 этого параграфа, дадут нам T
ds
d
.
Исследуем направление вектора
ds
d
. Для этого продифферен-
цируем равенство 1
2
и получим
2 0
d
ds
, т. е.
ds
d
.
Продифференцируем тождество
по s. Получим
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. 9
ds
d
ds
d
ds
d
,
но так как
K
ds
d
, то 0
ds
d
; остается
ds
d
ds
d
, т. е.
ds
d
.
Итак, вектор
ds
d
перпендикулярен векторам
и
. Следо-
вательно, он коллинеарен вектору
и отличается от него только
скалярным множителем, т.е.
T
ds
d
.
Знак минус в этой формуле получился потому, что направ-
ление
ds
d
противоположно направлению
и при движении в
направлении
вектор
будет совершать правовинтовое дви-
жение, что соответствует T > 0.
В итоге:
ds
d
T
.
Величина, обратная к T, называется радиусом кручения:
T
RT
1
.
11. Три основные формулы дифференциальной геометрии
линии в пространстве:
1)
ds
rd
; 2)
K
ds
d
; 3)
T
ds
d
.
12. Пример: Винтовая линия. Винтовой линией называется
траектория какой-либо точки M твердого тела, которое вращается
вокруг неподвижной оси и скользит вдоль нее так, что
перемещение пропорционально углу поворота.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. 10
Пусть расстояние от точки 0M до оси равно a. Перемещение
тела вдоль оси z при его повороте на один радиан обозначим h.
Прямоугольную систему координат расположим так, чтобы
ось z совпадала с осью винтовой линии, а ось X проходила через
начальное положение 0M точки M (рис. 2).
а). Пусть тело поверну-
лось на угол t и, следова-
тельно, сместилось вдоль
оси z на th. Выразив коорди-
наты текущей точки M через
параметр t, получим пара-
метрическое уравнение вин-
товой линии:
x = a cos(t); y = a sin(t);
z = ht.
Умножив эти уравнения
на орты осей координат i
,
j
и k
, получим векторное
уравнение винтовой линии:
htktajtaitr
)sin()cos()( .
б). Дифференциал дуги будем вычислять по формуле:
2
2
2
2
dt
rd
dtdt
dt
rd
rdds
.
Это означает, что направление на кривой выбирается в
сторону возрастания параметра t.
с). Для того чтобы вычислить
ds
rd
, необходимо знать
дифференциалы rd
и ds: dthktajtaird ))cos()sin((
;
dthadthtatardds 2222222
)(sin)(cos
,
тогда 22
)cos()sin(
ha
hktajtai
ds
rd
.
Рис. 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. 11
д). Вычислим теперь орты главной нормали и бинормали.
Для главной нормали имеем:
K
ds
d
; dt
ha
tajtai
d 22
)sin()cos(
,
тогда 22
)sin()cos(
ha
tajtai
K
.
Для кривизны K получим:
ds
d
K
22222
2222
)(
)(sin)(cos
ha
a
ha
tata
;
или
ds
d
K
1
22
22
)sin()cos(
ha
tajtai
a
ha
;
)sin()cos( tajtai
.
Для орта бинормали можем записать:
0sincos
cossin
1
22
tt
htata
kji
ha
;
22
)cos()sin(
ha
akthjthi
.
е). Теперь нужно найти кручение T:
T
ds
d
;
dt
ha
thjthi
d 22
)sin()cos(
; 22
)sin()cos(
ha
thjthi
T
,
отсюда
ds
d
T
2222
22
)(sin)(cos
ha
h
ha
thth
.
ж). Из полученных формул видно, что:
1) кривизна и кручение винтовой линии постоянны:
22
ha
h
K
; 22
ha
h
T
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. 12
2) касательная к винтовой линии образует постоянный угол с
осью z:
2 2
cos( ) ( )
h
k k
a h
;
3) орт главной нормали направлен по перпендикуляру к оси
вращения. В самом деле, векторная проекция r
на плоскость XOY
будет равна )sin()cos( tajtai
, а это совпадает с вектором:
a ,
т. е. вектор
имеет направление, противоположное векторной
проекции на плоскость XOY вектора r
.
§ 3. Ортогональные криволинейные координаты
1. Ввести систему координат в некоторой области прост-
ранства – значит каким-либо способом установить взаимно одно-
значное соответствие между точками этой области и системами
значений трех переменных величин – U1, U2, U3, называемых
координатами точки.
Пусть в некоторой области введена система координат U1,
U2, U3. Поэтому каждой тройке координат в этой области
соответствует точка, а следовательно, и радиус-вектор r
этой
точки. Это значит, что r
является функцией координат U1, U2, U3:
);;( 321 UUUrr
. Если зафиксировать одну координату 0
33 UU , то
радиус-вектор будет зависеть только от U1 и U2: );;( 0
321 UUUrr
.
Конец радиус-вектора в этом случае будет описывать
поверхность, которая является координатной поверхностью.
Если зафиксировать две координаты 0
22 UU , 0
33 UU , то
);;( 0
3
0
1 2
UUUrr
будет функцией только одной переменной и его
конец опишет линию, которую назовем координатной линией.
Через произвольную точку проходит три координатные
поверхности и три координатные линии, по которым попарно
пересекаются координатные поверхности.
Если орты криволинейных осей взаимно перпендикулярны во
всех точках пространства, то соответствующие координаты
называются ортогональными. В системе ортогональных коорди-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. 13
нат наиболее просто выглядит скалярное произведение векторов:
3
1
i i
i
A B A B
. А поскольку операция скалярного умножения век-
торов – одна из наиболее употребительных алгебраических век-
торных операций, то и наибольшее распространение в физиче-
ских приложениях получили именно системы ортогональных
криволинейных координат.
Рис. 1
2. Простейшим примером ортогональных криволинейных
координат являются цилиндрические координаты , , z:
x = cos(); y = sin(); z = z. (1)
Отличительной чертой всех криволинейных систем координат
является то, что ориентация некоторых их ортов (в нашем случае
n
и n
) зависит от положения точки, в которой они определя-
ются, и при перемещении от точки к точке ориентация ортов n
и
n
меняется (ориентация ортов xn
, yn
, zn
декартовых осей не
меняется при перемещении в пространстве).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. 14
Уравнение радиус-вектора в цилиндрических координатах
имеет вид
znznr
. (2)
Исходя из этого выражения легко найти вид координатной
линии. Зафиксируем и z, тогда конец r
опишет координатную
линию, соответствующую переменной – окружность, плоскость
которой перпендикулярна к оси z.
Зафиксируем и , тогда конец r
опишет координатную
линию, соответствующую z, – прямую параллельную орту zn
.
Наконец, зафиксируем z = z0 и = 0, тогда конец r
опишет
координатную линию, соответствующую r
, – прямую линию,
перпендикулярную орту zn
, проходящую через точку z = z0 оси
OZ, лежащую в плоскости = 0 = const.
Находя производную от r
по дуге окружности ds = d,
получим орт n
:
n
d
nd
d
nznd
ds
rd
n z
)(
. (3)
Исходя из рис. 1 легко найти связь между n
, xn
и yn
:
)sin()cos( yx nnn
. (4)
Тогда из (3) найдем:
yx nnn
)cos()sin( . (5)
Орт zn
цилиндрических координат совпадает с ортом zn
декартовых координат.
Наконец для орта n
имеем:
n
d
nd
. (6)
Из (4)–(5) видно, что ориентация ортов n
и n
зависит от
координаты . Поэтому при дифференцировании радиус-вектора
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. 15
по некоему скалярному аргументу следует помнить, что n
и n
–
не постоянные, а изменяющиеся величины. Так, найдем скорость
V
и ускорение a
материальной точки, положение которой
определяется радиус-вектором (2):
zz nznnnznn
dt
rd
V
; (7)
так как
n
dt
d
d
nd
dt
nd
;
znzn
dt
d
na
)(
1
)( 2
. (8)
3. В качестве следующего примера рассмотрим сферическую
систему координат.
Координатными линиями будут прямые, проходящие через
начало координат – для r; окружности, плоскость которых
перпендикулярна оси z, – для ; полуокружности, начинающиеся
и заканчивающиеся на оси z, плоскость которых проходит через
ось z, – для (рис. 2).
Уравнение радиус-вектора в сферических координатах имеет
вид:
rnrr
.
Легко видеть, что
)cos()sin()]sin()cos([ zyxr nnnn
. (9)
x = r cos() sin(); 0 ;
y = r sin() sin(); 0 2;
z = r cos(); 0 r < .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. 16
Рис. 2.
Определив производную от r
по дуге ds = r d при фикси-
рованных r и , найдем вектор n
:
)sin()cos()]sin()cos([
zyx
r
nnn
d
nd
rd
rd
n
. (10)
Вычислив производную от r
по дуге r sin() d при фикси-
рованных r и , найдем орт n
:
)cos()sin(
)sin()sin(
yx
r
nn
d
nd
dr
rd
n
. (11)
4. Из (9)–(10) видно, что ориентация ортов rn
, n
, n
зависит
от координат и . Поэтому при дифференцировании вектор-
функции, записанной в сферических координатах, следует
помнить, что орты есть функции углов.
Например, для скорости V
материальной точки:
d
nd
r
d
nd
rnr
dt
rd
V rr
r
;
nrnrnrV r
)sin( . (12)
Используя (12), несложно получить выражение для
ускорения материальной точки
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. 17
.)sin()sin()cos()sin(
2
2
dt
nd
rnrnrnr
dt
nd
rnrnr
dt
nd
rnr
dt
Vd
dt
rd
a r
r
(13)
5. Получим выражения для производных от ортов n
и n
:
rzyx nnnn
d
nd
)cos()sin()]sin()cos([ ; (14)
)sin()sin()]cos()sin([
nnn
d
nd
yx
; (15)
))sin()sin(()sin()cos(
nnnn
d
nd
ryx
; (16)
0
d
nd
. (17)
§ 4. Общее рассмотрение криволинейных
координат
1. Квадратом линейного элемента ds2
или первой фунда-
ментальной квадратичной формой пространства называется
скалярный квадрат 2
rd
полного дифференциала радиус-вектора
текущей точки.
Геометрический смысл первой фундаментальной
квадратичной формы пространства заключается в том, что она
определяет квадрат расстояния между двумя бесконечно
близкими точками пространства.
В декартовой системе координат:
.;; 2222
dzdydxdsdzkdyjdxirdzkyjxir
2. Пусть выражение для радиус-вектора r
в произвольных
криволинейных координатах имеет вид
);;( 321 UUUrr
,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. 18
где зависимости от координат U1; U2; U3 могут быть весьма
сложными. Тогда зафиксируем U2, U3 и найдем приращение
радиус-вектора r
вдоль координатной линии U1:
1111
1
1
ndUhdU
U
r
rd U
. (1)
Аналогично
2222
2
2
ndUhdU
U
r
rd U
; (2)
3 3 3 3 3
3
U
r
dr dU h dU n
U
. (3)
Полный дифференциал радиус-вектора будет описываться
выражением
333222111 ndUhndUhndUhrd
.
Коэффициенты h1, h2 и h3 называются коэффициентами
Ламе:
i
i
U
r
h
. (4)
Коэффициенты Ламе считаются размерными, а сами
криволинейные координаты – безразмерными.
3. Найдем выражение для первой квадратичной формы
пространства в произвольных криволинейных координатах:
22
1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
3 3
, 1 , 1
( ; ; )
( ) ( )
( ) .i j i j i j ij i j
i j i j
ds dr U U U
h dU n h dU n h dU n h dU n h dU n h dU n
h h h h dU dU g dU dU
(5)
где ( )ij i j i jg h h h h
. (6)
Из девяти компонент gij только 6 являются независимыми. В
итоге
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19. 19
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 2 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 1 3 1 3 2 3 1 2 2 3
( ; ; ) ( ) ( ) ( )
2 ( ) 2 3( ) 2 ( ) .
ds dr U U U h n dU dU h n dU dU h n dU dU
h h n n dU dU h h n n dU dU h h n n dU dU
4. Геометрический смысл линейного элемента пространства
состоит в том, что для произвольно взятой линии )(trr
линей-
ный элемент 2
rdds
дает дифференциал дуги этой линии.
5. Элементом объема в криволинейных координатах U1; U2;
U3 называется объем параллелепипеда, построенного на частных
дифференциалах rdrdrd UUU
321
;; радиус-вектора текущей точки
по ее криволинейным координатам:
iiiiUU dUnhdUrrd ii
.
Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах,
равен по абсолютной величине их смешанному произведению:
1 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ; ; ) ( ) ( )U U UdV U U U r r r n n n h h h dU dU dU
.
6. Введем в пространстве декартову систему координат:
.zkyjxir
Вычислим производные радиус-вектора по
криволинейным координатам:
1 1 1 1
;
r x y z
i j k
U U U U
2 2 2 2
3 3 3 3
;
,
r x y z
i j k
U U U U
r x y z
i j k
U U U U
2 2 2
i
i i i i
r x y z
h
U U U U
. (7)
Представим теперь элемент объема dV криволинейного про-
странства, воспользовавшись формулой для смешанного произ-
ведения векторов:
1 2 31 2 3 1 2 3( ; ; ) ( )U U UdV U U U r r r dU dU dU
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20. 20
1 1 1
1 2 3 1 2 3
2 2 2
3 3 3
( ; ; ) mod
x y z
U U U
x y z
dV U U U dU dU dU
U U U
x y z
U U U
.
Таким образом, элемент объема в криволинейных коорди-
натах равен абсолютной величине определителя преобразования
(якобиана) декартовых координат в криволинейные, умноженной
на произведение дифференциалов криволинейных координат. В
краткой записи
321
321
321
);;(
),,(
);;( dUdUdU
UUU
zyx
UUUdV
.
7. Как несложно проверить простым вычислением, справед-
лива следующая формула для квадрата смешанного произведения
трех векторов:
2
.
a a a b a c
a b c b a b b b c
c a c b c c
Эту формулу легко вывести, если воспользоваться известным
и очевидным соотношением 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b
и правилом
разложения двойного векторного произведения.
Если воспользоваться приведенной выше формулой, то
можно выразить элемент объема в криволинейных координатах
через коэффициенты фундаментальной квадратичной формы:
1 1 1 2 1 2
1 2 3 2 1 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3
3 1 3 3
( ; ; ) .
n n n n n n
dV U U U n n n n n n h h h dU dU dU
n n n n n n
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21. 21
8. В общем случае орты 321 ,, nnn
криволинейных координат
ориентированы относительно друг друга под произвольными
углами. И углы между ними можно найти следующим образом:
12 1 2 1 2 1 2 1 2 11 22( ) cos( , )g n n h h n n h h g g
;
2211
21
21 ),cos(
gg
g
nn
.
Аналогично
3311
31
31 ),cos(
gg
g
nn
;
3322
32
32 ),cos(
gg
g
nn
.
Если g12 = g23 = g13 = 0, то углы между ортами криволиней-
ных координат прямые. В этом случае криволинейные коорди-
наты называются ортогональными. Условие ортогональности
можно представить в виде
0
i j i j i j i j
r r x x y y z z
U U U U U U U U
.
9. Для ортогональных координат в выражение для фундамен-
тальной квадратичной формы входят только квадраты одноимен-
ных координат:
22 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3ds dr h dU h dU h dU
.
Частными случаями криволинейных ортогональных коорди-
нат являются сферические и цилиндрические координаты.
10. Задача 1. Найти коэффициенты Ламе в цилиндрических и
сферических координатах.
Задача 2. Найти элемент объема в цилиндрических и сфери-
ческих координатах.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22. 22
Глава 2. Векторный анализ
в ортогональных криволинейных
системах координат
§ 1. Градиент. Производная по направлению
1. Операцию градиента в произвольных ортогональных
криволинейных координатах )(r
введем так же, как это делается
в декартовых координатах.
Найдем скорости изменения скалярного поля )(r
в точке 0r
вдоль осей U1, U2, U3. Для этого отметим, что дифференциал дуги
вдоль координатной линии Ui есть
dli = hi dUi.
Поэтому искомые скорости изменения )(r
вдоль )(r
будут:
332211
1
;
1
;
1
UhUhUh
. (1)
Умножая выражения (1) на орты соответствующих осей и
складывая их, получим выражение для grad():
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 1 1
( )grad n n n
h U h U h U
. (2)
2. Для того чтобы определить положение вектора rgrad
в
пространстве, найдем дифференциал от уравнения эквипотен-
циальной поверхности:
constr 0
; 1 2 31 2 3( ) 0U U Ud r dU dU dU
.
То же самое можно записать как 0grad r dr
, где rd
– прира-
щение радиус-вектора при смещении вдоль эквипотенциальной
поверхности. Значит,
rdrgrad
и rdrgrad
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
23. 23
Следовательно, скорость роста скалярного поля в данной
точке определяется градиентом поля в данной точке.
В некоторых книгах rgrad
обозначается n
dn
d , где n
единичный вектор нормали к эквипотенциальной поверхности:
d
grad r n
dn
;
тогда
d
grad r
dn
,
где
dn
d
имеет смысл производной по направлению нормали,
т. е.
dn
d
, в отличие от rgrad
, – скалярная величина, численно
равная скорости пространственного роста скалярного поля в
пространстве.
3. В криволинейных координатах дифференциал длины дуги
вдоль координатной линии есть iiui duhrddl i
, поэтому скоро-
сти роста скалярного поля вдоль осей u1
, u2
, u3
будут
11
1
uh
;
22
1
uh
;
33
1
uh
и выражение для градиента примет вид
3
33
2
22
1
11
111
e
uh
e
uh
e
uh
rgrad
4. Если требуется опреде-
лить скорость изменения век-
торного поля в направлении s
,
составляющем угол с направ-
лением нормали в той же точке,
то это легко сделать исходя из
понятия градиента.
Пусть r
изменится на
d при смещении вдоль n
наРис. 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. 24
nd
(рис. 1). Из этого рисунка видно, что такое же изменение r
вызовет и смещение на sd
вдоль s
. Причем
cos
dn
ds , тогда
;coscoscos
,coscos
zyxrgrad
srgradsnrgrad
dn
d
ds
d
.grads
ds
d
где cos(α), cos(β) и cos(γ) – направляющие косинусы направления
s
. Отсюда видно, что grad r r
определяет макси-
мальное значение скорости изменения скалярного поля в
пространстве.
В самом деле, из выражения
snrgrad
ds
d
,cos
видно, что
ds
d
будет максимально тогда, когда 1,cos
sn
.
5. Оператор производной по направлению, задаваемому
единичным вектором s
, определится выражением
( )s s
, (3)
где
1 2 3
1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( )
( )
n s n s n s
s
h U h U h U
. (4)
6. Легко показать, что перпендикулярен поверхности
уровня = const. В самом деле, дифференцируя уравнение по-
верхности уровня, найдем:
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 1
( ) 0d h dU h dU h dU dr
h U h U h U
.
Отсюда вытекает, что перпендикулярен дифференциалу
радиус-вектора rd
, направленному по касательной к поверхности
уровня = const.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
25. 25
7. Пусть теперь rd
направлен от одной поверхности уровня
= C1 к другой = C2. Тогда приращение поля d вдоль rd
будет
равно:
( )d dr
.
Для заданного d = C2 – C1 абсолютная величина | rd
| мини-
мальна, если rd
направлен параллельно . И наоборот, при
заданном | rd
| изменение скалярного поля )(r
максимально,
когда ||rd
. Это и определяет как вектор, указывающий
направление максимальной скорости изменения скалярного поля
)(r
.
8. В цилиндрических координатах
1
zn n n
z
. (5)
В сферических координатах
1 1
sin( )
rn n n
r r r
. (6)
9. Пример 1. Найти ( )grad r .
Поскольку функция ( )r является центрально симметричной
и зависит только от модуля радиус-вектора, то решение следует
искать в сферической системе координат. В итоге
( )
( ) .r
d r
grad r n
dr
Пример 2. Найти ( )grad r
.
Поскольку ( )r
есть функция общего вида, не обладающая
никакой симметрией, то ее градиент будет записываться в виде
(5) или (6) в зависимости от выбора системы координат, или в
прямоугольной декартовой системе:
.x y zgrad r n n n
x y z
Пример 3. Найти единичный вектор нормали к поверхности
скалярного поля 2
( ) .U r r
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26. 26
Поскольку функция цетрально симметирична, то расчеты
проведем в сферической системе координат.
2
.
2
r r
r
dU dr ngradU r n
n n
gradU dU dr r
Пример 4. Найти градиент расстояния:
2
0
2
0
2
0 zzyyxxr
между точками P0={x0, y0, z0} и P={x, y, z}.
Поместим начало координат в точку 0P , тогда задача сведется
к отысканию градиента скалярного поля ( ) .U r r
В силу центральной симметрии поля в сферических коорди-
натах получим:
.r rgradU grad r dr dr n n
Пример 5. Найти производную по направлению радиус-
вектора r
от u=sin(r).
Поскольку функция sin(r) обладает центральной симметрией,
то расчеты естественно провести в сферической системе
координат:
sin
cos .r
rdu
n grad u r
dr r
Пример 6. Найти производную по направлению радиус-
вектора r
от
2
( ) .U r r
Аналогично предыдущему примеру получим:
2
2 .r
d rdU dU
n gradU r
dr dr dr
Пример 7. Найти производную функции 1u r в направ-
лении единичного вектора e
. При каком условии эта производная
равна нулю?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
27. 27
2
1
;ru e n
e grad
r r r
если rne
, то 0
e
u
.
Пример 8. Найти производную функции 1u r в направ-
лении ее градиента.
2
2
1
1
r
d
grad ugrad uu r
grad u grad u n
drgrad u grad u grad u r
.
Пример 9. Вычислить 3
p r
grad
r
, где p
– постоянный вектор
в сферической системе координат.
В качестве выделенного направления, от которого будем
отсчитывать полярный угол , выберем направление, заданное
p
. Тогда получим:
3 2 2 2
cos cos 1 cos
r
p r p p p
grad grad n n
r rr r r r
3 3
2 cos sin
.r
p p
n n
r r
§ 2. Циркуляция векторного поля по кривой
1. Векторное поле, являющееся градиентом скалярного поля
r
, называется потенциальным векторным полем. Величина
скаляра в конкретной точке называется потенциалом.
Потенциальные поля обладают особыми свойствами, связанными
с понятием циркуляции векторного поля по кривой.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28. 28
Пусть дано векторное поле
rA
. Выберем в нем две произ-
вольные точки 11 rM
и 22 rM
и свяжем их произвольной кри-
вой L (cм. рис. 1). Разобьем кри-
вую L на N малых участков,
которые заменим хордами kr
,
и составим скалярные произве-
дения k kA r
. Далее, возьмем
сумму всех таких произведений
вдоль кривой L
1
N
k k
k
A r
и устремим ее к пределу, полагая N (или max 0k
r
):
1
lim
N
k k
N k L
A r A dr
.
Полученный предел назовем циркуляцией векторного поля A
по
кривой L (или криволинейным интегралом второго рода):
cos ;
L L L L
A dr A dl A A dl A dl
где
– единичный вектор касательной к кривой L; dl dr
(cм.
рис.1); dl – элемент длины кривой.
2. Докажем теорему: циркуляция rgrad
вдоль
произвольной кривой L, соединяющей точки 11 rM
и 22 rM
,
равна разности значений r
в начальной и конечной точках:
1 2 3 2 1
1 2 3
.
L L L
grad r dr dU dU dU d r r
U U U
Следствие: Если r
– однозначная функция, то значение ее
циркуляции по произвольному контуру не зависит от пути интег-
Рис. 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
29. 29
рирования, а зависит только от положения начальной и конечной
точек интегрирования. Циркуляция вектора rgrad
по
замкнутому контуру равна нулю.
Справедлива и обратная теорема: если циркуляция вектора
rA
вдоль замкнутого контура равна нулю, то вектор rA
является градиентом некоторого скаляра r
, т. е. поле A
потенциально.
§ 3. Уравнение векторной линии
Уравнение векторной линии в произвольных ортогональных
криволинейных координатах легко вывести, определив
векторное произведение орта касательной к векторной линии
dl
rd
на вектор поля )(rA
:
0)(
1
)(
Ard
dl
A
dl
rd
A
, поскольку A
|| .
Это же в развернутом виде можно записать так:
.0)()()( 322111221133311332223 ndUhAdUhAndUhAdUhAndUhAdUhA
Но сумма трех некомпланарных векторов равна нулю, только
если равны нулю модули всех векторов:
.0;0;0 221112113331332223 dUhAdUhAdUhAdUhAdUhAdUhA
Отсюда сразу получаются искомые уравнения:
3
33
2
22
1
11
A
dUh
A
dUh
A
dUh
.
Пример 1. Найти векторные линии векторного поля
rCrA
, где C
– постоянный вектор.
Пусть eCeCeCC rr
, тогда
erCerCrCrA
,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30. 30
а уравнение векторных линий будет иметь вид
constrdr
dr
rC
rd
rC
dr
;0;
0
sin
.
Умножим теперь числитель и знаменатель последнего
выражения на Cr:
; 0;
0
r
r r
C dr
C dr C r const C r
.
Линии векторного поля rA
получаются в результате пересе-
чения сфер r=const с центром в начале координат и плоскостей
C r const
.
§ 4. Поток векторного поля
1. Ведем понятие о векторе элементарной площадки.
Вектором элементарной площадки Sd
назовем вектор,
направленный по нормали к площадке, численно равный
площади ее поверхности и связанный с направлением
положительного обхода контура в правовинтовую систему (см.
рис. 1). В произвольной ортогональной криволинейной системе
координат:
1 1 2 2 3 3dS dS n dS n dS n dS n
2 3 2 3 1 1 3 1 3 2 1 2 1 2 3h h dU dU n h h dU dU n h h dU dU n
2. Пусть имеется бесконечно малая площадка
dS dS n
, такая что вектор )(rA
в пределах этой
площадки имеет постоянное значение. Тогда по-
током вектора A
через площадку Sd
назовем
величину
cos , ndI A dS A n dS A dS A n A dS
.Рис. 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
31. 31
Если площадка имеет не бесконечно малые, а конечные раз-
меры, то поток вектора )(rA
через нее определится интегралом
n
S S
I A dS A dS
.
Название величины I – поток – взято из гидродинамики, так
как простейший пример из физики есть поток жидкости через
поверхность S.
Вектор элементарной площадки мы ввели только затем,
чтобы можно было пользоваться бескоординатной (векторной)
записью, применимой независимо от конкретного выбора
координатных систем.
3. Пример 1 Вычислить поток векторного поля rA
(где r
–
радиус-вектор) через прямой круговой цилиндр высотой h,
радиусом R и осью OZ.
Поток через полную поверх-
ность S (рис. 2) равен сумме по-
токов через боковую поверхность
1 и основания 2 и 3 .
На боковой поверхности 1
единичный вектор нормали 1nn
во всех точках параллелен плоско-
сти OXY, поэтому на поверхности
σ1
1 1cos ,A R r n r r n R
;
в итоге
1 1
2
1( ) 2 2A r dS R dS R Rh R h
;
на поверхности 2 2 2cos ,A n r n r r n h
;
в итоге
2 2
2 2
1A n dS h dS h R R h
.
Рис. 2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
32. 32
На поверхности σ3 вектор 3nr
и 0A n
. Значит, полный
поток через всю поверхность будет hRhRhRI 222
32 .
Пример 2. Найти поток векторного поля
3
rrA
через
сферу радиуса R с центром в начале координат.
Поскольку нормаль к поверхности сферы во всех точках
параллельна векторному полю A
, то
2
3 3 4 2
1r rr r
A n A
r rr r r
.
На самой сфере имеем r=R, следовательно, 2
1/A n R
. В
итоге
2
2
1 4
( ) 4
S S
R
A n dS dS
R R
.
§ 5. Дивергенция. Теорема ГауссаОстроградского
1. Введем дивергенцию в произвольных криволинейных
координатах: U1, U2, U3. Пусть векторное поле A
в этих
координатах имеет вид:
332211 nAnAnAA
.
Найдем поток A
через поверхность элементарного криволи-
нейного параллелепипеда вдоль оси U1 (рис. 1). Учтем, что
площадки OBCD и O'B'C'D' равны h2h3dU2dU3 и коэффициенты
Ламе hi являются функциями координат. Тогда легко видеть, что
поток векторного поля A
через площадку OBCD можно записать
как
11 2 3 2 3( )OBCD UdI A h h dU dU ,
где выражение, стоящее в скобках, мы определили в точке O,
координаты которой (U1; U2; U3).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
33. 33
Рис. 1.
Это можно сделать, поскольку площадка бесконечно малая, и
определить её величину можно в любой её точке, в том числе и в
точке O, которую мы выбираем из соображений удобства. Знак
«минус» перед потоком появляется из-за того, что поток вдоль
орта 1n
определяется скалярным произведением 1A dS
, а еди-
ничный вектор внешней нормали к площадке OBCD, т. е. OBCDn
,
направлен в сторону, противоположную орту 1n
и,
следовательно, 1OBCDn n
:
1 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 3 1OBCDA dS A n h h dU dU n A n h h dU dU n
1
1 2 3 2 3 1 2 3 2 3.
U
A h h dU dU A h h dU dU
При записи этого выражения учтено, что орт 1n
ортогонален
ортам 2n
и 3n
и, следовательно,
1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1.A dS A n A n A n dS n A n dS
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
34. 34
Аналогично найдем поток через площадку O'B'C'D', для
которой единичный вектор внешней нормали O B C Dn
совпадает
по направлению с ортом 1n
:
1 1 11 2 3 2 3( ) ,O B C D U h dudI A h h dU dU
где выражение, стоящее в скобках, определяем в точке O' с
координатами (U1 + h1dU1; U2; U3).
В итоге полный поток через объем параллелепипеда вдоль
орта 1n
определится суммой
(1)
O B C D OBCDdI dI dI
1 1 1 1
1 2 3 2 3 1 2 3 2 3( ) U h du U
A h h dU dU A h h dU dU
1 1 1 1
1 2 3 3 1 2 3 2 3( ) .U h du U
A h h A h h dU dU
В полученном выражении в квадратных скобках стоит
разность значений одной и той же функции 1 2 3A h h , взятых в двух
бесконечно близких точках, поэтому эту разность можно
заменить первым членом разложения функции 1 2 3A h h в ряд
Тейлора в малой окрестности точки O:
1 1 1 1
1 2 3
1 2 3 3 1 2 3 2 3 1 1 2 3
1 1
( )
( ) .U h du U
d A h h
A h h A h h dU dU h dU dU dU
h dU
В итоге получим:
(1) 1 2 3 1 2 3
2 3 1 1 1 2 3
1 1 1
( ) ( )A h h A h h
dI dU dU h dU dU dU dU
h U U
.
2. Аналогично найдутся потоки вдоль ортов 2n
и 3n
:
(2)
2 1 3 1 3 2 2 2 1 3 1 2 3
2 2 2
( ) ( ) ;dI A h h dU dU h dU A h h dU dU dU
h U U
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
35. 35
(3)
3 1 23 1 2 3 3 3 1 2 1 2 3
3 3 3
( ) ( ) .dI A h h dU dU h dU A h h dU dU dU
h U U
Полный же поток через поверхность элементарного
параллелепипеда равен алгебраической сумме потоков вдоль всех
трёх ортов (1) (2) (3)
dI dI dI dI :
1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( )dI A h h A h h A h h dU dU dU
U U U
1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1
( ) ( ) ( )A h h A h h A h h h h h dU dU dU
h h h U U U
1 2 3 2 1 3 3 1 2
1 2 3 1 2 3
1
( ) ( ) ( ) .A h h A h h A h h dV
h h h U U U
Любой замкнутый объем, ограниченный произвольной замк-
нутой несамопересекающейся поверхностью, можно разбить на
бесконечно малые криволинейные параллелепипеды и применить
полученное соотношение к каждому из них в отдельности. Если
потом просуммировать все потоки, то потоки через смежные
грани соседних параллелепипедов компенсируются, так как
поток, вытекающий из одного параллелепипеда и входящий в
общую сумму со сзнаком «плюс», втекает в другой и учитывается
еще раз со знаком «минус». Останутся только потоки через
внешнюю поверхность объема. В результате мы получим:
1 2 3 2 1 3 3 1 2
1 2 3 1 2 3
1
( ) ( ) ( ) .
S S V
dI A dS A h h A h h A h h dV
h h h U U U
(1)
Выражение, стоящее в (1) в фигурных скобках, назовем
дивергенцией или расходимостью векторного поля ( )A r
:
1 2 3 2 1 3 3 1 2
1 2 3 1 2 3
1
( ) ( ) ( )divA A h h A h h A h h
h h h U U U
. (2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
36. 36
Таким образом, мы доказали теорему Гаусса-Остроград-
ского: поток векторного поля ( )A r
через замкнутую поверх-
ность S равен интегралу по объему, заключенному внутри
этой поверхности, от дивергенции векторного поля ( )A r
:
.
S V
A dS divA dV
3. Можно определить дивергенцию и независимо от какой-
либо координатной системы. Если объем V достаточно мал для
того, чтобы Adiv
можно было считать постоянной внутри него,
то
S
V divA A dS
.
Отсюда найдём:
0
lim .S
V
A dS
divA
V
Дивергенция векторного поля ( )A r
в данной точке поля равна
пределу отношения потока вектора через поверхность, окру-
жающую точку, к объему, заключенному внутри поверхности,
при стремлении этого объема к нулю, т. е. при стягивании по-
верхности в точку.
4. В цилиндрических координатах
1 1
( ) .z
A A
divA A A
z
В сферических координатах
2
2
1 ( ) 1 ( sin( )) 1
sin( ) sin( )
r
AA r A
divA A
r r rr
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
37. 37
5. Пример 1: Найти дивергенцию векторного поля ( ) .A r r
В силу центральной симметри поля искать дивергенцию
будем в сферическиой системе координат:
3
2
1 ( )
3
r
div r
rr
.
Пример 2: Показать, что векторное поле
3 3
2 cos sin
( ) r
p p
A r n n
r r
,
где p const , является соленоидальным.
Признаком соленоидальности поля является равенство нулю
её дивергенции. Воспользуемся сферической системой
координат, в которой и записано поле ( )A r
. Получим:
2
3 3
2
2 cos sin
sin
1 1
sin
p p
r
r rdivA
r rr
2
3
2 2 2 3
sin2 cos
1 1 1 2 cos 1 2 sin cos
0.
sin( ) sin( )
pp
r p pr
r r rr r r r
Задача 1. Вычислить )(rdiv
в цилиндрических координатах.
6. Операция divA
характеризует наличие либо отсутствие у
векторного поля A
источников или стоков. Если в некоторой
области пространства векторное поле A
не имеет источников и
стоков, т. е. в этой части пространства 0divA
, то такое поле
называется соленоидальным в данной области пространства (т. е.
таким, как магнитное поле соленоида). Это название связано с
тем, что силовые линии магнитного поля соленоида либо замкну-
ты, либо приходят из бесконечности и уходят в бесконечность. И
в соленоидальной области силовые линии поля не могут начи-
наться и кончаться. Они либо замкнуты, либо начинаются и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
38. 38
заканчиваются на границе области, занятой полем (приходят из-
за границы и уходят за границу).
Представим, что вектор A
задает поле скоростей жидкости.
Тогда из определения дивергениции видно, что дивергенция век-
тора A
есть мера плотности источников жидкости – число источ-
ников в единице объема, каждый из которых выдает единицу
массы жидкости в секунду. Если Adiv
имеет отрицательный
знак, можно говорить о плотности стоков.
7. Уравнение 0divA
в гидродинамике называется уравнени-
ем неразрывности несжимаемой жидкости, так как из 0divA
вытекает VS=const, которое также называется уравнением
неразрывности.
Для соленоидального поля поток вектора через любое попе-
речное сечение векторной трубки (трубки, образованной век-
торными линиями, проходящими через каждую точку некоего
замкнутого контура, – рис. 12) имеет одну и ту же величину.
Для доказательства
этого положения рас-
смотрим объем, заклю-
ченный между двумя се-
чениями S1 и S2 вектор-
ной трубки (рис. 2).
Применим к выде-
ленному объему теорему
Гаусса-Остроградского:
S V
A dS div A dV
,
но так как поле соленоидальное, то 0divA
, значит, равен нулю
и поток вектора A
через поверхность выделенного объема. Поток
A
через боковую поверхность S0 равен нулю по определению
векторной трубки. Остается
1 2 1 2
0
S S S S S
A dS A dS A dS A dS
.
Рис. 2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
39. 39
Если учесть, что внешняя по отношению к объему нормаль
сечения S1 направлена в сторону, противоположную потоку A
, то
ясно, что
1 2
21
S S
nn dSAdSA .
8. В заключение перечислим основные свойства соленои-
дального поля:
1) соленоидальное поле не имеет источников и стоков;
2) силовые линии поля замкнуты либо заканчиваются и начи-
наются на границе области, внутри области силовые линии обры-
ваться не могут;
3) поток соленоидального поля через замкнутую поверхность
равен нулю;
4) поток соленоидального поля через любое сечение
векторной трубки – величина постоянная;
5) признак соленоидального поля: 0rAdiv
.
Для произвольного векторного поля A
, приравнивая нулю
0rAdiv
, можно найти точки пространства, где поле будет
соленоидально, т. е. будут разрывы непрерывности
распределения стоков и источников.
Пример 3. При какой функции r будет div rrr 2
?
Решение:
2 ;div r r r div r r grad r r
или
3 2 ln ln ln .
d r d r r
r r r r r C
dr dr r
Отсюда: .r C r , где C=const.
Пример 4. Найти функцию r для котрой 0.div r r
Решение:
3 0.r
d r
div r r r div r r grad r r r n
dr
3
1 3
3 0 ln 3ln ln .
d r d r C
r r r r C r
dr r dr r r
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
40. 40
§ 6. Ротор. Теорема Стокса
1. Покажем, что циркуляцию векторного поля ( )A r
по замк-
нутому контуру L можно заменить интегралом по произвольной
поверхности, натянутой на этот контур.
Рассмотрим бесконечно малый криволинейый контур L
,
составленный из четырех векторов бесконечно малой длины 1ld
,
2ld
, 3ld
и 4ld
. Будем искать циркуляцию векторного поля ( )A r
по
этому контуру. Чтобы сделать это наиболее простым и нагляд-
ным способом, спроектируем этот контур на три координатные
поверхности: 1U const , 2U const , 3U const . Найдем циркуля-
ции векторного поля ( )A r
по этим трем проекциям, а потом их
сложим. У нас есть возможность для таких действий, ибо мы мо-
жем всегда разложить ild
в виде 1 2 3i i i idl dl dl dl
. Компонен-
ты циркуляции iA dl
будут равны 1 2 3i i iA dl A dl A dl
, а
циркуляция по полному контуру определится суммой
3 4
1 1
ij
j iL
A dl A dl
.
Рассмотрим проекцию бесконечно малого криволинейного
контура dL на плоскость 3U const (рис.1).
Распишем более подробно выражение для циркуляции век-
торного поля ( )A r
вдоль контура OBCD (контур обходим против
часовой стрелки):
1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
( ) ( ; ) ( ; )
( ; ) ( ) ( ; ) ( )
O D
OD DCOBCD
B O
CB BO
A dl A U U h n dU A U h dU U h n dU
A U U h dU h n dU A U U h n dU
1 1 1 2 1 2 2 2 2
1 2 1 2 2 2 1 1 1
( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; ) .
A U h dU U A U U n h dU
A U U A U U h dU n h dU
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
41. 41
Рис. 1.
Раскладывая выражения в фигурных скобках в ряд Тейлора в
окрестности точки (U1; U2) и ограничиваясь первыми, линейными
по приращению аргумента членами разложений, получим для
циркуляции векторного поля ( )A r
по бесконечно малому контуру
ODCB:
2 2 1 1
1 1 2 2 1 2
1 1 2 2
1 ( ) 1 ( )
( )
OBCD
h A h A
A dl h dU dU h dU dU
h U h U
.
Первое слагаемое в фигурных скобках умножим и разделим
на 2h , а второе – на 1h :
2 2 1 1 2 2 1 1
1 2 1 2 3
1 2 1 2 1 2 1 2
1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )
( ) .
OBCD
h A h A h A h A
A dl h h dU dU dS
h h U U h h U U
(1)
Проецируя элементарный контур L
на оставшиеся две коор-
динатные поверхности 1U const и 2U const , и повторяя при-
веденные рассуждения, найдем циркуляции векторного поля и
этим проекциям. Полное же выражение для циркуляции вектор-
ного поля ( )A r
по контуру L
в произвольных ортогональных
криволинейных координатах будет иметь вид
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
42. 42
3 3 3 32 2 1 1
1 2
2 3 2 3 1 3 3 1
( ) ( )( ) ( )1 1
L
h A h Ah A h A
A dl dS dS
h h U U h h U U
2 2 1 1
3
1 2 1 2
1 ( ) ( )
.
h A h A
dS B dS
h h U U
(2)
Мы получили, что циркуляция векторного поля ( )A r
по кон-
туру L
равна потоку векторного поля B
с проекциями на орты:
3 3 2 2
1
2 3 2 3
( ) ( )1
;
h A h A
B
h h U U
3 31 1
2
1 3 3 1
( )( )1
;
h Ah A
B
h h U U
2 2 1 1
3
1 2 1 2
( ) ( )1
,
h A h A
B
h h U U
(3)
через площадку, ограниченную контуром L
. Введенное таким
образом (с помощью (2)-(3)) векторное поле ( )B r
, проекции
которого на орты выражаются как суперпозиция (3) производных
по координатам векторного поля ( )A r
, называется ротором век-
торного поля ( )A r
и обозначается как rot A
.
3 3 3 32 2 1 1
1 2
2 3 2 3 1 3 3 1
( ) ( )( ) ( )1 1h A h Ah A h A
rot A n n
h h U U h h U U
2 2 1 1
3
1 2 1 2
( ) ( )1
.
h A h A
n
h h U U
Операцию ротора векторного поля можно засписать с
помощью определителя:
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1
.
h n h n h n
rot A
h h h U U U
h A h A h A
Название введенной векторной дифференциальной опера-
ции – ротор, или вихрь, – возникло в связи с тем, что rot A
опи-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
43. 43
сывает вращение векторного поля в точке, в которой rot A
вычисляется.
В самом деле, пусть мы имеем твердое тело, вращающееся с
угловой скоростью
. Тогда линейная скорость движения некой
его точки есть rV
. Найдем rotV
:
3 2rotV r r r
.
Если в некоторой области пространства 0rotA
, то говорят,
что в этой части пространства поле безвихревое, т. е. форма
векторных линий поля отлична от вихревой.
2. Для физически малого контура L мы можем записать:
L
A dl rotA S
, (4)
где S
– вектор площадки, ограниченной контуром L . Правая
часть этого равенства представляет собой поток вектора rot A
через площадку S
. Из соотношения (4) можно определить rot A
бескоординатным способом:
L
rotA S rotA n S A dl
,
где n
– единичный вектор нормали к площадке.
0
lim ,L
n
S
A dl
n rotA rot A
S
(5)
т. е. нормальная составляющая ротора к любой площадке в
данной точке пространства есть предел отношения цирку-
ляции по контуру площадки к площади ее поверхности, когда
контур, ограничивающий площадку, стягивается в точку.
Если в (5) определить значение S
rot A
для разных направлений
S
, то max S
rotA rot A
и совпадает с S
по направлению.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
44. 44
Итак, под rot A
в данной точке поля rA
понимается макси-
мальное значение Srot A
на направление S
. То направление
S
, в котором Srot A
максимален, принимается за направление
ротора.
3. В цилиндрических координатах для rot A
получим выра-
жение:
( ) )1 1
.z z
z
A AA AA A
rot A n n n
z z
В сферических координатах
1
sin( )
sin( )
( )1 1 1 ( )
.
sin( )
r
r r
A
rot A A n
r
rAA A r A
n n
r r r r
(6)
Пример 1. Найти .rot r
В силу центральной симметрии векторного поля A r
ротор
будем искать в сферической системе кординат. Поскольку радиус
вектор не имеет проекций на орты полярного и азимутального
углов и не зависит от них, то сразу получаем 0
rrot .
4. Если циркуляция векторного поля ( )A r
вычисляется по ко-
нечному контуру L, то его можно разбить на бесконечно малые
контуры, найти по всем им циркуляцию поля ( )A r
, а потом
просуммировать. Циркуляции по смежным сторонам малых
контуров компенсируются (т. е. будут иметь противоположные
знаки в смежных контурах), и останется только циркуляция по
внешнему контуру:
L S
A dl rotA dS
. (7)
Таким образом мы доказали теорему Стокса: Циркуляция
векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора
этого векторного поля через произвольную поверхность, натя-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
45. 45
нутую на контур. Мы говорим о «произвольной поверхности»
потому, что при доказательстве теоремы на поверхность, ограни-
ченную контуром, не накладывалось никаких ограничений.
Из теоремы Стокса следует, что поток rotA
через любую
замкнутую поверхность равен нулю:
0
S
rotA dS
.
5. Для того чтобы циркуляция
L
A dl
не обращалась в нуль,
векторные линии поля ( )A r
должны быть замкнутыми или вихре-
выми, т. е. необходимо, чтобы знак A dl
был постоянным во
всем контуре или, в случае контура сложной конфигурации,
чтобы сумма положительных вкладов k k
k
A l
отличалась от
суммы отрицательных вкладов k k
k
A l
. Но если 0
L
A dl
, то
тогда и 0
S
rot A
, а так как S – произвольная поверхность, то и
0rot A
.
Таким образом, по равенству или отличию значения rot A
от
нуля можно судить о замкнутости или незамкнутости силовых
линий поля.
6. Покажем, что для случая потенциальных полей (векторные
линии которых не замкнуты) 0
L
A dl
.
Пусть имеется векторное потенциальное поле rA
. Разобьем
произвольный контур на бесконечно малые элементарные пло-
щадки линиями уровня, перпендикулярными к векторным лини-
ям, и векторными линиями (рис. 2). Тогда циркуляция по любому
внутреннему контуру, например ABCD, будет равна нулю.
В самом деле, циркуляция на участках BC и DA равна нулю,
так как на них ldA
. А циркуляция на участке AB равна по
величине и противоположна по знаку циркуляции на участке CD.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
46. 46
Циркуляция по любому гранич-
ному контуру также равна нулю, так
как на участке PK ldA
, а резуль-
таты интегрирования на участках KD'
и DP' равны по величине и
противоположны по знаку.
Действительно,
cos ,A KD A KD A KD
A PD A DP
.
К тому же результату можно прийти из тех соображений, что
для потенциального поля rgradrA
и, значит, циркуляция
потенциального поля rA
по любому замкнутому контуру равна
нулю.
Отсюда следует, что
0.
L S S
A dl rot A r dS rot grad r dS
Поскольку это выражение не зависит от поверхности S, по
которой ведется интегрирование, значит
0 rgradrot
.
Это можно проверить непосредственным вычислением
ротора от градиента.
Таким образом, необходимое и достаточное условие того,
чтобы поле rA
было потенциальным, запишется в виде
0
Arot .
Потенциальные поля являются безвихревыми. Например,
гравитационное поле и электростатическое поле.
7. Так как для любой замкнутой поверхности 0
S
rotA dS
, то
из теоремы Гаусса-Остроградского получим:
0div rot A r
,
Рис. 2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
